Logika (Part 2) PDF

Logika (part 2) Team Teaching BBK1BAB3 2024 Outline Operasi Logika dalam Komputer Proposisi Bersyarat (Implikasi) Varian Proposisi Bersyarat Bikondisional (Bi-implikasi) Inferensi Argumen Operasi Logika dalam Komputer Pendahul...

Logika (part 2) Team Teaching BBK1BAB3 2024 Outline Operasi Logika dalam Komputer Proposisi Bersyarat (Implikasi) Varian Proposisi Bersyarat Bikondisional (Bi-implikasi) Inferensi Argumen Operasi Logika dalam Komputer Pendahuluan Bahasa pemrograman umumnya menyediakan tipe data boolean untuk data yang bertipe logika, misalnya tipe boolean dalam Bahasa Pascal, logical dalam Bahasa Fortran, dan sebagainya. Tipe data boolean hanya mempunyai dua buah konstanta nilai saja, yaitu true dan false. Peubah yang bertipe boolean disebut peubah boolean (boolean variable). Nilai peubah tersebut hanya true atau false. Operasi boolean Operasi boolean sering dibutuhkan dalam pemrograman. Operasi boolean dinyatakan dalam ekspresi logika (atau dinamakan juga ekspresi boolean). Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR, dan NOT. Ekspresi booelan tersebut hanya menghasilkan salah satu dari dua nilai, true atau false. Misalkan x1, x2, x3, dan x4 adalah peubah booelan dalam Bahasa Pascal, maka ekspresi boolean di bawah ini adalah valid: yang bersesuian dengan ekspresi logika : x1 ⋀ x2 x1 and x2 x1 ∨ ~(x2 ⋀ x3) x1 or (not (x2 and x3)) Operasi bit Operasi lain dalam pemrograman yang bersesuaian dengan operasi logika adalah operasi bit. Komputer merepresentasikan informasi dengan menggunakan bit. Sebuah bit hanya mempunyai dua nilai, yaitu 1 atau 0. Sebuah bit dapat digunakan untuk merepresentasikan nilai kebenaran, yaitu kita menyatakan 1 untuk merepresentasikan true (T) dan 0 untuk merepresentasikan false (F). Notasi ~, ⋀, ∨, dan ⊕ masing - masing untuk melambangkan operator NOT, AND, OR, dan XOR. dengan demikian.. Operasi bit bersesuaian dengan Operasi logika ~0 ~F 1⋀0 T⋀F 0∨0 F ∨F 1⊕0 T⊕F  Proposisi Bersyarat (Kondisional/Implikasi) Proposisi Bersyarat Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga dapat muncul berbentuk “jika p, maka q”, seperti pada contoh-contoh berikut: a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah b. Jika suhu mencapai 80℃, maka alarm berbunyi c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri Pernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam ini disebut proposisi bersyarat atau kondisional atau implikasi.  Bentuk proposisi: “jika p, maka q” Notasi: p → q p : hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi q: disebut konklusi (atau konsekuen). Tabel kebenaran implikasi p q p→q T T T T F F F T T F F T Cara-cara mengekspresikan implikasi p → q: a. jika p, maka q b. Jika p, q c. p mengakibatkan q (p implies q) d. q jika p e. p hanya jika q f. p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) ) g. q syarat perlu bagi p (konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition) ) h. q bilamana p (q whenever p) Contoh. Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam bentuk: 1. Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. 2. Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang. 3. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. 4. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan. 5. Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. 6. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. 7. Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan. 8. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi. Contoh Soal Ubahlah proposisi di bawah ini dalam bentuk standard “jika p maka q”: 1) Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. Jawaban : 1) Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. Ingat : p → q dapat dibaca p syarat cukup untuk q Susun sesuai format: Percikan api dari rokok adalah syarat cukup agar pom bensin meledak Identifikasi proposisi atomik: p : Api memercik dari rokok q : Pom bensin meledak Notasi standard: Jika p, maka q Jika api memercik dari rokok, maka pom bensin meledak. Latihan 1 Ubahlah proposisi di bawah ini dalam bentuk standard “jika p maka q”: a) Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan. b) Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi Implikasi dalam Bahasa Pemrograman if c then S c: ekspresi logika yang menyatakan syarat/kondisi S: satu atau lebih pernyataan. S dieksekusi jika c benar, S tidak dieksekusi jika c salah. Contoh Misalkan di dalam sebuah program yang ditulis dalam Bahasa Pascal terdapat pernyataan berikut: if x > y then y:=x+10; Berapa nilai y setelah pelaksanaan eksekusi if-then jika: i) x = 2, y = 1 ii) x = 3, y = 5 Penyelesaian: i) x = 2 dan y = 1 Ekspresi x > y bernilai benar Pernyataan y: = x + 10 dilaksanakan Nilai y sekarang menjadi y = 2 + 10 = 12. ii) x = 3 dan y = 5 Ekspresi x > y bernilai salah Pernyataan y: = x + 10 tidak dilakukan Nilai y tetap seperti sebelumnya, yaitu 5. Varian Proposisi Bersyarat Varian Proposisi Bersyarat Tabel kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi p q ~p ~q implikasi Konvers Invers Kontraposisi p→q q→p ~p→~q ~q→~p T T F F T T T T T F F T F T T F F T T F T F F T F F T T T T T T Contoh Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” p q Penyelesaian: Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil (q → p) Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya (~ p → ~ q) Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia ia tidak mempunyai mobil (~ q → ~ p) Latihan 2 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut ! (a) Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif (b) Jika dia bersalah maka ia dimasukkan ke dalam penjara (c) Perlu ada angin agar layang-layang bisa terbang Bikondisional (Bi-Implikasi) Bikondisional (Bi-implikasi) Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q” Notasi: p q p q p q T T T T F F F T F F F T p q ⇔ (p → q) ⋀ (q → p) implikasi Konvers p q p q (p → q) ⋀ (q → p) p→q q→p T T T T T T T F F F T F F T F T F F F F T T T T Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”. Cara-cara menyatakan bi-impikasi p q a) p jika dan hanya jika q. b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. c) jika p maka q, dan sebaliknya. d) p iff q Contoh. Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi: a) 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4. b) Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi. c) Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya. d) Bandung terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia. Inferensi Inferensi Aturan inferensi adalah salah satu aturan yang digunakan untuk membangun suatu argument yang valid. Dengan memahami aturan inferensi, maka bisa diketahui apakah argument yang ada itu valid atau tidak. Terdapat sejumlah kaidah inferensi, beberapa diantarnya adalah sebagai berikut : 1. Modus Ponen (law of detachment) 2. Modus Tollen 3. Silogisme Hipotetis 4. Silogisme Disjungtif 5. Simplifikasi 6. Penjumlahan 7. Konjungsi 1. Modus Ponen (law of detachment) Kaidah modus ponen dapat ditulis dengan cara : Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ⋀ (p → q)) →q, yang dalam hal ini, p dan p → q adalah hipotesis, sedangkan q adalah konklusi. Simbol ∴ dibaca sebagai “jadi” atau “karena itu”. Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan dan implikasi p → q benar, maka konklusi q benar. Contoh. Modus Ponen Premis 1 : Jika 20 dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap (p) Permis 2 : 20 habis dibagi 2 (q) ∴ 20 adalah bilangan genap 2. Modus Tollen Kaidah modus tollens dapat ditulis dengan cara : Kaidah ini didasarkan pada tautologi [( ~q ⋀ (p → q)] → ~p Contoh. Modus Tollen Premis 1 : Jika n habis dibagi oleh 3, maka n² habis dibagi oleh 9 (p) Permis 2 : n² tidak habis dibagi 9 (q) ∴ n tidak habis dibagi oleh 3 3. Silogisme Hipotetis Kaidah silogisme hipotetis dapat ditulis dengan cara : Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p → q) ⋀ (q → r)] → (p → r) Contoh. Silogisme Hipotetis Premis 1 : Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian Permis 2 : Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah ∴ Jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah 4. Silogisme Disjungtif Kaidah silogisme disjungtif dapat ditulis dengan cara : Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p ⋁ q) ⋀ 〜p] → q Contoh. Silogisme Disjungtif Premis 1 : Hari ini hujan atau hari ini lalu lintas macet. Permis 2 : Hari ini tidak hujan ∴ Hari ini lalu lintas macet. 5. Simplifikasi Kaidah simplifikasi dapat ditulis dengan cara : Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ⋀ q) →p, yang dalam hal ini, p dan q adalah hipotesis, sedangkan p adalah konklusi. Contoh. Simplifikasi Penarikan kesimpulan seperti berikut ini: “Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa TelU. Karena itu, Hamid adalah mahasiswa ITB.” menggunakan kaidah simplifikasi, atau dapat juga ditulis dengan cara: Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa TelU. ∴ Hamid adalah mahasiswa ITB. Simplifikasi berikut juga benar: “Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa TelU Karena itu, Hamid adalah mahasiswa TelU” karena urutan proposisi di dalam konjungsi p ⋀ q tidak mempunyai pengaruh apa-apa. 6. Penjumlahan Kaidah penjumlahan dapat ditulis dengan cara : Kaidah ini didasarkan pada tautologi p → (p ⋁ q). Contoh. Penjumlahan Penarikan kesimpulan seperti berikut ini: “Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma.” menggunakan kaidah penjumlahan, atau dapat juga ditulis dengan cara: Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. ∴ Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma 7. Konjungsi Kaidah konjungsi dapat ditulis dengan cara : Kaidah ini didasarkan pada tautologi ((p) ⋀ (q)) → (p ⋀ q) Contoh. Konjungsi Penarikan kesimpulan seperti berikut ini: “Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslim mengulang kuliah Algoritma. Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma” menggunakan kaidah penjumlahan, atau dapat juga ditulis dengan cara: Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslim mengulang kuliah Algoritma ∴ Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma Argumen Argumen Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai yang dalam hal ini, p1, p2, …, pn disebut hipotesis (atau premis), dan q disebut konklusi. Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid). Definisi. Sebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar; sebaliknya argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid). Jika argumen sahih, maka kadang-kadang kita mengatakan bahwa secara logika konklusi mengikuti hipotesis atau sama dengan memperlihatkan bahwa implikasi (p1 ⋀ p2 ⋀.... ⋀ pn) → q adalah benar (yaitu, sebuah tautologi). Argumen yang palsu menunjukkan proses penalaran yang tidak benar. Contoh 1. Perlihatkan bahwa argumen berikut: Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang. adalah sahih. Penyelesaian: Misalkan: p: Air laut surut setelah gempa di laut q: Tsunami datang Argumen: p →q p ∴q Ada dua cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihan argumen ini.  Cara 1 : Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p → q p q p→q T T T (baris 1) T F F (baris 2) F T T (baris 3) F F T (baris 4) Argumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar. Kita periksa apabila hipotesis p dan p → q benar, maka konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan benar. Periksa tabel, p dan p → q benar secara bersama-sama pada baris 1. Pada baris 1 ini q juga benar. Jadi, argumen di atas sahih. Cara 2: Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah [ p ⋀ (p → q) ] → q merupakan tautologi. Tabel di bawah memperlihatkan bahwa [[ p ⋀ (p → q) ] → q suatu tautologi, sehingga argumen dikatakan sahih. p q p→q p ⋀ (p → q) [ p ⋀ (p → q) ] → q T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T Perhatikanlah bahwa penarikan kesimpulan di dalam argumen ini menggunakan modus ponen. Jadi, kita kita juga telah memperlihatkan bahwa modus ponen adalah argmen yang sahih. Latihan 3 1. Diberikan dua buah premis berikut: (i) Logika sulit atau tidak banyak mahasiswa yang menyukai logika. (ii) Jika matematika mudah, maka logika tidak sulit. Tunjukkan dengan pembuktian argumen (atau cara lain) apakah masing-masing konklusi berikut sah (valid) atau tidak berdasarkan dua premis di atas: a) Bahwa matematika tidak mudah atau logika sulit. b) Bahwa matematika tidak mudah, jika banyak mahasiswa menyukai logika. Terima Kasih "Logic is the foundation of the certainty of all the knowledge we acquire." – Leonhard Euler