Double Integration (595) PDF

# समाकलन ## द्विसमाकलन (Double Integration) - (दो चरों वाले फलनों का समाकलन) $$ \iint f(x,y) dxdy $$ - समाकलन का क्रम दांयी तरफ से निर्धारित करते हैं। - इस स्थिति में सर्वप्रथम y के सापेक्ष समाकलन करते हैं, x को अचर मानते हुए, तथा बाद में x के सापेक्ष समाकलन करते हैं। ### Q.1 - $\int_{0}^{b}...

# समाकलन ## द्विसमाकलन (Double Integration) - (दो चरों वाले फलनों का समाकलन) $$ \iint f(x,y) dxdy $$ - समाकलन का क्रम दांयी तरफ से निर्धारित करते हैं। - इस स्थिति में सर्वप्रथम y के सापेक्ष समाकलन करते हैं, x को अचर मानते हुए, तथा बाद में x के सापेक्ष समाकलन करते हैं। ### Q.1 - $\int_{0}^{b} \int_{0}^{a} (x^2+y^2) dxdy$ - **Aus** - $ \int_{0}^{a} [x^2y + \frac{y^3}{3}]_{0}^{b}dx$ - $\implies \int_{0}^{a} (x^2b + b^3)dx$ - $=\int_{0}^{a} [\frac{x^3}{3} + bx^2]_{0}^{b}dx$ - $=[\frac{a^3b}{3} + \frac{ab^3}{3}]$ - $= \frac{ab(a^2 + b^2)}{3}$ ### Q. 2 - $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} \frac{y}{x} dxdy$ - **Ans** - $\int_{0}^{1} [\int_{0}^{x^2} \frac{y}{x} dy ] dx $ - $\implies \int_{0}^{1} [\frac{e^{y/x}}{x}]_{0}^{x^2} dx$ - $\implies \int_{0}^{1} x(e^x -1)dx$ ### Q. 3 - $\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy$ - **Aus** - $\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dy] dx$ - $=\int_{-\infty}^{\infty} [e^{-x^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy] dx$ <br>(सम फलन) - $\implies \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} [\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy]dx$ - $\implies \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \sqrt{\pi} dx$ - $\implies \sqrt{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$ - $= \sqrt{\pi} \sqrt{\pi} = \pi$ ### Q. 4 - $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx $ - **Put** n=2 - $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ### Q. 5 - $\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{2x-x^2}} x dxdy $ - **Ans** - $\int_{0}^{a} x (\int_{0}^{\sqrt{2x - x^2}} dy)dx \implies \int_{0}^{a} x \sqrt{2x - x^2} dx$ - $\implies \int_{0}^{a} 2 sin^2 \theta \sqrt{4sin^2\theta - 4sin^2 \theta} 4sin\theta cos\theta d\theta$ माना $x = 2 sin \theta, dx = 4 sin\theta cos\theta d \theta $ - $ \implies 16 \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } sin^3 \theta cos\theta sin\theta cos\theta d\theta$ limit $x\rightarrow 2 = 0 = \pi, x\rightarrow0 = 0=0$ - $\implies 16 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^3 \theta cos^2 \theta d \theta \implies 16 \frac{(4-1)(4-3)(2-1)}{(6+0)(6-2)(6-4)}$ - $\implies 16\frac{3.1.1}{6.4.2} = \frac{\pi}{2}$ ### Q. 6 - $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1+x^2}} \frac{1}{1+x^2+y^2}dydx$ - **Ans** - $\int_{0}^{1} [\int_{0}^{\sqrt{1+x^2}} \frac{1}{(\sqrt{1+x^2})^2+y^2}dy ] dx$ - $\implies \int_{0}^{1} [\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} tan^{-1} \frac{y}{\sqrt{1+x^2}} ]_{0}^{\sqrt{1+x^2}} dx$ - $\implies \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} tan^{-1}(1) dx = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx $ - $\implies \frac{\pi}{4} [log(x+\sqrt{1+x^2}) ]_{0}^{1}$ - $ = \frac{\pi}{4} [log(1 + \sqrt{2}) - log 1] $ - $= \frac{\pi}{4} log(1 + \sqrt{2})$ ### Q. 7 - $\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a²-y²}} \sqrt{a²-x²-y²} dydx$ - **Ans** - $\int_{0}^{a} [\int_{0}^{\sqrt{a²-y²}} \sqrt{a²-x²-y²}dx ] dy$ - $\implies \int_{0}^{a} [\int_{0}^{\sqrt{a²-y²}} \sqrt{(\sqrt{a²-y²})^2-x²}dx ] dy$ - $\implies \int_{0}^{a} [\frac{x}{2} \sqrt{a²-y²-x²} + \frac{a²-y²}{2} sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{a²-y²}} ]_{0}^{\sqrt{a²-y²}} dy$ - $\implies \int_{0}^{a} (0 + \frac{a²-y²}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) dy$ - $\implies \frac{\pi}{4} \int_{0}^{a} (a²-y²) dy$ - $\implies \frac{\pi}{4} [a²y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{a} $ - $\implies \frac{\pi}{4} [a^3 - \frac{a^3}{3}] = \frac{\pi a^3}{6}$ ### Q. 8 - $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x+y) dxdy $ - **Ans** - $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(x+y) dx ]dy$ - $\implies \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [-cos(x+x) + cos(\frac{\pi}{2} + x)] dx$ - $\implies \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (cosx - sinx) dx$ - $\implies [sinx + cosx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ - $\implies sin \frac{\pi}{2} + cos \frac{\pi}{2} - sin 0 - cos 0$ - $ \implies 1 + 0 - 0 - 1 = 0$ ### Q. 9 - $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}} dy dx $ - **Ans** - $\int_{0}^{1} [\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy]dx$ - $\implies \int_{0}^{1} [sin^{-1}y ] _{0}^{\sqrt{1-x^2}}dx$ - $\implies \int_{0}^{1} [sin^{-1}(1) - sin^{-1}(0)]dx$ - $\implies \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \implies \frac{\pi}{2} (sin^{-1} x)_{0}^{1}$ - $\implies \frac{\pi}{2} [sin^{-1}(1) - sin^{-1}(0)]$ - $\implies \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{2} - 0]$ - $\implies \frac{\pi}{2} (\frac{\pi}{2}) \implies \frac{\pi^2}{4}$ ### Q. 10 - $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x+y) dxdy $ - **Ans** - $\int_{0}^{1} [\int_{0}^{x} (x+y) dx] dy$ - $\implies \int_{0}^{1} [xy + \frac{x^2}{2}]_{0}^{x} dx$ - $\implies \int_{0}^{1} [x² + \frac{x^2}{2}]dx$ - $\implies \int_{0}^{1} \frac{3x^2}{2} dx \implies \frac{3}{2} [\frac{x^3}{3}]_{0}^{1} \implies \frac{1}{2}$ ### Q. 11 - $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} xy dxdy$ का मान है जिसके लिए x+y≤1 हो पर। - **Ans** - $\int_{0}^{1} [\int_{0}^{1-x} xy dy] dx$ - $ \implies \int_{0}^{1} ([\frac{xy^2}{2}]_{0}^{1-x} dx$ - $\implies \int_{0}^{1} \frac{x}{2} (1-x)^2 dx$ - $\implies \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x + x^2 -2x^2)dx$ - $\implies \frac{1}{3} [\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^3}{3}]_{0}^{1} \implies \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}] $ - $= \frac{1}{2} [\frac{1}{6}] = \frac{1}{12}$ ### Q. 12 - $\int_{0}^{\frac{1}{a}} \int_{0}^{1-ax} e^{ax+by} dxdy $ का मान है, जहाँ x=0, y=0 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र पर। - **Ans** - $ \int_{0}^{\frac{1}{a}} [\int_{0}^{1-ax} e^{ax+by} dx] dy$ - $ \implies \int_{0}^{\frac{1}{a}} [\frac{e^{ax+by}}{a}]_{0}^{1-ax} dy$ - $\implies \int_{0}^{\frac{1}{a}} \frac{e^{ax+by}}{a} [\frac{e^{by}}{b}]_{0}^{1-ax} dx $ - $\implies \int_{0}^{\frac{1}{a}} \frac{e^{ax}}{a} [\frac{e^{b(1-ax)}}{b} - \frac{1}{b}]dx$ - $\implies \frac{1}{ab} \int_{0}^{\frac{1}{a}} e^{ax} (e^{b(1-ax)} -1) dx \implies \frac{1}{ab} \int_{0}^{\frac{1}{a}} e^{ax} (e^b \cdot e^{-abx} - 1) dx $ - $\implies \frac{1}{ab} \int_{0}^{\frac{1}{a}} e^{ax+b} e^{-abx} dx - \frac{1}{ab} \int_{0}^{\frac{1}{a}} e^{ax} dx$ - $\implies \frac{e^b}{ab} \int_{0}^{\frac{1}{a}} e^{(a-ab)x} dx - \frac{1}{ab} [\frac{e^{ax}}{a}]_{0}^{\frac{1}{a}}$ - $\implies \frac{e^b}{ab} [\frac{e^{(a-ab)x}}{a-ab}]_{0}^{\frac{1}{a}} - \frac{1}{ab} [\frac{e}{a} - \frac{1}{a}]$ - $\implies \frac{e^b}{ab} [\frac{e^{a-b}}{a-ab} - \frac{1}{a-ab}] - \frac{1}{ab} [\frac{e}{a} - \frac{1}{a}]$ - $ \implies \frac{e^b}{ab} \cdot \frac{ e^{a-b} -1}{a-ab} - \frac{1}{a^2b} (e-1)$ - $ \implies \frac{1}{ab} \cdot \frac{e^a - e^b}{a-ab} - \frac{1}{a^2b} (e-1)$ - $ \implies \frac{1}{ab} [ \frac{e^a - e^b}{a-ab} - \frac{e-1}{a} ] = \frac{1}{ab} [ \frac{e^a- e^b - ae + a}{a-ab} ] = \frac{1}{ab} [ \frac{e^a - ae + (a-e^b)}{a-ab} ] = \frac{1}{ab}$ ### Q. 13 - $\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a²-y²}} xy dy dx $ का मान है जहाँ A वृत्त x²+y²= a² का धनात्मक पाद है? - **Ans** - $\int_{0}^{a} [\int_{0}^{\sqrt{a²-y²}} xy dy] dx$ - $\implies \int_{0}^{a} [\frac{xy^2}{2}]_{0}^{\sqrt{a²-y²}} dx$ - $\implies \int_{0}^{a} \frac{x}{2} (a²-y²) dx$ - $\implies \frac{1}{2} \int_{0}^{a} (a²x - xy²) dx$ - $\implies \frac{1}{2} [\frac{a^2x^2}{2} - \frac{x^2y²}{4}]_{0}^{a}$ - $\implies \frac{1}{2} [\frac{a^4}{2} - \frac{a^4}{4}] $ - $\implies \frac{a^4}{8}$ ### Q. 14 - $\int_{0}^{4a} \int_{0}^{\frac{y^2}{4a}} f(x,y) dxdy $ का मान है, जहाँ समाकलन क्षेत्र परवल्य $ y^2 = 4ax $ तथा $ x = 4ay $ से घिरा है। - **Ans** - प्रतिच्छेद बिंदु - $x = 16a^2y^2 $ - $x^4 = 16a^2.4a^2x^2 $ - $x^4 - 64a^3 x = 0$ - $x(x^3 - 64a^3) = 0$ - $x= 0, x = 4a $ - तब $ y = 0, y = 4a$ - $\int_{0}^{4a} \int_{0}^{\frac{y^2}{4a}} f(x,y)dxdy = \int_{0}^{4a} [\int_{0}^{\frac{y^2}{4a}} f(x,y) dx ]dy $ - $\implies \int_{0}^{4a} [\int_{\frac{x^2}{4a}}^{2 \sqrt{ax}} f(x,y) dy] dx$ ### Q. 15 - $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} f(x,y) dxdy $ का मान है जहाँ समाकलन क्षेत्र परवल्य $ y = x^2 $ तथा रेखा $ y = x $ से घिरा है। - **Ans** - प्रतिच्छेद बिंदु $ y = x^2 $ - $x= x^2 $ - $(x^2 - x )= 0$ - $x(x-1) = 0$ - $x = 0, x=1$ - तब $ y = 0, y = 1$ - $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} f(x,y) dxdy = \int_{0}^{1} [\int_{x^2}^{x} f(x,y) dy ] dx $ ### **Note** - $\int_{x^2}^{y} f(x,y) d y dx = \int_{0}^{1} \int_{y}^{ \sqrt{y}} f(x,y) dy dx $ ### Q. 16 - यदि $F(x,y) = 1-6x^2y$ तब क्षेत्र $0≤x≤2, -1≤y≤1$ पर $ \iint F(x,y) dA $ का मान हैं? - **Ans** - $ \iint F(x,y)dxdy \implies \int_{-1}^{1} [\int_{0}^{2} (1-6x^2y) dx]dy$ - $ \implies \int_{-1}^{1} [y-3x^2y^2] _{0}^{2} dx$ - $\implies \int_{-1}^{1} [y - 3(2)^2y^2 ) - (- 1 - 3 (2)^2y^2)] dx$ - $\implies \int_{-1}^{1} [-1 - 3(2)^2y^2 - ( -1-3(2)^2y^2 ) ] dx$ - $\implies \int_{-1}^{1} ( -1 - 12 y^2 + 1 + 12 y^2) dx \implies \int_{-1}^{1} 0 dx \implies 0$ ### समाकलन के क्रम में परिवर्तन - सर्वप्रथम दिए गए समाकलन की सीमाओं से समाकलन का क्षेत्र निर्धारित करते हैं। - तथा इसके बाद समाकलन के क्रम में परिवर्तन कर मान ज्ञात करते हैं। ### Q. 17 - $\int_{0}^{a} \int_{0}^{x} F(x,y)dxdy$ का मान हैं- - **Ans** - x=0 से x=a - y=0 से y=x - समाकलन के क्रम में परिवर्तन के लिए, पट्टी x - अक्ष के समांतर बनाते हैं। - limit y=0 से y=a - $x = y$ से $x = a$ - $\int_{0}^{a} \int_{y}^{a} F(x,y) dx dy$ ### Q. 18 - $\int_{0}^{\infty} \int_{\frac{y}{2}}^{\infty}dxdy$ का मान हैं? - **Ans** - x=0 से x=∞ - y=0 से y=∞ - समाकलन के क्रम में परिवर्तन से - x=0 से x=y - $y = 0$ से $y = \infty$ - $\int_{0}^{\infty} [\int_{0}^{y} \frac{y}{x} dx] dy$ - $\implies \int_{0}^{\infty} (x\frac{y}{x})_{0}^{y} dy \implies \int_{0}^{\infty} y dy$ - $\implies \int_{0}^{\infty} e^{-y} dy \implies [-e^{-y}]_{0}^{\infty}$ - $\implies -(e^{-\infty})-e^0$ - $\implies -(e^{-0}) \implies 0+1 \implies 1 $ ### Q. 19 - $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \frac{1 + y^2}{e^y} dxdy$ - **Ans** - x= 0 से x= 1 - y= x से y= 1 - समाकलन के क्रम में परिवर्तन से - - y = 0 से y= 1 - x = 0 से x = y - $\implies \int_{0}^{1} [\int_{0}^{y} \frac{1+y²}{e^y} dx]dy$ - $\implies \int_{0}^{1} (xe^{\frac{y}{2}})_{0}^{y} dy \implies \int_{0}^{1} ye^{-y} dy$ ### Q. 20 - $\int_{0}^{1} \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{x}} \frac{y^2}{e^y} dxdy$ का मान है? - **Ans** - x= 0 से x= 1 - y= 1/2 से y= x - समाकलन के क्रम में परिवर्तन से - y = 0 से y= 1 - x = 0 से x = y² - $\implies \int_{0}^{1} [\int_{0}^{y^2} \frac{y^2}{e^y} dx]dy $ - $\implies \int_{0}^{1} (\frac{ xy^2}{e^y} )_{0}^{y^2} dy \implies \int_{0}^{1} (\frac{y^4}{e^y} - 0) dy \implies \int_{0}^{1} \frac{y^4}{e^y} dy $ - $\implies \int_{0}^{1} [(y^4)e^{-y} - \int_{0}^{1} [4y^3 e^{-y} ]dy$ - $ \implies [(y^4-1)e^{-y}]_{0}^{1} - 4[(y^3 - 3y^2 +6y -6)e^{-y}]_{0}^{1}$ - $\implies [ (-1)e^{-1} - (-1)] - 4[(-3+6-6)e^{-1} - (-6)]$ - $ \implies (-1)e^{-1} + 1 - 4(-3) e^{-1} + 24 \implies - e^{-1} + 1 + 12e^{-1} + 24$ - $\implies 11 e^{-1} + 25$ ### Q. 21 - $\int_{0}^{4a} \int_{\frac{x^2}{4a}}^{2\sqrt{ax}} f(x,y) dxdy$ का क्रम बदलने पर मान है ? - **Ans** - x= 0 से x= 4a - y= x^2/4a से y= 2 sqrt{ax} - समाकलन के क्रम में परिवर्तन से - - y= 0 से y= 1 - x= y^2/4a से x= sqrt{y} - $\implies \int_{0}^{1} \int_{\frac{y^2}{4a}}^{\sqrt{y}} f(x,y) dy dx $ ### Q. 22 - $\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} F(x,y) dxdy$ का क्रम बदलने पर मान है? - **Ans** - x=0 से x = 1 - y= x^2 से y= x - समाकलन के क्रम में परिवर्तन से - - y= 0 से y= 1 - x= y^2 से x= sqrt{y} - $\implies \int_{0}^{1} \int_{y^2}^{\sqrt{y}} f(x,y) dx dy $ ### Q. 23 - $\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f(x,y) dxdy$ का क्रम बदलने पर मान है? - **Ans** - x= 0 से x=∞ - y= 0 से y=∞ - समाकलन के क्रम बदलने पर - $y= 0$ से $y= \infty$ - $x=0$ से $x= \infty$ - $\implies \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f(x,y) dy dx$ ### Q. 24 - $\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} f(x,y)dxdy$ में समाकलन का क्रम बदलने पर परिवर्तित रूप है। - **Ans** - x=0 से x= a - y=0 से y= sqrt{a^2-x^2} - $ x^2 + y^2 = a^2$ - समाकलन का क्रम बदलने पर - y = 0 से $y= \sqrt{a^2-y^2}$ - x= 0 से $x= \sqrt{a^2-y^2}$ - $\implies \int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a²-y²}} f(x,y) dy dx $ ### Q. 25 - $\int_{0}^{1} \int_{x}^{2x} F(x,y) dxdy$ का क्रम बदलने पर मान है? - **Ans** - x=0 से x=1 - y= x से y= 2x - समाकलन के क्रम में परिवर्तन से - क्षेत्र A से - y= 0 से y= 1 - x= 0 से x= y - क्षेत्र B से - $y= \frac{1}{2}$ से y= 2 - x= y/2 से x= 1 - $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{y} f(x,y) dx dy + \int_{\frac{1}{2}}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{1} f(x,y) dxdy $ ### द्विसमाकलन से क्षेत्रफल - $\iint f(x,y) dxdy $ - **Put** $f(x,y) = 1$ - $\implies \iint 1 dxdy = \iint dA$ - $= A$ - वक्रों से परिबद्ध क्षेत्रफल $= A$ - क्षेत्रफल = $\int_{a}^{b} \int_{F_1(x)}^{F_2(x)} dx dy = \int_{a}^{b} \int_{F_1(x)}^{F_2(x)} dx dy$ ### Q. 26 - वृत्त $ x^2 + y^2 = a^2$ के धनात्मक पाद का क्षेत्रफल है? - **Ans** - अभीष्ट क्षेत्रफल - $\implies \int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a²-x²}} dxdy$ - $\implies \int_{0}^{a} [\int_{0}^{\sqrt{a²-x²}} 1 dx]dy$ - $ \implies \int_{0}^{a} (\sqrt{a²-x²})dx$ - $\implies \int_{0}^{a} \sqrt{a²-x² }dx \implies [\frac{x}{2}\sqrt{a²-x²}+ \frac{a²}{2} sin^{-1}\frac{x}{a} ]_{0}^{a}$ - $\implies \frac{a^2}{2} sin^{-1}(1) = \frac{a^2}{2} \frac{\pi}{2} \implies \frac{a^2\pi}{4}$ - $\implies \frac{a^2\pi}{4}$ - **Single Integration** - $ \int_{0}^{a} ydx = \int_{0}^{a} \sqrt{a²-x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{a²-x²} + \frac{a²}{2} sin^{-1} \frac{x}{a}]_{0}^{a}$ - $\implies \frac{a^2\pi}{4}$ ### Q. 27 - $ y^2= 4ax$ तथा $x^2 = 4ay$ से परिबद्ध क्षेत्रफल हैं। - **Ans** - $\iint 1 dxdy$ - सीमा - x=0 से x= 4a - y= x²/4a से y=2 sqrt{ax} - $\implies \int_{0}^{4a} \int_{\frac{x²}{4a}}^{2\sqrt{ax}} 1 dxdy \implies \int_{0}^{4a} [\int_{\frac{x^2}{4a}}^{2\sqrt{ax}} \frac{y}{y}dx]dy $ - $\implies \int_{0}^{4a} [\int_{\frac{x^2}{4a}}^{2\sqrt{ax}} dx]dy \implies \int_{0}^{4a} (2\sqrt{ax} - \frac{x^2}{4a} ) dx$ - $\implies \int_{0}^{4a} ( 2\sqrt{a} x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^2}{4a} ) dx$ - $\implies [2\sqrt{a} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{12a} ]_{0}^{4a} $ - $\implies \frac{4}{3} J \sqrt{a} (4a)^{\frac{3}{2}} - \frac{(4a)^3}{12a}$ - $\implies \frac{4}{3} J \sqrt{a} . 8a^{\frac{3}{2}} - \frac{4.16a^3}{12a}$ - $\implies \frac{32}{3} a^2 - \frac{16a^2}{3}$ - $ \implies \frac{16a^2}{3} $ - **अथवा** - $y^2 = 4ax, x^2= 4by $ का क्षे. - $\implies 4a. 4b = 16ab$ - $\implies \frac{4a. 4b}{3} = \frac{16ab}{3}$ ### Q. 28 - क्षेत्र D जो सतत वक्र से परिबद्ध हैं - (i) $ \iint_{D } f(x,y) dxdy$ - (ii) $\iint_{D } y dy dx$ - (iii) $ \iint_{D } dxdy $ - ### ध्रुवीय समाकलन - $\iint f(r, \theta) rdrd\theta $ - **पट्टी का क्षे.** - $dA= dxdy \implies rdrd\theta$ - ऐसी स्थिति में सर्वप्रथम $\theta $ को अचर मानकर r के सापेक्ष समाकलन करते हैं। - तथा बाद में $\theta $ के सापेक्ष समाकलन करते हैं। ### Q. 29 - $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{a sin \theta} rdrd\theta$ - **Aus** - $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [ \frac{r^2}{2}]_{0}^{a sin \theta} d\theta = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2\theta d\theta $ - $\implies \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-cos2\theta}{2} d\theta $ - $\implies \frac{a^2}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-cos2\theta)d\theta$ - $\implies \frac{a^2}{4} [\theta - \frac{Sin2\theta}{2} ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ - $\implies \frac{a^2}{4} [\frac{\pi}{2} - \frac{Sin\pi}{2}] $ - $ \implies \frac{a^2}{4} [\frac{\pi}{2} - 0] = \frac{a^2\pi}{8}$ - **अथवा** - $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{a sin \theta} rdrd\theta = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2 \theta d\theta = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(sin (\pi - \theta))^2}{2} d\theta$ - $\implies \frac{a^2}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2\theta d \theta = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \implies \frac{a^2\pi}{8}$ ### Q. 30 - $\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a(1+cos\theta)} \frac{a(1+cos\theta)}{3} sin\theta d\theta dr$ - **Ans** - $\implies \int_{0}^{\pi} [\frac{