Вопросы к экзамену по аналитической геометрии и линейной алгебре 2024-2025 (PDF)

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» для студентов 1 курса 1 потока 1 семестра 2024 – 2025 учебного года факультета радиофизики и компьютерных технологий БГУ 1. Связанный и свободный векторы. Простейшие определения. 2. Линейные операц...

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» для студентов 1 курса 1 потока 1 семестра 2024 – 2025 учебного года факультета радиофизики и компьютерных технологий БГУ 1. Связанный и свободный векторы. Простейшие определения. 2. Линейные операции над векторами и их свойства. 3. Первый критерий коллинеарности векторов. 4. Первый критерий компланарности векторов. 5. Базис и координаты вектора. Разложение вектора по базису. Свойства координат вектора. 6. Аффинная система координат. Координаты вектора в аффинной системе координат. Правая и левая тройки векторов. 7. Преобразования прямоугольной системы координат на плоскости. 8. Определение и свойства скалярного произведения. 9. Проекция вектора и ее связь со скалярным произведением. 10. Выражение скалярного произведения векторов через их координаты в ортонормированном базисе. Физический смысл скалярного произведе- ния. 11. Определение и свойства векторного произведения векторов. Второй кри- терий коллинеарности. Геометрический и физический смыслы векторно- го произведения. 12. Выражение векторного произведения векторов через их координаты в ортонормированном базисе. 13. Определение и свойства смешанного произведения векторов. 14. Второй критерий компланарности векторов. Геометрический смысл смешанного произведения. 15. Выражение смешанного произведения векторов через их координаты в ортонормированном базисе. 16. Двойное векторное произведение. Вывод формул двойного векторного произведения. 17. Основные виды уравнений прямой на плоскости. 18. Теорема о прямой на плоскости. 19. Основные виды уравнений плоскости. 20. Теорема о плоскости. 1 21. Основные виды уравнений прямой в пространстве. 22. Взаимное расположение прямых на плоскости. 23. Взаимное расположение плоскостей. 24. Пучок прямых на плоскости. Теорема о пучке прямых. 25. Пучок плоскостей. Теорема о пучке плоскостей. 26. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Теорема о полуплоскостях. 27. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о полупространствах. 28. Вывод уравнения эллипса. 29. Исследование формы эллипса. 30. Эксцентриситет и директрисы эллипса. 31. Вывод уравнения гиперболы. 32. Исследование формы гиперболы. 33. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. 34. Вывод уравнения параболы. 35. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы. 36. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы. 37. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. 38. Канонические уравнения второй степени. Классификация линий второго порядка. 39. Цилиндрические поверхности. 40. Исследование формы эллипсоида методом параллельных сечений. 41. Исследование формы однополостного гиперболоида методом параллель- ных сечений. 42. Исследование формы двуполостного гиперболоида методом параллель- ных сечений. 43. Исследование формы эллиптического параболоида методом параллель- ных сечений. 44. Исследование формы гиперболического параболоида методом парал- лельных сечений. 45. Исследование формы конуса второго порядка методом параллельных се- чений. 46. Матрицы. Простейшие определения. 47. Линейные операции над матрицами и их свойства. 48. Операция умножения матриц и ее свойства. 2 49. Степень квадратной матрицы и ее свойства. Матричный многочлен. 50. Операция транспонирования матрицы и ее свойства. Симметричная и ко- сосимметричная матрицы. 51. Понятие определителя. Миноры и алгебраические дополнения. 52. Теорема о полном разложении определителя. Правило треугольников. 53. Свойства определителей. Правило прямоугольников. 54. Теоремы аннулирования и замещения. 55. Основная теорема об определителях. Теорема Лапласа. 56. Обратная матрица и ее свойства. 57. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. 58. Ранг матрицы и его свойства. 59. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) мат- рицы. Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре. 60. Элементарные преобразования матрицы. Теорема об элементарных пре- образованиях матрицы. Трапециевидная матрица. Теоремы о трапецие- видной матрице. 61. Теорема о линейной независимости строк (столбцов) матрицы. 62. Правило Крамера. Теорема существования и единственности решения. 63. Критерий Кронекера – Капелли. 64. Неоднородные системы линейных уравнений. 65. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Лектор А.А. Егоров Зав. кафедрой О.С. Кабанова 3