Factorización de Expresiones Algebraicas

Study Notes

La factorización consiste en descomponer una expresión algebraica en diferentes productos.
Un cubo perfecto es un término con raíz cúbica exacta.
Un término como 8a⁶ es un cubo perfecto ya que su raíz cúbica es 2a².

La suma de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores:
- El primer factor es la suma de las raíces cúbicas.
- El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
- La fórmula: m³ + n³ = (m + n)(m² - mn + n²)
La diferencia de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores:
- El primer factor es la diferencia de las raíces cúbicas.
- El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
- La fórmula: m³ - n³ = (m - n)(m² + mn + n²)
Para factorizar la expresión 27x³ + 8y⁶x⁹:
- Se encuentran las raíces cúbicas: 3x y 2y²x³
- El primer factor es (3x + 2y²x³)
- El segundo factor es (3x)² - (3x)(2y²x³) + (2y²x³)² = 9x² - 6x⁴y² + 4x⁶y⁴
- La factorización final: 27x³ + 8y⁶x⁹ = (3x + 2y²x³)(9x² - 6x⁴y² + 4x⁶y⁴)

Para factorizar la expresión 𝑥^𝑛^ ∓ 𝑎^𝑛^:
- El primer factor es de la forma 𝑥 ∓ 𝑎.
- El segundo factor es un polinomio de 𝒏 términos con las siguientes características:
  - El primer término es 𝑥^𝑛−1^ y el último es 𝑎^𝑛−1^.
  - Los demás términos son productos de 𝒙 y 𝒂, con los exponentes de 𝑥 disminuyendo de uno en uno y los de 𝑎 aumentando de uno en uno.
  - Los signos del segundo factor son todos positivos si 𝑥 − 𝑎 es un factor.
  - Los signos del segundo factor se alternan (+,-,+,-,+) si 𝑥 + 𝑎 es un factor.
Para factorizar la expresión 𝑚^5^ + 𝑝^5^:
- El primer factor es (𝑚 + 𝑝).
- El segundo factor tiene 5 términos y sus signos se alternan: (𝑚^4^ − 𝑚^3^𝑝 + 𝑚^2^𝑝^2^ − 𝑚𝑝^3^ + 𝑝^4^)
- La factorización final: 𝑚^5^ + 𝑝^5^ = (𝑚 + 𝑝)(𝑚^4^ − 𝑚^3^𝑝 + 𝑚^2^𝑝^2^ − 𝑚𝑝^3^ + 𝑝^4^)
La expresión 𝑎^8^ − 𝑏^8^ puede factorizarse de dos formas:
- Entre (𝑎 − 𝑏): (𝑎 − 𝑏)(𝑎^7^ + 𝑎^6^𝑏 + 𝑎^5^𝑏^2^ + 𝑎^4^𝑏^3^ + 𝑎^3^𝑏^4^ + 𝑎^2^𝑏^5^ + 𝑎𝑏^6^ + 𝑏^7^)
- Entre (𝑎 + 𝑏): (𝑎 + 𝑏)(𝑎^7^ − 𝑎^6^𝑏 + 𝑎^5^𝑏^2^ − 𝑎^4^𝑏^3^ + 𝑎^3^𝑏^4^ − 𝑎^2^𝑏^5^ + 𝑎𝑏^6^ − 𝑏^7^)