Physique 1 : Mécanique du Point - Polycopié PDF

Université des Sciences et de la Technologie d’Oran FACULTÉ DE P HYSIQUE D ÉPARTEMENT DE G ÉNIE P HYSIQUE Polycopié P HYSIQUE 1 : M ÉCANIQUE DU P OINT Rappels de cours & Exercices résolus Elaboré par : Dr. Larbi KAHAL Maî...

Université des Sciences et de la Technologie d’Oran FACULTÉ DE P HYSIQUE D ÉPARTEMENT DE G ÉNIE P HYSIQUE Polycopié P HYSIQUE 1 : M ÉCANIQUE DU P OINT Rappels de cours & Exercices résolus Elaboré par : Dr. Larbi KAHAL Maître de conférences B, USTO Année Universitaire : 2016/2017  Table des matières AVANT-PROPOS 5 1 Rappels mathématiques 6 1.1 Rappel............................................. 6 1.1.1 Les unités....................................... 6 1.1.2 Les équations aux dimensions........................... 6 1.1.3 Calcul d’erreurs.................................... 7 1.1.3.1 Cas d’une addition............................. 7 1.1.3.2 Cas d’une multiplication......................... 7 1.1.4 Les vecteurs...................................... 8 1.1.4.1 Représentation graphique d’un vecteur et vecteur unitaire..... 8 1.1.4.2 Composantes d’un vecteur........................ 8 1.1.4.3 Produit scalaire............................... 8 1.1.4.4 Produit vectoriel.............................. 9 1.2 Exercices résolus....................................... 9 1.2.1 Exercice 1....................................... 9 1.2.2 Exercice 2....................................... 10 1.2.3 Exercice 3....................................... 11 1.2.4 Exercice 4....................................... 12 1.3 Exercices supplémentaires sans solution......................... 13 1.3.1 Exercice 5....................................... 13 1.3.2 Exercice 6....................................... 13 1.3.3 Exercice 7....................................... 13 1.3.4 Exercice 8....................................... 13 2 Cinématique du point 15 2.1 Rappel............................................. 15 2.1.1 Mouvement rectiligne................................ 15 2.1.1.1 Mouvement rectiligne uniforme..................... 15 2.1.1.2 Mouvement uniformément varié.................... 16 1  2.1.1.3 Mouvement rectiligne sinusoïdal.................... 17 2.1.2 Mouvement dans le plan.............................. 17 2.1.2.1 Coordonnées cartésiennes........................ 17 2.1.2.2 Coordonnées polaires........................... 18 2.1.3 Mouvement dans l’espace.............................. 19 2.1.3.1 Coordonnées cartésiennes........................ 19 2.1.3.2 Coordonnées cylindriques........................ 19 2.1.3.3 Coordonnées sphériques......................... 20 2.1.3.4 Base de Frenet............................... 21 2.1.4 Etude du mouvement dans différents systèmes................. 21 2.1.5 Mouvement relatif.................................. 24 2.1.5.1 Les vitesses................................. 24 2.1.5.2 Les accélérations.............................. 24 2.2 Exercices résolus....................................... 24 2.2.1 Exercice 1....................................... 24 2.2.2 Exercice 2....................................... 25 2.2.3 Exercice 3....................................... 25 2.2.4 Exercice 4....................................... 27 2.2.5 Exercice 5....................................... 28 2.2.6 Exercice 6....................................... 28 2.2.7 Exercice 7....................................... 29 2.2.8 Exercice 8....................................... 30 2.3 Exercices supplémentaires sans solution......................... 31 2.3.1 Exercice 9....................................... 31 2.3.2 Exercice 10....................................... 31 2.3.3 Exercice 11....................................... 32 2.3.4 Exercice 12....................................... 32 3 Dynamique du point 34 3.1 Rappel............................................. 34 3.1.1 Le principe d’inertie et les référentiels galiléens................. 34 3.1.2 Le principe de conservation de la quantité de mouvement.......... 34 3.1.3 Définition, applications : choc élastique, choc inélastique........... 35 3.1.3.1 Collisions élastiques............................ 35 3.1.3.2 Collisions inélastiques........................... 35 3.1.4 Définition newtonienne de la force (3 lois de Newton)............. 35 2  3.1.4.1 Principe d’inertie.............................. 36 3.1.4.2 Principe fondamental de la dynamique................. 36 3.1.4.3 Principe d’action et de réaction..................... 36 3.1.5 Quelques lois de force................................ 37 3.1.5.1 Loi de force................................. 37 3.1.5.2 Les forces.................................. 37 3.1.5.2.1 Force de gravitation newtonienne............... 37 3.1.5.2.2 Réaction du support....................... 38 3.1.5.2.3 Force de frottement....................... 38 3.1.5.2.4 Force élastique.......................... 39 3.2 Exercices résolus....................................... 40 3.2.1 Exercice 1....................................... 40 3.2.2 Exercice 2....................................... 41 3.2.3 Exercice 3....................................... 42 3.2.4 Exercice 4....................................... 43 3.2.5 Exercice 5....................................... 44 3.3 Exercices supplémentaires sans solution......................... 45 3.3.1 Exercice 6....................................... 45 3.3.2 Exercice 7....................................... 45 4 Travail et énergie dans le cas d’un point matériel 47 4.1 Rappel............................................. 47 4.1.1 Travail d’une force.................................. 47 4.1.2 Force conservative.................................. 47 4.1.3 Energie cinétique................................... 48 4.1.4 Théorème de l’énergie cinétique.......................... 48 4.1.5 Energie potentielle.................................. 48 4.1.6 Energie mécanique (totale)............................. 48 4.1.7 Théorème de l’énergie potentielle......................... 49 4.1.8 Principe de conservation de l’énergie mécanique................ 49 4.1.9 Forces non conservatives.............................. 49 4.2 Exercices résolus....................................... 49 4.2.1 Exercice 1....................................... 49 4.2.2 Exercice 2....................................... 51 4.2.3 Exercice 3....................................... 52 4.3 Exercices supplémentaires sans solution......................... 53 3  4.3.1 Exercice 4....................................... 53 4.3.2 Exercice 5....................................... 53 4.3.3 Exercice 6....................................... 54 4.3.4 Exercice 7....................................... 54 5 Examens finaux 55 5.1 L1, LMD ST-SM, 2007-2008, Durée 2h........................... 55 5.2 L1, LMD ST-CHIMIE, Février 2013, Durée 1h45..................... 59 5.3 L1, LMD SM, 2013-2014, Durée 2h............................. 61 5.4 Examens finaux supplémentaires sans solution..................... 64 5.4.1 L1, LMD ST-SM, 2008-2009, Durée 2h....................... 64 5.4.2 L1, LMD SM-ST, 2010, Durée 1h45......................... 66 5.4.3 L1, LMD ST, 2010-2011, Durée 1h45........................ 67 4  AVANT-PROPOS Ce polycopié est destiné aux étudiants de première année du système Licence-Master-Doctorat (L.M.D), spécialité : Sciences de la Matière (SM) et Sciences et Technologie (S.T). Il comporte un rappel de cours et des exercices résolus sur les différents chapitres du module de Physique 1 (Mécanique du point). Les sujets des examens finaux, qui ont été faits entre 2007 et 2013 à l’Université des Sciences et de la Technologie (USTO) avec les corrections respectives, sont dis- posés. Le rappel de cours a été introduit afin de mettre en exergue les notions de base de la Mécanique du Point permettant ainsi la compréhension des exercices de Travaux Dirigés. Tous les exercices de mécanique du point qui sont abordés en Travaux Dirigés le long d’une dizaine d’années sont regroupés dans ce fascicule. En plus des exercices avec solutions détaillées, d’autres exercices sans solution sont également proposés. Les exercices proposés couvrent les quatre chapitres de cours de la mécanique du point (pro- gramme enseigné) : – Chap. 1 : Rappels mathématiques, – Chap. 2 : Cinématique du point, – Chap. 3 : Dynamique du point, – Chap. 4 : Travail et énergie dans le cas d’un point matériel. L’ensemble des exercices et examens résolus devrait permettre aux étudiants un entraine- ment efficace afin de faciliter la compréhension de cours et de consolider leurs connaissances. Comme pour tous les exercices autocorrectifs, les solutions profitent plus aux étudiants qui fournissent l’effort nécessaire pour réfléchir et essayer de résoudre les exercices proposés. Je dois souligner que ce document ne remplace en aucun cas le TD en présentiel. Je souhaite que ce recueil d’exercices et problèmes examens résolus de mécanique du point matériel puisse aider de manière efficace la majorité d’étudiants. Tout commentaire, proposition ou critique constructive permettant l’amélioration des textes ainsi élaborés sera recueillie avec grand intérêt. L. KAHAL 5  1 Rappels mathématiques 1.1 Rappel 1.1.1 Les unités L’étude des phénomènes physiques consiste à leurs associer des grandeurs. L’attribution à chaque valeur d’une grandeur un nombre est faite par la technique de la mesure. Mesurer une grandeur, c’est la comparer à une quantité de référence de même nature prise pour unité. D’une manière générale, on admet un système composé de six unités fondamentales (système SI) comme le résume le tableau suivant : Grandeur Masse Longueur Temps Intensité Température Intensité électrique lumineuse Symbole de M L T I θ J la grandeur Nom de l’unité kilogramme mètre seconde ampère degré Kelvin Candela ◦ Symbole de l’unité kg m s A K Cd Les quatre premières unités forment le système international MKSA. A l’aide de ces uni- tés fondamentales, on peut construire les unités dérivées : surface (m 2 ), vitesse (m.s −1 ), force (kg.m.s −2 ), etc. R EMARQUE : Dans le système CGS, les unités fondamentales sont le centimètre, le gramme et la seconde. 1.1.2 Les équations aux dimensions Une fois les unités fondamentales choisies, on détermine chaque unité dérivée par une relation. Si une quantité physique A est mesurée en (kg )α (m)β (s)γ , sa dimension est : [A] = M α L β T γ où M : Masse, L : Longueur et T : Temps Cette équation constitue l’équation aux dimensions de la grandeur A. R EMARQUE : une quantite physique est sans dimension si α = β = γ = 0 6 Rappels mathématiques Grandeur Formule de base Equations aux dimensions Surface Ll L2 Volume V = Ll h L3 Vitesse v = l /t LT −1 Accélération γ = v/t LT −2 Force f = mγ M L 2 T −2 Quantité de mouvement p = mv M LT −1 1.1.3 Calcul d’erreurs Toute mesure est entachée d’une certaine incertitude qui peut être due : ◃ aux erreurs de manipulation de l’expérimentateur, ◃ aux imperfections de l’instrument de mesure, ◃ aux perturbations causées au système par la mesure, etc. La mesure exacte est inaccessible. Le résultat d’une mesure est donné par un nombre détermi- né de chiffres. La confiance dans le dernier chiffre significatif est précisée par un nombre : l’in- certitude absolue ∆x. Ainsi, écrire x = x 0 ± ∆x équivaut à : x 0 − ∆x ≤ x ≤ x 0 + ∆x. ∆x L’incertitude relative x0 d’une mesure est le rapport de l’incertitude absolue ∆x à la mesure x 0. C’est un nombre sans dimension. Dans une manipulation, il s’agit d’apprécier les erreurs absolues commises sur chaque gran- deur mesurée et ensuite, à l’aide d’un calcul, de déterminer l’erreur absolue et relative globale. 1.1.3.1 Cas d’une addition On calcule l’erreur absolue : c’est le principe d’une dérivée simple : { ◃ si X = A + B ⇒ d X = d A + d B ⇒ ∆X = ∆A + ∆B , les erreurs s’ajoutent au pire des ◃ si X = A − B ⇒ d X = d A − d B cas. 1.1.3.2 Cas d’une multiplication On calcule l’erreur relative : c’est le principe d’une dérivée logarithmique : (dérivée de ln X = dXX ) ◃ si X = A.B ⇒ ln X = ln A + ln B ⇒ dXX = dAA + dBB ∆X ∆A ∆B Alors : X = A + B. ◃ si X = A.B C ⇒ ln X = ln A + ln B − lnC ⇒ dXX = dAA + dBB − dC C ∆X ∆A ∆B ∆C Alors : X = A + B + C , les erreurs s’ajoutent au pire des cas. 7  Rappels mathématiques R EMARQUE : Nous écrivons toujours le résultat d’une mesure sous la forme : Z = (Z0 ± ∆Z )u Z0 : valeur exacte ; Z : valeur approchée ; ∆Z : incertitude absolue ; u : unité de la grandeur. 1.1.4 Les vecteurs Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité corres- pondante. Exemple : le volume, la masse, l’énergie, etc. On appelle grandeur vectorielle tout grandeur qui nécessite un sens, une direction, un point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité ou module. Exemple : le déplacement, la vitesse, la force, etc. 1.1.4.1 Représentation graphique d’un vecteur et vecteur unitaire Un vecteur est représenté par un segment orienté. → −a : représente le vecteur → − → − (avec ses quatre caractéristiques). ∥ a ∥ = | a | = a : représente le module ou l’in- tensité du vecteur. Le vecteur unitaire → − u est un vecteur de module égal à l’unité (le nombre un). On peut exprimer un vecteur parallèle au vecteur unitaire sous la forme : → − a =→− u a = a→ − u. 1.1.4.2 Composantes d’un vecteur Les trois projections OM, ON, OP d’un vecteur → − a sur les trois axes de coordonnées Oxyz peuvent être considérées comme → − → − → − trois vecteurs X , Y , Z portés respectivement par ces trois axes, dont le sens et les grandeurs sont définis par les trois nombres algébriques X, Y et Z. On montre facilement que le → − → − → − vecteur → − a est la somme des trois vecteurs X , Y , Z. → − → − →− →− a = X +Y +Z → − → − → − Les trois vecteurs X , Y , Z s’appellent les 3 composantes du vecteur → − a. 1.1.4.3 Produit scalaire 8 Rappels mathématiques → − On appelle produit scalaire de deux vecteurs → −a et b , faisant entre eux → − l’angle θ, et représenté par la relation m = → − a. b (scalaire), la quantité : → − m = a.b. cos θ = |→ − a |.| b |. cos θ → − → − − Le produit scalaire est commutatif : → − a. b = b.→ a. On conçoit facilement d’après la définition → − → − → − que a. a = a 2 = a 2. 1.1.4.4 Produit vectoriel → − On appelle produit vectoriel d’un vecteur libre →− a par un vecteur libre b et → − qu’on note : → − p =→ − a ∧ b , un vecteur libre → −p , perpendiculaire au plan des →− → − − vecteurs a et b , de sens tel que le trièdre → → − −a, b,→ p soit direct et dont la grandeur est donnée par : p = a.b. sin θ. Le module de → − p correspond donc à l’aire du parallélogramme construit →− sur les deux vecteurs → − a et b. 1.2 Exercices résolus 1.2.1 Exercice 1 Donner la dimension et les unités dans le Système International (SI) des grandeurs suivantes : 1. Longueur, 2. Temps, 3. Masse, 4. Vitesse, 5. Accélération, 6. Force, 7. Quantité du mouvement, 8. Energie (Travail), 9. Puissance, 10. Masse volumique, 11. Pression, 12. Charge électrique, 13. constante de raideur k, 14. Champ électrique E. C ORRIGÉ : G RANDEUR D IMENSION U NITÉ Longueur L mètre (m) Temps T seconde (s) Masse M kilogramme (kg ) dx −1 Vitesse v= dt ⇒ [v] = LT m/s Accélération γ= dv dt ⇒ [γ] = LT −2 m/s 2 Force F = mγ ⇒ [F ] = M LT −2 Newton (N ) Quantité du mouvement p = mv ⇒ [p] = M LT −1 kg.m/s 9  Rappels mathématiques Energie (Travail) E = F L ⇒ [E ] = M L 2 T −2 Joule (J ) Puissance P = Et ⇒ [P ] = M L 2 T −3 Watt (w) Masse volumique ρ=m ∨ ⇒ [ρ] = M L −3 kg /m 3 Pression P r = FS ⇒ [P r ] = M L −1 T −2 Pascal (P a) dq Charge électrique I = d t ⇒ [q] = I T Coulomb (C ) −2 Constante de raideur k F = kx ⇒ [k] = M T N /m −1 −3 Champ électrique E F = qE ⇒ [E ] = M LI T Volt/mètre (V /m) 1.2.2 Exercice 2 ⊗ La période du pendule simple est donnée par la relation suivante : T = 2πl α g β l : la longueur du pendule, g : la gravitation. 1. Déterminer les constantes α, β. 2. On donne T = (2.002±0.001) s, l = (1.00±0.02) m. Donner l’expression de g , puis sa valeur numérique. 3. Donner l’expression de l’incertitude absolue sur g , puis sa valeur numérique. C ORRIGÉ : 1) T = 2πl α g β ⇒ [T ] = [l ]α [g ]β ⇒ [T ] = L α+β T −2β { α+β = 0 Par superposition : ⇒ α = 12 et β = − 21 −2β = 1 √ Donc : T = 2π gl 2) g = 4π2 Tl 2 A.N. : g = 9.85m/s 2 3) On utilise la méthode de différentiel logarithmique : i) On prend le logarithme népérien de l’expression de g : ln g = ln 4π2 + ln l − 2 ln T ii) On prend la différentielle de l’expression précédente d (ln g ) = d (ln 4π2 ) + d (ln l ) − 2d (ln T ) 10 Rappels mathématiques dg On trouve : g = dll − 2 dTT iii) On remplace par d par ∆ et on prend les valeurs absolues des coefficients de ∆l et ∆T car cela correspond à la valeur maximale que l’on peut avoir sur l’incertitude. ∆l ∆T ∆g = g ( +2 ) l T A.N. : ∆g = 0.21m/s 2 1.2.3 Exercice 3 →− → − → − → − → − → − → − → − → − →− Soit trois vecteurs A , B , C tel que ∥ A ∥ = 3, ∥ B ∥ = ∥ C ∥ = 2, φ1 = ( A , B ) = π3 et φ2 = ( A , C ) = π4 → − → − → − 1) Déterminer les composantes des vecteurs A , B , C. → − → − → − → − →− → − 2) Déterminer A + B , A − B et B + C , en donnant les compo- santes, le module et la représentation graphique. → − → − 3) Déterminer de deux façons A. B. → − → − → − → − →− →− → − → − → − → − → − → − 4) Déterminer A Λ B , A Λ C , C Λ B , A.( B Λ C ), B Λ( A Λ C ). → − →− 5) Déterminer l’aire formée par A et B. C ORRIGÉ : → − → − → − → − → − → − − p → → − 1) Les composantes : A = 3 i , B = ∥ B ∥(cos φ1 i + sin φ1 j ) = i + 3 j → − → − → − → − p →− p → − C = ∥ C ∥(cos φ2 i − sin φ2 j ) = 2 i − 2 j → − → − − p → → − → − → − p → − → − − p → → − → − → − p 2) A + B = 4 i + 3 j , ∥ A + B ∥ = 19 ; A − B = 2 i − 3 j , ∥ A − B ∥ = 7 p → p p → √ p p → − → − − − → − → − B + C = (1 + 2) i + ( 3 − 2) j ; ∥ B + C ∥ = 8 + 2 2(1 − 3) → − →− →− → − 3) Première méthode : A. B = ∥ A ∥∥ B ∥ cos φ1 = 3 → − →− Deuxième méthode : A. B = A x B x + A y B y = 3 ¯ → − ¯¯ → ¯ − →− ¯ i j k ¯ 4) → − → − ¯ ¯ p →− → − → − p → − A Λ B == ¯¯ 3 0 0 ¯¯ = 3 3 k. Suivant la même procédure, on obtient : A Λ C = −3 2 k ¯ p ¯ ¯ 1 3 0 ¯ → − → − p p → − → − → − → − → − → − →− p → − p → − B Λ C = −( 2 + 6) k , A.( B Λ C ) = 0, B Λ( A Λ C ) = −3 6 i + 3 2 j → − → − p → − → − 5) L’aire formée par A et B : Ai r = | A Λ2 B | = 3 2 3 11  Rappels mathématiques 1.2.4 Exercice 4 On donne les points A(1, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 0, −1) 1) Représenter les pointes A, B et C. −→ 2) Déterminer les composantes du vecteur ( AB ), en déduire son module. −→ 3) Déterminer les cosinus directeurs de vecteur AB , quelle relation importantes vérifiant ils ? −→ 4) Déterminer les composantes du vecteur unitaire porté par le vecteur ( AB ), quelles sont ses particularités ? −→ 5) Déterminer les composantes du vecteur (BC ), en déduire son module. −→ −→ 6) Déterminer l’angle formé entre les vecteurs ( AB ) et (BC ). C ORRIGÉ : 1) Représentation des pointes A, B et C −→ 2) Le vecteur ( AB ) et son module −→ → − → − → − → − → − AB = (x B −x A ) i +(y B −y A ) j +(z B −z A ) k = − i +2 j −→ p ∥ AB ∥ = 5 −→ 3) Les cosinus directeurs de ( AB )  −→→ −   cos θ = AB i =p−1   x ∥ − → ∥ 5  AB −→→ − AB j cos θ y = −→ = p2   ∥ AB ∥ 5   −→→−  cos θz = −→ = 0 AB k ∥ AB ∥ La relation entre les cosinus directeurs est : cos2 θx + cos2 θ y + cos2 θz = 1 −→ 4) Le vecteur unitaire porté par ( AB ) −→ → − → − → − AB − i +2 j →+ U −AB −→ = p ∥ AB ∥ 5 → − Les particularités de U −AB →: { → − ∥U −AB →∥ = 1 → − −→ U −AB → a le même sens et direction que ( AB ) −→ − → → − −→ p 5) BC = −2 j − k ; ∥BC ∥ = 5 12 Rappels mathématiques −→ −→ 6) L’angle formé par les vecteurs AB et BC : −→ −→ −á→ −→ AB.BC −4 cos( AB , BC ) = −→ −→ = ∥ AB ∥.∥BC ∥ 5 1.3 Exercices supplémentaires sans solution 1.3.1 Exercice 5 On donne : 1 1 L = F[ − ] k M ω2 où L désigne une longueur, k une constante de raideur, M une masse et ω une pulsation. 1) Vérifier l’homogénéité de l’expression précédente. 2) On donne ∆F , ∆k, ∆M et ∆ω en déduire l’incertitude absolue ∆L. 1.3.2 Exercice 6 La masse volumique ρ d’un cylindre de masse m, de rayon R et de longueur l est donnée par la relation suivante : mx ρ= πl y R 2 1) En utilisant les dimensions, trouver les deux constantes x et y. 2) En déduire l’expression exacte de la masse volumique ρ. 1.3.3 Exercice 7 → − → − − → → − On donne : → − u = i + j et → − v = j +k 1) Calculer le produit scalaire → − u.→ − v , en déduire l’angle θ formé par → − u et → − v. 2) Calculer le produit vectoriel → − u Λ→ −v , en déduire l’angle β formé par → − u et → − v. 3) Déterminer l’aire formée par → − u et → −v. 1.3.4 Exercice 8 → − → − → − → − → − On donne les vecteurs suivants : → − 3k → − et → − t i −3 j 3 i +t j w= t 2 +9 , v = p u= p. t 2 +9 t 2 +9 13  Rappels mathématiques 1) Montrer que → − u et →−v sont des vecteurs unitaires. → − → − 2) Calculer d u , d v , → dt dt − w Λ→ −u et → − w Λ→ −v. 14  2 Cinématique du point 2.1 Rappel La cinématique est l’étude des mouvements sans se préoccuper des causes responsables de ces mouvements (comme les forces par exemple, etc.). Le point matériel est tout corps matériel dont les dimensions son théoriquement nulles et pratiquement négligeables par rapport à la distance parcourue. L’état de mouvement ou de repos d’un corps sont deux notions essentiel- lement relatives : par exemple une montagne est au repos par rapport à la terre mais en mouve- ment par rapport à un observateur qui regarde la terre de loin et pour lequel le globe terrestre est en perpétuel mouvement. Le mouvement ne peut se définir que par rapport à un référentiel (ou un repère). L’étude du mouvement s’effectue selon l’une des deux formes : −−→ ( vectorielle–en utilisant les vecteurs : position OM , vitesse → − v , et accé- →− lération a. ( algébrique–en définissant l’équation du mouvement suivant une tra- jectoire donnée. Référentiel–solide par rapport auquel on décrit le mouvement d’un objet. Repère–base orthonormée directe qui définit trois directions et une origine du repère. Le repère peut être cartésien (O; → −e , → x −e , → y −e ), polaire, cylindrique, et sphériques. Le temps s’écoule z de la même façon dans tout le référentiel. 2.1.1 Mouvement rectiligne 2.1.1.1 Mouvement rectiligne uniforme Un mouvement d’un point matériel est dit rectiligne uniforme si  le point matériel se déplace à vecteur vitesse constant. → − −−→ Mouvement rectiligne uniforme ⇒ v = cst e   Le vecteur vitesse étant constant, le mouvement est recti- ligne car la vitesse est tangente à la trajectoire. La droite sur laquelle le point se déplace est assimilée à l’axe des x. 15  Cinématique du point L’équation différentielle du mouvement s’écrit alors : → − v = ẋ → − u x = C→ − u x ⇒ ẋ = C ce qui conduit à l’équation horaire suivante : x = C t + x0 2.1.1.2 Mouvement uniformément varié Un mouvement est dit rectiligne uniformément varié si le vecteur accélération est constant et la  trajectoire rectiligne.  −−→ Mouvement rectiligne uniformément varié ⇒ → − a = cst e et trajectoire rectiligne.   Si le mouvement est rectiligne, il est commode de se fixer comme axe du mouvement l’axe des x. On aura donc : −−→ OM = x → − u x ⇒→ − v = ẋ → − ux et → − a = ẍ → − u x = C→ − ux Par intégration de cette équation nous obtenons la vitesse du point M : v = ẋ = C t + B ce qui, par une nouvelle intégration, conduit à l’équation horaire du mouvement : 1 x = Ct2 +Bt +D 2 Les constantes B et D qui sont apparues dans les deux intégrations successives, sont détermi- nées par les conditions initiales du mouvement du point M. Ainsi, si le point M à une vitesse nulle et est en x = x 0 à t = 0, les constantes B et D deviennent B = 0 et D = x 0 et l’équation horaire du mouvement s’écrit alors : 1 x = C t 2 + x0 2 Remarques. Le mouvement est uniformément accéléré si la norme du vecteur vitesse est une fonction croissante de t , soit v 2 fonction croissante. La dérivée de v 2 doit donc être positive. La 16 Cinématique du point condition sera : dv2 dv 2 > 0 ⇒ 2v >0 dt dt L’étude du signe du produit de la vitesse par l’accélération permettra de préciser si le mouve- ment est accéléré (ẋ.ẍ > 0) ou retardé (ẋ.ẍ < 0). Avoir un vecteur accélération constant ne suffit pas pour dire que le mouvement est recti- ligne. Il faut aussi que le vecteur vitesse ait la même direction que le vecteur accélération. Dans le cas contraire, on obtient un mouvement parabolique. 2.1.1.3 Mouvement rectiligne sinusoïdal Le mouvement d’un point M est dit rectiligne sinusoïdal si, se produisant sur un axe Ox, l’abscisse x du point M s’écrit : x = X m cos(ωt + φ) Le terme ωt +φ est appelé phase à l’instant t avec φ la phase à l’origine des dates (t = 0). Le terme X m correspond à l’am- plitude du mouvement, x variant sinusoïdalement de −X m à X m comme le montre la figure ci-dessus. La vitesse a pour expression : v = ẋ = −ωX m sin(ωt + φ) et l’accélération : a = ẍ = −ω2 X m cos(ωt + φ) = −ω2 x L’équation différentielle du mouvement est donc : ẍ + ω2 x = 0 Cette équation correspond à l’équation différentielle du second ordre d’un oscillateur harmo- nique. 2.1.2 Mouvement dans le plan 2.1.2.1 Coordonnées cartésiennes 17  Cinématique du point Considérons un point M en mouvement dans un plan muni d’un re- père cartésien d’origine O et de base orthonormée (→ − u ,→ − u ). Les vec- x y teurs unitaires de la base cartésienne sont fixes par rapport au référen- tiel d’étude ℜ. Le vecteur position s’écrit : −−→ OM (t ) = x(t )→ − u x + y(t )→ − uy Les vecteurs unitaires étant fixes dans ℜ : → − d→ − ux duy = =0 dt dt Finalement, les composantes de la vitesse sont simplement les dérivées temporelles des coor- dy données de M. Si l’on note ẋ = dd xt et ẏ = dt on a : ¯ ¯ ẋ(t ) = v → − ¯ x vM =¯ ¯ ẏ(t ) = v y 2.1.2.2 Coordonnées polaires Dans le plan on peut aussi repérer un point à l’aide d’une distance et d’un angle. Dans le système polaire on définit : r (t ) = OM et θ(t ) = → − u x,→ à − r On associe à ces coordonnées deux vecteurs unitaires → − u r et → − u θ. Ces deux vecteurs forment une base orthonomée. Ainsi le vecteur position s’écrit dans la base polaire : → − d→ − u r (t ) r (t ) = r (t )→ − u r (t ) ⇒ → − v M = r˙(t )→ − u r (t ) + r (t ) dt La base cartésienne étant fixe dans ℜ, la base polaire ne l’est donc pas. Or la direction → − u r dé- pend du temps par l’intermédiaire de l’angle θ(t ). Par conséquent, on a : d→ −u r d→ −u r dθ = × dt dθ dt 18 Cinématique du point La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à l’angle qui définit sa direction s’obtient en utili- sant la règle suivante : À savoir La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à l’angle qui définit sa direction, est le vecteur unitaire qui lui est directement perpendiculaire. Lorsque l’on effectue une rotation dans le sens direct de π/2 du vecteur → − u r , on obtient → − u θ. Ainsi ¯ d→ −ur d→ −ur → − ¯ r˙(t ) = v ¯ r = θ̇ ⇒ v M =¯ dt dθ ¯ r (t )θ̇(t ) = v θ 2.1.3 Mouvement dans l’espace 2.1.3.1 Coordonnées cartésiennes L’étude du mouvement dans l’espace nécessite 3 axes (Ox, O y, Oz). À chacun de ces axes est associé un vec- teur unitaire respectivement → − u x, → − u y et → − u z. Les vecteurs → − → − → − ( u , u , u ) forment une base orthonormée. x y z Il est pratique de positionner le point M en se donnant −−→ le vecteur position (OM ). Les composantes de ce vec- teur, dans la base cartésienne (→ − u ,→ x − u ,→ y − u ) correspondent z alors aux coordonnées du point M : −−→ OM = x → − u x + y→ − u y + z→ − uz (x, y, z) sont les coordonnées cartésiennes du point M. −−→ (x, y, z) sont aussi les composantes du vecteur position OM dans la base cartésienne (→ − u x,→−u y ,→ − u z ). 2.1.3.2 Coordonnées cylindriques Les coordonnées cylindriques correspondent aux coordonnées polaires dans le plan (O, x, y) auxquelles on ajoute une coordonnée z suivant un axe perpendiculaire au plan. La base asso- ciée est donc composée de la base tournante (→ − u ,→− u ) et du vecteur → ρ θ − u (3ème vecteur de la z base cartésienne) qui est un vecteur "fixe" dans le référentiel d’étude. 19  Cinématique du point −−→ Le vecteur position OM s’écrit sous la forme : −−→ −−→ −−→ OM = OP + P M = ρ→− u ρ + z→ − uz √ √ −−→ ||OM || = OM = ρ2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 Les coordonnées cylindriques de M sont donc (ρ, θ, z). Le point M est situé sur un cylindre d’axe Oz, de rayon ρ d’où le terme coordonnées cylindriques. Pour positionner un point sur le cylindre, il suffit de préciser la cote z et la co- ordonnée angulaire θ. Le vecteur vitesse s’écrit : −−→ → − d OM v (t ) = = ρ̇→ − u ρ + ρ θ̇→ − u θ + ż → − uz dt La valeur v de la vitesse correspond à la norme de ce vecteur : √ ||→ − v || = v = ρ̇ 2 + (ρ θ̇)2 + ż 2 2.1.3.3 Coordonnées sphériques Les coordonnées cylindriques ne sont pas très pratiques pour caractériser un point sur une sphère qui est le lieu où tous les points sont à égale distance d’un centre C. Pour cela, on préférera utiliser les coordonnées sphériques. Les coordonnées sphériques du −−→ point M sont r, θ, φ tel que : r = ||OM ||, − → −−→ á − á→ −−→ θ = (Oz, OM ), et φ = (Ox, Om). −−→ Le vecteur position est : OM = r →−u. On r note → − u φ le vecteur unitaire formant un −−→ angle de + π2 avec (Om). Le vecteur → − uθ −−→ est perpendiculaire à OM et tel que le repère (M , → − u r ,→ − u θ,→ − u φ ) est orthonormé direct. Par convention, les deux angles θ et φ ont des intervalles de variation précis : θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π]. 20 Cinématique du point Le vecteur vitesse s’écrit sous la forme : → − v = r˙→ − u r + ρ θ̇→ − u θ + ρ sin θ φ̇→ − u φ. 2.1.3.4 Base de Frenet → − − Le repère de Frenet a pour origine le point M (t ) et pour base orthonormée ( t , → n ). Cette base mobile est construite de la façon suivante : 1. on définit arbitrairement, un sens positif le long de la trajectoire ; → − 2. le vecteur unitaire t , dit vecteur tangent est, comme son nom l’indique, tangent à la trajec- toire et orienté dans le sens positif ; 3. le vecteur unitaire →−n , dit vecteur normal, est → − quant à lui perpendiculaire à t et orienté vers le centre du cercle localement tangent à la trajec- toire dit cercle osculateur représenté en tiret sur la figure ci-contre. ′ M est la position du point matériel à l’instant t et M celle pour l’instant t + ∆t. Quand ∆t → 0, ′ la corde qui relie les points M et M tend vers la longueur d’arc ƒ M M ′ de sorte que −−−→′ → − MM MM′→− v M = lim = lim t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t On retiendra que la donnée de l’abscisse curviligne s(t ) ainsi que la trajectoire permet de connaitre la position du point M, la direction du vecteur tangent ainsi que le vecteur vitesse via → − ds→− vM= t dt 2.1.4 Etude du mouvement dans différents systèmes −−→ Dans un repère donné, les mêmes vecteurs position OM , vitesse → − v et accélération → − a peuvent s’exprimer différemment suivant le choix du système de coordonnées et de la base. Nous pré- sentons dans le tableau suivant le récapitulatif des expressions que nous avons introduites pré- cédemment. 21  Cinématique du point −−→ Coordonnées Position OM Vitesse → − vM Accélération → − aM Cartésienne x→ − u x + y→ − u y + z→ − uz ẋ → − u x + ẏ → − u y + ż → − uz ẍ → − u x + ÿ → − u y + z̈ → − uz (→ − u ,→ x − u ,→ y − u )z Polaires r→ − ur r˙→ − u r + r θ̇→ − uθ (r¨ − r θ̇ 2 )→ − u r + (2r˙θ̇ + r θ̈)→ − uθ (→ − u ,→ r − u )θ s = Pd ṡ → − u t = v→ − dv → − + Rv c → − 2 Base de Fre- 0P ut dt u t un net (→ − u ,→ − u ) t n 22 Cinématique du point Cylindriques r→ − u r + z→ − uz r˙→ − u r + r θ̇→ − u θ + ż → − uz (r¨ − r θ̇ 2 )→ − u r + (r θ̈ + 2r˙θ̇)→ − u θ + z̈ → − uz (→ − u ,→ r − u ,→ θ − u ) z Sphériques r→ − ur r˙→ − ur + r θ̇→ − uθ + (r¨ −r θ̇ 2 −r sin2 θ φ̇2 )− → +(2r˙θ̇+r θ̈− u r (→ − u r ,→ − u θ,→ − u φ) → − r φ̇ sin θ u φ r sin θ cos θ θ̇ 2 )→ − u + (2r˙ sin θ φ̇ + θ r sin θ φ̈ + 2r cos θ θ̇ φ̇)→ − uφ 23  Cinématique du point 2.1.5 Mouvement relatif Soient R(O, x, y, z) un repère absolu et R ′ (O ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) un repère relatif. Les vecteurs position de la particule M dans les repères R et R ′ sont, respective- −−→ − −−−→ → − ment OM = → r et O ′ M = r ′. On peut écrire : −−→ −−→ −−−→ OM = OO ′ + O ′ M 2.1.5.1 Les vitesses −−→ −−′−→ Soit → − v a = d OM → − dO M d t |R la vitesse absolue et v r = d t |R la vitesse relative. ′ →− −−−→ La relation entre les deux vitesses : → −v a =→−v r +→ −v e avec → − v e =→ − v O ′ + Ω ∧ O ′ M vitesse d’entraine- ment. Ω est le vecteur rotation du repère R ′ par rapport au repère R. 2.1.5.2 Les accélérations 2 −−→ −−′−→ Soit → − |R l’accélération absolue et → − 2 a a = d dOM t2 a r = d dOt 2M |R ′ l’accélération relative, on a : → − a =→ −a +→ −a +→ − a avec : a r e c  −−−→ →  → − → − → − dΩ − − −−−→ →  a  e = a O ′ + dt ∧ O ′ M + Ω ∧ ( Ω ∧ O ′ M ) # accélération d’entrainement   → − −  → − a c = 2Ω ∧→ vr accélération de Coriolis 2.2 Exercices résolus 2.2.1 Exercice 1 Le diagramme position-temps d’un mobile se déplaçant le long d’un axe est donné sur le schéma ci-contre. 1) Trouver la vitesse moyenne dans l’intervalle de temps t = 1 s et t = 2 s. 2) Déterminer la vitesse à l’instant t = 2 s en calculant la ponte de la droite indiqué sur le schéma. 3) A quel instant la vitesse s’annule, décrire le mouve- ment du mobile à cet instant. 24 Cinématique du point C ORRIGÉ : 1) La vitesse moyenne entre les instants 1 s et 2 s : { t 1 = 1 s, x 1 = 11 m ⇒ v m = xt22 −x 1 −t 1 = −5 m/s t 2 = 2 s, x 2 = 6 m 0−11 2) La vitesse instantanée à l’instant t =2 s : v i nst = tan α = 3.5−0 = −3.14 m/s 3) La vitesse s’annule à t =4 s. A cet instant, le mobile s’arrête, puis il change sa direction. 2.2.2 Exercice 2 Un véhicule se déplace sur un trajet rectiligne. Sa vitesse est caractérisée par le diagramme ci-contre. Indiquer sur les cinq intervalles du temps : 1) La valeur algébrique de l’accélération a. 2) L’expression de la vitesse v(t ), on utilise au début de chaque phase, un repère du temps. 3) La nature du mouvement. C ORRIGÉ : 1) 0 < t < 30 s, a = ∆v ∆t = 1 m/s2 , v = at + v 0 A t =0 s, v=0 m/s ⇒ v 0 = 0. Donc : v = t. Le mouvement est uniformiment accéléré. 2) 30 < t < 50 s, a = 0 m/s2 , v = 30 m/s. Le mouvement est uniforme. 3) 50 < t < 60 s, a = ∆v ∆t = −3m/s 2 , v = at + v 0 A t =0 s, v = 30 m/s ⇒ v 0 = 30. Donc : v = −3t + 30. Le mouvement est uniformiment retardé. 4) 60 < t < 80 s, a=0 m/s2 , v = 0 m/s. Le mobile est au repos. 5) 80 < t < 100 s, a = ∆v −3 2 ∆t = 2 m/s , v = at + v 0 A t =0 s, v=0 m/s ⇒ v 0 = 0. Donc : v = −3 2 t. Le mouvement est uniformiment accéléré. 2.2.3 Exercice 3 Une roue de rayon R roule sans glisser sur un axe horizontale ox. Le mouvement de la roue est paramétré par l’angle θ que fait un rayon fixé de la roue avec sa position initiale à t = 0 s. 25  Cinématique du point 1) Quelle sont, à l’instant t , les coordonnés cartésiennes du point M de la roue qui était initialement en contact avec le sol ? 2) Calculer en fonction de R et θ les composantes de la →− vitesse → − v et de l’accélération γ du point M. → − 3) Donner les valeurs de → − v et γ au moment où M re- touche le sol. 4) On suppose maintenant que le mouvement du centre de la roue est rectiligne uniforme à → − la vitesse v 0. Montrer que γ est centripète vers O et calculer son module en fonction de v 0 et R. AN : Calculer cette accélération dans le cas d’un point périphérique d’un pneu d’une voiture roulant à 130 km/h sur une autoroute (R=35 cm), interpréter ce résultat. C ORRIGÉ : 1) Les coordonnés cartésiennes du point M : −−→ −→ −→ −−→ → − → − → − → − → − → − OM = OI + IC + C M = Rθ i + R j + R(− sin θ i − cos θ j ) = R(θ − sin θ) i + R(1 − cos θ) j →− 2) Les composantes de la vitesse → − v et de l’accélération γ du point M : −−→ → − d OM → − → − v = = R θ̇[(1 − cos θ) i + sin θ j ] dt d→ − v → − → − γ= = [R θ̈(1 − cos θ) + R θ̇ 2 sin θ] i + [R θ̈ sin θ + R θ̇ 2 cos θ] j dt → − → − 3) M retouche le sol pour y=0 ⇒ θ = 2kπ. → − v = 0 et γ = R θ̇ 2 j v0 4) Mouvement de centre du roue est uniforme : θ̇ = R ⇒ θ̈ = 0 → − → − v2 → − → − γ = R θ̇ 2 [sin θ i + cos θ j ] = 0 [sin θ i + cos θ j ] R → − −−→ CM → − → − →− v 02 → − → − → − v 02 u = ∥C M ∥ = −(sin θ i + cos θ j ). Donc : γ = − R u ⇒ γ est centripète vers C. ∥ γ ∥ = R → − A.N. : v 0 =130 km/h=36.1 m/s. ∥ γ ∥=3725.5 m/s2. A grande vitesse, les pneus d’un véhicule sont soumis à une grande force, donc à une forte pression. 26 Cinématique du point 2.2.4 Exercice 4 Un point matériel M , décrit une trajectoire suivant : r = 2a cos θ avec θ = ωt (a, ω étant constants). 1) Déterminer la vitesse et l’accélération de M , dans le système des coordonnés polaires. Dé-terminer leurs normes. 2) Déterminer le rayon de courbure ρ. Quelle est la nature de la trajectoire de M. 3) Déterminer la vitesse et l’accélération de M dans le système de Frenet, ainsi que leurs normes. −−→ −−→ ρ 2 → − 4) Monter que le centre de courbure C est donnée par OC = OM + v. ddt ( vv ). Déterminer alors C. 5) Déterminer la vitesse et l’accélération de M , dans le système des coordonné cartésiennes, ainsi que leurs normes. 6) Représenter la vitesse et l’accélération de M dans le système de Frenet et dans système des coordonnés polaires. C ORRIGÉ : 1) La vitesse et l’accélération de M , dans le système des coordonnés polaires : −−→ OM = 2a cos θ→ −ur → − v = r˙ u + r θ̇ u = 2aω(− sin θ→ → − → − − u + cos θ→ −u ), ∥→ − v ∥ = 2aω r θ r θ → − → − γ = (r¨ − r θ̇ 2 )→ − u r + (2r˙θ̇ + r θ̈)→ − u θ = −4aω2 (cos θ→ − u r + sin θ→ − u θ ), ∥ γ ∥ = 4aω2 ∥v ∥ → − 3 2) Le rayon de courbure : ρ = ∥→ − − = a = const. Donc, la trajectoire de M est un cercle. → v Λγ∥ 3) La vitesse et l’accélération dans le système de Frenet : → − v = ∥→−v ∥→ − u = 2aω→ − u t t → − → − → − 2 →− γ = γt → − u t + γn → − u n , γt = d ∥d vt ∥ = 0, γn = ∥ vρ∥ = 4aω2. Donc : γ = 4aω2→ − un 4) Le centre de courbure : [ → − − dv ] → → − −−→ ρ 2 d v −−→ ρ 2 v γ − v u t d t OM + ( ) = OM + v dt v v v2   →− 2→ − → − 2 v.( d v u t + v u n ) − v u t d v −−→ ρ  d t ρ dt  = OM + 2 v v → − −−→ ρ 2 d v −−→ −−→ −−→ −−→ OM + ( ) = OM + ρ→ − u n = OM + MC = OC v dt v 27  Cinématique du point −−→ −−→ ρ 2 → − −−→ ρ 2 [ ] [ ] OC = OM + v ddt ( vv ) = OM + v ddt (− sin θ→ − u r + cos θ→ − u θ ) = a cos θ→ − u r − sin θ→ − uθ −−→ → − OC = a i ⇒ C (a, 0) 5) La vitesse et l’accélération de M , dans le système des coordonné cartésiennes : { x = r cos θ = 2a cos2 θ y = r sin θ = 2a sin θ cos θ → − → − → − → − → − v = ẋ i + ẏ j = 2aω[− sin 2θ i + cos 2θ i ], ∥→ − v ∥ = 2aω → − → − → − → − → − → − γ = ẍ i + ÿ j = −4aω2 [cos 2θ i + sin 2θ i ], ∥ γ ∥ = 4aω2 6) Représentation de la vitesse et de l’accélération : 2.2.5 Exercice 5 Le mouvement d’un point matériel est décrit dans le système de coordonnées cylindriques par r = R, θ = ωt , z = at avec R, ω, a sont des constants. Déterminer le vecteur vitesse, le vecteur accélération et le rayon de courbure. C ORRIGÉ : Dans le le système de coordonnées cylindriques, la vitesse et l’accélération sont données par les relation suivantes : → − → −  → −v = r˙→ − u r + r θ̇→ − u θ + ż k = Rω→ −u θ +a k → −  → − γ = (r¨ − r θ̇ 2 )→ − u + (2r˙θ̇ + r θ̈)→ r − u + z̈ k = −Rω2→ θ − u r ∥→ − v ∥3 2 2 ω +a 2 )3/2 # ρ= → − → γ Λ− = p(R v R ω +a 2 R 2 ω4 4 6 2.2.6 Exercice 6 Dans le système des coordonnées sphériques (→ − u r ,→ − u θ,→ − u φ ), un point M se déplace sur la surface d’une sphère de rayon R. Ses deux coordonnées sphériques sont : − → −−→ á π θ = (Oz, OM ) = , φ = ωt 2 , ω constante positive. 6 1) Trouver la vitesse et l’accélération de M dans la base sphérique. Calculer les modules de la vitesse et de l’accélération, en déduire l’accélération normale. 28 Cinématique du point 2) Trouver la vitesse et l’accélération de M dans le système coordonnées cartésiennes. Véri- fier leurs normes. C ORRIGÉ : 1) Dans le système des coordonnées sphériques, la vitesse est donnée par la relation sui- vante : → − v = r˙→ − u r + r θ̇→ − u θ + r φ̇ sin φ→ − uφ    r = R ⇒ r˙ = 0  θ = π6 ⇒ θ̇ = 0 #→ − v = Rωt → − u φ , ∥→ − v ∥ = Rωt    φ = ωt 2 ⇒ φ̇ = 2ωt Le { →vecteur accélération : − d→ − γ = d vt = Rω→ − u φ + Rωt → −̇ uφ → − → − → − #→ − γ = Rω→ − u φ − Rωt φ̇[sin θ→ − u r + cos θ→ − u θ] u φ = −φ̇[sin θ u r + cos θ u θ ] → − p γ = −Rω2 t 2→−u r − 3Rω2 t 2→ −u θ + Rω→− uφ → − p p ∥ γ ∥ = R 2 ω4 t 4 + 3R 2 ω4 t 4 + R 2 ω2 = Rω 4ω2 t 4 + 1 L’accélération  √ normale :  γ = ∥→ − 2 γ ∥ − γ2t n → − ⇒ γn = 2Rω2 t 2  γ = d ∥ v ∥ = Rω t dt 2) Dans le système des coordonnées cartésiennes : −−→ → − → − → − OM = x i + y j + z k    x = r sin θ cos φ  −−→ → − − p → → − y = r sin θ sin φ ⇒ OM = 12 R cos ωt 2 i + 12 R sin ωt 2 j + 23 R k    z = r cos θ → − −−˙→ → − → − →− → − → − v = OM = ẋ i + ẏ j + ż k = −Rωt sin ωt 2 i + Rωt cos ωt 2 j → − → → − → − γ = −̇v = [−Rω sin ωt 2 − 2Rω2 t 2 cos ωt 2 ] i + [Rω cos ωt 2 − 2Rω2 t 2 sin ωt 2 ] j → − p ∥→ −v ∥ = Rωt , ∥ γ ∥ = Rω 4ω4 t 4 + 1 2.2.7 Exercice 7 Un avion vole avec une vitesse → − v A (vA parallèle à Ox) et dans le même temps, un missile est tiré à → − de O, avec une vitesse v et θ = (→ → − B −v , i ). On considère qu’au temps t =0, les coordonnées de B l’avion sont x A =0 et y A = h. 29  Cinématique du point 1) Déterminer la vitesse relative de l’avion par rap- port au missile (→ − v ). AB 2) Déterminer les composantes de → − v AB. En déduire la position de l’avion par rapport au missile. 3) Quelle doit être la relation entre v A et v B pour que le missile atteigne sa cible ? C ORRIGÉ : 1) A partir de l’énoncé, on distingue : Avion : point matériel, Missile : repère mobile, Terre : repère fixe. Donc : →− v A est la vitesse absolue, → − v B est la vitesse d’entrainement. La vitesse de l’avion par apport au missile est la vitesse relative : → − → − → − v r =→ − v A −→ − v B = (v A − v B cos θ) i − v B sin θ j 2) La position de l’avion par apport au missile : → − → −′ − ∫− → v = dr ⇒ r′ = → r dt v dtr → −′ → − → − r = [(v A − v B cos θ)t + c x ] i + [−v B sin θt + c y ] j → − → − → − A t =0, on a : x ′ =0, y ′ = h. On trouve : r ′ = [(v A − v B cos θ)t ] i + [−v B sin θt + h] j → − → − 3) Le missile atteigne sa cible si r ′ = 0 : (v A − v B cos θ) = 0 ⇒ v A = v B cos θ 2.2.8 Exercice 8 Un carrée OBC D de coté a tourne autour de son coté OB à la vitesse angulaire ω constante. Un point matériel M se déplace suivant DC à partir de D avec une vitesse constante v. 1) Calculer la vitesse absolu et l’accélération absolu de M de façon directe. 2) Déterminer la vitesse relative, la vitesse d’entraînement de M. En déduire sa vitesse absolue. 3) Déterminer la l’accélération relative, l’accélération d’entraînement, l’accélération de Coriolis M. En déduire son accélération absolue. 30 Cinématique du point C ORRIGÉ : →− 1) Calcul de → − v a , γ a de façon directe : −−→ → − → − Le vecteur de position par rapport au repère absolu : OM = a i ′ + v t k ′ → − −−→ → − → − → − → − → − v = d OM = aω j ′ + v k ′ , a dt γ = d v a = −aω2 i ′ a dt 2) Calcul de → −v r, → − v e , puis →− va: −−′−→ → −′ → −′ → −−′−→ → − O M = a i + vt k , − v r = d Od tM = v k ′ → − −−˙→ − −−′−→ → − → − → − → − v e = OO ′ + →ω ΛO M = ω k ′ Λ(a i ′ + v t k ′ ) = aω j ′ → − → − → − 3) Calcul de γ r , γ e , puis γ a → − → − → − → − −−¨→ − → −−−→ −̇ −−′−→ → − γ = d v r = 0 , γ = OO ′ + → r dt e ω Λ(−ω ΛO ′ M ) + → ω ΛO M = −aω2 i ′ → − → − → − → − → − γ c = 2→ − ω Λ→ − v r = 0 , γ a = γ e = −aω2 i ′ 2.3 Exercices supplémentaires sans solution 2.3.1 Exercice 9 Un projectile est lancé sur un plan incliné d’un angle Ø avec une vitesse initiale v i faisant un angle θi avec l’horizon. 1) Monter que le projectile parcourt une dis- tance d sur le plan incliné donné par : 2v i2 cos θi sin(θi − Ø) d= a cos2 (Ø) 2) Pour quelle valeur θi , la distance d est-elle maximale ? quelle est cette valeur de d. 2.3.2 Exercice 10 Une échelle homogène (AB) de longueur 2a s’appuie en A sur un mur vertical et en B sur le sol horizontal. Le pied B de l’échelle s’éloigne du mur et on considère le point M milieu de l’échelle. 1) Monter que les coordonnées de M sont : x m = a cos θ, y m = a sin θ. 2) Déterminer la trajectoire de M. 31  Cinématique du point 3) Déterminer la vitesse et l’accélération de M dans le système des coordonnes carté- siennes (OX Y ). Déterminer leurs normes. 4) Déterminer la vitesse et l’accélération de M dans le système des coordonnes polaires d’origine B (→ − u ,→ r − u ). Vérifier leurs normes. θ 5) En déduire le rayon de courbure. 6) Déterminer la vitesse et l’accélération de M dans le système de coordonnes intrin- sèques (repère de Frenet). Vérifier leurs normes. 2.3.3 Exercice 11 Un nageur se propose de traverser une rivière de 100 m de largeur L. Sa vitesse dans l’eau est de 1.2 m/s. Le flux d’eau qui est parallèle à BC a une vitesse de 1 m/s. Soit θ l’angle entre sa vitesse dans l’eau et la vitesse du cou- rant. Le nageur a le choix entre : i ) nager de manière que sa vitesse absolue soit parallèle à AB. i i ) nager perpendiculairement au courant. Exprimer dans les deux cas : 1) Les composantes de sa vitesse absolue. 2) Les coordonnées de M par rapport à un repère lié au sol (On donne à t =0, x=0, y=0). 3) Le temps du trajet (dans le premier cas si ∥→ − v ∥ > ∥→ e − v ∥ le nageur peut il traverser la ri- r vière). 4) Déterminer la position d’arrivée. 2.3.4 Exercice 12 → − → − Soit un référentiel R(Ox y) fixe et un référentiel R ′ (Ox ′ y ′ ) mobile de bases respectives ( i , j ) → − → − et ( i ′ , j ′ ). R ′ tourne par rapport à R autour de l’axe OZ perpendiculairement au plan Ox y avec 32 Cinématique du point −−→ → − une vitesse angulaire ω constante. Un point M est mobile sur l’axe Ox ′ suivant la loi OM = ae θ i ′ avec a constante et θ = ωt. 1) Déterminer la vitesse absolue et l’ac- célération absolue de M de façon di- recte. 2) Déterminer la vitesse relative, la vi- tesse d’entrainement de M. En dé- duire sa vitesse absolue. 3) Déterminer l’accélération relative et l’accélération de d’entrainement et l’accélération de Coriolis. En déduire son accélération absolue. 33  3 Dynamique du point 3.1 Rappel La dynamique relie le mouvement d’un point matériel à ses causes. Les causes du mouvement d’un corps sont appelées les efforts mécaniques ou actions ou forces. La force est une grandeur vectorielle. 3.1.1 Le principe d’inertie et les référentiels galiléens Le principe d’inertie fut énoncé par Isaac Newton et on l’ap