Guía de Matemáticas 8vo Grado 2024 PDF

CHILDREN'S VISIÓN INTERNATIONAL INC FUNDACIÓN COLEGIO PRINCIPIO DE SABIDURÍA **CONSTRUYENDO VIDAS CON PROPÓSITO** **PARA CAMBIAR DESTINOS Y TRANSFORMAR GENERACIONES"** **ÁREA: MATEMÁTICAS**...

CHILDREN'S VISIÓN INTERNATIONAL INC FUNDACIÓN COLEGIO PRINCIPIO DE SABIDURÍA **CONSTRUYENDO VIDAS CON PROPÓSITO** **PARA CAMBIAR DESTINOS Y TRANSFORMAR GENERACIONES"** **ÁREA: MATEMÁTICAS** **PERIODO: IV** **DOCENTE: Carlos Daniel Junca** **GRADO: 8** **2024** --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------- ---------------------------------- ----------------------- **D.B.A.** Identifica regularidades y argumenta propiedades de figuras geométricas a partir de teoremas y las aplica en situaciones reales **Interpretativa:** Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos. **Argumentativa:** Reconozco y aplico las propiedades de los ángulos de forma adecuada. **Propositiva:** Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas **Nombre:** FACTORIZACIÓN ============= Ahora veremos la forma en que podemos descomponer en factores las expresiones algebraicas y poderlas expresar como diferentes productos, comenzando con los procesos sencillos e ir aumentando poco a poco la dificultad, siempre apoyándonos en conceptos previos que ya trabajamos, en esta ocasión factorizaremos sumas o diferencias de cubos perfectos y sumas o diferencias de potencias iguales. ======================================================================================================================================================================================================================================================================================================================================================================================================= **SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS** Un cubo perfecto es aquel término que tiene raíz cubica exacta, por ejemplo, el número 8 es un cubo perfecto, ya que su raíz cubica es 2, de igual manera el término 8𝑎6 es un cubo perfecto, ya que su raíz cubica es 2𝑎2. **Ejercicio 1:** Escoger entre las opciones, la raíz cubica que corresponde a cada monomio:  "La suma de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores, el primer factor es la suma de las raíces cúbicas, el segundo factor es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz" (Rueda, 2007) 𝑚^3^ + 𝑛^3^ = (𝑚 + 𝑛)(𝑚^2^ − 𝑚𝑛 + 𝑛^2^) **Ejemplo 1:** Factorar la expresión: 27𝑥^3^ + 8𝑦^6^𝑥^9^ **Solución:** - Se buscan las raíces cúbicas de cada término: - Se escribe el primer factor con las raíces cubicas: (3𝑥 + 2𝑦^2^𝑥^3^) - Se forma el segundo término con las indicaciones dadas: cuadrado de la primera raíz (3𝑥)^2^ = 9𝑥^2^; menos el producto de las raíces (3𝑥)(2𝑦^2^𝑥^3^) = 6𝑥^4^𝑦^2^; más el cuadrado de la segunda raíz (2𝑦^2^𝑥^3^)^2^ = 4𝑥^6^𝑦^4^, para obtener el segundo factor (9𝑥^2^ − 6𝑥^4^𝑦^2^ + 4𝑥^6^𝑦^4^) - Luego 27𝑥^3^ + 8𝑦^6^𝑥^9^ = (3𝑥 + 2𝑦^2^𝑥^3^)(9𝑥^2^ − 6𝑥^4^𝑦^2^ + 4𝑥^6^𝑦^4^) **Ejercicio 2:** Factorizar las siguientes expresiones: 1. 𝑥^3^ + 8 2. 1 + 𝑤^3^ 3. 0,125𝑦^9^ + 64 4) 4. −[\$\\frac{1}{8}\$]{.math.inline} 𝑚^9^𝑛^3^ + 27𝑝^3^𝑞^9^ "La diferencia de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores, el primer factor es la diferencia de las raíces cúbicas, el segundo factor es el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz" (Rueda, 2007) 𝑚^3^ − 𝑛^3^ = (𝑚 − 𝑛)(𝑚^2^ + 𝑚𝑛 + 𝑛^2^) **Ejemplo 2:** Factorar la expresión  𝑚^6^ − 64𝑛^12^ **Solución:** - Se buscan las raíces cúbicas de cada término: - Se escribe el primer factor con las raíces cúbicas: ([\$\\frac{1}{7}\$]{.math.inline} 𝑚^2^ − 4𝑛^4^) - Luego 𝑚^6^ − 64𝑛^12^ = ([\$\\frac{1}{7}\$]{.math.inline} 𝑚^2^ − 4𝑛^4^)( [\$\\frac{1}{49}\$]{.math.inline} 𝑚^4^ + [\$\\frac{4}{7}\$]{.math.inline} 𝑚^2^𝑛^4^ + 16𝑛^8^) **Ejercicio 3:** Factorizar las siguientes expresiones: 1. 1 + 64𝑛^12^ 2. 𝑦^3^ − 8𝑤^3^ 3. 27𝑚^3^ − [\$\\frac{1}{8}\$]{.math.inline} 𝑏^9^ 4. (𝑎 + 𝑏)^6^ − 9𝑥^3^ 5. [\$\\frac{b3}{a9}\$]{.math.inline} − 729𝑐^27^ **SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES** Antes de plantear la regla general para factorizar expresiones de la forma 𝑥^𝑛^ ∓ 𝑎^𝑛^, es importante dejar en claro varias cosas: Interfaz de usuario gráfica, Texto Descripción generada automáticamente La regla para factorizar expresiones de la forma 𝑥^𝑛^ ∓ 𝑎^𝑛^ dice: "Cumpliendo las condiciones anteriores, una expresión como 𝑥^𝑛^ ∓ 𝑎^𝑛^ se puede expresar como el producto de dos factores, donde el primer factor es de la forma 𝑥 ∓ 𝑎, y el segundo factor es un polinomio de 𝒏 términos con las siguientes características: primer término 𝑥^𝑛−1^ y el último es 𝑎^𝑛−1^, los otros términos son productos de 𝒙 y 𝒂, en donde los exponentes de 𝑥 disminuyen de uno en uno a partir del primer término, y los exponentes de 𝑎 aumentan de uno en uno a partir del segundo término. Si 𝑥 − 𝑎 es un factor de 𝑥^𝑛^ ∓ 𝑎^𝑛^, los signos del segundo factor son todos positivos (+). Si 𝑥 + 𝑎 es un factor de 𝑥^𝑛^ ∓ 𝑎^𝑛^, los signos del segundo factor se escriben alternados +,-,+,-,+,..." **Ejemplo 3:** Factorar la expresión 𝑚^5^ + 𝑝^5^ **Solución:** Teniendo en cuenta las condiciones planteadas al inicio de la guía, sabemos que 𝑚^5^ + 𝑝^5^ no es divisible entre 𝑚 − 𝑝, así que 𝑚^5^ + 𝑝^5^ solo es divisible entre 𝑚 + 𝑝, entonces: - Formamos el primer factor (𝑚 + 𝑝) - Formamos el segundo factor, como el grado de la expresión es 5, el segundo factor tendrá 5 términos; primer término 𝑚^𝑛−1^ = 𝑚^4^; segundo término (𝑚^𝑛−2^)(𝑝^𝑛−4^) = 𝑚^3^𝑝; tercer término (𝑚^𝑛−3^)(𝑝^𝑛−3^) = 𝑚^2^𝑝^2^; cuarto termino (𝑚^𝑛−4^)(𝑝^𝑛−2^) = 𝑚𝑝^3^; y el quinto término 𝑝^𝑛−1^ = 𝑝^4^, luego el segundo factor queda, no olvidemos que el primer factor es 𝑚 + 𝑝, por ello los signos del segundo factor se deben alternar entre positivo y negativo: (Rueda, 2007) - Luego tenemos que 𝑚^5^ + 𝑝^5^ = (𝑚 + 𝑝)(𝑚^4^ − 𝑚^3^𝑝 + 𝑚^2^𝑝^2^ − 𝑚𝑝^3^ + 𝑝^4^) **Ejemplo 4:** Factorar la expresión 𝑎^8^ − 𝑏^8^ **Solución:** 𝑎^8^ − 𝑏^8^, es divisible entre 𝑎 − 𝑏 y entre 𝑎 + 𝑏, por lo tanto, la expresión 𝑎^8^ − 𝑏^8^ se puede factorizar de dos formas: **Primera forma:** 𝑎^8^ − 𝑏^8^ entre 𝑎 − 𝑏 - Se forma el primer factor (𝑎 − 𝑏) - Formamos el segundo factor, como el grado de la expresión es 8, entonces el segundo factor tendrá 8 términos y como el primer factor es una diferencia, todos los signos de los términos serán positivos: - Luego 𝑎^8^ − 𝑏^8^ = (𝑎 − 𝑏)(𝑎^7^ + 𝑎^6^𝑏 + 𝑎^5^𝑏^2^ + 𝑎^4^𝑏^3^ + 𝑎^3^𝑏^4^ + 𝑎^2^𝑏^5^ + 𝑎𝑏^6^ + 𝑏^7^) **Segunda forma:** 𝑎^8^ − 𝑏^8^ entre 𝑎 + 𝑏 - Se forma el primer factor (𝑎 + 𝑏) - Formamos el segundo factor, como el grado de la expresión es 8, entonces el segundo factor tendrá 8 términos y como el primer factor es una suma, los signos de los términos se alternan entre positivos y negativos: - Luego 𝑎^8^ − 𝑏^8^ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎^7^ − 𝑎^6^𝑏 + 𝑎^5^𝑏^2^ − 𝑎^4^𝑏^3^ + 𝑎^3^𝑏^4^ − 𝑎^2^𝑏^5^ + 𝑎𝑏^6^ − 𝑏^7^) **Ejercicio 4:** Factorizar las siguientes expresiones:  ======================