13º Clase _Integrales Indef parte 1 PDF

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA ANÁLISIS MATEMÁTICO I ING. ALEJANDRO E. MANZUR INTEGRACIÓN – INDEFINIDAS – 1ª PARTE Antes de comenzar vamos a diferenciar en este apartado entre f(x) (f minúscula) y F(x) (F mayúscula). Integrar es el proceso inverso al de d...

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA ANÁLISIS MATEMÁTICO I ING. ALEJANDRO E. MANZUR INTEGRACIÓN – INDEFINIDAS – 1ª PARTE Antes de comenzar vamos a diferenciar en este apartado entre f(x) (f minúscula) y F(x) (F mayúscula). Integrar es el proceso inverso al de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice entonces que F(x) es una función primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo, las primitivas de f(x) son las funciones derivables de F(x) tal que: F´(x) = f(x) Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas de una constante. [F(x)+C]’ = F’(x) + 0 = F’(x) = f(x) Una de las principales aplicaciones de las integrales son el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. INTEGRACIÓN – INDEFINIDAS – 1ª PARTE Concepto del Cálculo Integral: Se puede entender al calculo integral como la “Antiderivación”, es decir constituye un proceso de calculo en el cual, conocida una expresión, que es esencialmente una “Derivada”, el objetivo del calculo integral es encontrar un expresión que represente la “Función Original”, a partir de la cual se obtuvo dicha derivada, por este motivo a la solución de una integral se la suele denominar “Primitiva”. DERIVACIÓN Dato Resultado Permite disponer de “Proceso de Verificación”: y  f x  y   f x  Ya que si queremos verificar el resultado de una derivada podemos integrar y si deseamos verificar el Resultado Dato resultado de una integral podemos derivar INTEGRACIÓN El Calculo Integral se expresa de la siguiente manera:  Dato = “Elemento de Integración” f x  dx  F x   C Producto de una expresión por el Diferencial de “x” Dato Resultado Resultado = “Primitiva” + “Constante de Integración” Suma de una expresión y un numero real  INTEGRACIÓN – INDEFINIDAS – 1ª PARTE 1º - ¿Por qué en los datos hay un producto? ¿Qué representa el Diferencial “dx”? 2º - ¿Por qué en los resultados hay una suma? ¿Qué representa la Constante “C”? Responderemos estas preguntas con un ejemplo, sin preocuparnos por ahora, por la mecánica de cálculo e incluso adelantando algunos conceptos:      2x y  f x   Ln x 2  2  Derivamos : y   f x   2x  dx  Ln x 2  2  C x 2 2 x 2 2 y  f x; z   3 x  2 z 3  3 x z Esta función de tres variables se puede derivar por: Derivación Direccional Derivación Parcial (Considera que solo una de las variables independientes es variable, mientras que la otra se comporta como constante) y y  f x; z   3 x  2 z 3  3 x z   3  3z Derivada Parcial respecto de “x” (“z” Constante) x y  6 z 2  3 x Derivada Parcial respecto de “z” (“x” Constante) z   3  3 z dx 6 z 2  3 x dz El Diferencial indica respecto de quien se esta derivando INTEGRACIÓN – INDEFINIDAS – 1ª PARTE   1 sen 2x  dx     cos 2 x    2  1  1 Verificación :    cos 2 x     2  sen2x   sen 2x   2  2  1  1  1    cos 2 x   2  Verificación :    cos 2 x   2    2  sen2x   sen 2x   2  2  2  1  1 1  1    cos 2 x   Verificación :    cos 2 x      2  sen2x   sen 2x  1   2 3  2 3  2  1 La Constante “C” Indica que la solución no es ÚNICA, sino    cos 2 x   C  2 un grupo infinito de soluciones, que difieren en un Nº Real NO EXISTE UNA ÚNICA SOLUCIÓN, sino infinitas soluciones, por este motivo se las denomina “Integrales Indefinidas” INTEGRACIÓN – INDEFINIDAS – 1ª PARTE Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza: ‫𝑥𝑑 𝑥 𝑓 ׬‬ (Integral de efe de equis diferencial de equis) Donde " ‫ " ׬‬es el signo de integración, f(x) es el integrando o función a integrar, dx indica cuál es la variable de la función que se integra (me indica la variable de integración) Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ‫ = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 ׬‬F(x)+C (C es la constante de integración) Para comprobar que la primitiva de una función es correcta, basta con derivarla y deberíamos obtener nuevamente la función a integrar. INTEGRACIÓN – INDEFINIDAS – 1ª PARTE PROPIEDADES 1) La integral de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las integrales de esas funciones. ‫ 𝑥 𝑓 ׬‬± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ‫ 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 ׬‬± ‫𝑥𝑑 𝑥 𝑔 ׬‬ 2) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ‫ 𝐾 ׬‬. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐾. ‫𝑥𝑑 𝑥 𝑓 ׬‬ INTEGRACIÓN – INDEFINIDAS – 1ª PARTE Propiedades del Calculo Integral : Como se trata de una operación vinculada a la derivación, es razonable que las propiedades también lo estén:  k f x  dx  k  f x  dx Un “Factor Numérico” (constante) no interviene en el calculo integral y se puede extraer del signo de integración    f x  gx  dx   f x  dx   gx  dx La integración es “Distributiva” con respecto a la suma y al resta  f x   gx  dx   La integración No es “Distributiva” con respecto al producto y la división     f x  dx   A diferencia de la Derivación, No Hay Formulas gx  Para procesar estos casos se requiere de Métodos INTEGRACIÓN – INDEFINIDAS – 1ª PARTE INTEGRALES INDEFINIDAS METODOS DE INTEGRACIÓN - Inmediata En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto requiere conocer de antemano una función F(x) que sea el resultado de la antiderivada de f(x). Para ello, y en forma de aprendizaje, utilizaremos la tabla de integrales. INTEGRALES INDEFINIDAS METODOS DE INTEGRACIÓN - Descomposición Se basa en la aplicación de las propiedades de la Integral Indefinida. La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones. La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función. INTEGRALES INDEFINIDAS METODOS DE INTEGRACIÓN - Sustitución o Cambio de Variable El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple.