Задачи К Экзамену PDF по Аналитической Геометрии и Линейной Алгебре 2024-2025

ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» для студентов 1 курса 1 потока 1 семестра 2024 – 2025 учебного года факультета радиофизики и компьютерных технологий ...

ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» для студентов 1 курса 1 потока 1 семестра 2024 – 2025 учебного года факультета радиофизики и компьютерных технологий    1. Дан куб ABCDAB C D. Выразите через векторы AB , AC и AA векторы   a  AF и b  DF , где F – середина B C .    2. Дан правильный тетраэдр ABCD. Выразите через векторы AB , AC и AD век-   торы a  BD и b  BE , где Е – точка пересечения медиан грани ACD.   3. Найдите угол между векторами p и q , отложенными от одной точки, если   p  (4;5; 1) , q  (8;1;2).   4. Найдите угол между векторами p и q , отложенными от одной точки, если           p  8e1  e2 , q  4e1  3e2 , e1  7 , e2  3 ,   e1 , e2   120o.   5. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах p и q , отложенных от одной точки, если:           а) p  e1  3e2 , q  2e1  e2 , e1  e2  3 ,   e1 , e2   45o.   б) p  (5;2;3) , q  (1; 1;5).    6. Найдите работу равнодействующей сил F1  (1, 2, 1) , F2  (3,1,1) , F3  (2,1, 1) при перемещении ее точки приложения из положения A(3;4;0) в положение B(5;7;8). Найдите момент равнодействующей этих сил относительно точки B , если равнодействующая приложена к точке A.      7. Определите ориентацию тройки векторов (a, b , c ) , если a  (2;8;0) , b  (4;3;2) ,  c  (1;2;3). 8. Определите, лежат ли точки A, B , C на одной прямой, а точки A, B , C , D в од- ной плоскости, если A(1; 1;2) , B(3;5;0) , C (2;7;9) , D(2; 1;3).   9. Убедитесь, что векторы a  (2;1;2) и b  (2;2;1) , отложенные от одной точки, могут служить ребрами куба, и найдите вектор третьего ребра. 10. Найдите объем треугольной пирамиды ABCD и длину ее высоты, проведенной из вершины D , если A(13;5; 1) , B(15;4;2) , C (14;6;0) , D(16;5;4).             11. Убедитесь в том, что векторы e1  i  2 j  k , e2  3i  j  k , e3  2i  3 j  2k в  трехмерном пространстве образуют  базис и найдите разложение вектора x по    этому базису, если x  5i  2 j  3k. 1 12. Докажите тождества:                       1) (a  b )  (c  d )  (a  c )(b  d )  (a  d )(b  c ) ; 2) (a  b )  (c  d )  (ac d )b  (b c d )a ;                     3) (a  b )(b  c )(c  a )  (ab c ) 2 ; 4) (a  b )  (c  d )  (a  c )  (d  b )  (a  d )  (b  c )  0.       13. Докажите, что равенство (a  b )  c  a  (b  c ) имеет место тогда и только то-    гда, когда либо векторы a и c коллинеарны, либо вектор b ортогонален им обоим.        4 14. Докажите, что, если a  b , то a  (a  (a  (a  b )))  a b.             15. Докажите, что, если a  b  c  d и a  c  b  d , то векторы a  d и b  c колли- неарны.     16. Докажите, что если ненулевые векторы a  b и c  d коллинеарны. то векторы     a , b , c и d компланарны.    17. Докажите, что если для трех неколлинеарных     векторов a , b и c имеет место      равенство a  b  b  c  c  a , то a  b  c  0.           18. Докажите, что если a  b  b  c  c  a  0 , то векторы a , b и c компланарны.       19. Докажите, что если векторы a  b , b  c и c  a компланарны, то они коллине- арны. 20. Даны вершины треугольника ABC : A(1;2) , B(7; 2) , C (3;4). Составьте: а) параметрическое уравнение прямой BC ; б) каноническое уравнение средней линии, параллельной BC ; в) общее уравнение высоты, проведенной из вершины A ; г) общее уравнение медианы, проведенной из вершины A. 21. Зная уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 6 x  2 y  5  0 и x  3 y  1  0 , составьте уравнение его третьей стороны при условии, что она проходит через точку A(1;1). x 1 y  5 z 22. Даны точки A(5;0;7) , B(3;2; 1) , C (4;3;0) и прямые l1 :   , 2 1 6 l2 : x  5  6t , y  3t , z  7  18t , l3 : x  3  3t , y  4  2t , z  6  t. Составьте: а) параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точки A , B и C ; б) общее уравнение плоскости, проходящей через точку A и прямую l1 ; в) общее уравнение плоскости, проходящей через прямые l1 и l2 ; г) общее уравнение плоскости, проходящей через прямую l1 параллельно пря- мой l3 ; 2  д) общее уравнение плоскости, проходящей через точку C перпендикулярно прямой l3. 23. Даны вершины треугольной пирамиды A(2;1;0) , B(1;3;5) , C (6;3;4) , D(0;7;8). Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через ребро AB и середи- ну ребра CD. 24. Найдите точку, симметричную точке A(4;3; 4) относительно плоскости 3x  2 y  5z  0. 2 x  y  3z  0 25. Составьте канонические уравнения прямой . x  2 y  z  2  0 26. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(4;0;3) параллельно линии пересечения двух плоскостей 3 x  y  2 z  0 и x  5y  z  2  0.        27. Найдите проекцию точки M 0 (i  4 j  7 k ) на плоскость P : r  (i  3 j  7k )  3 и       прямую l : r  ( i  7 j  7k )  (2i  3 j )t. 28. Составьте общее векторное уравнение плоскости, проходящей через две па-           раллельные прямые: r  i  3 j  (2i  j  3k )t и r  4 j  (6i  3 j  9k )t  29. Составьте векторное  параметрическое уравнение прямой, проходящей через   точку A(i  3 j  7k ) параллельно линии пересечения двух плоскостей       r  (i  3 j  k )  21 и r  (3i  j  5k )  3. 30. Выясните, как расположена прямая x  3  t , y  6  t , z  2  t по отношению к плоскости 4 x  y  6 z  3  0.     31. Выясните взаимное расположение плоскости r  (i  3 j  3k )  2 и прямой     r  (3i  mj  2k )t в зависимости от параметра m. 32. Выясните взаимное расположение плоскости ax  y  2 z  d  0 и прямой x  2 y 1 z  3   в зависимости от значений параметров a и d. 3 2 2 33. Выясните взаимное расположение прямых в пространстве: x 3 y 6 z 5 x y 6 z 7 а)   и   ; 2 5 2 1 1 1 б) x  6  4t , y  2  5t , z  8  3t и x  7  8t , y  11  10t , z  6t  ; в) x  3  2t , y  4  t , z  5  t и x  5  t , y  3  2t , z  6  5t  ;               г) r  (3i  5 j  3k )  (2i  2 j  k )t и r  (3i  3 j  3k )  (2i  2 j  k )t . 3 34. Выясните, пересекает ли плоскость 2 x  7 y  3 z  5  0 отрезок AB , если A(1;1;1) и B(2; 1;0). 35. Найдите расстояние между параллельными плоскостями x  5 y  z  3  0 и 5 x  25 y  5 z  3  0. 36. Составьте уравнения плоскостей, которые параллельны плоскости x  2 y  4 z  3  0 и находятся от нее на расстоянии, равном 21. 37. Составьте уравнение биссектрис угла между прямыми 2 x  y  7  0 и 3 x  6 y  11  0. 38. Составьте уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные плоскостями 2 x  3 y  z  7  0 и x  2 y  3 z  15  0. 39. Для следующих эллипсов и гипербол найдите: а) полуоси; б) расстояние меж- ду фокусами; в) эксцентриситет; г) координаты фокусов; д) координаты вер- шин; е) составьте уравнения директрис; ж) для гипербол составьте уравнения асимптот: x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 1)   1; 2)   1; 3)   1; 4)   1 ; 16 25 25 16 169 25 144 25 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 5)   1 ; 6)   1 ; 7)   1; 8)   1. 144 25 64 100 9 16 9 16 40. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, если: 1) его полуоси равны соответственно 1 и 7; 2) расстояние между фокусами равно 8 и малая полуось равна 3; 3) большая полуось равна 5 и точка M 0 (3;2,4) принадлежит эллипсу. 41. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если: 1) его полуоси равны соответственно 2 и 5; 2) расстояние между фокусами равно 12 и большая полуось равна 13; 3) эксцентриситет эллипса равен 0,8, а уравнение одной из директрис y  6,25. 42. Составьте уравнение гиперболы, если: 1) ее фокусы находятся в точках F1 (7;0) и F1 (7;0) , а действительная полуось равна 5; 2) фокусы симметричны относительно начала координат, эксцентриситет   12 , а уравнение одной из директрис x  144 13 ; 4  3) гипербола проходит через точку M 0 (6;2,5 3 ) , а ее вершины находятся в точках A1 (4;0) и A2 (4;0). 43. Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если: 1) ее действительная и мнимая полуоси равны соответственно 11 и 4; 2) расстояние между фокусами равно 10, а эксцентриситет   5 3 ; 3) уравнение одной из асимптот y  0,75 x , а действительная полуось равна 6; 4) эксцентриситет равен 2,6, а расстояние между директрисами равно 50 13. 44. Составьте уравнение параболы, если: 1) ее вершина совпадает с началом координат, а фокус находится в точке F (2;0) ; 2) ветви направлены вверх, а фокальный параметр равен 4; 3) уравнение директрисы y  3 , а фокус находится в точке F (0;3) ; 4) ее вершина совпадает с началом координат, парабола проходит через точку M 0 (9;6) и ось абсцисс является осью параболы. 45. Определите вид поверхности второго порядка при помощи приведения её уравнения к каноническому виду: 1. 9 x 2  4 y 2  4 z 2  18 x  16 z  11; 10. 9 y 2  4 z 2  36 x  72; 2. 9 x 2  4 y 2  4 z 2  18 x  16 z  11; 11. 9 x 2  4 z 2  18 x  36 y  81; 3. 9 x 2  4 y 2  4 z 2  18 x  16 z  43; 12. x 2  y 2  z 2  6 x  4 y  2 z  10  0; 4. 9 x 2  4 y 2  4 z 2  18 x  16 z  25  0; 13. x 2  y 2  6 x  4 y  12  0; 5. 9 x 2  4 y 2  4 z 2  18 x  16 z  25  0; 14. x 2  y 2  6 x  4 y  1  0; 6.  9 x 2  4 y 2  4 z 2  18 x  16 z  7  0; 15. y 2  4 x  16; 7. 9 x 2  4 y 2  4 z 2  18 x  16 z  28; 16. z 2  2 x  4; 8. 9 x 2  4 y 2  36 z  72; 17. z 2  2 z  2 x; 9. 9 y 2  4 z 2  36 x  72; 18. x 2  y 2  3 x  y  2  0; 19. y  4  x 2  z 2 ; 24. z  16  y 2 ; 20. z  1  x 2  y 2 ; 25. y  z 2  x 2 ; 21. y  x 2  z 2 ; 22. z  2  x 2  y 2 ; 26. z  4  x 2  y 2 ; 23. y  9  x 2 ; 27. y   z 2  x 2. 5 46. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворя- ют условиям:  x2 y2  x 2  y 2  1  x  y 2 4 y  x 2   1  1)  ; 2)  ; 3)  25 9 ; 4)  y2 ;  x  8  y 2 3 x  2 y  6  0 x  2 y 2 x  2 1   16  x2 y2  x2 y2  x  2 y 2   1    1  6)  9 16 ; 7)  25 9 ; 8)  x  2 y  4  0. x  2 y  0 y  8  x2  x  2    2 0 3   4 2 2 1 2  47. Заданы матрицы A    и B   2 3 . Найдите те из произведе- 1 5 5        5 1  3 1 6  ний AB , BA , AT B , BAT , ABT , BT A , AT BT , BT AT , которые существуют. 48. Вычислите определители 4-го и 5-го порядков с помощью элементарных преобразований: 3 1 −1 4 1 1 2 0 −1 4 1 −1 4 6 3 −1 4 0 , 6 −2 3 6 8. 4 1 3 1 2 1 −1 3 4 2 −3 1 2 5 −2 3 6 1 49. Для матрицы третьего порядка вычислите обратную при помощи алгеб- раических дополнений: 2 −2 1 2 1 −2. 1 2 2 50. Вычислите определители: 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼 −𝑐𝑜𝑠 𝛼 131 231 а) ; б) 2 𝑠𝑖𝑛 𝛽 −𝑐𝑜𝑠 𝛽. −130 −230 2 𝑠𝑖𝑛 𝛾 −𝑐𝑜𝑠 𝛾 51. Вычислите определитель при помощи элементарных преобразований: 5 2 2 1 7 10 12 13. 1 1 3 1 4 4 5 6 52. Вычислите определитель при помощи правила прямоугольников: 6  1 2 0 −1 3 −1 4 0. 4 1 3 1 2 −3 1 2 𝑐𝑜𝑠 ɸ − sin ɸ 53. Вычислите. 𝑠𝑖𝑛 ɸ 𝑐𝑜𝑠ɸ 4 −3 54. Найдите f(A), если: 1) f(x)=x2-5x+10, A= ; 2 1 4 −3 2) f(x)=(2x5-4x2+7)(x2-5x+10)+x+5, A=. 2 1 55. Числа 24026, 40262, 02624, 26240, 62402 делятся на 41. Докажите, что на 2 4 0 2 6 4 0 2 6 2 41 делится определитель: 0 2 6 2 4. 2 6 2 4 0 6 2 4 0 2 56. Методом рекуррентных соотношений вычислите определитель Вандер- монда: 1 1 1 1 x1 x2 x3 x4. x12 x 22 x32 x 42 x13 x 23 x33 x 43 57. Вычислите следующие определители: 1 2 3 4 5 24 11 13 17 19 2 3 7 10 13 51 13 32 40 46 а) 3 5 11 16 21 ; б) 61 11 14 50 56 ; 2 7 7 7 2 62 20 7 13 52 1 4 5 3 10 80 24 45 57 70 13 43 73 2 3 45 1 5 2 5 75 в). 7 2 2 3 1 2 43 2 5 7 2 45 12 58. Про матрицу A известно, что A k 1  O , а A k  O. Докажите, что 7  ( E  A) 1  E  A  A 2    A k 1. 59. Докажите, что при условии AB=BA имеют место равенства: (A+B)2=A2+2AB+B2 ; (A+B) (A-B)=A2-B2 60. Пользуясь правилом Крамера, решите систему уравнений  x  4 y  10, . 3x  y  9. 17 51 27 31  93 25 14 121 61. Найдите ранг матрицы A   . 1 2 1 1   35 104 55 61  62. Исследуйте на совместность систему линейных уравнений. Если она совместна, найдите ее общее и какое-либо частное решение. Сделайте проверку частного решения.  x1  x2  x4  2 x5  1, 3x1  2 x2  x3  x4  1,  x  x  x  3x  4 x  2,   а) 2 x1  x2  2 x3  4 x4  3, б)  1 2 3 4 5 5 x  x  x  5 x  7; 6 x1  x3  2 x5  3,  1 2 3 4 4 x1  x3  2 x4  2 x5  3. 63. Для однородной системы линейных уравнений 3 x1  2 x2  2 x3  2 x4  2 x5  0, 3 x  2 x  3 x  x  x  0,  1 2 3 4 5  6 x1  4 x2  3 x3  5 x4  7 x5  0, 6 x1  4 x2  5 x3  3 x4  x5  0, найдите общее решение и какую-либо фундаментальную систему реше- ний. Лектор А.А. Егоров Зав. кафедрой О.С. Кабанова 8