Экзамен по Аналитической геометрии и линейной алгебре

Аффинная система координат - это система координат, в которой каждая точка пространства задается упорядоченным набором чисел - координат. Аффинная система координат не имеет начала координат, поэтому ее начало выбирают произвольно.

Координаты вектора в аффинной системе координат - это разности координат его конца и начала.

Тройка векторов называется правой, если из конца третьего вектора поворот в направлении к первому вектору осуществляется по часовой стрелке.

Тройка векторов называется левой, если из конца третьего вектора поворот в направлении к первому вектору осуществляется против часовой стрелки.

Преобразования прямоугольной системы координат на плоскости - это операции, которые применяются к координатам точки, чтобы получить новые координаты этой точки в другой прямоугольной системе координат. Преобразования включают: сдвиг (параллельный перенос), поворот, отражение.

Директориальное свойство кривой - это её свойство, которое описывает связь между фокусом и точкой кривой. Для эллипса, гиперболы и параболы это свойство устанавливает, что точка кривой находится на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы.

Скалярное произведение - это операция над двумя векторами, результатом которой является число. Оно определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

Проекция вектора на другую прямую - это длина проекции вектора на эту прямую. Она равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и прямой.

Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного вектора на проекцию другого на него.

Если векторы заданы в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Уравнение, описывающее геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна.

Эллипс - это замкнутая кривая, у которой отношение расстояния от любой ее точки до фокуса к расстоянию до директрисы постоянно.

Уравнение, описывающее геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянен.

Гипербола - это открытая кривая, у которой отношение расстояния от любой ее точки до фокуса к расстоянию до директрисы постоянно.

Уравнение, описывающее геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.

Матрица - это прямоугольная таблица чисел, расположенных в строках и столбцах.

Сложение матриц осуществляется поэлементно, то есть суммируются соответствующие элементы матриц.

Умножение матрицы на число - это умножение каждого элемента матрицы на это число.

Умножение матриц возможно, если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице.

Умножение матриц выполняется суммированием произведений элементов строк первой матрицы на элементы столбцов второй матрицы.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы отличен от нуля. Единственность обратной матрицы означает, что для каждой матрицы, имеющей обратную, существует только одна такая обратная матрица.

Ранг матрицы - это максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы. Ранг матрицы равен размерности пространства, порожденного строками (столбцами) матрицы.

Строки (столбцы) матрицы линейно зависимы, если одна из строк (столбцов) может быть представлена как линейная комбинация других строк (столбцов). В противном случае строки (столбцы) линейно независимы.

Базисный минор - это минор матрицы, имеющий максимальный порядок среди всех ненулевых миноров. Теорема о базисном миноре утверждает, что ранг матрицы равен порядку её базисного минора.

Signup and view all the flashcards