Linear Systems and Matrices PDF

‫األنظمة الخطية والمصفوفات‬...

‫األنظمة الخطية والمصفوفات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1. Systems of Equations and Inequalities, from Algebra 2 Chapter 3 © 2014 & Matrices, from Algebra 2 Chapter 4 lesson 1 © 2010‬‬ ‫لماذا؟‬ ‫الحالي‬ ‫السابق‬ ‫األعمال أن تكون ناجح ًا في مجال االعمال يعني ان تكون لديك‬ ‫بعد دراستك لهذه الوحدة‬ ‫قمت بتمثيل معادالت‬ ‫مهارات رياضيات جيدة في معظم الوقت‪.‬سوف تتعلم كيفية‬ ‫قادرا على‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ستكون‬ ‫المستقيمات بيانيا‪،‬‬ ‫ً‬ ‫تحقيق أقصى قدر من االرباح وتقليل التكاليف الخاصة بك في‬ ‫ حل أنظمة المعادالت‬ ‫باإلضافة إلى تحويل‬ ‫هذه الوحدة‪.‬سوف تكسب أكبر قدر ممكن من المال من خالل‬ ‫الخطية والمتباينات‬ ‫الدوال وحل المعادالت‪.‬‬ ‫القيام بذلك‪.‬‬ ‫الخطية‪.‬‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫ حل المسائل باستخدام‬ ‫البرمجة الخطية‪.‬‬ ‫إجراء العمليات‬ ‫باستخدام المصفوفات‬ ‫والمحددات‪.‬‬  ‫االستعداد للوحدة‬ ‫لديك خياران للتحقق من المهارات المطلوبة‪.‬‬ ‫تحديد مدى االستعداد |‬ ‫قم بالتمرين السريع أدناه وعد إلى المراجعة السريعة للمساعدة‪.‬‬ ‫خيار الكتاب المدرسي‬ ‫‪1‬‬ ‫مراجعة سريعة‬ ‫تمرين سريع‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫بيانيا‪.‬‬ ‫مثل كل معادلة‬ ‫ً‬ ‫ّ‬ ‫_ = ‪2. y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بيانيا ‪.2y + 5x = -10‬‬ ‫ً‬ ‫مثل‬ ‫ّ‬ ‫  ‪1. x = 4y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫جد التقاطع مع المحورين الرأسي واألفقي‪.‬‬ ‫‪3. x + 2y = 4‬‬ ‫‪4. y = -x + 6‬‬ ‫‪2(0) + 5x = -10‬‬ ‫‪2y + 5(0) = -10‬‬ ‫‪5. 3x + 5y = 15‬‬ ‫‪6. 3y - 2x = -12‬‬ ‫‪5x = -10‬‬ ‫‪2y = -10‬‬ ‫‪x = -2‬‬ ‫‪y = -5‬‬ ‫‪.7‬األعمال يبيع المتحف تذاكر البالغين بسعر ‪AED 8.50‬‬ ‫وتذاكر الصغار بسعر ‪.AED 5.25‬وفي يوم الجمعة جنى‬ ‫يقطع التمثيل البياني المحور ‪ x‬بالنقطة )‪ (-2, 0‬والمحور ‪y‬‬ ‫المتحف ‪.AED 650‬‬ ‫بالنقطة )‪.(0, -5‬استخدم هذه األزواج المرتبة لتمثيل المعادلة‬ ‫بيانيا‪.‬‬ ‫‪.a‬اكتب معادلة يمكن استخدامها لتمثيل مبيعات التذاكر‪.‬‬ ‫ً‬ ‫مثل المعادلة بيانيا‪.‬‬ ‫‪ّ.b‬‬ ‫ً‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫بيانيا‪.‬‬ ‫مثل كل متباينة‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫ً‬ ‫ّ‬ ‫بيانيا ‪.y ≥ 3x - 2‬‬ ‫ً‬ ‫مثل‬ ‫ّ‬ ‫  ‪8. y < 3‬‬ ‫‪9. x + y ≥ 1‬‬ ‫الحد هو التمثيل البياني‬ ‫  ‪10. 3x - y > 6‬‬ ‫‪11. x + 2y ≤ 5‬‬ ‫لـ ‪.y = 3x - 2‬وبما أن‬ ‫رمز المتباينة هو ≤‪ ،‬فإن‬ ‫  ‪12. y > 4x - 1‬‬ ‫‪13. 5x - 4y < 12‬‬ ‫متصل‪.‬‬ ‫ً‬ ‫خطا‬ ‫ً‬ ‫الحد سيكون‬ ‫‪.14‬جمع التبرعات يقوم مجلس الطلبة ببيع قمصان بسعر‬ ‫‪ AED 15‬وقمصان ثقيلة بسعر ‪.AED 25‬يجب عليهم جمع‬ ‫اختبر النقطة (‪.)0, 0‬‬ ‫ومثلها بيانيا‬ ‫‪ AED 2500‬لتغطية النفقات‪.‬اكتب متباينة ّ‬ ‫ً‬ ‫إلظهار عدد القمصان والقمصان الثقيلة التي يجب أن يبيعوها‪.‬‬ ‫ ‪0  3(0) - 2‬‬ ‫(‪)x, y) = (0, 0‬‬ ‫✓ ‪0 ≥ -2‬‬ ‫ظلل المنطقة التي تتضمن (‪.)0, 0‬‬ ‫‪3‬‬  ‫البدء في هذه الوحدة‬ ‫ٍ‬ ‫جديدة أثناء دراستك‬ ‫ٍ‬ ‫ومفردات‬ ‫ٍ‬ ‫ومهارات‬ ‫سوف تتعلم عدة مفاهيم‬ ‫ونظم مواردك‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫ة‬‫المهم‬ ‫ّ‬ ‫المفردات‬ ‫د‬ ‫حد‬ ‫ّ‬ ‫تستعد‪،‬‬ ‫هذه الوحدة‪.‬ولكي‬ ‫ويمكنك العودة إلى وحدات سابقة لمراجعة المهارات المطلوبة‪.‬‬ ‫المفردات الجديدة‬ ‫منظمالدراسة‬ ‫ّ‬ ‫‪break-even point‬‬ ‫نقطة التعادل‬ ‫أنظمة المعادالت والمتباينات اصنع هذه المطوية لمساعدتك‬ ‫‪consistent‬‬ ‫متوافق‬ ‫في تنظيم مالحظاتك الخاصة بالوحدة حول أنظمة المعادالت‬ ‫والمتباينات‪.‬ابدأ بورقة أبعادها ‪ 22 cm‬في ‪.28 cm‬‬ ‫‪inconsistent‬‬ ‫غير متوافق‬ ‫‪independent‬‬ ‫مستقل‬ ‫‪dependent‬‬ ‫غير مستقل‬ ‫‪substitution method‬‬ ‫طريقة التعويض‬ ‫اط ِو الورق إلى نصفين‬ ‫‪1‬‬ ‫بالطول‪.‬‬ ‫‪elimination method‬‬ ‫طريقة الحذف‬ ‫‪feasible region‬‬ ‫منطقة الحلول الممكنة‬ ‫‪bounded‬‬ ‫محدود‬ ‫‪unbounded‬‬ ‫غير محدودة‬ ‫‪optimize‬‬ ‫بحث عن الحل األمثل‬ ‫قص بطول الطية‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪determinant‬‬ ‫ُم َح ّدد‬ ‫‪Cramer’s Rule‬‬ ‫قاعدة كرامر‬ ‫‪coefficient matrix‬‬ ‫مصفوفة المعامالت‬ ‫مصفوفة محايدة‬ ‫‪identity matrix‬‬ ‫اط ِو كل ورقة بالعرض‬ ‫‪3‬‬ ‫‪square matrix‬‬ ‫مصفوفة مربعة‬ ‫إلى أرباع‪.‬‬ ‫‪inverse matrix‬‬ ‫مصفوفة عكسية‬ ‫‪variable matrix‬‬ ‫مصفوفة المتغير‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫‪constant matrix‬‬ ‫مصفوفة الثابت‬ ‫الصق أطراف كل‬ ‫‪4‬‬ ‫مراجعة المفردات‬ ‫معا‪.‬‬ ‫ورقتين ً‬ ‫المتباينة هي جملة مفتوحة‬ ‫تحتوي على الرمز ‪ ،‬أو ≥‬ ‫المعادلة الخطية هي معادلة‬ ‫قم بتسمية التبويبات بكلٍ‬ ‫‪5‬‬ ‫ليس فيها أي عمليات بخالف‬ ‫من‪ :‬الحل بالتمثيل البياني‪،‬‬ ‫جمع وطرح وضرب متغير في‬ ‫وطريقة التعويض‪ ،‬وطريقة‬ ‫ثابت‪.‬‬ ‫الحذف‪ ،‬والبحث عن الحل‬ ‫األمثل‪ ،‬واألنظمة بثالثة متغيرات‪،‬‬ ‫وضرب المصفوفة‪ ،‬وقاعدة كرامر‪،‬‬ ‫والمصفوفات العكسية‪.‬‬ ‫األنظمة الخطية والمصفوفات‬ ‫‪ | 4‬الوحدة ‪| 1‬‬  ‫‪1-1‬‬ ‫خمترب تقنية التمثيل البياين‬ ‫تقاطع التمثيالت البيانية‬ ‫يمكنك استخدام حاسبة التمثيل البياني إليجاد نقاط تقاطع‬ ‫أي تمثيلين بيانيين‪.‬يمكنك استخدام القائمة ‪ =Y‬لتمثيل‬ ‫كل معادلة بيانيا على نفس مجموعة المحاور‪.‬‬ ‫ً‬ ‫مثال تقاطع تمثيلين بيانيين‬ ‫م ّثل كلتا المعادلتين بيانيا في نافذة العرض القياسية‪.‬‬ ‫ً‬ ‫‪3x + y = 9‬‬ ‫‪x - y = -1‬‬ ‫الخطوة ‪ 1‬اكتب كل معادلة في الصيغة ‪.y = mx + b‬‬ ‫‪3x + y = 9‬‬ ‫‪x-y=1‬‬ ‫‪y = -3x + 9‬‬ ‫‪-y = -x - 1‬‬ ‫‪y=x+1‬‬ ‫الخطوة ‪ 2‬أدخل ‪ y = -3x + 9‬في صورة ‪ Y1‬و ‪ y = x + 1‬في صورة ‪.Y2‬ثم ّ‬ ‫مثل المستقيمين بيانيا‪.‬‬ ‫ً‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫خطوات العملية على الحاسبة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫الخطوة ‪ 3‬جد نقاط تقاطع المستقيمات‪.‬‬ ‫‪[CALC] 5‬‬ ‫خطوات العملية على الحاسبة‪:‬‬ ‫نقطة التقاطع تقع عند (‪.)2, 3‬‬ ‫تمارين‬ ‫استخدم حاسبة التمثيل البياني إليجاد نقاط تقاطع كل زوج من التمثيالت البيانية‪.‬‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫  ‪1. 2x + 4y = 36‬‬ ‫‪2. 2y - 3x = 7‬‬ ‫‪10y - 5x = 0‬‬ ‫‪5x = 4y - 12‬‬ ‫  ‪3. 4x - 2y = 16‬‬ ‫‪4. 2x + 4y = 4‬‬ ‫‪7x + 3y = 15‬‬ ‫‪x + 3y = 13‬‬ ‫  ‪5. 5x + y = 13‬‬ ‫‪6. 4y - 5 = 20 - 3x‬‬ ‫‪3x = 15 - 3y‬‬ ‫‪4x - 7y + 16 = 0‬‬ ‫‪7.‬‬ ‫=‪x+y‬‬ ‫‪8. 3x + 2y = -3‬‬ ‫‪x-‬‬ ‫‪y=2‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪y = -4‬‬ ‫  ‪9. 3x - 6y = 6‬‬ ‫‪10. 6x + 8y = -16‬‬ ‫‪2x - 4y = 4‬‬ ‫‪3x + 4y = 12‬‬ ‫‪5‬‬  ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫لماذا؟‬ ‫اقترض خليفة ‪ AED 450‬إلنشاء شركة‬ ‫لجز العشب‪.‬وهو يتقاضى ‪AED 35‬‬ ‫‪1-1‬‬ ‫الحالي‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫الخطية بالتمثيل البياني‬‫‪1‬‬ ‫السابق‬ ‫مثلت المعادالت‬ ‫الخطية بيانيا وجدت‬ ‫ًّ‬ ‫لكل حديقة ويتكبد ‪ AED 8‬في تكاليف‬ ‫وتصنيفها وفق عدد‬ ‫حلها‪.‬‬ ‫التشغيل لكل حديقة‪.‬يمكن استخدام‬ ‫الحلول‪.‬‬ ‫نظام معادالت لتحديد نقطة التعادل‪.‬‬ ‫نقطة التعادل هي النقطة التي يتساوى‬ ‫فيها الدخل مع التكلفة‪.‬‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫جبريا‪.‬‬ ‫ً‬ ‫الخطية‬ ‫‪2‬‬ ‫المفردات الجديدة‬ ‫حل األنظمة بالتمثيل البياني نظام المعادالت هو معادلتان أو أكثر لهما نفس المتغيرات‪.‬ولحل نظام‬ ‫المرتب الذي يحقق جميع المعادالت‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫معادالت به اثنين من المتغيرات‪ ،‬وإيجاد الزوج‬ ‫‪1‬‬ ‫نقطة التعادل ‪break-even‬‬ ‫‪point‬‬ ‫عوض بقيم‬ ‫أول بكتابة كل معادلة في صيغة الميل والمقطع‪.‬ثم ّ‬ ‫لحل نظام معادالت باستخدام جدول‪ ،‬قم ً‬ ‫نظام المعادالت‬ ‫مختلفة عن ‪ x‬وجد الحل لقيم ‪ y‬المقابلة‪.‬ولتسهيل االستخدام‪ ،‬اختر ‪ 0‬و ‪ 1‬كأول قيم تعوض بها عن ‪.x‬‬ ‫متوافق ‪consistent‬‬ ‫غير متوافق ‪inconsistent‬‬ ‫وألن الفارق بين قيم ‪ y‬يكون أقرب لـ ‪0‬‬ ‫مستقل ‪independent‬‬ ‫مقارنة بـ ‪ ،x = 0‬ينبغي تجربة‬ ‫حيث ‪x = 1‬‬ ‫غير مستقل ‪dependent‬‬ ‫ً‬ ‫قيمة أكبر من ‪ 1‬بعد ذلك‪.‬‬ ‫طريقة التعويض‬ ‫‪substitution method‬‬ ‫طريقة الحذف‬ ‫وألن الفارق بين قيم ‪ y‬قد غير اإلشارات من‬ ‫‪elimination method‬‬ ‫‪ x = 2‬إلى ‪ ،x = 3‬ينبغي تجربة قيمة تقع‬ ‫بين هاتين القيمتين بعد ذلك‪.‬‬ ‫ممارسات في الرياضيات‬ ‫يقع الحل بين ‪ 2‬و ‪.3‬‬ ‫وكمية‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫التفكير بطريقة تجريدية‬ ‫مراعاة الدقة‪.‬‬ ‫مثال ‪ 1‬الحل باستخدام جدول‬ ‫ح ّل نظام المعادالت‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫اكتب كل معادلة بصيغة‬ ‫الميل والمقطع‪.‬‬ ‫جدول‬ ‫ً‬ ‫استخدم‬ ‫إليجاد حل يحقق‬ ‫كلتا المعادلتين‪.‬‬ ‫حل النظام هو‬ ‫(‪.)2, -4‬‬ ‫موجه‬ ‫ّ‬ ‫تمرين‬ ‫الدرس ‪1-1‬‬ ‫‪| 6‬‬  ‫هناك طريقة أخرى لحل نظام المعادالت وهي تمثيل المعادالت بيانيا على نفس المستوى اإلحداثي‪.‬ونقطة‬ ‫ً‬ ‫التقاطع تمثل الحل‪.‬‬ ‫مثال ‪ 2‬الحل باستخدام التمثيل البياني‬ ‫ح ّل نظام المعادالت باستخدام التمثيل البياني‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫‪2x - y = -1‬‬ ‫‪2y + 5x = -16‬‬ ‫اكتب كل معادلة بصيغة الميل والمقطع‪.‬‬ ‫‪2x - y = -1‬‬ ‫→‬ ‫‪y = 2x + 1‬‬ ‫‪2y + 5x = -16‬‬ ‫→‬ ‫‪y = -2.5x - 8‬‬ ‫يتقاطع التمثيالن البيانيان للمستقيمين عند النقطة (‪.)-2, -3‬‬ ‫نصيحة دراسية‬ ‫التحقق قم بالتعويض عن اإلحداثيات في كل معادلة أصلية‪.‬‬ ‫التحقق من الحلول تحقق‬ ‫دائما لمعرفة إذا ما كانت‬ ‫ً‬ ‫‪2x - y = -1‬‬ ‫‪2y + 5x = -16‬‬ ‫المعادالت األصلية‬ ‫القيم تالئم كلتا المعادلتين‬ ‫‪2(-2) - (-3)  -1‬‬ ‫‪2(-3) + 5(-2)  -16‬‬ ‫‪ x = -2‬و ‪y = -3‬‬ ‫األصليتين‪.‬‬ ‫✓ ‪-1 = -1‬‬ ‫✓ ‪-16 = -16‬‬ ‫بسط‪.‬‬‫ّ‬ ‫حل النظام هو (‪.)-2, -3‬‬ ‫موجه‬ ‫تمرين ّ‬ ‫‪2A. 4x + 3y = 12‬‬ ‫‪2B. -3y + 8x = 36‬‬ ‫‪-6x + 4y = -1‬‬ ‫‪6x + y = -21‬‬ ‫متوافقا إذا كان له حل واحد على‬ ‫ً‬ ‫يمكن تصنيف أنظمة المعادالت حسب عدد الحلول‪.‬حيث يكون النظام‬ ‫مستقل‪ ،‬ولكن إذا كان‬ ‫ً‬ ‫يكون‬ ‫بالضبط‪،‬‬ ‫األقل ويكون غير متوافق إذا لم تكن له أي حلول‪.‬وإذا كان له حل واحد‬ ‫له عدد ال نهائي من الحلول‪ ،‬يكون غير مستقل‪.‬‬ ‫نصيحة دراسية‬ ‫الميل وتصنيف األنظمة إذا‬ ‫مثال ‪ 3‬تصنيف األنظمة‬ ‫كان للمعادالت درجات ميل‬ ‫ٍ‬ ‫عندئذ‬ ‫مختلفة‪ ،‬يكون النظام‬ ‫متوافقا وغير مستقل‪ ،‬أو غير‬ ‫ً‬ ‫ومستقل‪ ،‬أو‬ ‫ً‬ ‫متوافقا‬ ‫ً‬ ‫م ّثل كل نظام معادالت بيانيا وصفه من حيث كونه‬ ‫ً‬ ‫ومستقل‪.‬‬ ‫ً‬ ‫متوافقا‬ ‫ً‬ ‫متوافق‪.‬‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫يتقاطع التمثيالن البيانيان للمستقيمين‬ ‫نظرا ألن المعادلتين متكافئتين‪ ،‬يكون‬ ‫ً‬ ‫عند نقطة واحدة‪ ،‬لذا فهناك حل‬ ‫تمثيلهما البياني هو الخط نفسه‪.‬‬ ‫ومستقل‪.‬‬ ‫ً‬ ‫متوافقا‬ ‫ً‬ ‫واحد‪.‬ويكون النظام‬ ‫متوافقا وغير مستقل‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ويكون النظام‬ ‫موجه‬ ‫ّ‬ ‫تمرين‬ ‫‪7‬‬  ‫وفيما يلي تلخيص للعالقة بين التمثيل البياني وحلول النظام‪.‬‬ ‫ملخص المفهوم خصائص األنظمة الخطية‬ ‫غير متوافق‬ ‫متوافق وغير مستقل‬ ‫متوافق ومستقل‬ ‫مستقيمان متوازيان؛‬ ‫نفس المستقيم؛ عدد‬ ‫مستقيمان متقاطعان؛‬ ‫ال يوجد حل‬ ‫ال نهائي من الحلول‬ ‫حل واحد‬ ‫حل األنظمة جبريا تستخدم الطرق الجبرية إليجاد حلول دقيقة ألنظمة المعادالت‪.‬وإحدى الطرق‬ ‫ً‬ ‫الجبرية ُتدعى طريقة التعويض‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المفهوم األساسي طريقة التعويض‬ ‫حل معادلة واحدة ألحد المتغيرين‪.‬‬ ‫الخطوة ‪1‬‬ ‫ عوض بالتعبير الناتج في المعادلة األخرى الستبدال المتغير‪.‬ثم جد حل المعادلة‪.‬‬ ‫الخطوة ‪2‬‬ ‫ّ‬ ‫عوض إليجاد الحل للمتغير اآلخر‪.‬‬‫ّ‬ ‫الخطوة ‪3‬‬ ‫قيودا ويتم تمثيلها‬ ‫ً‬ ‫يمكن استخدام أنظمة المعادالت لحل العديد من المسائل من الحياة اليومية التي تتضمن‬ ‫باستخدام دالتين مختلفتين أو أكثر‪.‬‬ ‫مثال من الحياة اليومية ‪ 4‬استخدام طريقة التعويض‬ ‫األعمال لدى أحمد شركة لدعم أجهزة الكمبيوتر‪.‬وهو يقدر أن تكلفة تشغيل أعمال شركته يمكن أن‬ ‫أيضا أن دخله يمكن أن تمثله‬ ‫يقدر ً‬ ‫تمثلها المعادلة ‪ ،y = 48x + 500‬حيث ‪ x‬هي عدد العمالء‪.‬وهو ّ‬ ‫المعادلة ‪.y = 65x - 145‬فكم عدد العمالء الذين سيحتاج إليهم أحمد من أجل الوصول لنقطة‬ ‫عميل؟‬ ‫ً‬ ‫التعادل؟ وما أرباحه إذا كان لديه ‪60‬‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫معادلة الدخل‬ ‫عوض عن ‪ 48x + 500‬بـ‪.y‬‬ ‫ّ‬ ‫اطرح ‪ 48x‬من كل طرف‪.‬‬ ‫اجمع ‪ 145‬على كل طرف‪.‬‬ ‫اقسم كل طرف على ‪.17‬‬ ‫عميل ليصل لنقطة التعادل‪.‬وإذا كان لديه‬ ‫ً‬ ‫يحتاج أحمد إلى ‪38‬‬ ‫عميل‪ ،‬فسيبلغ دخله ‪ 65(60) - 145‬أو ‪،AED 3755‬‬ ‫ً‬ ‫‪60‬‬ ‫وستبلغ التكلفة الواقعة عليه ‪ 48(60) + 500‬أو ‪،AED 3380‬‬ ‫لذا فسيبلغ ربحه ‪ 3755 - 3380‬أو ‪.AED 375‬‬ ‫التحقق يمكنك استخدام حاسبة التمثيل البياني للتحقق من هذا الحل‪.‬‬ ‫وتقع نقطة التعادل بالقرب من (‪.)37.9, 2321.2‬‬ ‫عميل‪.‬‬ ‫ً‬ ‫استخدم دالة ‪ CALC‬إليجاد التكلفة والدخل لـ ‪60‬‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫‪ | 8‬الدرس ‪| 1-1‬‬  ‫موجه‬ ‫ّ‬ ‫تمرين‬ ‫استخدم التعويض لحل كل نظام من أنظمة المعادالت‪.‬‬ ‫يمكنك استخدام طريقة الحذف لحل أحد األنظمة عندما يكون ألحد المتغيرين نفس المعامل في كلتا‬ ‫المعادلتين‪.‬‬ ‫المفهوم األساسي طريقة الحذف‬ ‫الخطوة ‪  1‬اضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد لينتج معادلتين تحتويان على حدين متعاكسين‪.‬‬ ‫واحدا‪.‬ثم جد حل المعادلة‪.‬‬ ‫ً‬ ‫الخطوة ‪ 2‬اجمع المعادلتين‪ ،‬مما سيحذف متغيرا‬ ‫ً‬ ‫عوض إليجاد الحل للمتغير اآلخر‪.‬‬ ‫الخطوة ‪3‬‬ ‫ّ‬ ‫ويمكن حذف المتغيرين عن طريق الجمع أو الطرح‪.‬‬ ‫مثال ‪ 5‬الحل باستخدام الحذف‬ ‫نصيحة دراسية‬ ‫استخدم طريقة الحذف لحل نظام المعادالت‪.‬‬ ‫المثابرة تذكر عندما تجمع أو‬ ‫تطرح إحدى المعادلتين من‬ ‫‪5x + 3y = -19‬‬ ‫الحظ أن الحل باستخدم التعويض‬ ‫األخرى بأن تقوم بجمع أو طرح‬ ‫‪8x + 3y = -25‬‬ ‫كسورا‪.‬‬ ‫ً‬ ‫يتضمن‬ ‫كل حد‪ ،‬بما في ذلك الثابت‬ ‫الموجود على الطرف اآلخر‬ ‫اضرب معادلة واحدة في ‪ -1‬بحيث تحتوي المعادلة على ‪ 3y‬و ‪.-3y‬‬ ‫الخطوة ‪1‬‬ ‫من عالمة يساوي‪.‬‬ ‫‪8x + 3y = -25‬‬ ‫اضرب في ‪.-1‬‬ ‫‪-8x - 3y = 25‬‬ ‫الخطوة ‪ 2‬اجمع المعادلتين لحذف متغير واحد‪.‬‬ ‫المعادلة ‪1‬‬ ‫المعادلة ‪×(-1) 2‬‬ ‫اجمع المعادلتين‪.‬‬ ‫اقسم كل طرف على ‪.-3‬‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫أي من المعادلتين األصليتين‪.‬‬ ‫عوض بـ ‪ -2‬عن ‪ x‬في ٍ‬ ‫الخطوة ‪3‬‬ ‫ّ‬ ‫المعادلة ‪2‬‬ ‫‪x = -2‬‬ ‫اضرب‪.‬‬ ‫أضف ‪ 16‬إلى كل طرف‪.‬‬ ‫اقسم كل طرف على ‪.3‬‬ ‫الحل هو )‪.(-2, -3‬‬ ‫موجهة‬ ‫تمارين ّ‬ ‫‪5A. 4x - 3y = -22‬‬ ‫‪5B. 6x - 5y = -8‬‬ ‫‪5C. 2x - 9y = 34‬‬ ‫مراجعةالمفردات‬ ‫‪2x + 3y = 16‬‬ ‫‪4x - 5y = -12‬‬ ‫‪-2x + 6y = -28‬‬ ‫المضاعف المشترك األصغر‬ ‫مضاعفا‬ ‫ً‬ ‫هو أصغر عدد يمثل‬ ‫مشتركا لعددين أو أكثر‬ ‫ً‬ ‫أي من المتغيرين‪.‬ويمكنك استخدام الضرب‬ ‫في بعض األحيان‪ ،‬لن يؤدي جمع أو طرح المعادلتين إلى حذف ٍ‬ ‫والمضاعف المشترك األصغر إليجاد معامل مشترك‪.‬‬ ‫‪9‬‬  ‫ال يوجد حل ويوجد عدد ال نهائي من الحلول‬ ‫مثال ‪ 6‬على االختبار المعياري‬ ‫ح ّل نظام المعادالت‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫)‪A (3, 1‬‬ ‫)‪B (8, 4‬‬ ‫ال يوجد حل ‪C‬‬ ‫عدد ال نهائي من احللول ‪D‬‬ ‫قراءة فقرة االختبار‬ ‫ويطلب منك إيجاد الحل‪.‬‬ ‫يتم إعطاؤك نظام مكون من معادلتين خطيتين ُ‬ ‫ح ّل فقرة االختبار‬ ‫ُ‬ ‫ألي من المتغيرين‪.‬ومعامال متغيري ‪ y‬هما ‪ 3‬و ‪ 9‬والمضاعف المشترك األصغر لهما هو ‪،9‬‬ ‫ٍ‬ ‫معامل‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫لذا فاضرب كل معادلة في القيمة التي ستجعل معامل ‪ y‬يكون ‪.9‬‬ ‫بالضرب يف ‪.3‬‬ ‫نصيحة دراسية‬ ‫جمع المعادالت وطرحها إذا‬ ‫اطرح المعادلتين‪.‬‬ ‫جمعت أو طرحت معادلتين‬ ‫نظرا ألن ‪ 0 = 102‬غير صحيح‪ ،‬فإن هذا النظام ليس له حل‪.‬‬ ‫في نظام وكانت النتيجة هي‬ ‫ً‬ ‫معادلة غير صحيحة على‬ ‫اإلجابة الصحيحة هي ‪.C‬‬ ‫اإلطالق‪ ،‬فإن النظام يكون غير‬ ‫متوافق‪.‬وعند جمع أو طرح‬ ‫معادلتين في نظام مع كون‬ ‫موجه‬ ‫ّ‬ ‫تمرين‬ ‫النتيجة معادلة صحيحة دائما‪،‬‬ ‫ً‬ ‫فإن النظام يكون غير مستقل‪.‬‬ ‫‪2x + 3y = 5‬‬ ‫‪.6‬حل نظام المعادالت‪.‬‬ ‫‪6x + 9y = 15‬‬ ‫)‪F (-2, 3‬‬ ‫)‪G (7, 3‬‬ ‫ال يوجد حل ‪H‬‬ ‫عدد ال نهائي من احللول ‪J‬‬ ‫ُيلخص ما يلي الطرق المختلفة لحل األنظمة‪.‬‬ ‫ملخص المفهوم حل أنظمة المعادالت‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫التوقيت األمثل لالستخدام‬ ‫الطريقة‬ ‫دقيقا‬ ‫ً‬ ‫حل‬ ‫لتقدير الحل‪ ،‬بما أن الجدول قد ال يعطي ً‬ ‫الجدول‬ ‫دقيقا عادة‬ ‫ً‬ ‫حل‬ ‫لتقدير الحل‪ ،‬بما أن التمثيل البياني ال يعطي ً‬ ‫التمثيل البياني‬ ‫إذا كان أحد المتغيرات في أي من المعادلتين له معامل‬ ‫‪ 1‬أو ‪-1‬‬ ‫التعويض‬ ‫الربط بتاريخ الرياضيات‬ ‫نينا كارلوفنا باري‬ ‫ِ‬ ‫معامالت متعاكسة في المعادلتين‬ ‫إذا كان أحد المتغيرات له‬ ‫الحذف باستخدام الجمع‬ ‫)‪ (1901–1961‬اعتبرت‬ ‫عالمة الرياضيات الروسية نينا‬ ‫إذا كان أحد المتغيرات له المعامل نفسه في المعادلتين‬ ‫الحذف باستخدام الطرح‬ ‫كارلوفنا باري الرائدة األولى‬ ‫بالرياضيات في جامعة موسكو‬ ‫الحكومية‪ ،‬الظاهرة أعاله‪.‬‬ ‫إن لم يكن أي من المعامالت يساوي ‪ 1‬أو ‪ -1‬وال يمكن حذف أي‬ ‫الحذف باستخدام الضرب‬ ‫وهي تشتهر بكتابيها المدرسيين‬ ‫من المتغيرات ببساطة بجمع المعادالت أو طرحها‬ ‫‪ Higher Algebra‬و ‪The‬‬ ‫‪.Theory of Series‬‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫‪ | 10‬الدرس ‪| 1-1‬‬  ‫التحقق من فهمك‬ ‫ح ّل كل نظام معادالت باستخدام جدول‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫  ‪1. y = 3x - 4‬‬ ‫‪2. 4x - y = 1‬‬ ‫‪y = -2x + 11‬‬ ‫‪5x + 2y = 24‬‬ ‫ح ّل كل من أنظمة المعادالت باستخدام التمثيل البياني‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫  ‪3. y = -3x + 6‬‬ ‫‪4. y = -x - 9‬‬ ‫‪2y = 10x - 36‬‬ ‫‪3y = 5x + 5‬‬ ‫  ‪5. y = 0.5x + 4‬‬ ‫‪6. -3y = 4x + 11‬‬ ‫‪3y = 4x - 3‬‬ ‫‪2x + 3y = -7‬‬ ‫  ‪7 4x + 5y = -41‬‬ ‫‪8. 8x - y = 50‬‬ ‫‪3y - 5x = 5‬‬ ‫‪x + 4y = -2‬‬ ‫الصور الرقمية‬ ‫‪.9‬تمثيل النماذج راجع الجدول الظاهر على اليمين‪.‬‬ ‫املتجر على اإلنرتنت‬ ‫‪ AED 3‬لكل صورة ‪+‬‬ ‫‪.a‬اكتب معادالت ّ‬ ‫تمثل تكلفة طباعة الصور الرقمية‬ ‫‪ AED 20‬مصاريف شحن‬ ‫في كل معمل تحميض‪.‬‬ ‫املتجر احمللي‬ ‫‪.b‬تحت أي ظروف قد تصبح تكلفة طباعة الصور‬ ‫‪ AED 5‬لكل صورة‬ ‫الرقمية هي نفسها في كال المتجرين؟‬ ‫‪.c‬متى يكون من األفضل استخدام المتجر على‬ ‫اإلنترنت ومتى يكون من األفضل استخدام‬ ‫المتجر المحلي؟‬ ‫متوافقا وغير مستقل‪ ،‬أو غير متوافق‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ومستقل‪ ،‬أو‬ ‫ً‬ ‫متوافقا‬ ‫ً‬ ‫م ّثل كل نظام معادالت بيانيا وصفه من حيث كونه‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ً‬ ‫  ‪10. y + 4x = 12‬‬ ‫  ‪11. -2x - 3y = 9‬‬ ‫‪12. 9x – 2y = 11‬‬ ‫‪3y = 8 - 12x‬‬ ‫‪4x + 6y = -18‬‬ ‫‪5x + 4y = 13‬‬ ‫ح ّل كل نظام من أنظمة المعادالت باستخدام التعويض‪.‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫ُ‬ ‫  ‪13. x + 5y = 3‬‬ ‫  ‪14. y = 2x - 10‬‬ ‫‪15. 2a + 8b = -8‬‬ ‫‪3x - 2y = -8‬‬ ‫‪y = -4x + 8‬‬ ‫‪3a - 5b = 22‬‬ ‫  ‪16. a - 3b = -22‬‬ ‫  ‪17. 6x - 7y = 23‬‬ ‫‪18. 9c - 3d = -33‬‬ ‫‪4a + 2b = -4‬‬ ‫‪8x + 4y = 44‬‬ ‫‪6c + 5d = -8‬‬ ‫ح ّل كل نظام من أنظمة المعادالت باستخدام الحذف‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫المثاالن ‪5–6‬‬ ‫  ‪19. -6w - 8z = -44‬‬ ‫  ‪20. 4x - 3y = 29‬‬ ‫‪21. 3a + 5b = -27‬‬ ‫‪3w + 6z = 36‬‬ ‫‪4x + 3y = 35‬‬ ‫‪4a + 10b = -46‬‬ ‫  ‪22. 8a - 3b = -11‬‬ ‫  ‪23. 5a + 15b = -24‬‬ ‫‪24. 6x - 4y = 30‬‬ ‫‪5a + 2b = -3‬‬ ‫‪-2a - 6b = 28‬‬ ‫‪12x + 5y = -18‬‬ ‫‪.25‬االختيار من متعدد ما هو حل النظام الخطي؟‬ ‫‪4x + 3y = 2‬‬ ‫‪4x - 2y = 12‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪(8, -10‬‬ ‫)‪B (2, -2‬‬ ‫)‪C (-10, 14‬‬ ‫ال يوجد حل ‪D‬‬ ‫‪11‬‬  ‫التمرين وحل المسائل‬ ‫ح ّل كل نظام معادالت باستخدام جدول‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫  ‪26. y = 5x + 3‬‬ ‫  ‪27. 3x - 4y = 16‬‬ ‫‪28. 2x - 5 = y‬‬ ‫‪y=x-9‬‬ ‫‪-6x + 5y = -29‬‬ ‫‪-3x + 4y = 0‬‬ ‫‪.29‬جمع التبرعات لجمع المال للزي الرسمي الجديد‪،‬‬ ‫قام مشجعو الفريق ببيع القمصان والقبعات‪.‬ويتم‬ ‫عرض تكلفة وسعر بيع كل قطعة‪.‬وقد أنفق‬ ‫المشجعون ما مجموعه ‪ AED 2000‬على القمصان‬ ‫والقبعات‪.‬وقد باعوا جميع البضائع‪ ،‬وجنوا‬ ‫‪.AED 3375‬فكم عدد القمصان التي قاموا ببيعها؟‬ ‫ح ّل كل نظام معادالت بالتمثيل البياني‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫  ‪30. -3x + 2y = -6‬‬ ‫  ‪31. 4x + 3y = -24‬‬ ‫‪32. 6x - 5y = 17‬‬ ‫‪-5x + 10y = 30‬‬ ‫‪8x - 2y = -16‬‬ ‫‪6x + 2y = 31‬‬ ‫  ‪33. -3x - 8y = 12‬‬ ‫  ‪34. y - 3x = -29‬‬ ‫‪35. -10x + 4y = 7‬‬ ‫‪12x + 32y = -48‬‬ ‫‪9x - 6y = 102‬‬ ‫‪2x - 5y = 7‬‬ ‫‪.36‬تمثيل النماذج تمتلك هداية قسيمة بقيمة ‪ AED 10‬وقسيمة خصم بنسبة ‪ 15%‬لمتجرها‬ ‫المفضل‪.‬والمتجر لديه سياسة تنص على عدم إمكانية استخدام أكثر من قسيمة واحدة لكل‬ ‫عملية شراء‪.‬فمتى يكون من األفضل لهداية استخدام القسيمة بقيمة ‪ ،AED 10‬ومتى يكون‬ ‫من األفضل لها استخدام قسيمة الخصم بنسبة ‪15%‬؟‬ ‫متوافقا وغير مستقل‪ ،‬أو غير‬ ‫ً‬ ‫ومستقل‪ ،‬أو‬ ‫ً‬ ‫متوافقا‬ ‫ً‬ ‫م ّثل كل نظام معادالت بيانيا ِ‬ ‫وصفه من حيث كونه‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ً‬ ‫متوافق‪.‬‬ ‫  ‪37. y = 3x - 4‬‬ ‫  ‪38. y = 2x - 1‬‬ ‫‪39. 2x + 5y = 10‬‬ ‫‪y = 6x - 8‬‬ ‫‪y = 2x + 6‬‬ ‫‪-4x - 10y = 20‬‬ ‫  ‪40. x - 6y = 12‬‬ ‫  ‪41. -5x - 6y = 13‬‬ ‫‪42. 8y - 3x = 15‬‬ ‫‪3x + 18y = 14‬‬ ‫‪12y + 10x = -26‬‬ ‫‪-16y + 6x = -30‬‬ ‫ح ّل كل نظام من أنظمة المعادالت باستخدام التعويض‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫‪43. 9y + 3x = 18‬‬ ‫  ‪44. 5x - 20y = 70‬‬ ‫‪45. -4x - 16y = -96‬‬ ‫‪-3y - x = -6‬‬ ‫‪6x + 5y = -32‬‬ ‫‪7x + 3y = 68‬‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫  ‪46. -4a - 5b = 14‬‬ ‫  ‪47. -9c - 4d = 31‬‬ ‫‪48. 8f + 3g = 12‬‬ ‫‪9a + 3b = -48‬‬ ‫‪6c + 6d = -24‬‬ ‫‪-32f - 12g = 48‬‬ ‫شخصا يلعبون التنس‪.‬البعض يلعب مباراة زوجية‪ ،‬والبعض يلعب مباراة‬ ‫ً‬ ‫‪.49‬التنس في أحد المتنزهات‪ ،‬هناك ‪38‬‬ ‫فردية‪.‬وتجرى ‪ 13‬مباراة‪.‬حيث تتطلب المباراة الزوجية ‪ 4‬العبين‪ ،‬وتتطلب المباراة الفردية اثنين من الالعبين‪.‬‬ ‫يمثل عدد المباريات الفردية والزوجية التي يجري لعبها‪.‬‬ ‫نظاما من معادلتين ّ‬ ‫ً‬ ‫‪.a‬اكتب‬ ‫‪.b‬ما عدد المباريات المقامة من كل نوع؟‬ ‫ح ّل كل نظام من أنظمة المعادالت باستخدام الحذف‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫المثاالن ‪5–6‬‬ ‫  ‪50. 8x + y = 27‬‬ ‫  ‪51. 2a - 5b = -20‬‬ ‫‪52. 6j + 4k = -46‬‬ ‫‪-3x + 4y = 3‬‬ ‫‪2a + 5b = 20‬‬ ‫‪2j + 4k = -26‬‬ ‫  ‪53. 3x - 8y = 24‬‬ ‫  ‪54. 5a - 2b = -19‬‬ ‫‪55. r - 6t = 44‬‬ ‫‪-12x + 32y = 96‬‬ ‫‪8a + 5b = -55‬‬ ‫‪9r + 12t = 0‬‬ ‫  ‪56. 6d + 5f = -32‬‬ ‫  ‪57. 11u = 5v + 35‬‬ ‫‪58. -1.2c + 3.4d = 6‬‬ ‫‪5d - 9f = 26‬‬ ‫‪8v = -6u + 62‬‬ ‫‪6c = -30 + 17d‬‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫‪ | 12‬الدرس ‪| 1-1‬‬  ‫استخدم حاسبة التمثيل البياني لحل كل نظام من أنظمة المعادالت‪.‬قرب إحداثيات التقاطع ألقرب جزء‬ ‫ّ‬ ‫‪B‬‬ ‫من مئة‪.‬‬ ‫  ‪59. 12y = 5x - 15‬‬ ‫  ‪60. -3.8x + 2.9y = 19‬‬ ‫‪61. 5.8x - 6.3y = 18‬‬ ‫‪4.2y + 6.1x = 11‬‬ ‫‪6.6x - 5.4y = -23‬‬ ‫‪-4.3x + 8.8y = 32‬‬ ‫ح ّل كل نظام من أنظمة المعادالت‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫‪ 1‬عكس التيار (ضد التيار) في ‪ 24‬دقيقة‪.‬وقالت إنه‬ ‫‪.68‬التجديف يمكن لعلياء التجديف بقارب مسافة‬ ‫كل من سرعة التجديف وسرعة‬ ‫يمكنها التجديف لنفس المسافة في اتجاه التيار في ‪ 13‬دقيقة‪.‬بافتراض أن ً‬ ‫التيار ثابتة‪.‬‬ ‫‪.a‬جد السرعة التي تجدف بها علياء وسرعة التيار‪.‬‬ ‫‪ 3‬عكس التيار بعد ساعة من اآلن‪ ،‬فهل‬ ‫‪.b‬إذا كانت علياء تخطط للقاء أصدقائها على مسافة‬ ‫ستصل في الوقت المحدد؟ اشرح‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪.69‬تمثيل النماذج ُيظهر الجدول التوقيتات الفائزة بالثواني لسباق الـ‬ ‫في األولومبياد بين ‪ 1964‬و ‪.2008‬‬ ‫المدة الزمنية للفائز بالميدالية المدة الزمنية للفائز بالميدالية‬ ‫السنوات منذ ‪1964,‬‬ ‫الذهبية من النساء‬ ‫الذهبية من الرجال‬ ‫‪x‬‬ ‫‪11.4‬‬ ‫‪10.0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪11.0‬‬ ‫‪9.90‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11.07‬‬ ‫‪10.14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11.08‬‬ ‫‪10.06‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11.06‬‬ ‫‪10.25‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪10.97‬‬ ‫‪9.99‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10.54‬‬ ‫‪9.92‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪10.82‬‬ ‫‪9.96‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪10.94‬‬ ‫‪9.84‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪10.75‬‬ ‫‪9.87‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪10.93‬‬ ‫‪9.85‬‬ ‫‪40‬‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫‪10.78‬‬ ‫‪9.69‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪.a‬اكتب المعادلتين اللتين تمثالت المدتين الزمنيتين للفائزين من الرجال والنساء منذ عام ‪.1964‬بافتراض أن كال‬ ‫التوقيتين استمرا في نفس االتجاه‪.‬‬ ‫قدر متى سيلحق أداء النساء بأداء الرجال‪.‬وهل تعتقد أن توقعك منطقي؟ اشرح‪.‬‬ ‫بيانيا‪ّ.‬‬ ‫مثل كلتا المعادلتين‬ ‫‪ّ.b‬‬ ‫ً‬ ‫شهريا باإلضافة إلى عمولة ‪ 2%‬من السعر‬ ‫ً‬ ‫‪.70‬وظائف لدى عبد الكريم عرض عمل سيحصل فيه على ‪AED 800‬‬ ‫شهريا باإلضافة‬ ‫ً‬ ‫‪AED‬‬ ‫‪1200‬‬ ‫على‬ ‫الكريم‬ ‫اإلجمالي للسيارات التي يبيعها‪.‬وفي وظيفته الحالية‪ ،‬يحصل عبد‬ ‫شهريا لجعل العمل الجديد صفقة أفضل؟‬ ‫ً‬ ‫إلى عمولة ‪ 1.5%‬من إجمالي مبيعاته‪.‬كم يجب أن يبيع‬ ‫التكلفة اإلجمالية‬ ‫الطالب‬ ‫البالغون‬ ‫السيارة‬ ‫‪ 71‬السفر انطلق مجموعة من الشباب‬ ‫في رحلة إلى مدينة مالهي‪ ،‬مسافرين‬ ‫‪AED 77‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫في سيارتين‪.‬يعرض الجدول عدد‬ ‫‪AED 95‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫األشخاص في كل سيارة وإجمالي‬ ‫تكلفة الدخول‪.‬جد سعر الدخول‬ ‫للبالغين وللطالب‪.‬‬ ‫‪13‬‬  ‫الهندسة جد النقطة التي يتقاطع عندها أقطار الشكل الرباعي‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪72.‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪.74‬االنتخابات في انتخابات مجلس الطالب‪ ،‬حصل المرشح ‪ A‬على ‪ 55%‬من مجموع األصوات‪ ،‬في حين‬ ‫صوتا‪.‬فإذا حصل المرشح ‪ C‬على ‪ 40%‬من األصوات التي حصل عليها‬ ‫ً‬ ‫حصل المرشح ‪ B‬على ‪1541‬‬ ‫المرشح ‪ ،A‬فما عدد إجمالي التصويتات؟‬ ‫التمثيالت المتعددة في هذه المسألة‪ ،‬ستستكشف أنظمة تتضمن ثالث معادالت خطية ومتغيرين‪.‬‬ ‫‪.75‬‬ ‫‪3y + x = 16‬‬ ‫‪y - 2x = -4‬‬ ‫‪y + 5x = 10‬‬ ‫‪.a‬جدولياّ قم بعمل جدول بقيم ‪ x‬و ‪ y‬لكل معادلة‪.‬‬ ‫‪.b‬تحليليا ما القيم الموجودة في الجدول التي تشير إلى التقاطعات؟ هل هناك حل‬ ‫ً‬ ‫يحقق جميع المعادالت الثالثة؟‬ ‫ً‬ ‫بيانيا ِّ‬ ‫مثل المعادالت الثالث بيانيا على مستوى إحداثي واحد‪.‬‬ ‫ً‬ ‫‪.c‬‬ ‫‪.d‬لفظيا ما الشروط التي يجب تحقيقها في نظام مكون من ثالث معادالت بمتغيرين ليكون‬ ‫ً‬ ‫له حل؟ ما الشروط التي تؤدي إلى عدم وجود حل؟‬ ‫استخدام مهارات التفكير العليا‬ ‫مسائل مهارات التفكير العليا‬ ‫‪.76‬التعليق تقوم غاية وهدى بحل النظام ‪ 6x - 4y = 26‬و ‪.-3x + 4y = -17‬‬ ‫صحيحا؟ اشرح االستنتاج‪.‬‬ ‫ً‬ ‫هل أي منهما‬ ‫هدى‬ ‫غاية‬ ‫حقوق الطبع والتأليف © محفوظة لصالح مؤسسة ‪McGraw-Hill Education‬‬ ‫الحل هو (‪.)–3, –11‬‬ ‫الحل هو (‪.)3, –2‬‬ ‫تحد جد قيمتي ‪ a‬و ‪ b‬التي يكون للنظام التالي عندها الحل (‪.)b - 1, b - 2‬‬ ‫ٍّ‬ ‫‪.77‬‬ ‫‪-8ax + 4ay = -12a‬‬ ‫‪2bx - by = 9‬‬ ‫ومستقل عن ‪ ،d‬فإن ‪a‬‬ ‫ً‬ ‫متوافقا‬ ‫ً‬ ‫متوافقا مع ‪ ،c‬و ‪c‬‬ ‫ً‬ ‫متوافقا وغير مستقل عن‏ ‪b‬‏‪ ،‬و ‪b‬‬ ‫ً‬ ‫‪.78‬االستنتاج إذا كان ‪a‬‬