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LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES TEMA 8 SERIES TEMPORALES 8.1. INTRODUCCIÓN 8.2. NATURALEZA DE LAS SERIES TEMPORALES 8.2.1. Componentes de las series temporales 8.2.2. El problema de la descomposición 8.3. ANÁLISIS DE LA TENDENCIA SECULAR 8.4. VARIACIONES E...

LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES TEMA 8 SERIES TEMPORALES 8.1. INTRODUCCIÓN 8.2. NATURALEZA DE LAS SERIES TEMPORALES 8.2.1. Componentes de las series temporales 8.2.2. El problema de la descomposición 8.3. ANÁLISIS DE LA TENDENCIA SECULAR 8.4. VARIACIONES ESTACIONALES 8.4.1. Cálculo de los índices de variación estacional 8.4.2. Desestacionalización 8.4.3. Predicciones 8.5. MOVIMIENTOS CÍCLICOS 8.6. MOVIMIENTOS IRREGULARES 159 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I 8.1.- INTRODUCCIÓN Una serie cronológica es una sucesión de observaciones numéricas ordenadas en el tiempo. Las distribuciones de frecuencias caracterizan el aspecto estático de la estadística, mientras que las series cronológicas resaltan el aspecto dinámico. Un hecho fundamental que distingue las observaciones ordenadas en el tiempo del resto es que las diferentes observaciones no son independientes unas de otras. Esto es manifiesto en las observaciones sucesivas. P. ej.: el número de automóviles que se fabricaron en enero de 2002 no es independiente de los que se fabricaron en diciembre de 2001. Una serie temporal describe la variación de los valores de la variable en el tiempo, como resultado del comportamiento sistemático o aleatorio de la variable. Si una serie muestra alguna tendencia en su variación durante un período de tiempo prolongado, es sensato suponer que tales regularidades seguirán existiendo en el futuro. Ésta es la base más importante para poder predecir, lo que es el principal objetivo de las series cronológicas. El primer paso cuando se considera una serie en el tiempo y se prepara el análisis posterior es la representación gráfica de los datos, con la cual se captan más rápidamente las características generales de dicha serie. El gráfico más habitual consiste en un sistema de coordenadas cartesianas en el que en el eje de abcisas se representa la variable tiempo y en el eje de ordenadas la variable que se desea estudiar. Yi * * * * * * 1 2 3 4 5 6 t 160 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES 8.2.- NATURALEZA DE LAS SERIES TEMPORALES Las series temporales están sujetas a una gran diversidad de fuerzas. Existen factores aleatorios, al igual que sucede en las series de frecuencias, pero existen también factores no aleatorios que a menudo dominan el comportamiento de las observaciones. Algunos de estos últimos dan cuenta de una variación a corto plazo, mientras que otros producen variación a largo plazo. Así, una serie cronológica está formada por varios componentes que son los que explican los cambios observados en un período de tiempo. La clasificación más común al tratar de series temporales es la que distingue las componentes tendencial, estacional, cíclica y aleatoria. Establecida la clasificación, el investigador busca la forma de descomponer las observaciones en elementos que correspondan con las clases elegidas. Los procedimientos estadísticos para ello tienen como objetivo central dicha descomposición. 8.2.1.- Componentes de las series temporales 1. Tendencia regular o secular Es un movimiento de larga duración que indica la marcha general y persistente del fenómeno y obedece a factores de gran estabilidad que varían muy suave y lentamente en el tiempo. Se manifiesta en largos períodos de tiempo, por lo que se la llama también tendencia a largo plazo. El término secular se refiere a largos períodos de tiempo, por lo que son fuerzas seculares las que determinan los movimientos a largo plazo de las series, que pueden reflejar crecimiento, declinación persistente o sucesivas etapas de crecimiento y declinación. El concepto de cambio secular entraña la idea de regularidad o esencial continuidad. Los cambios frecuentes y súbitos son incompatibles con la noción de tendencia secular. Si bien no se define la longitud exacta del período, es norma que para una serie en economía el período sea lo suficientemente largo como para incluir dos o más ciclos económicos, con el fin de obtener así algún resultado razonable. Se la suele representar mediante una recta o algún tipo de curva lisa. En ocasiones, por motivos externos, se modifica una tendencia apareciendo otra nueva. 2. Variaciones estacionales Son variaciones periódicas (de período constante) que vuelven con cierta regularidad dentro de un período específico (normalmente de un año). 161 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I Se encuentran en muchas series temporales para las que se pueden obtener valores trimestrales, cuatrimestrales, mensuales o semanales. Por ejemplo: el transporte de mercancías por ferrocarril, el consumo de muchos artículos, etc.; son variables con diferente comportamiento según la época del año, comportamiento que suele reproducirse a lo largo de los sucesivos años. Reciben el nombre de estacionales por la influencia de las estaciones del año, pero también pueden ser debidas a las costumbres, fiestas, vacaciones, etc. El período de recurrencia no tiene que ser necesariamente el año. Por ejemplo, en el consumo de electricidad en un hogar las observaciones podrían tomarse cada hora y el período recurrente sería el día. 3. Movimientos cíclicos Son movimientos recurrentes, ascendentes o descendentes, distintos de las variaciones estacionales debido a que se extienden a períodos de tiempo más largos (dos o más años) y a que el período no es constante. Se observan en muchas series temporales de tipo económico y social y corresponden a estudios de prosperidad y depresión cuyo conjunto forma el ciclo económico. Por ejemplo: los precios, el volumen de producción industrial, las tasas de nupcialidad, el movimiento de la bolsa y la mayoría de las actividades relacionadas con la empresa privada. La duración de los períodos puede variar, pero las sucesiones observables de cambio durante esos ciclos han seguido en el pasado un patrón lo suficientemente regular como para que sea posible someterlas a un estudio sistemático. En general, el movimiento cíclico ha sido comparado por ciertos autores como un movimiento pendular alrededor de la posición de equilibrio económico. Gráficamente, se traduce por una curva ondulada a un lado y a otro de la tendencia secular. 4. Variaciones irregulares o aleatorias Los efectos de factores accidentales e irregulares, que son los movimientos o variaciones aleatorios, se encuentran entremezclados con los movimientos más o menos regulares. En el análisis de las series cronológicas este elemento es un cajón de sastre para las consecuencias de sucesos catastróficos y para los efectos de sucesos secundarios, igualmente fortuitos, aunque menos violentos en su incidencia. Estos sucesos influyen sobre el valor de la variable en cualquier fecha dada, modificando los efectos de los movimientos a largo plazo y de 162 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES los factores estacionales y cíclicos. El valor observado en un momento es el resultante del juego de todas las fuerzas citadas. En la figura siguiente se ponen de manifiesto las tres componentes sistemáticas de una serie cronológica. Y T C S 8.2.2.- El problema de la descomposición Cuando se analiza una serie cronológica, generalmente se tiene interés por alguno de los tipos de componentes anteriores. Por ejemplo: ¿Existe algún patrón estacional recurrente en la producción de madera? Si existe, ¿cuál es? ¿Cuál es la forma o patrón que siguen los cambios en el volumen de la producción industrial durante los ciclos económicos? ¿Cuál ha sido el rasgo distintivo del aumento de la producción de energía eléctrica en el siglo pasado? El investigador normalmente quiere disociar los movimientos de inmediato interés de todos los que modelizan el comportamiento observado de las series. Esto es lo que hace la descomposición. Hay tres esquemas o hipótesis de combinación de las series temporales aceptados generalmente como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones entre las componentes de los datos observados: a) Modelo aditivo: Yi  Ti  Ci  Ei  I i b) Modelo multiplicativo I: Yi  Ti  Ci  Ei  I i c) Modelo multiplicativo II: Yi  Ti  Ci  Ei  I i 163 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I donde Yi: valor de la variable analizada en el tiempo Ti: tendencia secular Ci: movimiento cíclico Ei: variación estacional Ii: movimiento irregular o aleatorio (residuo) Un supuesto fundamental en el análisis clásico es la independencia de las variaciones residuales respecto a las demás componentes, entendiendo como tal que la magnitud de dichos residuos no dependa del valor que toma cualquier otra componente. Para ello es necesario que la componente residual aparezca sumada a las demás, tal como sucede en los esquemas a) y c). Se aclarará la diferencia entre el modelo aditivo y el multiplicativo mediante un ejemplo: Las ventas de diciembre en un comercio fueron de 60.000 euros y las de enero del año siguiente fueron de 45.000 euros. En las siguientes Navidades las ventas de diciembre fueron de 72.000 euros, o sea, que aumentaron respecto a diciembre anterior en 12.000 euros (20%). ¿Cuáles serán las ventas de enero? 1. Con el modelo aditivo se sumarían 12.000 € a la cifra de enero anterior, con lo que las ventas serían 57.000 €. 2. Con el modelo multiplicativo I se multiplican las ventas de enero anterior por 1.20, con lo que se obtendría una estimación de 54.000 € para enero. En general, se usa más el modelo multiplicativo porque las variaciones porcentuales presentan mejor las situaciones que las variaciones absolutas. En él, sólo la componente tendencia se considera como valor absoluto, mientras que las otras componentes vienen expresadas en forma de números índice. 8.3.- ANÁLISIS DE LA TENDENCIA SECULAR Definida la tendencia como un movimiento de larga duración que indica la marcha general y persistente del fenómeno y que obedece a factores de gran estabilidad que varían suave y lentamente en el tiempo, vamos a indicar los procedimientos estadísticos que se utilizan para estimarla, que dependerán en parte de la distribución de la información y en parte de por qué se quiere efectuar la estimación. Si el principal objetivo son las proyecciones de largo alcance y los datos siguen una tendencia clara, es probable que los métodos analíticos resulten satisfactorios para estimar la tendencia. Si en los datos disponibles la tendencia parece variar en el transcurso del tiempo, o el investigador desea 164 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES estimarla para determinar la configuración estacional de la serie, es posible que los métodos no analíticos (ajuste gráfico y medias móviles) suministren la mejor estimación de la tendencia. 1. Métodos no analíticos 1.1. Ajuste gráfico Consiste en trazar a ojo una línea suave entre las observaciones. Es un método demasiado subjetivo para que pueda considerarse serio desde el punto de vista estadístico, en el que el afán está puesto en conseguir objetividad. Su rapidez, unida a la flexibilidad, puede, si se maneja con discreción, hacerlo útil y rendir servicios estimables cuando no se tiene que tomar medidas precisas. 1.2. Ajuste por medias móviles. Consiste en hallar medias anuales (suponiendo el año como período recurrente) de R datos cada una, siendo R el número de observaciones anuales (por ejemplo, R será igual a 4 para una serie trimestral).  Medias móviles para R impar Consideremos la siguiente serie cuatrimestral (R = 3): AÑOS t Yt MM (3) 1 4 - 2019 2 6 5 3 5 7 4 10 8 2020 5 9 8 6 5 9 7 13 9 2021 8 9 11 9 11 - Las medias móviles se han calculado de la siguiente forma: y1  y2  y3 y 2  y3  y 4 y3  y 4  y5 Y2  Y3  Y4  etc. 3 3 3  Medias móviles par R par En el supuesto de que R sea un número par, las medias móviles quedarán descentradas; para centrarlas se volverán a calcular medias móviles de tamaño 2. 165 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I Consideremos la siguiente serie trimestral (R = 4): t Yt MM (4) MM(2) 1 3 - 2 2 - 3 3 5 3,5 4 4 2 4,5 5 5 7 4,5 4 6 6 4,5 5 7 1 8 6 Las medias móviles se han calculado de la siguiente forma: y1  y 2  y3  y 4 y 2  y3  y 4  y 5 Y 2,3  Y 3, 4  4 4 y  y 4  y5  y6 Y 4,5  3 etc 4 Como las medias móviles no quedan centradas en los trimestres, deberemos promediar otra vez, obteniendo: Y 2,3  Y 3, 4 Y 3, 4  Y 4 , 5 Y3  Y4  etc 2 2 Para entender mejor este método, representemos gráficamente tanto la serie original como la serie de medias móviles del primer ejemplo: SERIE ORIGINAL 14 12 10 8 Yt 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 166 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES MEDIAS MÓVILES 15 13 ) 11 3 (. 9 M. 7 M 5 3 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Como se puede deducir de los gráficos anteriores, con este método se suaviza la serie (se eliminan las oscilaciones estacionales); eso se debe a que cada media móvil recoge un dato medio de todo un año, mientras que la serie original recoge datos cuatrimestrales (influidos por la estacionalidad). La gran ventaja de las medias móviles es su flexibilidad. La representación de la tendencia mediante curvas matemáticas trae consigo, a veces, la descomposición de un período en dos o tres subdivisiones, y el ajuste de curvas separadas a cada una de ellas. Esto es consecuencia de condiciones cambiantes y de que las tasas de aumento o disminución cambian bruscamente. Cuando ello ocurre, las medias móviles son flexibles en su adaptación a las nuevas condiciones y son, con frecuencia, una medida más efectiva de la tendencia que otras funciones más pretenciosas. Su inconveniente es que cuanto más se suaviza la serie (a mayor R), más información se pierde. Así, en el primer ejemplo se perdieron dos observaciones (la primera y la última) y en el segundo se perdieron cuatro. También se le puede achacar a este método que quizá sea más un forma de eliminar la componente estacional que el propio cálculo de la tendencia. 2. Métodos analíticos En muchos tipos de datos la tendencia se representa mejor por una función matemática Y = f(t) que por una línea basada en una media móvil. Siempre que la tendencia pueda describirse de forma precisa mediante una función matemática, se facilitará el trabajo de análisis, interpretación y proyección. Al representar gráficamente la serie cronológica, la forma de la nube de puntos sugiere ajustar el tipo de función que mejor represente al conjunto de la nube. Ésta es quizá la parte en que interviene más directamente el elemento del juicio personal. No existe ninguna regla fija objetiva a seguir para seleccionar la curva más apropiada. El problema es similar al de la 167 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I regresión. En ella el método de mínimos cuadrados se usaba para determinar los valores de los parámetros en la ecuación de regresión. En una serie temporal, la variable independiente "t" es el tiempo e "Y" la variable histórica que se quiere estudiar. Habitualmente, para obtener esas medidas de la tendencia se utiliza el método de mínimos cuadrados, aun cuando en las series temporales no se cumplan las condiciones en que se basa lógicamente el método, al no ser las observaciones ordenadas cronológicamente independientes unas de otras. Es probable que las desviaciones respecto a la función que tratamos de ajustar sean debidas primeramente a las componentes no aleatorias. Ello hace que se utilice por lo práctico que resulta, independientemente de sus limitaciones. La forma de una nube de puntos puede sugerir, entre otros, los siguientes ajustes: 1. Ajuste de una recta Se utiliza la función de la recta Y = a + bt, donde la variable tiempo siempre será la variable independiente o exógena. Las ecuaciones para hallar los parámetros a y b serían: N N  Yi  N a  b  t i i 1 i 1 N N N 2  t i Yi  a  t i  b  t i i 1 i 1 i 1 2. Ajuste de una parábola Se usa la función Y = a + bt + ct2. Las ecuaciones para hallar a, b y c serían: N N N 2  Yi  N a  b  t i  c  t i i 1 i 1 i 1 N N N N 2 3  t i Yi  a  t i  b  t i  c  t i i 1 i 1 i 1 i 1 N N N N 2 2 3 4  t i Yi  a  t i  b  t i  c  t i i 1 i 1 i 1 i 1 3. Ajuste de una exponencial Se utiliza la función exponencial Y = abt. Las ecuaciones para hallar a y b serían: N N  logYi  N loga  logb  t i i 1 i 1 N N N 2  t i logYi  loga  t i  log b  t i i 1 i 1 i 1 168 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES Una vez obtenidos los logaritmos de los parámetros a y b mediante la resolución del sistema de ecuaciones anterior, dichos parámetros se hallarán mediante antilogaritmos. Calculados los parámetros mediante el método de mínimos cuadrados sobre la función de ajuste elegida, para hallar la tendencia sólo habrá que sustituirlos en dicha función. Ejemplo 8.1. La siguiente serie refleja la evolución de las importaciones del extranjero en Canarias en miles de € entre 2009 y 2021. IMPORTACIONES DEL AÑOS EXTRANJERO EN CANARIAS (miles de €) 2009 1183,57 2010 1434,98 2011 1502,41 2012 2130,89 2013 2210,88 2014 2185,52 2015 1766,31 2016 1990,61 2017 2105,23 2018 2250,91 2019 2112,38 2020 2073,25 2021 2049,15 La representación de la serie mediante una nube de puntos será: 169 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I 400 350 Importaciones canarias 300 250 200 150 100 50 0 0 5 10 15 Años Vamos a ajustar a la serie cada una de las funciones anteriormente expuestas. 1. Ajuste de una recta A partir de la función de la recta Y = a + bt, habrá que hallar los parámetros a y b, utilizando las ecuaciones obtenidas mediante mínimos cuadrados: Yi : Importaciones del extranjero en Canarias (miles €) t: Numeración de los años. Como se puede comprobar en el ejemplo, con el fin de simplificar los cálculos, se pone como "año 0" el año 2015, ya que es el año central entre los trece que se han utilizado. Si hubiera un número par de años se escogerá como año 0 uno de los dos centrales. Años t Yi Yi*t t2 2009 -6 1183,57 -7101,44 36 2010 -5 1434,98 -7174,88 25 2011 -4 1502,41 -6009,64 16 2012 -3 2130,89 -6392,67 9 2013 -2 2210,88 -4421,77 4 2014 -1 2185,52 -2185,52 1 2015 0 1766,31 0,00 0 2016 1 1990,61 1990,61 1 2017 2 2105,23 4210,45 4 2018 3 2250,91 6752,73 9 2019 4 2112,38 8449,51 16 2020 5 2073,25 10366,26 25 2021 6 2049,15 12294,90 36 Total 0 24996,09 10778,55 182 170 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES Sustituyendo en las dos ecuaciones: 1793,4 Luego y b  9,85 182 Por tanto, la tendencia de la serie representada mediante una recta será: Y  319,92  9,85 t 2. Ajuste de una parábola A partir de la función y = a + bt + ct2, se utilizarán las ecuaciones obtenidas mediante mínimos cuadrados para hallar a, b y c: AÑOS t Yi Yi*t t2 t3 t4 Yi*t2 1980 -6 196,93 -1181,58 36 -216 1296 7089,48 1981 -5 238,76 -1193,80 25 -125 625 5969,00 1982 -4 249,98 -999,92 16 -64 256 3999,68 1983 -3 354,55 -1063,65 9 -27 81 3190,95 1984 -2 367,86 -735,72 4 -8 16 1471,44 1985 -1 363,64 -363,64 1 -1 1 363,64 1986 0 293,89 0 0 0 0 0 1987 1 331,21 331,21 1 1 1 331,21 1988 2 350,28 700,56 4 8 16 1401,12 1989 3 374,52 1123,56 9 27 81 3370,68 1990 4 351,47 1405,88 16 64 256 5623,52 1991 5 344,96 1724,80 25 125 625 8624,00 1992 6 340,95 2045,70 36 216 1296 12274,20 0 4159 1793,40 182 0 4550 53708,92 Sustituyendo en las tres ecuaciones: 4159  13 a  0  b  182  c 1793,4  0  a  182  b  0  c 53708,92  182  a  0  b  4550  c 171 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I Resolviendo el sistema de ecuaciones: a=351,51 b=9,85 c=-2,26 Por lo que la ecuación de la parábola sería: Y  351,51  9,85 t  2,26 t 2 3. Ajuste de una exponencial Con la función de la exponencial Y = abt , para hallar los parámetros a y b se deberá partir del logaritmo de Y, con lo que se obtendrá en primer lugar los logaritmos de a y de b. Posteriormente, se calcularán sus antilogaritmos: 172 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES AÑOS t Yi log Yi t*log Yi t2 1980 -6 196,93 2,2943 -13,7659 36 1981 -5 238,76 2.3780 -11,8898 25 1982 -4 249,98 2,3979 -9,5916 16 1983 -3 354,55 2,5497 -7,6490 9 1984 -2 367,86 2,5657 -5,1314 4 1985 -1 363,64 2,5607 -2,5607 1 1986 0 293,89 2,4682 0 0 1987 1 331,21 2,5201 2,5201 1 1988 2 350,28 2,5444 5,0888 4 1989 3 374,52 2,5735 7,7204 9 1990 4 351,47 2,5459 10,1836 16 1991 5 344,96 2,5378 12,6889 25 1992 6 340,95 2,5327 15,1961 36 0 4159 32,4689 2,8095 182 Sustituyendo en las ecuaciones obtendremos log a y log b: 32,4689  13 loga  0  logb 2,8095  0  loga  182  logb Por lo que, log a = 2,498 y log b = 0,0154 a = 314,49 b = 1,0362 Por tanto, la tendencia representada mediante una exponencial será: Y  314,49 1,0362t Indiquemos finalmente que sustituyendo cada "t" por su valor obtendríamos en cada caso una columna correspondiente a la tendencia. La gran ventaja de los métodos analíticos mediante ajuste es que permiten medir su bondad calculando la varianza residual y el coeficiente de correlación entre la variable Y y la variable tiempo, de igual forma que se hacía en la correlación entre variables X e Y, aunque hay algunos autores que consideran que el coeficiente de determinación no es la medida más adecuada para medir la correlación en el caso de las series temporales. La varianza residual será:  Y  T  2 i i VR  N 173 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I Por último, es interesante señalar que si la serie presenta una ruptura brusca, distinguiéndose dos partes diferenciadas, puede ser aconsejable ajustar diferentes funciones a cada conjunto de datos que tenga una tendencia homogénea. Para medir estadísticamente si se ha producido ese cambio de tendencia, hay algunas técnicas de contraste, aunque no las vamos a explicar porque se salen fuera del marco de este tema. 8.4.- VARIACIONES ESTACIONALES Son variaciones periódicas, de período de tiempo fijo, que vuelven con cierta regularidad dentro de un período específico de un año o menos, es decir, anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, mensual, semanal, etc. Se trata de una componente causal de las series cronológicas debida a la influencia de fenómenos de tipo estacional como consecuencia de costumbres, fiestas, vacaciones, etc., siendo muy importante su conocimien- to en el análisis empresarial y económico. Se encuentran en muchas series para las que se pueden obtener valores trimestrales, mensuales o semanales. En su estudio se presentan dos problemas fundamentales:  ¿Cómo medir las variaciones estacionales?. Existen muchas formas de medir las variaciones estacionales. El objetivo básico de la mayoría de los métodos es obtener un índice que pueda utilizarse luego para ajustar los datos originales a las variaciones estacionales, además de interpretar el comportamiento de la variable estudiada en los períodos considerados respecto a la media del año a través de un índice que permite comparar en términos relativos.  ¿Cómo eliminar la influencia de las variaciones estacionales en el análisis de la tendencia?. Al proceso de suprimir esta influencia se le conoce como desestacionalización. Para ello se divide cada valor de la serie por el índice de variación estacional unitario correspondiente. Por tanto, valor original Valor desestacionalizado  índice de variación estacional 174 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES 8.4.1.- Cálculo de los índices de variación estacional Hay diversos métodos para la obtención de los índices de variación estacional. Se expondrá uno de los más usados: el método de las medias móviles, el cual se explicará a través de un ejemplo. Ejemplo 8.2. Tenemos la serie temporal de los precios medios por trimestre de un determinado producto (en euros), entre los años 2002 y 2005. AÑO PERÍODO t Yi I 1 19,5 II 2 15,2 2002 III 3 17,7 IV 4 20,6 I 5 19,5 II 6 15,4 2003 III 7 18,5 IV 8 21,5 I 9 20,6 II 10 16,5 2004 III 11 19,3 IV 12 22,7 I 13 21,1 II 14 17,7 2005 III 15 21,5 IV 16 24,4 Como se puede observar, en el ejemplo hay una presencia clara de variaciones estacionales, de forma que dentro de cada año, aunque los precios no son iguales a los de los correspondientes trimestres del resto, su comportamiento es similar: en el primero y último trimestre los precios son mayores que en el segundo y tercero. Igualmente, el último trimestre es siempre mayor que el primero y el tercero mayor que el segundo. Lo que se pretende con el cálculo de los índices de variación estacional es tener una medida generalizada y en términos relativos del comportamiento de cada uno de los períodos considerados. Su obtención por medio del método de las medias móviles consiste en: 1. Obtener las medias móviles, usando tantos valores como períodos considerados dentro del año. Si el número de períodos dentro del año es par, las medias móviles no estarán centradas y si se representara 175 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I su valor, éste se encontraría entre dos períodos. Por eso, se tendrá que hallar medias móviles centradas utilizando la semisuma de las anteriormente obtenidas. En nuestro ejemplo, como partimos de trimestres y dentro de cada año hay cuatro, se calcularán medias móviles de cuatro en cuatro (columna 4 de la tabla siguiente) para, posteriormente, obtener nuevas medias móviles (centradas) a partir de las anteriores, de dos en dos (columna 5). AÑO t Yi M.M. M.M.C. R.M.M. 1 19,5 2 15,2 2002 18,250 3 17,7 18,250 18,250 96,99 4 20,6 18,300 18,275 112,72 5 19,5 18,500 18,400 105,98 6 15,4 2003 18,725 18,613 82,74 7 18,5 19,000 18,863 98,08 8 21,5 19,275 19,138 112,34 9 20,6 19,475 19,375 106,32 10 16,5 2004 19,775 19,625 84,08 11 19,3 19,900 19,838 97,29 12 22,7 20,200 20,050 113,22 13 21,1 20,750 20,475 103,05 14 17,7 2005 21,175 20,963 84,43 15 21,5 16 24,4 2. A partir de las medias móviles centradas (columna 5), se obtienen las razones de las medias móviles que relacionan los valores reales de la variable con las medias móviles centradas (columna 6): valor original Razón medias móviles  media móvil centrada 3. Ordenando las razones de las medias móviles por períodos, se obtendrán los índices de variación estacional calculando la media para cada período. I II III IV 2002 96,99 112,72 2003 105,98 82,74 98,08 112,34 2004 106,32 84,08 97,29 113,22 2005 103,05 84,44 I.G.V.E. 105,12 83,75 97,45 112,75 176 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES En el ejemplo, se obtendrá la media de las razones de las medias móviles para cada uno de los trimestres, resultando así los índices generales de variación estacional (E). Lógicamente, la media de los índices de variación estacional en el año será igual a 100, por lo que la suma de todos los índices será igual a tantos períodos como se haya considerado multiplicado por 100. Como hay cuatro trimestres, la suma de los índices de variación estacional será igual a 400. Si por razones de redondeo dicha suma no fuese exactamente 400, se podría conseguir dicho valor mediante una simple regla de tres. Si las razones de las medias móviles no tienen un comportamiento similar en igual período en la mayoría de los años considerados, no tiene sentido obtener los índices generales de variación estacional, ya que significaría que su influencia dentro de la tendencia de la serie no es grande. En tal caso nos conformaríamos con la columna RMM como índices estacionales definitivos. 8.4.2.- Desestacionalización Desestacionalizar es el proceso de suprimir la influencia de las variaciones estacionales en una serie cronológica, dividiendo cada valor de la serie por el índice de variación estacional unitario correspondiente. Yi Y Yd   i I.G.V.E. E Por tanto, en nuestro ejemplo, AÑO t Yi E (I.G.V.E.) Yd 2002 1 19,5 1,0512 18,55 2 15,2 0,8375 18,15 3 17,7 0,9745 18,16 4 20,6 1,1275 18,27 2003 5 19,5 1,0512 18,55 6 15,4 0,8375 18,39 7 18,5 0,9745 18,98 8 21,5 1,1275 19,07 2004 9 20,6 1,0512 19,60 10 16,5 0,8375 19,70 11 19,3 0,9745 19,80 12 22,7 1,1275 20,13 2005 13 21,1 1,0512 20,07 14 17,7 0,8375 21,13 15 21,5 0,9745 22,06 16 24,4 1,1275 21,64 177 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I Con la serie cronológica desestacionalizada se debe obtener la tendencia, ya que en dicha serie se ha eliminado la influencia de las variaciones estacionales, evitando así las fluctuaciones que se producían dentro de cada año debido a aquéllas (es más suave Yd que Yi, por lo que el ajuste será más adecuado). En resumen, en el análisis de series temporales calculamos primero la componente estacional y posteriormente la tendencial mediante el ajuste Yd = f(t). En nuestro ejemplo, el cálculo de la tendencia se haría de la siguiente forma: 1. Habría que representar gráficamente la serie desestacionalizada, Yd, para decidir el tipo de función de ajuste. En nuestro caso, la simple lectura de sus valores nos sugiere un ajuste lineal. 2. Se realizan los cálculos necesarios, que son los que aparecen en la siguiente tabla. Se ha cambiado el período base con el fin de simplificar los cálculos. t Yd t´2 Yd*t 1 -7 18,55 49 -129,85 2 -6 18,15 36 -108,90 3 -5 18,16 25 -90,80 4 -4 18,27 16 -73,08 5 -3 18,55 9 -55,65 6 -2 18,39 4 -36,78 7 -1 18,98 1 -18,98 8 0 19,07 0 0 9 1 19,60 1 19,60 10 2 19,70 4 39,40 11 3 19,80 9 59,40 12 4 20,13 16 80,52 13 5 20,07 25 100,35 14 6 21,13 36 126,78 15 7 22,06 49 154,42 16 8 21,64 64 173,12 8 312,27 344 239,55 3. Mediante las dos ecuaciones siguientes se obtendrán a y b: 312,27  16 a  8  b 239,55  8  a  344  b 178 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES Por tanto, a = 19,39 y b = 0,24. La tendencia de la serie, en base a los datos desestacionalizados, será: Y  19,39  0,24t Si sustituimos t por su valor, el resultado será el valor de la variable Y teórica desestacionalizado (Tendencia). t Yd T (Yd teórica) E (I.G.V.E.) -7 18,55 17,72 1,0512 -6 18,15 17,96 0,8375 -5 18,16 18,20 0,9745 -4 18,27 18,44 1,1275 -3 18,55 18,68 1,0512 -2 18,39 18,92 0,8375 -1 18,98 19,16 0,9745 0 19,07 19,40 1,1275 1 19,60 19,64 1,0512 2 19,70 19,88 0,8375 3 19,80 20,12 0,9745 4 20,13 20,36 1,1275 5 20,07 20,60 1,0512 6 21,13 20,84 0,8375 7 22,06 21,08 0,9745 8 21,64 21,32 1,1275 8.4.3.- Predicciones Para predecir el comportamiento de los precios del producto en los cuatro trimestres de 2006, se sustituye t por sus valores en dicho año. Hecho esto, se estacionalizará multiplicando por los índices generales de variación estacional correspondientes: AÑO 2006 t T E Previsiones de Y = TE I 9 21,56 1,0512 22,66 II 10 21,80 0,8375 18,26 III 11 22,04 0,9745 21,48 IV 12 22,28 1,1275 25,12 179 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I 8.5.- MOVIMIENTOS CÍCLICOS Como ya se indicó, son movimientos recurrentes, ascendentes o descendentes, que se extienden a períodos de tiempo más largos (dos o más años), con período no constante. En las series temporales de tipo económico y social corresponden a estados de prosperidad y depresión, de tensión y de crisis, cuyo conjunto forma el ciclo económico. Así como la tendencia y las variaciones estacionales tienen métodos para su medición que son aceptados generalmente, los movimientos cíclicos no los tienen, debido a que si bien aquellas componentes suelen tener un carácter sistemático, la cíclica no siempre lo tiene. Así y todo, vamos a exponer un método que puede ser válido para su medición, siguiendo con el diseño multiplicativo I, una vez obtenida la tendencia y las variaciones estacionales: 1. A partir del diseño multiplicativo I, se despeja C*I. Por tanto, tendríamos: Yi Y CI   d T E T 2. Los índices de los movimientos cíclicos se obtendrán a través de las medias móviles calculadas en períodos de tres en tres. En nuestro ejemplo: Yi Yd T C*I C 19,5 18,55 17,72 104,67 15,2 18,15 17,96 101,06 101,83 17,7 18,16 18,20 99,77 99,97 20,6 18,27 18,44 99,09 99,38 19,5 18,55 18,68 99,29 98,51 15,4 18,39 18,92 97,16 98,51 18,5 18,98 19,16 99,09 98,19 21,5 19,07 19,40 98,31 99,05 20,6 19,60 19,64 99,76 99,06 16,5 19,70 19,88 99,10 99,09 19,3 19,80 20,12 98,42 98,80 22,7 20,13 20,36 98,87 98,25 21,1 20,07 20,60 97,46 99,25 17,7 21,13 20,84 101,43 101,19 21,5 22,06 21,08 104,67 102,53 24,4 21,64 21,32 101,50 180 LECCIÓN 8. SERIES TEMPORALES 8.6.- MOVIMIENTOS IRREGULARES Los efectos de factores accidentales e irregulares, que son los movimientos o variaciones aleatorios, se encuentran entremezclados con los movimientos más o menos regulares. Este elemento es un cajón de sastre para las consecuencias de sucesos catastróficos, para los efectos de sucesos secundarios, igualmente fortuitos, aunque menos violentos en su incidencia, que influyen sobre el valor de la variable en cualquier fecha dada, modificando los efectos de los movimientos a largo plazo y de los factores estacionales y cíclicos. El valor observado en un momento cualquiera es el resultante del juego de todas las fuerzas citadas. Para su estimación se dividirá C*I por los índices obtenidos para los movimientos cíclicos: CI I C El coeficiente obtenido se interpretará de forma que mientras más próximo a uno se encuentre menor será el residuo o perturbación. En nuestro ejemplo: Yi C*I C I 19,5 104,67 15,2 101,06 101,83 99,24 17,7 99,77 99,97 99,80 20,6 99,09 99,38 99,71 19,5 99,29 98,51 100,79 15,4 97,16 98,51 98,63 18,5 99,09 98,19 100,92 21,5 98,31 99,05 99,25 20,6 99,76 99,06 100,71 16,5 99,10 99,09 100,01 19,3 98,42 98,80 99,62 22,7 98,87 98,25 100,63 21,1 97,46 99,25 98,20 17,7 101,43 101,19 100,24 21,5 104,67 102,53 102,09 24,4 101,50 Finalmente presentamos una tabla resumen del ejemplo 8.2 181 CAPÍTULO 8. SERIES TEMPORALES CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE LA SERIE CRONOLÓGICA DEL EJEMPLO AÑOS TR. t Yi M.M. M.M.C. R.M.M. E Yd t2 Yd*t T C*I C I 2002 I -7 19,5 1,0512 18,55 49 -129,85 17,72 104,67 II -6 15,2 18,250 0,8375 18,15 36 -108,90 17,96 101,06 101,83 99,24 III -5 17,7 18,250 18,250 96,99 0,9745 18,16 25 -90,80 18,20 99,77 99,97 99,80 IV -4 20,6 18,300 18,275 112,72 1,1275 18,27 16 -73,08 18,44 99,09 99,38 99,71 2003 I -3 19,5 18,500 18,400 105,98 1,0512 18,55 9 -55,65 18,68 99,29 98,51 100,79 II -2 15,4 18,725 18,613 82,74 0,8375 18,39 4 -36,78 18,92 97,16 98,51 98,63 III -1 18,5 19,000 18,863 98,08 0,9745 18,98 1 -18,98 19,16 99,09 98,19 100,92 IV 0 21,5 19,275 19,138 112,34 1,1275 19,07 0 0 19,40 98,31 99,05 99,25 2004 I 1 20,6 19,475 19,375 106,32 1,0512 19,60 1 19,60 19,64 99,76 99,06 100,71 II 2 16,5 19,775 19,625 84,08 0,8375 19,70 4 39,40 19,88 99,10 99,09 100,01 III 3 19,3 19,900 19,838 97,29 0,9745 19,80 9 59,40 20,12 98,42 98,80 99,62 IV 4 22,7 20,200 20,050 113,22 1,1275 20,13 16 80,52 20,36 98,87 98,25 100,63 2005 I 5 21,1 20,750 20,475 103,05 1,0512 20,07 25 100,35 20,60 97,46 99,25 98,20 II 6 17,7 21,175 20,963 84,43 0,8375 21,13 36 126,78 20,84 101,43 101,19 100,24 III 7 21,5 0,9745 22,06 49 154,42 21,08 104,67 102,53 102,09 IV 8 24,4 1,1275 21,64 64 173,12 21,32 101,50 184