Appunti di Sistemi di Numerazione (PDF)

CORSO DI FONDAMENTI DI INFORMATICA ANNO ACCADEMICO 2024/2025 Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Docente: Raffaele Della Corte L’informazione e le sue rappresentazioni Riferimento: Le radici dell’informatica. Dai...

CORSO DI FONDAMENTI DI INFORMATICA ANNO ACCADEMICO 2024/2025 Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Docente: Raffaele Della Corte L’informazione e le sue rappresentazioni Riferimento: Le radici dell’informatica. Dai bit alla programmazione strutturata Capitolo 1 Sistemi di numerazione e operazioni aritmetiche Sistemi di numerazione Un sistema di numerazione è un insieme di simboli (cifre) e regole che assegnano ad ogni sequenza di cifre uno ed un solo valore numerico Posizionali Ogni cifra ha un’importanza variabile a seconda della relativa posizione Nel sistema decimale la prima cifra a destra indica l'unità, la seconda le decine, la terza le centinaia e così via 3 2 1 0 1 3 4 5 Non posizionali Ogni cifra esprime una quantità non dipendente dalla posizione E.g.: nel sistema romano il simbolo L esprime la quantità 50 indipendentemente dalla posizione Sistemi di numerazione posizionale: Numeri interi Stringa (i-cifre): una qualsiasi sequenza ci-1 ci-2 … c1 c0 di cifre/simboli/bit in un sistema di numerazione posizionale: Ai simboli c è associato un diverso peso in base alla posizione i-esima occupata nella stringa che compone il numero Il peso dipende dalla base b di numerazione Numero intero x rappresentato da i cifre in base b : ci-1 ci-2 … c1 c0 à x = ci-1 ⸱ bi-1 + ci-2 ⸱ bi-2 + … + c2 ⸱ b2 + c1 ⸱ b1 + c0 ⸱ b0  Sistemi di numerazione posizionale: Esempi numeri interi Numero intero x rappresentato da i=3 cifre in base b=10: c2 c1 c0 à x = c2 ⸱ b2 + c1 ⸱ b1 + c0 ⸱ b0 à x = c2 ⸱ 102 + c1 ⸱ 101 + c0 ⸱ 100 Consideriamo le seguenti stringhe di 3 cifre in base 10 003 à (c2=0) ⸱ 102 + (c1=0) ⸱ 101 + (c0=3) ⸱ 10 0 = 3 ⸱ 100 047 à (c2=0) ⸱ 102 + (c1=4) ⸱ 101 + (c0=7) ⸱ 10 0 = 4 ⸱ 101 + 7 ⸱ 100 152 à (c2=1) ⸱ 102 + (c1=5) ⸱ 101 + (c0=2) ⸱ 10 0 = 1 ⸱ 102 + 5 ⸱ 101 + 2 ⸱ 100 Sistemi di numerazione posizionale: Numeri reali In un sistema di numerazione posizionale è possibile rappresentare numeri con parte frazionaria usando i + k cifre Ad ogni sequenza (stringa) di cifre ci-1 ci-2 … c1 c0 , c-1 c-2 … c-k+1 c-k viene associato uno ed un solo numero x in funzione sia del valore delle singole cifre che del peso che esse assumono all’interno della stringa di cifre Alla i-esima cifra ci è associato un peso diverso in base alla posizione i di ci nella stringa di cifre tenendo conto della posizione della virgola Il peso di una cifra dipende dalla base (o radice) b di rappresentazione Numero reale x rappresentato da i + k cifre in base b ci-1 ci-2 … c1 c0 , c-1 c-2 … c-k+1 c-k à x x = ci-1 ⸱ bi-1 + ci-2 ⸱ bi-2 + … +c0 ⸱ b0 + c-1 ⸱ b-1 + … + c-k+1 ⸱ b-k+1 + c-k ⸱ b-k Sistemi di numerazione posizionale: Esempi numeri reali Numero reale x rappresentato da i(=2)+k(=2)=4 cifre in base b=10: c1, c0, c-1, c-2 à x = c1 ⸱ b1 + c0 ⸱ b0 + c-1 ⸱ b-1 + c-2 ⸱ b-2 à x = c1 ⸱ 101 + c0 ⸱ 100 + c-1 ⸱ 10-1 + c-2 ⸱ 10-2 Consideriamo le seguenti stringhe di 2+2 cifre in base 10 00,13 à (c1=0) ⸱ 101 + (c0=0)⸱100 + (c-1=1)⸱10-1 + (c-2=3)⸱10-2 = 1⸱10-1 + 3⸱10-2 10,40 à (c1=1) ⸱ 101 + (c0=0)⸱100 + (c-1=4)⸱10-1 + (c-2=0)⸱10-2 = 1⸱101 + 4⸱10-1 Sistemi di numerazione posizionale Definiti dalla base (o radice) utilizzata per la rappresentazione In un sistema posizionale in base b servono b simboli per rappresentare i diversi valori delle cifre compresi tra 0 e (b-1) Base Denominazione Valore delle cifre 10 Decimale 0123456789 2 Binaria 01 8 Ottale 01234567 16 Esadecimale 0123456789ABCDEF Sistemi di numerazione posizionale Numeri rappresentati in basi diverse con un pedice indicante la base dopo aver racchiuso la stringa tra parentesi (101111)2 = (142)5 = (47)10 Il significato degli altri simboli è uguale in tutte le basi Il segno meno: - I simboli delle operazioni: + - x / La virgola:. Gli zeri a sinistra possono essere omessi, così come quelli a destra se il numero è dotato di virgola. Sistemi di numerazione posizionale Solo nel sistema decimale è possibile leggere i numeri Ad es., “quarantasette” Negli altri sistemi di numerazione, cifre lette da quella di peso maggiore fino a quella di minor peso, con indicazione della base Ad es., “uno quattro due” in base cinque Conversione di un numero in base 10 Conversione in base 10 del valore 𝒙 rappresentato in una qualsiasi base b Si calcola la sommatoria dei prodotti delle cifre per i pesi %$ 𝑥 = $ 𝑐! ⋅ 𝑏 ! !"#$ Esempi (101111)2 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 32 + 8 + 4 + 2 +1 = 47 (142)5 = 1 × 52 + 4 × 51 + 2 × 50 = 25 +20 +2 = 47 (47)10 = 4 × 101 + 7 × 100 = 47 Sistema di numerazione posizionale: binario Minor numero di simboli rispetto al sistema decimale (2