Mécanique du point matériel - Cours PDF

MECANIQUE DU POINT MATERIEL CHAPITRE 1 : - Système de coordonnées. - Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel). CHAPITRE 2 : Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel. CHAPITRE 3 : T...

MECANIQUE DU POINT MATERIEL CHAPITRE 1 : - Système de coordonnées. - Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel). CHAPITRE 2 : Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel. CHAPITRE 3 : Travail et énergie. CHAPITRE 4 : Les mouvements à force centrale. 1  Soit V  Vx i  Vy j  Vz k  Vz Vy   i j k  y z     Vz Vx rot V    V    (  ) x y z  x z Vx Vy Vz  Vy Vx  x  y i , j,k  C’est un vecteur.       x   Vx      V Vy Vz div V  . V  x  .  Vy     y    V  x y z    i , j,k  z    i , j,k  z  C’est un scalaire. CHAPITRE 1 : 5  A) SYSTEMES DE COORDONNEES Suivant la nature de la trajectoire d’une particule, sa position sera repérée par l’un des systèmes de coordonnées : cartésiennes, cylindriques ou sphériques. Soient R 0 (x 0 , y0 , z 0 ) un repère direct orthonormé de base ( i , j , k ) et M la particule à repérer. I] Système de coordonnées cartésiennes. Dans R0, la position de la particule M est donnée par ses trois coordonnées cartésiennes (x,y,z) telles que : x = abscisse de M ; y = ordonnée de M ; z = côte de M. x = Proj OM ; y = Proj OM ; z = Proj OM. Ox o Oyo Ozo z M y O x m Dans R0, le vecteur position s’écrit : 6  OM = Om+ mM = x i + y j + z k. Déplacement élémentaire. Le vecteur déplacement élémentaire MM' ( M ' est très voisin de M) s’écrit: MM ' = dOM =dM = dx i + dy j + dz k (Dans R0 : d i =d j =dk = 0) II] Systèmes de coordonnées cylindriques. Si la trajectoire du point M possède une symétrie axiale de révolution, il est intéressant d’utiliser les coordonnées cylindriques de ce point (  ,  ,z) définies comme suit : ρ = Om (m est la projection de M sur le plan (x oOyo ) ),   angle(Oxet 0 , Om z est) la projection du vecteur z position OM sur l’axe Ozo. M y O m x Une nouvelle base orthonormée directe (eρ ,e , k ) est associée à ce système de coordonnées telle que : 7  eρ = cos i + sin j e = sin i + cos j d eρ avec = e d d e et =  eρ. d Quand le point M décrit tout l’espace, les intervalles de variation de  ,  et z sont : 0 ≤  <  ; 0 ≤  ≤ 2 ;  < z <  Dans la base (eρ ,e , k ) , le vecteur position OM s’écrit : OM = Om+ mM = ρe + z k. Déplacement élémentaire: Le vecteur déplacement élémentaire MM' ( M ' très voisin de M) est: MM' = dOM = d M = dρe + ρd e + z k. Cas particulier: 8 Si la trajectoire de M est plane, ce point peut être repéré par ses coordonnées polaires  et . III] Système de coordonnées sphériques. Lorsque le problème présente une symétrie sphérique autour d’un point O que l’on prend pour origine du repère d’espace, il est pratique d’utiliser les coordonnées sphériques (r,  ,  ) de la particule à étudier telles que : r = OM ; θ = angle(Ozo ,OM) ;  = angle(Ox o ,Om). z M y O m x Quand M décrit tout l’espace, 0 ≤ r <  ; 0 ≤  ≤ 2 ; 0 ≤  ≤ . Une nouvelle base s’introduit alors : (er ,e ,e ) où 9  er = sinθ e + cosθ k = sinθcos i + sinθsin j + cosθ k e = cosθ e  sinθ k = cosθcos i + cosθsin j  sinθ k e = sin i + cos j Dans la base (er ,e ,e ) , le vecteur position s’écrit : OM  r e r. Déplacement élémentaire : Le déplacement élémentaire de la particule M en coordonnées sphériques est donné par: dOM= dr er + rdθe + r(sinθ)d e. B) CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL. 10  - L’objet de la cinématique est de décrire les mouvements d’une particule sans tenir compte des causes qui les produisent. - La description du mouvement d’une particule met en œuvre trois vecteurs : i) Le vecteur position. ii) Le vecteur vitesse. iii) Le vecteur accélération. - Le corps mobile sera appelé point matériel. On parle de point matériel lorsque les dimensions du mobile sont considérées négligeables dans les conditions du problème. - En mécanique classique, la vitesse V du point M est négligeable par rapport à la vitesse de la lumière dans le vide. I) Vecteur vitesse : a) Vitesse moyenne. Le vecteur vitesse moyenne d’une particule M qui se trouve à l’instant t1 en M1 et à l’instant t2 en M2 est donnée par: OM(t 2 )  OM(t1 ) OM 2  OM1 V m (M) = = t 2  t1 t 2  t1 b) Vitesse instantanée. Le vecteur vitesse instantanée de la particule M par rapport à un repère orthonormé R(O,xyz) est : OM(t  t)  OM(t) V(M / R) = lim V m (M)  lim t 0 t 0 t 11  d OM donc V(M / R) = |R dt c) Vitesse algébrique: Dans ce cas, c’est la trajectoire elle même qui sert à repérer le mobile à l’aide de l’abscisse curviligne s (ou coordonnée intrinsèque) du point M. Δs = arc (M(t)M(t+Δt)). z M(t) M(t+Δt) y O x Le vecteur vitesse est porté par le vecteur unitaire  tangent à la trajectoire. ds La vitesse algébrique de M est v =. dt Le vecteur vitesse instantanée peut donc s'écrire: ds V(M / R) = . dt 12 II) Vecteur accélération. La dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse ci-dessus donne le vecteur accélération, qui s'écrit comme suit : d 2s ds d   (M / R) = +. dt 2 dt dt Or d  d  dθ =. dt dθ dt et d =n dθ désigne le vecteur normal dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire du point M. Par ailleurs, nous avons, s = R c  et ds = R cd. donc dθ 1 ds v = =. dt R c dt R c Par conséquent, d v = n. dt R c Le vecteur accélération instantanée du point M s’écrit alors : 13  dv v 2  (M / R )   n  t   n n  t  n. dt Rc - La direction définie par le vecteur n est la normale principale en M à la trajectoire. - Le vecteur unitaire b =   n est appelé vecteur de la binormale. - Le repère (M;  , n, b) est le repère de Frenet-Serret. Hodographe du mouvement. Définition : L’hodographe d’un mouvement (noté (H)) est l’ensemble des point P tels que : A tout instant, OP = V(M / R) ; où O désigne le pôle de (H). a) Composantes des vecteurs vitesse et accélération. i) Coordonnées cartésiennes (x,y,z) Soit un référentiel R(O,xyz) fixe muni d’une base ( i , j , k ). Le vecteur position est : OM = x i + y j + z k. Le vecteur vitesse s’écrit alors : 14  dx dy dz... V (M / R )  i j k x i y jzk dt dt dt Les vecteurs unitaires i , j et k sont fixes dans le repère R, donc : di dj dk = = = 0. dt dt dt R R R Et l’accélération instantanée du point M s’écrit : d 2 x d 2 y d 2z......  (M / R )  2 i  2 j  2 k  x i  y j  z k dt dt dt ii) Coordonnées cylindriques (, , z) : Le vecteur position est OM   e   z k. Le vecteur déplacement élémentaire s’écrit : d OM  d e   d e   dz k. Le vecteur vitesse est alors : d OM dρ d dz V(M / R) = |R = e+ ρ e+ k. dt dt dt dt Ou bien... V (M / R )   e    e  z k Le vecteur accélération est: 15  dv  (M / R )  (M / R ) dt R... d e..... d e..   e      e    e    z k dt dt R R qui peut encore s'écrire:...2......  (M / R )  (    ) e  (  2  ) e  z k Remarque: Dans le cas d'un mouvement plan, nous avons z = 0 et le vecteur accélération s'écrit alors: ...2    composante radiale  (M / R ) ....  e ,e   2   composante orthoradiale iii) Coordonnées sphériques (r,θ,φ) La base associée à ce système de coordonnées est ( e r , e  , e  ). - Le vecteur position est OM = r e r et le vecteur déplacement élémentaire s'écrit : d OM = dr e r + rdθ e  + r(sinθ)d e . 16  - Le vecteur vitesse est alors: d OM dr dθ d V(M / R) = = e r + r e  + r(sinθ) e. dt dt dt dt R Ou.. V (M / R )  r er  r  e  r (sin )  e - Le vecteur accélération est:...2.....2 2  (M / R )  (r  r  sin ) er  (2 r  r  r  sin  cos ) e......  (2 r  sin   2r   cos   r  sin ) e b) Exemple de mouvements particuliers. 1) Mouvement circulaire. Dans ce cas, le mobile se déplace sur un cercle (C) de rayon R et de centre O. Ce cercle est situé dans le plan (xOy). Il alors préférable d'utiliser les coordonnées polaires (ρ,φ). 17 En coordonnées polaires, le vecteur position s'écrit: OM = ρ e  = R e  , le vecteur vitesse du point M est:. V ( M / R )  R  e , et le vecteur accélération est donné par:...2....  (M / R )  (    ) e  (  2  ) e.2..  R  e  R  e  Dans le cas où le mouvement circulaire est uniforme, nous avons:. φ = ωt et    , le vecteur vitesse de M devient alors: V(M / R) = Rω e  , et le vecteur accélération se réduit à: 2  (M / R) = Rω e . L'accélération du point M est alors normale à sa trajectoire (l'accélération tangentielle est nulle, car le module du vecteur vitesse est constant). En coordonnées intrinsèques, arc(M 0M)  s  R( t ) , 18 d'où ds. V (M / R )    R  , dt et l'accélération est d 2s V 2...2  (M / R )  2   n  R   R n dt Rc et  (M / R) = γ t e   γ n e  , Donc e =  et e =  n. Remarque: Le vecteur vitesse peut aussi s'écrire: V(M / R) =  OM = ω k  R e  = Rω e  = Rω . CHANGEMENTS DE REFERENTIELS Soit à étudier le mouvement d’une particule M par rapport à un repère fixe R, appelé repère absolu. Il est parfois intéressant d’introduire un second repère R’, dit repère relatif, par rapport au quel le mouvement de M soit simple à étudier. Soient, 19 - R(O,xyz) un repère absolu (repère fixe). - R’(O’,x’y’z’) un repère relatif (repère mobile par rapport à R). R’ R R’ peut être animé d’un mouvement de translation et/ou de rotation par rapport à R. La rotation de R’ par rapport à R se fait avec une vitesse angulaire (R '/ R) telle que : Dans le repère R, 20   d i'  dt   (R '/ R)  i '  R    d j'    (R '/ R)  j'  dt  R  d k '  dt   (R '/ R)  k '  R et di d j dk = = =0 dt dt dt R R R 1) Dérivation en repère mobile. Soit A un vecteur quelconque. Dans le repère R, ce vecteur s’écrit A = x i +y j+z k. Dans le repère R’ le vecteur A s’écrit, A = x ' i' + y' j'+ z'k '. 21  dA... x i y jzk dt. d i'. d j'. d k'  x ' i'  x '  y' j'  y'  z' k '  z' dt dt dt R R R qui peut s’écrire aussi, dA...  x ' i'  y' j'  z' k '   (R ' / R )  ( x ' i'  y' j'  z' k ' ) dt Ou dA dA   (R '/ R)  A dt dt R R' 2) Composition des vitesses Soient R(O,xyz) un repère absolu et R '(O', x ' y'z') un repère relatif. 22 Les vecteurs positions de la particule M dans les repères R et R ' sont, respectivement : OM  r et OM'  r '. On peut écrire, OM  OO' O'M. La vitesse absolue du point M est alors, d OM d OO' d O'M Va (M) = V(M / R) = = + dt dt dt R R R d OO' d O'M Va (M) = + + (R'/R)  O'M dt dt R R' La vitesse relative du point M est : d O'M V(M / R ')  Vr (M)  dt R' La vitesse d’entraînement de M s’écrit : d OO' Ve (M) = + (R'/R)  O'M. dt R 23 La vitesse d’entraînement de M est la vitesse absolu du point (imaginaire) qui coïncide avec M à l’instant t et supposé fixe dans le repère R '. On peut aussi noter la vitesse d’entraînement de M comme suit, d OM Ve (M) = (M fixe dans R'). dt R Nous aurons donc, Va (M) = Vr (M) + Ve (M). 3) Composition des accélérations. L’accélération absolue du point M est, 2 d OM d Va γ a (M) =  (M / R) = 2 =. dt dt R R d(Vr (M)  Ve (M))  a (M)  dt R   d  d OO' d Vr (M)       (R '/ R)  O'M  dt dt dt R  R  R 24  d Vr (M) d Vr (M)  = + (R'/R)  Vr =  r (M) + (R'/R)  Vr dt dt R R' d d (R'/R) d O'M * ( (R'/R)  O'M) =  O'M+ (R'/R)  dt R dt dt R Par conséquent l’accélération absolue s’écrit, γ a (M) = γ r (M) + 2 (R'/R)  Vr (M) + d 2 OO' d (R'/R) |R +  O'M+ dt 2 dt (R'/R)  ( (R'/R)  O'M) où 2 d OO' d (R'/R) |R +  O'M+ (R'/R)  ( (R'/R)  O'M) = γe (M) , dt 2 dt désigne l’accélération d’entraînement, et 2 (R'/R)  Vr (M) = γc (M) est l’accélération de Coriolis ou complémentaire. Nous écrivons alors γa (M) = γ r (M) + γe (M) + γ c (M). 25 Cas particulier : Quand le repère R’ est en translation par rapport à R, (R '/ r)  0 et par conséquent Va (M) = Vr (M) + Va (O') et γa (M) = γ r (M) + γa (O'). Si en plus, R’ est en translation uniforme par rapport à R, Va (O') = cte et γa (M) = γ r (M). 26