Resistenza al taglio dei terreni PDF

**5. Resistenza al taglio dei terreni** Per le verifiche di resistenza delle opere geotecniche è necessario valutare quali sono gli stati di tensione massimi sopportabili dal terreno in condizioni di prossima rottura. La **[resistenza al taglio]** di un terreno in una direzione è la massima tensio...

**5. Resistenza al taglio dei terreni** Per le verifiche di resistenza delle opere geotecniche è necessario valutare quali sono gli stati di tensione massimi sopportabili dal terreno in condizioni di prossima rottura. La **[resistenza al taglio]** di un terreno in una direzione è la massima tensione tangenziale, τ~f,~ che può essere applicata alla struttura del terreno, in quella direzione, prima che si verifichi la \"rottura\", ovvero quella condizione in cui le deformazioni sono elevate. La rottura può essere improvvisa e definitiva, con perdita totale di resistenza (come avviene per gli ammassi rocciosi), oppure può avere luogo dopo grandi deformazioni plastiche, senza completa perdita di resistenza (come avviene nei terreni). Nella Meccanica delle Terre si parla di resistenza al taglio, perché in tali materiali, a causa della loro natura particellare, le deformazioni (e la rottura) avvengono principalmente per scorrimento relativo fra i grani. Per la soluzione dei problemi di meccanica del terreno è possibile, in virtù del principio delle tensioni efficaci, riferirsi al terreno saturo (mezzo particellare con gli spazi fra le particelle riempiti di acqua) come alla sovrapposizione di due mezzi continui: un continuo solido corrispondente alle particelle di terreno, ed un continuo fluido, corrispondente all\'acqua che occupa i vuoti interparticellari. **Richiami sulla rappresentazione di un sistema piano di tensioni** Se per un punto O all\'interno di un corpo si considerano tutti i possibili elementi superficiali infinitesimi diversamente orientati, ossia appartenenti alla stella di piani che ha centro in O, le tensioni su di essi variano da elemento a elemento. È possibile dimostrare che esistano tre piani, fra loro ortogonali, su cui agiscono esclusivamente tensioni normali. Questi tre piani sono detti **[principali]**, e le tensioni che agiscono su di essi sono dette **[tensioni principali]**. La tensione principale maggiore (che agisce sul piano principale maggiore π~1~) è indicata con σ~1~, la tensione principale intermedia (che agisce sul piano principale intermedio π~2~) è indicata con σ~2~, la tensione principale minore (che agisce sul piano principale minore π~3~) è indicata con σ~3~. In particolari condizioni di simmetria, due o anche le tre tensioni principali possono assumere lo stesso valore. Il caso in cui le tre tensioni principali hanno lo stesso valore è detto **[caso di tensione isotropa]**: in condizione di tensione isotropa, tutti i piani sono principali e la tensione è uguale in tutte le direzioni. Quando due delle tre tensioni principali sono uguali, lo stato tensionale si definisce **[assial-simmetrico]** e tutti i piani che hanno per asse la direzione della tensione principale diversa dalle altre due, sono piani principali. Poiché spesso gli stati tensionali critici per i terreni interessano piani normali al piano principale intermedio, ovvero piani avente per asse la direzione della tensione principale intermedia, è possibile trascurare il valore e gli effetti della tensione principale intermedia e riferirsi ad un sistema **piano** di tensioni (σ~2~ = 0).  Il cerchio di Mohr è il luogo delle condizioni di tensione di tutti i piani del fascio. Per disegnare il cerchio, occorre prima posizionare i punti A e B sull\'asse X, in modo tale che i segmenti OA e OB siano proporzionali rispettivamente alla tensione principale minore, σ~3~, e alla tensione principale maggiore, σ~1~, e poi tracciare il cerchio di diametro AB. Tale cerchio è il luogo degli stati di tensione di tutti i piani del fascio. Sul cerchio di Mohr è utile definire il concetto di **[polo]** o origine dei piani, come il punto tale che qualunque retta uscente da esso interseca il cerchio in un punto le cui coordinate rappresentano lo stato tensionale agente sul piano che ha per traccia la retta considerata. Il criterio di resistenza (o di rottura) di un terreno è definibile attraverso una **[superficie]** (o **[curva]**) **[limite]**, definita come il luogo geometrico che separa gli stati tensionali possibili da quelli impossibili. **Criterio di rottura di Mohr-Coulomb** La resistenza del terreno, che a causa della natura particellare del mezzo, è una resistenza al taglio, viene espressa da una relazione (**[criterio di rottura]**) del tipo: \ [*τ*~*f*~ = *f*(*σ*^′^)]{.math.display}\ \ []{.math.display}\ Il criterio di rottura più semplice ed utilizzato per i terreni è il **[criterio di Mohr-Coulomb]**: \ [*τ*~*f*~ = *c*′ + ( *σ* − *u*)   *tanϕ*′ = *c*′ + *σ*~*n*, *f*~^′^   *tanϕ*′]{.math.display}\ - c = **[coesione]** = resistenza al taglio in assenza di tensioni normali; è indipendente dalla tensione efficace normale alla superficie agente in quel punto - tanφ = **[attrito]** = incremento della resistenza al taglio con σ; l\'angolo φ è detto **[angolo di resistenza al taglio]** Nel piano di Mohr, l\'equazione rappresenta una retta, detta **[retta di inviluppo di rottura]** che separa gli stati tensionali possibili da quelli privi di significato fisico in quanto incompatibili con la resistenza del materiale. in base al quale la tensione tangenziale limite di rottura in un generico punto P di una superficie di scorrimento potenziale interna al terreno è data dalla somma di due termini:  I punti come A e B rappresentano stati tensionali a rottura; il punto C rappresenta uno stato tensionale che ha un certo margine di sicurezza rispetto alla situazione di rottura; il punto D invece non ha significato fisico, in quanto rappresenta uno stato tensionale che nella realtà non può verificarsi, non essendo compatibile con la resistenza del materiale. Quando lo stato tensionale è definito in termini di tensioni principali σ\'~1~ e σ\'~3~, agenti su due piani tra loro ortogonali, la costruzione del cerchio di Mohr permette la determinazione dello stato tensionale agente su qualunque altro piano.  ***Osservazioni sull\'inviluppo di rottura*** - il criterio di Mohr-Coulomb non dipende dalla tensione principale intermedia - i parametri di resistenza al taglio, c e φ non sono caratteristiche fisiche del terreno, ma sono funzione di molti fattori, fra cui: storia tensionale, indice dei vuoti, livello di tensione e di deformazione, tipo di struttura, composizione granulometrica, temperatura - l\'inviluppo a rottura può presentare c = 0 - l\'inviluppo di rottura non necessariamente è una retta, e spesso la relazione lineare costituisce solo un\'approssimazione dell\'inviluppo reale curvilineo, valida entro un intervallo ristretto di tensioni Occorre poi considerare un\'importante conseguenza del principio delle tensioni efficaci. Quando in un terreno interviene un\'alterazione delle tensioni totali, a causa di carichi, positivi o negativi, applicati in superficie o in profondità, risultano conseguentemente alterate le pressioni interstiziali e le tensioni efficaci, ed ha inizio un processo di filtrazione in regime transitorio (consolidazione). Nei terreni a grana grossa, molto permeabili, questo processo è pressoché istantaneo (sistema aperto), cosicché alle variazioni di tensione totale corrispondono immediatamente analoghe variazioni di tensione efficace, mentre le tensioni interstiziali rimangono inalterate (condizioni drenate). Dunque, noto lo stato tensionale iniziale, è sufficiente conoscere entità e distribuzione degli incrementi di tensione (totale = efficace), indotti dal carico applicato in superficie, per valutare la resistenza al taglio. Nei terreni a grana fine, poco permeabili, non sono generalmente note né l\'entità né l\'evoluzione nel tempo delle variazioni di pressione interstiziale e di tensione efficace conseguenti ad una variazione di tensione totale prodotta dai carichi applicati. Si può solo dire che, se il terreno è saturo, all\'istante di applicazione del carico le deformazioni volumetriche sono nulle (sistema chiuso, condizioni non drenate), mentre possono esserci deformazioni di taglio. Solo dopo che sarà terminato il processo di consolidazione e le sovrappressioni interstiziali si saranno dissipate, le tensioni efficaci e la resistenza al taglio si saranno stabilizzate sul valore finale. Di conseguenza, mentre nei terreni a grana grossa la resistenza al taglio, e quindi le condizioni di stabilità, non variano nel tempo dall\'applicazione del carico, ciò avviene per i terreni a grana fine. Se durante il processo di consolidazione le tensioni efficaci crescono, anche la resistenza al taglio cresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a breve termine. Se invece durante il processo di consolidazione le tensioni efficaci decrescono anche la resistenza al taglio decresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a lungo termine. **Prova di taglio diretto** La prova di taglio diretto è la più antica e la più semplice fra le prove di laboratorio per la determinazione della resistenza al taglio dei terreni. Essa può essere eseguita su campioni ricostruiti di materiali sabbiosi e su campioni indisturbati o ricostruiti di terreni a grana fine. La prova si esegue su almeno tre provini, che in genere hanno una sezione quadrata di lato 60-100 mm e altezza 20-40 mm. La dimensione massima dei grani di terreno deve essere almeno 6 volte inferiore all\'altezza del provino, per cui sono escluse le ghiaie e i ciottoli. Il provino è inserito in un telaio metallico a sezione quadrata diviso in due parti da un piano orizzontale in corrispondenza della semialtezza, ed è verticalmente compreso tra due piastre metalliche forate, oltre ciascuna delle quali vi è una carta filtro ed una piastra di pietra porosa molto permeabile. Attraverso una piastra di carico è possibile distribuire uniformemente sulla testa del provino una forza verticale di compressione. Il tutto è posto in una scatola piena d\'acqua che può essere fatta scorrere con una certa velocità su un\'apposita rotaia. La metà superiore del telaio metallico è impedita di traslare da un contrasto collegato ad un anello dinamometrico (per la misura delle forze orizzontali T applicate), cosicché il movimento della scatola produce la rottura per taglio del provino. La prova si esegue in due fasi: 1. Nella prima fase viene applicata in modo istantaneo e mantenuta costante nel tempo una forza verticale N che da inizio ad un processo di consolidazione edometrica. Durante la prima fase si misurano gli abbassamenti nel tempo del provino, controllando in questo modo il processo di consolidazione e quindi il raggiungimento della tensione verticale efficace media[\$\\sigma\_{n}\^{\'} = \\frac{N}{A}\$]{.math.inline}, essendo A la sezione orizzontale del provino. La durata della prima fase dipende dalla permeabilità del terreno e dall\'altezza del provino 2. Nella seconda fase avviene lo scorrimento orizzontale relativo, δ, a velocità costante fra le due parti del telaio, producendo il taglio del provino nel piano orizzontale medio. Durante la fase di taglio si misurano la forza orizzontale T(δ), che si sviluppa per reazione allo scorrimento, e le variazioni di altezza del provino. La velocità di scorrimento deve essere sufficientemente bassa da non indurre sovrapressioni interstiziali. A tal fine la velocità può essere scelta in modo inversamente proporzionale al tempo di consolidazione della prima fase (le velocità di scorrimento sono dell\'ordine di 2 10^-2^ mm/s per terreni sabbiosi e di 10^-4^ mm/s per i terreni a grana fine). La prova va continuata fino alla chiara individuazione della forza resistente di picco T~f~ o fino ad uno spostamento pari al 20% del lato del provino. La tensione efficace normale a rottura [*σ*~*n*, *f*~^′^ = *σ*~*n*~^′^]{.math.inline} e la tensione tangenziale media a rottura sul piano orizzontale, FORMULA, sono le coordinate di un punto del piano di Mohr appartenente alla linea inviluppo degli stati di tensione a rottura. Ripetendo la prova con differenti valori di N (almeno tre) si ottengono i punti sperimentali che permettono di tracciare la retta di equazione: \ [*τ*~*f*~ = *c*′ + *σ*′   *tanϕ*′]{.math.display}\ e quindi di determinare i parametri di resistenza al taglio c e φ.  I valori di N, e quindi di pressione verticale, devono essere scelti tenendo conto della tensione verticale efficace geostatica. I principali limiti della prova di taglio diretto sono: - l\'area del provino diminuisce durante la fase di taglio - la pressione interstiziale non può essere controllata - non sono determinabili i parametri di deformabilità Se la prova è condotta a velocità troppo elevate per consentire il drenaggio, si ottiene una sovrastima di c e una sottostima di φ. L\'esecuzione di prove di taglio diretto \'rapide non drenate\' è sconsigliata, poiché la rapidità della prova non è sufficiente a garantire l\'assenza di drenaggio ed i risultati non sono interpretabili né in termini di tensioni efficaci né in termini di tensioni totali. **L\'apparecchio e le prove triassiali standard** Le prove triassiali standard sono eseguite, con modalità diverse, su campioni ricostruiti di materiali sabbiosi e su campioni indisturbati o ricostruiti di terreni a grana fine per determinarne le caratteristiche di resistenza al taglio e di rigidezza. I provini di terreno hanno forma cilindrica con rapporto altezza/diametro compreso tra 2 e 2.5. Il diametro è di norma 35 o 50 mm. Poiché il diametro deve essere almeno 10 volte maggiore della dimensione massima dei grani, prove triassiali su terreni contenenti ghiaie o ciottoli non sono possibili, salvo disporre di attrezzatture di grandi dimensioni. Lo stato tensionale a cui è soggetto un provino durante una prova triassiale è di tipo assial-simmetrico e rimane tale durante le fasi della prova, quindi le tensioni principali agiscono sempre lungo la direzione assiale e radiale del provino. Il provino, la cui preparazione richiede procedure diverse a seconda della natura del terreno, è appoggiato su un basamento metallico all\'interno di una cella di perspex. Tra il basamento e il provino è posto un disco di materiale poroso molto permeabile, protetto da un disco di carta filtro che evita l\'intasamento dei pori. Anche superiormente al provino è posto un disco di carta filtro ed una pietra porosa, sopra la quale è appoggiata una piastra circolare di carico. La superficie laterale del provino è rivestita con una membrana di lattice di gomma, molto flessibile ed impermeabile, stretta con guarnizioni di gomma al basamento inferiore ed alla piastra di carico superiore. La cella di perspex è riempita di acqua che può essere messa in pressione esercitando così uno stato di compressione isotropa sul provino. Il provino risulta idraulicamente isolato dall\'acqua interna alla cella di perspex, ma è in collegamento idraulico con l\'esterno, poiché sia il basamento che la piastra di carico sono attraversati da condotti collegati con sottili tubi di drenaggio. Talvolta tra la superficie laterale del provino e la membrana di lattice di gomma sono poste strisce verticali di carta filtro, con la funzione di facilitare il flusso dell\'acqua dal provino all\'esterno. I tubi di drenaggio possono essere utilizzati anche per mettere in pressione l\'acqua contenuta nel provino (**[contropressione interstiziale]** o **[back pressure]**), o possono essere chiusi e collegati a strumenti di misura della pressione dell\'acqua. Il tetto della cella è attraversato da un\'asta verticale scorrevole che può trasmettere un carico assiale al provino attraverso la piastra di carico. In definitiva con l\'apparecchio triassiale è possibile: - esercitare una pressione totale isotropa sul provino mediante l\'acqua contenuta nella cella - fare avvenire e controllare la consolidazione isotropa del provino misurandone le variazioni di volume, corrispondenti alla quantità di acqua espulsa o assorbita attraverso i tubi di drenaggio - deformare assialmente il provino a velocità costante fino ed oltre la rottura misurando la forza assiale di reazione corrispondente - misurare il volume d\'acqua espulso o assorbito dal provino durante la compressione assiale a drenaggi aperti - controllare le deformazioni assiali del provino - misurare la pressione dell\'acqua nei condotti di drenaggio (che si suppone uguale alla pressione interstiziale uniforme nei pori del provino) quando la compressione, isotropa o assiale, avviene a drenaggi chiusi - mettere l\'acqua in pressione nei condotti di drenaggio, e quindi creare una eguale pressione interstiziale nel provino Le prove triassiali standard sono condotte secondo tre modalità: - prova triassiale consolidata isotropicamente drenata (Tx - CID) - prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (Tx - CIU) - prova triassiale non consolidata non drenata (Tx - UU) Per ciascuno dei tre tipi di prova il provino è inizialmente saturato mediante la contemporanea applicazione di una tensione isotropa (le tensioni hanno tutte lo stesso valore) di cella e di una poco minore contropressione dell\'acqua interstiziale (tale da evitare che si accumuli acqua fra la membrana e la superficie laterale del provino). La verifica dell\'avvenuta saturazione viene fatta mediante la misura del coefficiente B di Skempton: \ [\$\$B = \\frac{\\mathrm{\\Delta}u}{\\mathrm{\\Delta}\\sigma\_{c}}\$\$]{.math.display}\ A drenaggi chiusi, si incrementa la pressione di cella di una quantità [*Δσ*]{.math.inline} e si misura il conseguente aumento di pressione interstiziale, [*Δu*]{.math.inline}. Se il coefficiente B risulta pari a 1, il provino è saturo (in pratica si ritiene sufficiente B \> 0.95); se invece B \< 0.95 il provino non è saturo. Per favorire la saturazione, si incrementano della stessa quantità i valori di pressione di cella e di contropressione interstiziale (in modo da mantenere costante la pressione efficace di consolidazione), e si ripete la verifica dell\'avvenuta saturazione eseguendo una nuova misura di B. ***Prova triassiale consolidata isotropicamente drenata (Tx - CID)*** Dopo aver eseguito la saturazione, la prova si svolge in due fasi. 1. Prima fase: il provino saturo è sottoposto a compressione isotropa mediante un incremento della pressione di cella, a drenaggi aperti fino alla completa consolidazione. La pressione di consolidazione, σ\'~c~, è pari alla differenza fra pressione di cella (totale), σ~c~, e contropressione interstiziale, u~0~. Il processo di consolidazione è controllato attraverso la misura nel tempo del volume di acqua espulso e raccolto in una buretta graduata, che viene diagrammata in funzione del tempo. 2. Seconda fase: ancora a drenaggi aperti, si fa avanzare il pistone a velocità costante e sufficientemente bassa tale da non produrre sovrappressioni interstiziali all\'interno del provino. La velocità di avanzamento può essere scelta in modo inversamente proporzionale al tempo di consolidazione della prima fase. Durante la seconda fase è controllata la variazione nel tempo dell\'altezza del provino, e sono misurate: - la forza assiale esercitata dal pistone - la variazione di volume del provino Queste misure permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: - la deformazione assiale media, ε~a~ - la deformazione volumetrica media, ε~v~ (e quindi anche la deformazione radiale media,[\$\\varepsilon\_{r} = \\frac{\\varepsilon\_{v} - \\varepsilon\_{a}}{2}\$]{.math.inline}) - la tensione assiale media, σ~a~ (e quindi anche la tensione deviatorica media, [*σ*~*a*~ − *σ*~*r*~ = *σ*′~*a*~ − *σ*′~*r*~]{.math.inline}, essendo σ~r~ la pressione radiale che rimane costante durante la prova) I risultati sono rappresentati in grafici ε~a~ - (σ~a~ - σ~r~), e ε~a~ - ε~v~.  Poiché durante la fase di compressione assiale, la pressione di cella σ~c~ e la pressione interstiziale u~0~ rimangano costanti (e quindi anche la pressione radiale totale σ~r~ = σ~c~), e poiché non si sviluppano sovrappressioni interstiziali, essendo la prova drenata, rimane costante anche la pressione radiale efficace. σ\'~r~, che corrisponde alla tensione efficace principale minore (σ\'~r~ = σ\'~3~), mentre aumenta la tensione efficace assiale media, σ\'~a~, che corrisponde alla tensione efficace principale maggiore (σ\'~a~ = σ\'~1~). È dunque possibile seguire l\'evoluzione nel tempo del cerchio di Mohr corrispondente allo stato tensionale del provino fino ed oltre la rottura. La prova deve essere eseguita su almeno tre provini a differenti pressioni di consolidazione. \ [*τ*~*f*~ = *c*′ + ( *σ* − *u*)   *tanϕ*′ = *c*′ + *σ*~*n*, *f*~^′^   *tanϕ*′]{.math.display}\ che rappresenta la resistenza al taglio del terreno.  L\'esecuzione della prova Tx - CID richiede un tempo tanto maggiore quanto minore è la permeabilità del terreno, ed è generalmente riservata a [terreni sabbiosi o comunque abbastanza permeabili.] ***Prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (Tx - CIU)*** Anche questa prova, una volta eseguita la saturazione, si svolge in due fasi, la prima delle quali è identica a quella della prova Tx - CID. Al termine della prima fase, e quindi a consolidazione avvenuta (ad una pressione di consolidazione σ~c~\' pari alla differenza fra pressione di cella σ~c~ e contropressione interstiziale, u~0~), vengono chiusi i drenaggi isolando idraulicamente il provino che, essendo saturo, non subirà ulteriori variazioni di volume. Nella seconda fase, a drenaggi chiusi e collegati a trasduttori che misurano la pressione dell\'acqua nei condotti di drenaggio e quindi nei pori del provino, si fa avanzare il pistone a velocità costante, anche relativamente elevata. Durante la seconda fase è controllata la variazione nel tempo dell\'altezza del provino, e sono misurate: - la forza assiale esercitata dal pistone - la variazione di pressione interstiziale all\'interno del provino Queste misure permettono di calcolare, al variare del tempo, fino ed oltre la rottura del provino: - la deformazione assiale media, ε~a~ - la tensione assiale media, σ~a~ (e quindi anche la tensione deviatorica media, [*σ*~*a*~ − *σ*~*r*~ = *σ*′~*a*~ − *σ*′~*r*~]{.math.inline}, essendo σ~r~ la pressione radiale) I risultati sono rappresentati in grafici ε~a~ - (σ~a~ - σ~r~), e ε~a~ - [*Δu*]{.math.inline}. In questo tipo di prova, durante la fase di compressione assiale la pressione di cella σ~c~ rimane costante (e quindi anche la pressione radiale totale σ~r~ = σ~c~), mentre la pressione interstiziale u, inizialmente pari a u~0~, varia. Di conseguenza variano sia la tensione efficace assiale media, σ\'~a~ = σ~a~ - u, che corrisponde alla tensione efficace principale maggiore (σ\'~a~ = σ\'~1~), sia la pressione radiale efficace, σ\'~r~ = σ~c~ - u, che corrisponde alla tensione efficace principale minore (σ\'~r~ = σ\'~3~). È dunque possibile seguire l\'evoluzione nel tempo del cerchio di Mohr corrispondente allo stato tensionale del provino fino ed oltre la rottura, sia in termini di tensioni totali che in termini di tensioni efficaci. Se si rappresentano i cerchi a rottura sul piano di Mohr in termini di tensioni totali e si traslano di una quantità pari alla pressione interstiziale misurata a rottura, u~f~, si ottengono i cerchi corrispondenti in termini di tensioni efficaci.  La prova viene eseguita su almeno tre provini a differenti pressioni di consolidazione. La retta inviluppo dei cerchi di Mohr a rottura dei tre provini, in termini di tensioni efficaci, che consente di ricavare i parametri c\' e f\', ha equazione: \ [*τ*~*f*~ = *c*′ + ( *σ* − *u*)   *tanϕ*′ = *c*′ + *σ*~*n*, *f*~^′^   *tanϕ*′]{.math.display}\ e rappresenta la resistenza al taglio del terreno. Se la prova è interpretata in termini di tensioni totali, il valore a rottura dello sforzo di taglio, [\$\\frac{\\sigma\_{1} - \\sigma\_{3}}{2}\$]{.math.inline}, rappresenta la **[resistenza al taglio non drenata]** c~u~. Poiché i tre provini vengono consolidati sotto tre diversi valori di pressione, risultano diversi tra loro anche i valori di c~u~. Se il terreno è normalconsolidato si ha c\' = 0 in termini di tensioni efficaci, mentre in termini di tensioni totali il rapporto [\$\\frac{c\_{u}}{{\\sigma\'}\_{c}}\$]{.math.inline} è costante. Per un dato terreno a parità di pressioni di consolidazione, i risultati delle prove Tx - CIU, interpretati in termini di tensioni efficaci, sono analoghi ai risultati delle prove Tx - CID. Esse sono riservate a [terreni argillosi o comunque poco permeabili], per i quali l\'esecuzione di prove Tx - CID richiederebbe tempi molto lunghi. ***Prova triassiale non consolidata non drenata (Tx - UU)*** È consigliabile che anche questa prova sia svolta previa saturazione dei provini. Anch\'essa si svolge in due fasi. Nella prima fase, dopo aver chiuso i drenaggi, il provino è sottoposto a compressione isotropa portando in pressione il fluido di cella al valore assegnato di pressione totale σ~c~. Se il provino è saturo, e quindi il coefficiente B di Skempton è pari a 1, il volume del provino non cambia e l\'incremento della pressione di cella (totale) comporta un eguale aumento della pressione interstiziale, mentre le tensioni efficaci non subiscono variazioni e quindi non varia la pressione efficace, σ\'~c~. Nella seconda fase, a drenaggi ancora chiusi, si fa avanzare la pressa su cui si trova la cella triassiale a velocità costante, anche piuttosto elevata. Durante la seconda fase è controllata la variazione nel tempo dell\'altezza del provino, ed è misurata la forza assiale esercitata sul provino, mentre non è misurato l\'incremento di pressione interstiziale. Queste misure permettono di calcolare, al variare del tempo, fino ed oltre la rottura del provino: - la deformazione assiale media, ε~a~ - la tensione assiale media, σ~a~ (e quindi anche la tensione deviatorica media, [*σ*~*a*~ − *σ*~*r*~ = *σ*′~*a*~ − *σ*′~*r*~]{.math.inline}, essendo σ~r~ la pressione radiale) Se si misurasse la pressione interstiziale a rottura per i tre provini e si traslassero i cerchi di Mohr di una quantità pari alla pressione interstiziale misurata a rottura per ciascuno di essi, si otterrebbero cerchi coincidenti in termini di tensioni efficaci. Le prove Tx - UU sono di norma eseguite su provini ricavati da campioni \'indisturbati\' di terreno a grana fine, e la resistenza al taglio in condizione non drenate, c~u~, è dipendente, a parità di terreno, dalla pressione efficace di consolidazione in sito. Se i provini di terreno sono sottoposti a prova Tx - UU senza averli preventivamente saturati, l\'applicazione della pressione di cella, anche se a drenaggi chiusi, determina un incremento delle pressioni efficaci (essendo B \< 1), una riduzione di volume, poiché l\'aria contenuta nei vuoti è molto compressibile, e un aumento del grado di saturazione. L\'inviluppo a rottura, in termini di tensioni totali, risulterà curvilineo per basse pressioni e orizzontale per pressioni più elevate, per le quali il terreno risulterà saturo.  La prova di compressione con espansione laterale libera può essere eseguita solo su terreni a grana fine. I provini hanno la forma e le dimensioni dei provini per le prove triassiali. La prova consiste nel produrre la rottura del provino per compressione assiale mediante un pistone fatto avanzare a velocità costante ed elevata. Il provino non è avvolto da membrana e non è compresso in direzione radiale. Durante l\'esecuzione della prova si controlla nel tempo la variazione di altezza del provino e si misura la forza assiale esercitata dal pistone. Il cerchio di Mohr a rottura nel piano delle tensioni totali è tangente all\'origine degli assi, in quanto la tensione principale inferiore è nulla. Nonostante non ci sia alcuna barriera fisica (membrana) che impedisca il drenaggio, l\'elevata velocità di deformazione e la ridotta permeabilità del terreno fanno si che le condizioni di prova siano non drenate, per cui il risultato che si ottiene è lo stesso che si avrebbe su una prova Tx - UU su un provino non saturato e a pressione di cella pari a zero. La pressione assiale totale media a rottura è indicata con qu, e nell\'ipotesi di terreno saturo, e quindi di inviluppo in termini di tensioni totali rettilineo e orizzontale, risulta: \ [*q*~*u*~ = *c*~*u*~   2]{.math.display}\ **Resistenza al taglio di terreni a grana grossa** I terreni a grana grossa saturi non cementati non hanno coesione per cui vengono spesso indicati come \'terreni incoerenti\'. Con le usuali tecniche di campionamento non è quasi mai possibile prelevare nei terreni a grana grossa non cementati, campioni idonei alla preparazione dei provini \'indisturbati\' per prove meccaniche di laboratorio. Pertanto i risultati delle prove di laboratorio non sono rappresentativi del comportamento meccanico del terreno. Le prove di laboratorio sono comunque utili sia per determinare la resistenza al taglio di terreni sabbiosi da impiegare come materiale da costruzione, sia per lo studio delle leggi costitutive. Durante una prova di resistenza meccanica di laboratorio, il comportamento di due provini della stessa sabbia ma con differente indice dei vuoti, può essere diverso. Nella figura seguente sono mostrati i comportamenti di un provino di sabbia sciolta e di un provino della stessa sabbia ma più addensato, sottoposti ad una prova triassiale drenata alla stessa pressione di confinamento.  Il provino di sabbia sciolta presenta al crescere della deformazione assiale ε~a~: - un graduale aumento della resistenza mobilizzata (σ\'~1~ - σ\'~3~) fino a stabilizzarsi su un valore massimo che rimane pressoché costante - una progressiva e graduale diminuzione del volume (e quindi di indice dei vuoti) con tendenza a stabilizzarsi su un valore minimo, cui corrisponde un indice dei vuoti critico, e~crit~, che rimane pressoché costante Il provino di sabbia densa presenta al crescere della deformazione assiale ε~a~: - una curva di resistenza con un massimo accentuato, corrispondente alla condizione di rottura, e un valore residuo, per grandi deformazioni, pressoché uguale al valore di resistenza mostrato dal provino di sabbia sciolta - una iniziale, piccola diminuzione di volume (e quindi di indice dei vuoti) seguita da un\'inversione di tendenza per cui l\'indice dei vuoti supera il valore inziale e tende allo steso valore di indice dei vuoti critico, e~crit~ Il provino di sabbia densa, rispetto a quello di sabbia sciolta: - è più rigido - ha una maggiore resistenza di picco - ha eguale resistenza residua - aumenta di volume per grandi deformazioni, mentre il provino di sabbia sciolta diminuisce di volume - ha lo stesso indice dei vuoti critico, ovvero la stessa densità relativa per grandi deformazioni Il valore dell\'indice dei vuoti critico, che differenzia fra comportamento deformativo volumetrico **[dilatante]** e **[contrattivo]**, non è una caratteristica del materiale, ma dipende dalla pressione efficace di confinamento. Per una sabbia che presenta un massimo nelle curve tensioni-deformazioni, si possono definire due rette di inviluppo della resistenza, ovvero due angoli di resistenza al taglio: angolo di resistenza al taglio di picco (a rottura), φ\'~P~, e angolo di resistenza al taglio residuo, φ\'~R~. I principali fattori che influenzano l\'angolo di resistenza al taglio di picco dei terreni sabbiosi sono: - densità - forma e rugosità dei grani - dimensione media dei grani - distribuzione granulometrica **Resistenza al taglio di terreni a grana grossa** I terreni a grana fine (limi e argille), saturi e normalconsolidati, presentano indice di consistenza I~C~ \< 0.5 e coesione efficace c\' = 0. La curva tensioni-deformazioni presenta un andamento monotono con un graduale aumento della resistenza mobilizzata fino a stabilizzarsi su un valore massimo che rimane pressoché costante anche per grandi deformazioni. L\'angolo di resistenza al taglio φ\' è inferiore a quello dei terreni a grana grossa e dipende dai minerali argillosi costituenti e dall\'indice di plasticità I~P~. I terreni a grana fine sovraconsolidati presentano indice di consistenza I~C~ \> 0.5 e coesione efficace c\' \> 0. La curva tensioni-deformazioni presenta un massimo accentuato, corrispondente alla condizione di rottura, e un valore residuo, per grandi deformazioni. A parità di pressione efficace di confinamento, la resistenza al taglio di picco dei terreni a grana fine cresce con il grado di sovraconsolidazione; a parità del grado di sovraconsolidazione, la resistenza al taglio di picco cresce al crescere della pressione efficace di confinamento, mentre il picco nella curva sforzi-deformazioni risulta sempre meno accentuato fino ad ottenere un andamento monotono, tipico di terreni normalconsolidati. L\'angolo di resistenza al taglio residuo è indipendente dalla storia tensionale e quindi dal grado di sovraconsolidazione OCR. **Costipamento** In alcune applicazioni ingegneristiche, può manifestarsi la necessità di migliorare le caratteristiche del terreno, sia nelle sue condizioni naturali in sito, sia quando esso è impiegato come materiale da costruzione. Le tecniche di miglioramento del terreno possono essere di vario tipo, in particolare esistono: - tecniche di tipo meccanico - tecniche di tipo chimico - tecniche basate sull\'induzione di fenomeni di natura termica o elettrica Altri metodi consistono nell\'eliminare o ridurre la presenza di acqua (drenaggi); altri ancora nel sovraccaricare temporaneamente il terreno prima della realizzazione dell\'opera in modo da esaurire un\'aliquota dei cedimenti. Tra i metodi di tipo meccanico riveste particolare importanza il costipamento che consiste nell\'aumentare artificialmente la densità del terreno, impiegato come materiale per la costruzione di rilevati stradali e ferroviari, argini, dighe, attraverso l\'applicazione di energia meccanica. L\'obiettivo del costipamento è il miglioramento delle caratteristiche meccaniche del terreno, che comporta i seguenti vantaggi: - riduzione della compressibilità (e quindi dei cedimenti) - incremento della resistenza (e quindi della stabilità e della capacità portante) - riduzione degli effetti che possono essere prodotti dal gelo, da fenomeni di imbibizione o di ritiro (legati alla quantità di vuoti presenti) Il primo ad occuparsi di questo fenomeno è stato l\'ingegnere Proctor, il quale ha evidenziato che il valore della densità secca alla fine del costipamento, [\$\\rho\_{d} = \\frac{\\gamma\_{d}}{g}\$]{.math.inline}, è funzione di tre variabili: - il tipo di terreno (granulometrica, composizione mineralogica) - il contenuto d\'acqua, w - l\'energia di costipamento; l\'energia di compattazione per unità di volume è proporzionale al rapporto: \ [\$\$E \\propto \\frac{N \\bullet W \\bullet H}{s}\$\$]{.math.display}\ - N = numero di colpi per strato - W = peso massa battente - H = altezza di caduta - s = spessore strato Esistono quattro tecniche di costipamento e quindi di tipi di prove: 1. **prove statiche**, in cui il terreno è sottoposto ad una pressione costante per un certo periodo di tempo, mediante un pistone con area uguale a quella del recipiente 2. **prove kneading**, nelle quali il terreno è sottoposto a intervalli regolari ad una compressione mediante un pistone che trasmette una pressione nota 3. **prove per vibrazione**, in cui il recipiente in cui è contenuto il terreno viene fatto vibrare con appositi macchinari 4. **prove dinamiche o di urto**, nelle quali il terreno è compattato con un pestello meccanico a caduta libera Le prime due tecniche vengono impiegate per terreni prevalentemente fini, le altre due per terreni a grana grossa. Le più usate sono quelle dell\'ultimo tipo, di cui fanno parte le prove Proctor. **Suzione** I mezzi fluidi, acqua e aria, essendo privi di resistenza al taglio, sono caratterizzati da uno stato di tensione sferico. In un terreno parzialmente saturo, a causa della tensione superficiale, la pressione dell\'acqua nei pori (u~w~) risulta sempre inferiore alla pressione dell\'aria nei pori (u~a~). La differenza tra la pressione dell\'aria, che in condizioni naturali è pari alla pressione atmosferica, e la pressione dell\'acqua nei pori è detta **[suzione di matrice]**: \ [*s* = *u*~*a*~ − *u*~*w*~]{.math.display}\ dove u~w~ \< u~a~ \< 0, da cui s \> 0. Posto u~a~ = 0, risulta s = u~w~. Un terreno non saturo posto a contatto con acqua libera e pura a pressione atmosferica tende a richiamare acqua per effetto della **[suzione totale]**, ψ.  La suzione totale ha due componenti: la prima componente è la **[suzione di matrice]**, s, associata al fenomeno della capillarità, la seconda componente è la **[suzione osmotica]**, π, dovuti alla presenza di sali disciolti nell\'acqua interstiziale e quindi alla differenza di potenziale elettro-chimico tra l\'acqua interstiziale e l\'acqua libera. ψ = s + π **Prove Proctor** L\'attrezzatura per le prove Proctor è costituita da un cilindro metallico, dotato di collare rimovibile, e da un pestello di diametro pari alla metà di quello del cilindro e di peso prefissato. La prova di Proctor viene eseguita disponendo a strati una certa quantità di terreno, preventivamente essiccato o bagnato, nel cilindro e compattandolo con il pestello per un prefissato numero di colpi (25). L\'operazione viene ripetuta per un certo numero di strati fino a riempire il cilindro poco al di sopra dell\'attaccatura del collare. Successivamente viene rimosso il collare, livellato il terreno in sommità, pesato il tutto e determinato il contenuto d\'acqua, prelevando una porzione di terreno dal cilindro. Mediante il peso P, il volume V, si ricava il peso di volume, γ, e avendo determinato w, si può ricavare il peso di volume del secco, γ~d~, ovvero la densità secca. Si ha: \ [\$\$\\gamma = \\frac{P}{V} = \\frac{P\_{S} + P\_{W}}{V} = \\frac{P\_{S}}{V} + \\frac{P\_{W}}{V} \\bullet \\frac{P\_{S}}{P\_{S}} = \\gamma\_{d} + w \\bullet \\gamma\_{d} = \\gamma\_{d} \\bullet (1 + w)\$\$]{.math.display}\ Quindi: \ [\$\$\\gamma\_{d} = \\frac{\\gamma}{1 + w}\$\$]{.math.display}\ **Teoria del costipamento** Analizzando i risultati ottenuti in laboratorio mediante l\'esecuzione di prove Proctor, è possibile descrivere il comportamento del terreno sottoposto a costipamento. Supponiamo di eseguire la prova Proctor su alcuni campioni dello stesso terreno, aventi diversi contenuti d\'acqua. Se, per ciascun campione, riportiamo in un grafico il valore del peso di volume del secco, ottenuto al termine della prova, in funzione del contenuto d\'acqua corrispondente, e uniamo i vari punti, si ottiene una curva, detta **[curva di costipamento]**, che presenta un andamento a campana. Il valore del contenuto d\'acqua corrispondente al valore massimo del peso di volume del secco (detto \'*maximum*\') è indicato come \'*contenuto d\'acqua optimum\'* o \'*optimum Proctor\'*.  Il valore massimo del peso di volume del secco è relativo ad un valore di energia prefissato ed a una particolare tecnica di compattazione. I valori tipici del maximum variano intorno a 16-20 kN/m^3^. I valori tipici dell\'optimum variano intorno al 10-20 %. Per valori bassi del contenuto d\'acqua, la resistenza del terreno è alta così che, a parità di energia di compattazione impiegata, risulterà più difficile ridurre i vuoti e quindi raggiungere elevati valori della densità secca; incrementando il contenuto d\'acqua, la resistenza del terreno tende a diminuire, facilitando la rimozione dei vuoti, ed aumenta così il valore di densità secca raggiungibile fino al maximum ottenuto in corrispondenza del valore di optimum del contenuto d\'acqua; per valori superiori all\'optimum, avendo raggiunto un elevato grado di saturazione, le deformazioni avvengono a volume costante (l\'acqua non riesce a filtrare verso l\'esterno) e non consentono ulteriori riduzione dell\'indice dei vuoti, per cui si riduce anche il valore della densità secca ottenuto. Se per uno stesso tipo di terreno si utilizza la stessa tecnica di costipamento, variando l\'energia (numero di colpi), si ottiene una famiglia di curve con andamento simile. Al crescere dell\'energia aumenta la densità secca massima e diminuisce il contenuto d\'acqua optimum. Con contenuti d\'acqua superiori all\'optimum, le curve si confondono con una linea. Questo significa che per contenuti d\'acqua inferiori all\'optimum, un aumento dell\'energia di costipamento risulta più efficace in quanto riesce ad aumentare la densità secca. La linea in cui si confondono i tratti terminali di tutte le curve risulta circa parallela alla **curva di saturazione**, che può essere determinata calcolando il valore del peso di volume del secco corrispondente al contenuto d\'acqua in condizioni di saturazione. Tale valore dipende solo dal peso di volume del solido, γ~s~. Infatti: \ [\$\$\\gamma\_{d} = \\frac{P\_{S}}{V} = \\frac{P\_{S}/V\_{S}}{V/V\_{S}} = \\frac{\\gamma\_{S}}{\\frac{V\_{S}}{V\_{S}} + \\frac{V\_{V}}{V\_{S}}} = \\frac{\\gamma\_{S}}{1 + e}\$\$]{.math.display}\ se il terreno è saturo (S~r~ = 1): \ [\$\$e = \\frac{V\_{V}}{V\_{S}} = \\frac{V\_{W}}{V\_{S}} \\bullet \\frac{P\_{S}}{P\_{S}} \\bullet \\frac{P\_{W}}{P\_{W}} = w \\bullet \\gamma\_{S} \\bullet \\frac{1}{\\gamma\_{W}}\$\$]{.math.display}\ quindi: \ [\$\$\\gamma\_{d} = \\frac{\\gamma\_{S}}{1 + w \\bullet \\frac{\\gamma\_{S}}{\\gamma\_{W}}}\$\$]{.math.display}\ per S~r~ \< 1 invece: \ [\$\$e = \\frac{V\_{V}}{V\_{S}} = \\frac{V\_{W}}{{S\_{r} \\bullet V}\_{S}} \\bullet \\frac{P\_{S}}{P\_{S}} \\bullet \\frac{P\_{W}}{P\_{W}} = \\frac{1}{S\_{r}} \\bullet w \\bullet \\gamma\_{S} \\bullet \\frac{1}{\\gamma\_{W}}\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\gamma\_{d} = \\frac{\\gamma\_{S} \\bullet S\_{r}}{S\_{r} + w \\bullet \\frac{\\gamma\_{S}}{\\gamma\_{W}}}\$\$]{.math.display}\ A parità di energia di costipamento, le curve che si ottengono per differenti tipi di terreno sono molto diverse tra loro.