4MA31TEWB0124U01_CoursMathematiques-U01.pdf

UNITÉ 1 LA PISCINE SÉANCE 1  Le volume de l’eau - p. 10 SÉANCE 2  Je découvre la racine carrée - p. 14 SÉANCE 3  Les carrés parfaits - p. 20 SÉANCE 4  Je développe avec la distributivité - p. 24 SÉANCE 5  Je réduis une expression algébrique - p. 31 SÉANCE 6...

UNITÉ 1 LA PISCINE SÉANCE 1  Le volume de l’eau - p. 10 SÉANCE 2  Je découvre la racine carrée - p. 14 SÉANCE 3  Les carrés parfaits - p. 20 SÉANCE 4  Je développe avec la distributivité - p. 24 SÉANCE 5  Je réduis une expression algébrique - p. 31 SÉANCE 6  Je résous une équation du premier degré - p. 36 SÉANCE 7  Je développe avec la double distributivité - p. 42 SÉANCE 8  Je développe avec une égalité remarquable - p. 48 SÉANCE 9  Je factorise - p. 54 SÉANCE 10  J’utilise ma calculatrice, j’utilise un tableur - p. 59 MISSION 1  Le bassin manquant… - p. 66 CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 9  SÉANCE 1 Le volume de l’eau Objectifs : J ’utilise la formule du volume du cylindre, que je connais déjà. J’apprends et j’utilise la formule du volume d’une boule. Je fais la différence entre calcul exact et calcul approché. Tu te rends sur ton espace inscrit, rubrique « Mes cours ». Tu effectues en ligne le test : « J'évalue mon niveau ». Suivras-tu le parcours vert, bleu ou rouge aujourd’hui ? Cette séance existe en version numérique interactive sur ton espace inscrit. JE DÉCOUVRE Exercice 1 Un particulier veut installer une piscine chez lui. Il hésite entre plusieurs modèles qui lui plaisent. Mais il est inquiet quant à sa facture d’eau. Aide-le à choisir la piscine qui lui coûtera le moins cher en eau. 1. On rappelle que le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h est : Vcylindre = π × r 2 × h , on choisira p ≈ 3,14. Calcule le volume des deux piscines, en arrondissant à l’unité, indique tes résultats dans le tableau. rayon (m) hauteur (m) volume (m3) modèle 1 3,80 1.......... modèle 2 3,50 1,10 …….... 2. La piscine qui consomme le moins d’eau est le modèle n°……… 3. Sachant que le mètre cube d'eau coûte 4,32 € dans la région, le remplissage à ras bord de sa piscine lui coûtera ………......……….€. 10 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 1  Exercice 2 Des enfants veulent un ballon gonflable pour jouer dans la piscine. En sachant qu’un ballon de piscine a un diamètre de 28 cm, et qu’à chaque expiration, on peut remplir le ballon de 500 cm3, on cherche à savoir en combien d’expirations on peut le gonfler. 1. Indique le rayon du ballon : …………. cm. 4 2. On donne le volume d’une boule : Vboule = × π × r 3 , où r est le rayon de la boule. Le volume du ballon est 3 d’environ (arrondis au cm3) : …………………….. cm3. Utilise la valeur p de ta calculatrice (et pas 3,14). 3. Le ballon sera gonflé en ……….. expirations. JE RETIENS Le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h est : Vcylindre = π × r × h. 2 Le volume d’une boule de rayon r est : 4 Vboule = ×π ×r 3. 3 POINT MÉTHODE Calculons le volume exact du cylindre suivant. Puis arrondissons le résultat au 3 millième de cm. La formule du volume d’un cylindre est : Vcylindre = π × r 2 × h. Ici, on a : r = 2 et h = 5. D’où : Vcylindre = π × 22 × 5 = 20 × π = 20π cm3. La valeur exacte du volume, en cm3, est 20π. Son arrondi au millième est 62,832 cm3. Pour basculer de l’affichage exact du résultat à son résultat approché : Casio : TI : JE M'EXERCE Exercice 3 Calcule le volume exact d’une boule de rayon 6 cm. On donnera les valeurs exactes en fonction de π, puis l’arrondi à 10-3 (c’est-à-dire à 3 chiffres après la virgule). CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 1 11  Exercice 4 1. Le rayon de ce cylindre est : …………………… cm. 2. La hauteur du cylindre est : …………………… cm. 3. Le diamètre du cylindre est : ………………….. cm. 4. Le volume exact du cylindre (en fonction de π) est : …………………. cm3. 5. Le volume approché au cm3 près est : ……………………. cm3. π ≈ 3,14 Exercice 5 Un couple possède un chauffe-eau. Ce chauffe-eau est un cylindre de 1,20 m de hauteur et de diamètre 60 cm. 1. Calcule le volume exact du chauffe-eau en mètres cubes. (1 m3 = 1 000 dm3) 2. Donne une valeur approchée au litre près (donc au dm3 près). Exercice 6 1.  Calcule le volume de la piscine ci-dessous, arrondi au cm3. Pense à décomposer ce volume en un assemblage de parallélépipède rectangle et de cylindre. 2. Convertis et arrondis ton résultat en litres. 3.  On souhaite remplir la piscine avec un tuyau dont le débit est de 15 litres à la minute, combien de temps sera nécessaire pour qu’elle soit remplie à ras bord ? 4. Convertis ton résultat en heures et minutes. Exercice 7 Un particulier fait installer un chauffage pour son abri piscine. Son abri piscine est composé d’un demi-cylindre prolongé de deux quarts de sphère aux extrémités. L’abri mesure en tout 8 m de longueur, et sa largeur maximale est de 5 m. 1. Quel volume d’air doit être chauffé à l’intérieur ? Tu donneras l’arrondi au m3 près. 2. Le chauffage a un débit d’air de 124 m3.h-1 (donc 124 m3 par heure). Combien de temps faut-il pour chauffer son abri ? Exercice 8 C’est l’anniversaire de Nathalie. Elle invite ses amis au bord de sa nouvelle piscine. Elle a préparé 33 l de cocktail. Ils disposent de verres à pieds en forme de demi-sphère de rayon 4 cm. 1. Le volume d’un verre, arrondi à l’unité, est d’environ : …………… cm3. 2. Convertis ton résultat en dm3 (en te souvenant qu’un cm3 vaut 0,001 dm3) : ……………………….. dm3. 3. Nathalie pourra servir (on arrondira à l’unité) …………….. verres. 12 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 1  Exercice 9 Les longueurs sont en cm, les volumes en cm3. 1. Prouve que le volume d’un cylindre de rayon 2a et de hauteur 9a est : 36 × π × a3. 2. Prouve que le volume d’une boule de rayon 3a possède le même volume.     Exercice 10 Clément constate qu’après un épisode de très fortes pluies, son seau s’est rempli d’eau à hauteur de 20 mm. Son seau est cylindrique et a un rayon de 12 cm. Tu te serviras de ton cahier pour les calculs et choisiras π ≈ 3,14. 1. La quantité d’eau contenue dans son seau est d’environ : …………………….. litres. 2. Son jardin forme un rectangle, de longueur L = 20 m et de largeur l = 10 m. En consi- dérant que l’eau tombée lors de cet épisode de pluie forme un parallélépipède d’eau de pluie, indique le volume d’eau tombé dans son jardin : …………………… litres. Calcul mental Sans utiliser la calculatrice, complète ce tableau. question réponse 5,6 × 1 000 ……………………........... 157,825 ÷ 10 ……………………........... 0,05 × 10 000 ……………………........... 672,4 × 100 000 ……………………........... 289 ÷ 10 000 ……………………........... 4 × 52 × 3,14 ……………………........... J’ÉVALUE CE QUE J’AI APPRIS Exercice 11 - Une seule réponse par proposition Un magasin vend des perles de bain sphériques par lot de 5, conditionnées dans un tube cylindrique. Le rayon d’une perle est 1,2 cm. Le tube a pour dimensions : 1,3 cm de rayon et 12 cm de hauteur. CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 1 13 Coche la bonne reponse. proposition réponse A réponse B réponse C 3 Le volume d’une perle de bain est 7,2 cm 5,43 cm3 36,19 cm3 u d’environ  £ £ 3 49 cm 63,71 cm3 27,61 cm3 Le volume du tube cylinrique est v d’environ £ £ £ 56,51 cm3 0,46 cm3 27,71 cm3 Le volume resté libre dans le tube est w d’environ £ £ £ SÉANCE 2 Je découvre la racine carrée Objectifs : J e me souviens du théorème de Pythagore. J’approfondis ma connaissance de la racine carrée au-delà de son utilisation dans la conclusion du théorème de Pythagore. J’établis le lien entre le carré d’un nombre et la racine carrée d’un nombre. Tu te rends sur ton espace inscrit, rubrique « Mes cours ». Tu effectues en ligne le test : « J'évalue mon niveau ». Suivras-tu le parcours vert, bleu ou rouge aujourd’hui ? Cette séance existe en version numérique interactive sur ton espace inscrit. JE DÉCOUVRE Exercice 1 Un particulier a installé une piscine dans son jardin. Il souhaite construire un abri de base carrée pour y mettre du matériel. Bricoleur, il va en magasin s’inspirer de la construction des abris. L’un d’entre eux lui plaît beaucoup mais il le trouve trop grand. Il veut donc que le sien soit un carré qui ait une aire de 2 m2 au sol. Il cherche quelles seront les dimensions de la dalle en béton qui supportera son abri. 1. Il fait quelques tentatives à la machine, en donnant plusieurs valeurs à la longueur AB. Il a consigné ses recherches dans un tableau. Aide-le à remplir son tableau. Sur la dernière ligne, propose toi-même une longueur AB, afin d’obtenir une aire proche de 2 m2. 14 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 2  aire de l’abri longueur AB en m ABRI en m² 2 2 2 =4 1,9.......... 1,5.......... 1,25.......... 1,4.............................. 2. Utilise maintenant la suite de touches (Casio) ou (TI), et donne la valeur approchée au centième du résultat affiché : …………………….. Pour afficher les valeurs approchées, tu devras peut être te reporter au point méthode de cette séance. Le particulier construira donc une dalle carrée d’environ ………………… m de côté. 3. Utilise maintenant la suite de touches (Casio) ou (TI). Résultat affiché : …………… ( ) 2 Tu viens de trouver le résultat 2 =.................... Les parenthèses ne sont pas obligatoires, mais peuvent aider à comprendre le sens du calcul. JE RETIENS a est un nombre positif. Il existe un, et un seul, nombre positif dont le carré est a. Ce nombre s’appelle la racine carrée de a et se note a. Le symbole s’appelle le radical. 2 ( )= a a et a2 = a CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 2 15  POINT MÉTHODE 49 = 7 donc : 49 est le carré de 7. 7 est la racine carrée de 49. ( ) 2 7 = 7 et 72 = 7 Lorsque a n’est pas le carré d’un nombre décimal ou rationnel, la valeur exacte de la racine carrée de a est a. On utilise la calculatrice pour en obtenir une valeur arrondie. Exemple : 10 ≈ 3,162 (touches de la Casio et de la TI) 10 est une valeur exacte. 3,162 est la valeur arrondie au millième de 10 JE M’EXERCE Exercice 2 Coche l’unique bonne réponse : proposition réponse A réponse B réponse C est égal à 256 est égal à – 4 est égal à 4 u 16    n’existe pas est égal à 4 est égal à – 4 v −16    est égal à 16 n’existe pas est égal à 4 w 42    est égal à – 4 est égal à 4 n’existe pas x − 16    n’existe pas est égal à 4 est égal à 16 ( ) 2 y 4    Exercice 3 À l’aide de ta calculatrice, donne des valeurs exactes entières ou approchées au millième des valeurs suivantes :.......... 1 =........... 2 ≈................................ 3 ≈.......... 4 =..................... 5 ≈................................ 6 ≈..................... 81 =.................... 100 =..................... 169 =........... 763 ≈................................ 1 000 ≈.......... 4 444 ≈..................... 16 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 2 Remarque : n’oublie pas les suites de touches (Casio) ou (TI), ainsi que les touches de la Casio et de la Texas Instruments. Exercice 4 1. Soit a un nombre positif. Que peut-on dire du signe de a2 ? 2. Soit b un nombre négatif. Que peut-on dire du signe de b2 ? 3. E n déduire le signe de c2, où c est un nombre quelconque. Exercice 5 Complète les phrases par des nombres ou les expressions « le carré » ou « la racine carrée » 1. Le carré de 3 est …..................................... La racine carrée de 9 est …....................................... 2. …............................................... de 25 est 5. ….............................................................. de 5 est 25. 3. …............................................... de 4 est 16. ….............................................................. de 16 est 4. 4. …........................................... de 144 est 12. ….......................................................... de 12 est 144. POINT MÉTHODE Les calculs à l’intérieur d’une racine carrée sont prioritaires sur la racine carrée elle-même. 2 2 Par exemple : 3 +4 = 9 +16 = 25 = 5 Exercice 6 Effectue les calculs suivants sans la machine : ( )− 2 A = 25 −16 B = 32 + 2 C= 4 1 Exercice 7 Un cylindre a un rayon de 5 cm et une hauteur de 10 cm. 1.  Calcule la valeur exacte de son volume. Utilise ta calculatrice. 2.  Donne une valeur arrondie au centième de cm3 de la valeur de son volume. Rappel : le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h vaut V = π × r 2 ×h CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 2 17  Exercice 8 Deux amis jouent autour d’une piscine cylindrique de rayon 3,50 m. L’abri de 2 m² pour la piscine est disposé selon le schéma ci-contre. Anne et Benoît font une bataille d’eau à l’aide de pisto- lets à eau. Anne est sur l’échelle de la piscine en A et Benoît est caché derrière l’abri en B. Quelle doit être la longueur du jet d’eau d’Anne pour que Benoît soit mouillé ? Arrondis ton résultat au cen- tième, c’est-à-dire au centimètre près. Exercice 9 Jérémy a installé un spa de base carrée de 5 m2 de surface au sol. Il souhaite construire une bordure de 1 m de large autour. Afin de savoir quelle quantité de carrelage acheter pour cette bordure, il faut trouver l’aire de la bordure. 1. Le côté du carré du sol du spa, sans la bordure, vaut exactement : ……………. m. 2. La valeur exacte de la longueur de la bordure est : ……………………. m. 3. La valeur approchée de la longueur de la bordure, arrondie au centième, est : ……………………. m. 4. L’aire de la bordure est donc, arrondie au centième : ……………………. m². Exercice 10 Des amis s’amusent à jeter des objets au fond d’une piscine et à aller les chercher en une seule fois. Le point de départ est le point A. Le plus malin d’entre eux décide de jeter l’objet dans l’eau le plus loin possible pour faire perdre ses adversaires. Il lance donc l’objet au point B. Les dimensions de la piscine sont : AC = 1,80 m de profondeur, BD = 5 m de longueur, DC = 3 m de largeur. Calcule la longueur AB, en utilisant deux fois le théorème de Pythagore. Arrondis au cm près. 18 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 2  Exercice 11 Sur le schéma ci-contre, le jardin est un carré dont l’aire mesure exactement la moitié de l’espace de la piscine. La piscine est un carré de 4 m de côté. Le but est de connaître la longueur du jardin. 1.  Calcule l’aire de la piscine, en m². 2.  Calcule l’aire du jardin. 3.  Calcule la valeur approchée de la longueur du jardin, au centième de mètre (donc au centimètre) près. Calcul mental Sans utiliser la calculatrice, complète ce tableau. question réponse 49 = …................................. 100 = …................................. 4 × 36 = …................................. 81 = …................................. 10 25 + 16 = …................................. 10 × 9+ 100 × 64 = …................................. J’ÉVALUE CE QUE J’AI APPRIS Exercice 12 - Une seule réponse par proposition Coche la bonne reponse. proposition réponse A réponse B réponse C du côté d’un carré du côté d’un de la diagonale d’un carré d’aire 4 carré de côté 1 u 2 est la longueur de diagonale 2    -5 5 625 v La racine carrée de 25 est    20 736 72 12 w Le nombre dont le carré est 144 est    4,5 410,062 5 10,125 x Le nombre dont le carré est 20,25 est    16 4 2 y La racine carrée du carré de 4 est    4,12 17 4,123 105 626 z La valeur exacte de 17 est    CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 2 19 SÉANCE 3 Les carrés parfaits Objectifs : Je me souviens de la réciproque du théorème de Pythagore. Je découvre la notion de carré parfait. J’encadre une racine carrée par deux entiers consécutifs. Tu te rends sur ton espace inscrit, rubrique « Mes cours ». Tu effectues en ligne le test : « J'évalue mon niveau ». Suivras-tu le parcours vert, bleu ou rouge aujourd’hui ? Cette séance existe en version numérique interactive sur ton espace inscrit. JE DÉCOUVRE Exercice 1 Marius veut paver le fond de sa grande piscine à l’aide d’une fresque. Il est tombé en admiration devant celle-ci et souhaiterait vraiment pouvoir la peindre chez lui. Il cherche à en connaître les dimensions. Pour cela, il dessine la figure ci- dessous, qui n’est pas à l’échelle : La figure est construite selon un ordre bien précis. AB = AC = 1 m. Le triangle ABC est rectangle en A. Tous les triangles sont rectangles (en C, D, E, …). AC = CD = DE = EF = … = QR = 1 m 1. Pour calculer la longueur BC, j’applique le théorème de ………………………… dans le triangle rectangle ………. 2. La valeur exacte de BC est........ m. (Utilise ton cahier pour les étapes) 3. En utilisant le théorème de ……………………………………. dans le triangle rectangle ………, je trouve la valeur exacte de BD :........ m. 4. Complète les pointillés par les valeurs exactes des longueurs demandées : BE = 4=2m BF =.............m BG =.............m BH =.............m BI =............. m BJ = 9 = 3 m 5. Sans faire de calcul, indique la longueur du segment BQ : ….….. m 6. Donne un encadrement par deux entiers consécutifs (qui se suivent) de BL en mètres :.............< BL 4. Complète : 1. L’aire complète AC de l’espace piscine (eau et terrasse), en fonction de x, vaut : AC = x × ……………. = ………………………. ……………………. (forme développée et réduite) 2. L’aire de la terrasse en bois, en fonction de x, vaut : AT = 4 × ……………. = ………………………. ……………………. (forme développée et réduite) 3. Tu peux déterminer l’aire AP de la piscine (surface recouverte d’eau uniquement) en ôtant l’aire de la terrasse à l’aire totale de l’espace piscine. Tu obtiens, en fonction de x : AP = AC - AT = ……………………….……………………………………… = …………………… (forme développée et réduite) 4. Tu peux également déterminer l’aire AP en considérant que la surface recouverte d’eau uniquement est un rectangle de longueur ( x + 4) et de largeur ( x - 4). Tu obtiens alors, en fonction de x : AP = (.................) × (................) =..................................................... =..................................................... =...................... 5. Tu vas calculer l’aire AP de la surface recouverte d’eau dans trois cas. Si x = 7 alors AP = 72 - 16 =........ - 16 =........ Si x = 9 alors AP =............... =............... =............... Si x = 10 alors AP =............... =............... =................ JE RETIENS a et b sont deux nombres quelconques. (a + b )(a − b ) = a − b 2 2 CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 8 49 DÉMONSTRATION (a + b )(a − b ) = a × a − a × b + b × a − b × b = a 2 − ab + ab − b 2 = a2 − b 2 POINT MÉTHODE Développons et réduisons ( x + 7)( x - 7) ( )( ) Nous reconnaissons le membre de gauche de l’égalité : a + b a − b = a 2 − b 2 avec a = x et b = 7 ( x + 7)( x -7) = x 2 -72 = x 2 - 49 Développons et réduisons ( 3 - 2 x )( 3 + 2 x ) Nous pouvons échanger les facteurs : (3 + 2 x)(3 - 2 x). ( )( ) Nous reconnaissons le membre de gauche de l’égalité : a + b a − b = a 2 − b 2 avec a = 3 et b = 2x (3 - 2 ü)(3 ≈ 2 x ) (3 2 )(3 - 2 ) = 32 - (2 x ) 2 attention aux parenthèses ( ) ici ! = 9-4x 2 Développons et réduisons (10 + 6 x )(10 - 6 x ) ( )( ) Nous reconnaissons le membre de gauche de l’égalité : a + b a − b = a 2 − b 2 avec a = 10 et b = 6x (10 + 6 x )(10 - 6 x ) = 10 - (6 x ) 2 2 = 100 - 36 x2 attention aux parenthèses ( ) ici ! JE M’EXERCE Exercice 2 Voici deux colonnes d’expressions algébriques. Certaines sont factorisées, d’autres sont les formes développées et réduites des formes factorisées. Tu dois les relier, et indiquer par une lettre (F pour factorisées, D pour développées réduites) leur forme. Regarde l’exemple, et utilise ton cahier pour les détails des calculs. 25x2 - 1 x2 - 64 D 4x2 - 9 (3x + 2)(3x - 2) F ( x + 8)( x - 8) 16x2 - 16 (4 x - 4)(4 x + 4) (5 x +1)(5 x -1) ( x + 3)( x - 3) (2 x - 3)(2 x + 3) 9x2 - 4 x2 - 9 50 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 8  Exercice 3 Complète les expressions suivantes, en reconnaissant l’égalité remarquable. ( x + 5)( x -......) = x 2 - 52 =......... -.......... (2x -.......)(2 x +.......) = (.......) 2 -12 =.......... -......... (4 x +.......)(4 x -........) = (.......) 2 -.......2 =........... - 36 (9x +.......)(....... -........) = (........) 2 -..........2 = 81x2 - 49 Exercice 4 Développe et réduis les expressions suivantes : A = ( x + 7)( x - 7) + 9 B = (2 x + 5)(2 x - 5) - 3 x2 - 20 C = 11x2 + (4 + 3 x )(4 - 3 x ) D = (11x + 1)(11x -1) + 16 E = (2 + 6 x )(2 - 6 x ) - 6 x2 + 3 F = (5 x + 8)(5 x - 8) + ( x + 1)( x -1) Exercice 5 Développe et réduis les expressions suivantes : æ 7 öæ 7ö A = çç2 x - ÷÷÷çç2 x + ÷÷÷ èç 2 øèç 2ø æ 5 öæ 5 ö B = çç- x + 4÷÷çç- x - 4÷÷ çè 4 ÷øèç 4 ÷ø æ1 öæ 1 ö C = çç x + 2÷÷çç x - 2÷÷ çè 2 ÷ç 2 øè ø÷ æ 3 2 öæ 3 2 ö D = çç - x÷÷÷çç + x÷÷÷ çè10 3 øèç10 3 ø CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 8 51  Exercice 6 Voici un programme de calcul : Choisis un nombre ; Ajoute-lui 1 ; M  ultiplie le résultat par le nombre de départ, auquel tu as retranché (soustrait) 1 ; R  etranche (soustrais) au résultat le carré du nombre de départ. 1. Complète le tableau ci-dessous : nombre choisi résultat obtenu avec le programme 2 …………………… 3 …………………… 7 = 3,5 …………………… 2 -1 …………………… 2. Tu peux émettre une conjecture : …………………………………………………………………………………………… 3. Soit x le nombre choisi au début de chaque programme. Donne l’expression littérale qui traduit le programme de calcul : ……………………………………… 4. Réduis cette expression littérale et prouve ta conjecture (question 2). Exercice 8 Trois amis jouent à l'eau dans le jardin ci-dessous, toutes les distances sont en m : Axel, situé en A, et Bastien, situé en B, veulent arroser leur copain Clément, caché dans l'abri en C. Axel et Bastien sont éloignés de 4 mètres. On note x la distance entre Axel et Clément. 1. Exprime en fonction de x le carré de la distance BC entre Bastien et Clément. 2. Exprime sous la forme d’un produit le carré de la distance BC. 3. Axel et Clément sont séparés de 5 m. Quelle distance sépare Bastien et Clément ? 52 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 8  Calcul mental Exemple : Calculons mentalement 52 × 48 52´48 = (50 + 2)(50 - 2) = 502 - 22 = 2 500 - 4 = 2 496 calcul résultat 21 × 19 …………………… 102 × 98 …………………… 33 × 27 …………………… J’ÉVALUE CE QUE J’AI APPRIS Exercice 8 - Une seule réponse par proposition Coche la bonne reponse. proposition réponse A réponse B réponse C 2 L’expression développée et réduite de 2x - 10 2x2 - 25 4x2 - 25 u ( 2 x + 5)( 2x - 5) est    L’expression développée et réduite de 4 - 16x2 4 - 4x2 4 - 8x2 v (2 - 4 x)(2 + 4 x) est    L’expression développée et réduite de -9 x2 + 49 9 x2 - 49 -9 x2 - 49 w (3x - 7)(3x + 7) est    Le calcul 24 × 16 correspond au calcul de a = 20 et b = 4 a = 24 et b = 16 a = 10 et b = 14 x (a + b)(a -b) avec    392 384 416 y 24 × 16 vaut    CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 8 53 SÉANCE 9 Je factorise Objectifs : Je donne du sens à la factorisation. J e repère un facteur commun ou j’utilise une égalité remarquable. Je choisis la bonne formule pour factoriser. Tu te rends sur ton espace inscrit, rubrique « Mes cours ». Tu effectues en ligne le test : « J'évalue mon niveau ». Suivras-tu le parcours vert, bleu ou rouge aujourd’hui ? Cette séance existe en version numérique interactive sur ton espace inscrit. JE DÉCOUVRE Exercice 1 Les longueurs sont exprimées en mètres et les aires en mètres carrés dans cet exercice. Deux amis discutent des dimensions de leur piscine. Le premier a déjà construit la sienne. C'est une piscine dont la forme est un carré de côté a, dont on a retiré un carré de côté b. Le deuxième souhaiterait installer une piscine rectangulaire. Après discussion sur l'entretien et le coût de la première piscine, le second souhaite avoir une piscine qui a la même aire et un côté de même longueur, selon le schéma suivant : 2 2 1. Exprime l’aire de la première piscine fonction de a et b :...... −...... 2. Exprime la longueur AB en fonction de a et b : …………………. ( )( ) 3. Exprime l’aire de la seconde piscine fonction de a et b :......... +.................. −......... 54 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 9 4. Comme les deux piscines sont de même aire, tu en déduis : ( )( )......2 −......2 =......... +.................. −......... Tu viens de factoriser. JE RETIENS a et b sont deux nombres quelconques. a2 - b2 = (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = (a + b)´(a - b) est un produit, donc une forme factorisée. Cette formule permet donc de factoriser une expression. k, a et b sont trois nombres quelconques. ka + kb = k(a + b) ka -kb = k(a -b) k(a + b) = k ´(a + b) et k(a + b) = k ´(a -b) sont des produits, donc des formes factorisées. Ces formules permettent donc également de factoriser une expression. k est appelé facteur commun. POINT MÉTHODE 2 Je souhaite factoriser l’expression : 4x - 9 Je repère le membre de gauche de l’égalité remarquable a2 - b2 = (a + b) (a - b) avec a = 2x et b = 3. En effet : 4x2 - 9 = (2x)2 - 32. J’écris donc : 4x2 - 9 = (2x + 3) × (2x - 3). J’obtiens un produit de facteurs, donc une forme factorisée. Je souhaite factoriser l’expression : 49 - 25x2. Je repère le membre de gauche de l’égalité remarquable a2 - b2 = (a + b) (a - b) avec a = 7 et b = 5x. En effet : 49 - 25x2 = 72 - (5x)2. J’écris donc : 49 - 25x2 = (7 + 5x) × (7 - 5x). J’obtiens un produit de facteurs, donc une forme factorisée. Je souhaite factoriser l’expression : 10x - 15. Je repère que 5 est un diviseur à la fois de 10 et de 15. Je peux écrire : 10x - 15 = 5 × 2x - 5 × 3 J’utilise l’égalité ka - kb = k (a - b) avec k = 5, a = 2x et b = 3. J’écris donc : 10x - 15 = 5 × (2x - 3) J’obtiens un produit de facteurs, donc une forme factorisée. CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 9 55 JE M’EXERCE Exercice 2 Entoure les formes factorisées : x2 - 36 (x - 6) (x + 6) 8 × (2x + 1) (4x - 3) × 2 + 1 4x2 - 24x + 36 (11 + 4x) (11 - 4x) -5 × (10x - 9) (x + 3)2 (x + 2)2 - 72 Exercice 3 Factorise les expressions suivantes, en repérant la bonne propriété : A = 2x + 8 B = x2 - 64 C = 1 - 9x2 D = 21 - 49x 2 4 2 4 F = 6x2 + 3 E= x − 25 2 (n’oublie pas que = ) 9 3 9 Exercice 4 Complète les expressions suivantes, en utilisant l’égalité remarquable : a2 - b2 = (a + b) (a - b) x2 -....... = (....... + 4)´(....... - 4) 36 x2 - 4 = (....... +.......)´(....... -.......) 9 x2 -....... = (....... + 2)(....... - 2)......... - 81 = (2 x +.......)´(2 x -.......)....... - 25 x2 = (11+.......)´(11-.......) 6,25 x2 -12,25 = (....... +.......)(....... -.......) Exercice 5 ka + kb = k(a + b) Factorise, en utilisant les propriétés ka + kb Æ k a + b ou ka - kb = k(a - b) ka -kb Æ k a -b A = 7 x + 21 B = 4 x − 12 C = 10a + 15b D = 27 x − 3 56 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 9  Exercice 6 Fantaisiste, Nicolas a fait construire sa piscine selon ce schéma : 1. On considère que les petits carrés sont identiques, on note x leur côté. Prouve que l’aire de la piscine en fonction ( ) 2 de x , en m², est 7 − 2 x 2 2. Factorise l’expression obtenue. 3. Déduis-en les dimensions, en fonction de x , que pourrait avoir une piscine rectangulaire de même aire. Exercice 7 Voici la décoration du fond d'une piscine, les longueurs sont en mètres. 1. Exprime l’aire de la surface rouge, en m2, en fonction de x. 2. Factorise l’expression obtenue en utilisant le facteur commun 4. CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 9 57  Calcul mental Sans utiliser la calculatrice, complète ce tableau. calcul résultat 92.............. (15 − 3 ) 2.............. 22 − 5 2.............. 121.............. 62.............. 32 64.............. 22 J’ÉVALUE CE QUE J’AI APPRIS Exercice 10 - Une seule réponse par proposition Coche la bonne reponse. proposition réponse A réponse B réponse C (2x + 7) (2x - 7) (4x - 7)2 (x + 7) (x - 7) u L’expression factorisée de 4x2 - 49    (6x + 16) (6x - 16) (4 + 6x) (4 - 6x) (6x + 4) (6x - 4) v L’expression factorisée de 16 - 36x2    Quelle est l'expression factorisée de 3 3 3 3 9 9 (10 - x)(10 - x) (10 - x)(10 + x) (10 + x)(10 - x) 9 2 8 4 4 16 16 w 100 - x2 16    une somme en un un produit en une ça ne change rien produit somme x Quand on factorise, on transforme    3 (x + 3) 9 (x + 27) 9 (x + 3) Quelle est l’expression factorisée de y 9x + 27 ?    58 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 9 SÉANCE 10 J’utilise ma calculatrice, j’utilise un tableur Objectifs : J ’utilise ma calculatrice pour obtenir la valeur exacte ou approchée d’un résultat. J ’utilise ma calculatrice pour chercher une valeur approchée de la solution d’une équation. J ’utilise un tableur pour chercher une valeur approchée de la solution d’une équation. J ’apprends à utiliser les fonctions ENT, RACINE, SOMME,… de mon tableur Tu te rends sur ton espace inscrit, rubrique « Mes cours ». Tu effectues en ligne le test : « J'évalue mon niveau ». Suivras-tu le parcours vert, bleu ou rouge aujourd’hui ? Cette séance existe en version numérique interactive sur ton espace inscrit. JE DÉCOUVRE Exercice 1 Un entrepreneur doit préparer la pose d’une coque de piscine dont les dimensions sont 4 m de largeur sur 6,47 m de longueur. Pour ce faire, il a donné des instructions étonnantes au maçon : Trace un triangle ADE rectangle en A tel que AE = 2 m et AD = 4 m. Place B sur [AE) tel que EB = ED. Construis le rectangle ABCD. Le maçon, une fois fini la construction, lui indique que le rectangle délimité pour la pose a pour dimensions 4 m de largeur et 6,40 m de longueur. 1. Calcule la valeur exacte de DE. 2. Déduis-en le résultat : AB = 2 + 20. CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 10 59 3. Saisis sur ta calculatrice la série de touches : (Casio) (TI) Vérifie que le résultat affiché est 2 + 2 5. 4. Utilise la touche (Casio) ou (TI). Qui a raison, le maçon ou l’entrepreneur ? JE RETIENS La touche ou d’une calculatrice permet de basculer l’affichage d’un résultat d’une valeur exacte à une valeur décimale et inversement. Cette touche peut être utile dans le cas des racines carrées, mais aussi des fractions dont on chercherait une valeur approchée. JE M’EXERCE Exercice 2 En utilisant touche de calculatrice adaptée, complète les pointillés par la valeur approchée au millième : 3 + 4,52 2 8 + π ≈............. ≈............ ≈............. 37 7 Exercice 3 Vincent est propriétaire d’un camping et souhaite aménager un espace carré avec une piscine carrée. 1. L’aire totale de l’espace à aménager est ( x + 2 + 2) = ( x + 4 ). 2 2 Développe et réduis : (x + 4) 2 =........................................ =......................................... 2.  Vincent souhaite que son espace à aménager ait une aire totale de 75 m2. Prouve que la valeur de x doit vérifier : x 2 + 8 x = 59 60 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 10 3. Nous cherchons les solutions de cette équation, grâce à la calculatrice. Avec la Casio : ou tu obtiens l’affichage : Puis :. Tu appuies une seconde fois sur. Start : 1 signifie que tu demandes à ta calculatrice de débuter les calculs avec la valeur x = 1. End : 10 signifie que tu demandes à ta calculatrice de finir les calculs avec la valeur x = 10. Step : 1 signifie que les valeurs testées seront x = 1, x = 2, x = 3 (avec un pas de 1 en 1), et ce jusqu’à x = 10. Tu appuies sur. Avec la TI : , tu obtiens l’affichage : Puis :. Début=1 signifie que tu demandes à ta calculatrice de débuter les calculs avec la valeur x = 1. Pas=1 signifie que les valeurs testées seront x = 1, x = 2, x = 3 (avec un pas de 1 en 1). Tu navigues avec le pavé directionnel pour mettre en surbrillance CALC. Tu appuies sur. CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 10 61 Remplis le tableau ci-dessous, en lisant les résultats affichés sur ton écran : x x2 + 8 x 1 9 2.................... 3.................... 4.................... 5.................... 6....................  u souhaites résoudre x + 8 x = 59. Par lecture sur ta machine, tu peux donc encadrer une solution de l’équation 2 4. T entre deux nombres entiers :......... < x <......... 5. En changeant les paramètres Start, End et Step, trouve un encadrement de x au dixième près :........................ < x <........................ JE RETIENS La calculatrice est un outil qui permet d’automatiser un grand nombre de calculs. Ce qui nous permet d’obtenir un encadrement de la solution d’une équation par exemple. Exercice 4 1 Utilise ta calculatrice pour déterminer un encadrement à l’unité, d’une solution de l’équation x 2 + 5 x = 50 : 2........................ < x <........................ Exercice 5 Je suis un nombre entier compris entre 510 et 540. Ma racine carrée est un nombre entier. Qui suis-je ? Nous utiliserons un tableur. Les captures d’écran sont faites à partir du logiciel Calc, de la suite Open Office, libre de droits d’utilisation. 1. Reproduis cette configuration sur ta feuille de type tableur. 2.  Tu étires la cellule A2 (en la sélectionnant par le coin en bas à droite de la cellule) vers le bas, afin d’obtenir tous les nombres entre 510 et 540. C’est automatisé. 62 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 10 3. Tu saisis la formule « =racine(A2) » dans la cellule B2, tu appuies sur « enter ». 4. Tu trouves le seul nombre compris entre 510 et 540 tel que sa racine carrée soit un nombre entier : …………………… JE RETIENS Le tableur est un outil qui permet d’automatiser un grand nombre de calculs, ce qui nous permet d’effectuer des recherches, de valider des hypothèses. Retenons quelques formules : =RACINE(A1)  donne la racine carrée d’un nombre ; =ENT(A1)  donne la partie entière d’un nombre ; =A1^2  permet de calculer le carré du nombre saisi dans la case A1. =SOMME(A1 : A5)  p  ermet de calculer la somme des nombres saisis dans les cellules A1, A2, A3, A4 et A5. =A1*A2 p  ermet de calculer le produit des nombres saisis dans les cellules A1 et A2. Exercice 6 Un jeune couple souhaite installer une piscine cylindrique hors sol dans son jardin. Ils souhaitent une hauteur d’eau de 1,50 m. Ils cherchent quel rayon maximal doit avoir leur piscine pour que son volume ne dépasse pas 60 m3. 2 1. Prouve que le volume d’eau est V = 1,5 × π × r. 2.  Utilise ta calculatrice pour qu’elle calcule le volume de la piscine en fonction de son rayon, teste différentes valeurs pour le rayon de la piscine, puis donne un encadrement du rayon de la piscine au centimètre près. Exercice 7 Un particulier souhaite installer une piscine dont le schéma est le suivant : La partie de droite est un carré. Il cherche une valeur de x telle que l’aire de cette piscine soit inférieure à 52 m2. 1.  Prouve que l’aire du carré est donnée par (10 – x)2. 2.  Explique pourquoi l’aire de la piscine, en m2, en fonction de x, est x − 14 x + 100. 2 3.  En utilisant intelligemment ton tableur, détermine pour quelle valeur entière de x l’aire de la piscine est inférieur à 52 m2. Astuce : dans la colonne A, saisis les valeurs de x de 0 à 20, dans la colonne B, utilise les fonctions indiquées dans le « je retiens » pour saisir le calcul de x2 − 14x + 100. CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 10 63  Exercice 8 Pour quelles valeurs de x plus grandes que 1 penses-tu que les deux volumes d’eau sont égaux ? N’oublie pas que le volume d’un parallélépipède rectangle est V = L× l × h. Tu pourras utiliser un tableur : avec une colonne A contenant les valeurs de x, une colonne B contenant les valeurs du premier volume associé à x ; une colonne C contenant les valeurs du second volume associé à x. Calcul mental Sans utiliser la calculatrice, complète ce tableau. question réponse −122.............. 52 + 112.............. 52 − 42.............. 92.............. 102 82.............. 16 64 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 10 J’ÉVALUE CE QUE J’AI APPRIS Exercice 9 - Une seule réponse par proposition Coche la bonne reponse. proposition réponse A réponse B réponse C 8 2,83 2,82 u La valeur approchée au centième de 8    le premier chiffre la partie entière la racine carrée avant la virgule La fonction =RACINE(A1) d’un tableur du nombre saisi du nombre saisi du nombre saisi v renvoie en cellule A1 en cellule A1 en cellule A1    2 4 =racine(B2) w    Si j’étends la formule de la cellule B1 à la cellule B2, la cellule B2 contiendra 1 3 2 x    Le pas (step en anglais) choisi est y    La fonction saisie est : CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Séance 10 65 MISSION 1 Le bassin manquant... Le directeur d’une piscine municipale doit repenser l’agencement des bassins dans l’un des espaces détente. Il doit anticiper le temps nécessaire au remplis- sage de l’un des bassins. Détermine le temps nécessaire pour remplir le bassin le moins profond. Remarque : la piscine municipale est de forme carrée. DOCUMENT 1 Plan de réaménagement : 66 CNED – Collège 3e– MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Mission 1 DOCUMENT 2 Ce nouvel aménagement de piscine se veut résolument familial ! Avec son grand bassin de 144 m² et sa profondeur de 2 mètres, les nageurs les plus aguerris pourront s’entraîner sans difficulté. Son bassin de 81 m² profond d’un mètre cinquante promet aux plus jeunes des heures d’amusement. Et enfin, le petit bassin d’un mètre vingt de profondeur ravira les plus petits et les jeunes parents qui pourront faire découvrir le milieu aquatique à leurs enfants. N’oublions pas sa grande plage, idéale pour les piscines en extérieur. Rien de mieux que de prendre un bain de soleil après s’être dépensé dans l’eau. DOCUMENT 3 Alimentation générale en eau de la piscine municipale : Découvre un indice toutes les 5 minutes sur le livret de corrigés. CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUES - Unité 1 - Mission 1 67