Unidad 1_Conceptos básicos de la geometría PDF

LA DEDUCCIÓN A TRAVÉS DE LA GEOMETRÍA UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DEDUCTIVO. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA ANTECEDENTES HISTÓRICOS Desde la antigüedad el hombre a estado contacto con el mundo matemático, en este caso particular con la geometría. La misma...

LA DEDUCCIÓN A TRAVÉS DE LA GEOMETRÍA UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DEDUCTIVO. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA ANTECEDENTES HISTÓRICOS Desde la antigüedad el hombre a estado contacto con el mundo matemático, en este caso particular con la geometría. La misma naturaleza le ha mostrado el contacto con la Geometría, así como los elementos necesarios que ellos tuvieron que inventar para poder facilitarse su existencia en la Tierra. La historia de la geometría se ha dividido en tres bloques debido a su inicio, su apogeo y su desarrollo. Está división se realizó con respecto al apogeo y auge de los grandes matemáticos griegos.  Historia de la Geometría Renacimiento Antes de los Durante los y la época griegos griegos moderna Antes de los Griegos Hombre prehistórico Babilonios Egipcios Antiguos Griegos Tales de Mileto Anaximandro Arquímedes Diofanto Pitágoras de Samos Euclides Renacimiento y la época moderna Hindúes Pascal Descartes Barrow Fermat Bolyai Galileo  CONCEPTOS, AXIOMAS Y POSTULADOS.  Clasificación de la geometría PLANA GEOMETRÍA DEL ESPACIO  Geometría Es la parte de las matemáticas que estudia las formas o las figuras, sus propiedades y las demostraciones de dichas propiedades.  Geometría Plana Es la parte de la geometría que estudia las formas y las propiedades de las figuras planas.  Geometría Del Espacio Es la parte de la geometría que estudia las formas y las propiedades de las figuras que constan de tres dimensiones. TÉRMINOS INDEFINIDOS  TÉRMINOS INDEFINIDOS DE LA GEOMETRÍA PUNTO LÍNEA SUPERFICIE  PUNTO El punto se considera un término indefinido ya que carece de longitud, anchura y espesor, solamente tiene posición.  LÍNEA La línea es una sucesión infinita de puntos. Solamente consta de una sola dimensión: la longitud.  SUPERFICIE PLANA O EL PLANO La superficie plana o el plano es una sucesión infinita de líneas. Consta de dos dimensiones: largo y ancho. DEFINICIONES DEFINICIONES SEGEMENTO PUNTO SEMIRRECTA DE RECTA MEDIO DEFINICIONES PUNTOS PROPOSICIÓN COLINEALES  SEMIRRECTA Es el conjunto de puntos formados por un punto O, llamado origen de la semirrecta, y todos los puntos de una recta que se localicen del mismo lado del punto O. SEMIRRECTA B O (origen de la semirrecta) 𝑶𝑩 Semirrecta AB SEGMENTO DE RECTA Es la porción de recta comprendida entre dos puntos, a los cuales llamamos extremos del segmento de recta. SEGMENTO DE RECTA B A AB Segmento AB  PUNTO MEDIO El punto medio de un segmento de recta es aquel que lo divide en dos partes iguales. Si M es el punto medio de un segmento AB, entonces el segmento AM debe ser igual al segmento MB PUNTO MEDIO B M A M punto medio de AB  AM  MB PUNTOS COLINEALES Son aquellos puntos que se encuentran sobre una misma recta. PUNTOS COLINEALES 𝑳 B M A A, M y B son puntos colineales. ∴Los puntos A, M y B pertenecen a la recta L.  Proposición Es el enunciado de un hecho, por ejemplo una ley o un principio, el cual puede ser verdadero o falso. PROPOSICIONES  AXIOMA POSTULADO PROPOSICIONES TEOREMA COROLARIO PROBLEMA  AXIOMA Es una proposición que siendo tan evidente se admite sin demostración.  AXIOMA El todo es igual a la suma de sus partes y mayor que cada una de ellas (axioma del todo o partición)  POSTULADO Es una proposición de la geometría cuya verdad no es tan evidente como un axioma, pero se admite si demostración. POSTULADO El punto medio de un segmento de recta es único (postulado de la unicidad del punto medio)  TEOREMA Es una proposición cuya verdad tiene que ser demostrada para poder ser aceptada. Todo teorema tiene dos partes importantes: La hipótesis, la cual es la parte del teorema que se supone cierta, y la tesis, la cual es la parte del teorema que hay que demostrar. TEOREMA En todo triángulo la suma de los ángulos internos es igual a la medida de un ángulo llano.  COROLARIO Es una proposición que es consecuencia de un teorema. COROLARIO En todo triángulo rectángulo la suma de los ángulos internos agudos es igual a la medida de un ángulo recto.  PROBLEMA Es un enunciado que se plantea para ser resuelto. PROBLEMA Construye la media proporcional de 3 u y 12 u. PROBLEMA Construir una figura Gráfico. que reúna ciertas condiciones. Calcular el valor de Numérico. alguna magnitud geométrica.  AXIOMAS Y POSTULADOS  AXIOMAS AXIOMA DE IDENTIDAD. Cualquier cantidad u objeto es igual a sí mismo. 𝑨𝑩 = 𝑨𝑩 AXIOMA DE SUSTITUCIÓN. En toda expresión, una cantidad u objeto se puede remplazar por su igual. Si 𝑨𝑩 = 𝑪𝑫 y 𝑨𝑩 + 𝑷𝑸 = 𝟒, entonces 𝑪𝑫 + 𝑷𝑸 = 𝟒 AXIOMA DE TRANSITIVIDAD. Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. Si 𝑨𝑩 = 𝑪𝑫 y 𝑴𝑵 = 𝑪𝑫, entonces 𝑨𝑩 = 𝑴𝑵 AXIOMA DEL TODO O PARTICIÓN. El todo es igual a la suma de sus partes y mayor que cada una de ellas. Si 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 + 𝑪𝑩, entonces 𝑨𝑩 > 𝑨𝑪 y 𝑨𝑩 > 𝑪𝑩 AXIOMA DE ADICIÓN. Si a cantidades iguales se les suman o se les restan cantidades iguales, los resultados son iguales. Si 𝑨𝑩 + 𝑪𝑫 = 𝑴𝑵 + 𝑪𝑫, entonces 𝑨𝑩 = 𝑴𝑵 AXIOMA DE MULTIPLICACIÓN. Si cantidades iguales se multiplican o se dividen por cantidades iguales, los resultados son iguales. Si 2𝑨𝑩 = 𝟐𝑴𝑵, entonces 𝑨𝑩 = 𝑴𝑵 AXIOMA DE MULTIPLICACIÓN. Si cantidades iguales se elevan a una misma potencia o se les extrae una misma raíz, los resultados son iguales. Si 𝑨𝑩 𝟐 = 𝑴𝑵 𝟐 , entonces 𝑨𝑩 = 𝑴𝑵  POSTULADOS POSTULADO DE LA EXISTENCIA DE LOS PUNTOS. El espacio existe y contiene por lo menos cuatro puntos no coplanares.  Un plano existe y tiene por lo menos tres puntos no colineales.  Una recta existe y tiene por lo menos dos puntos. POSTULADO DEL PUNTO Y DE LA RECTA. Dos puntos determinan una recta, es decir, por dos puntos pasa una recta y sólo una. A POSTULADO DEL PUNTO Y DE LA RECTA. Dos puntos determinan una recta, es decir, por dos puntos pasa una recta y sólo una. A B POSTULADO DEL PUNTO Y DE LA RECTA. Dos puntos determinan una recta, es decir, por dos puntos pasa una recta y sólo una. A B POSTULADO DE LA DISTANCIA MÍNIMA. El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une. A B POSTULADO DE LA DISTANCIA MÍNIMA. El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une. C A B POSTULADO DE LA DISTANCIA MÍNIMA. El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une. C A B POSTULADO DE LA DISTANCIA MÍNIMA. El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une. C A B POSTULADO DE LA DISTANCIA MÍNIMA. El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une. C A B POSTULADO DE LA INTERSECCIÓN DE LAS RECTAS. Dos rectas no pueden cortarse pueden más de un punto. POSTULADO DE LA INTERSECCIÓN DE LAS RECTAS. Dos rectas no pueden cortarse pueden más de un punto. POSTULADO DE LA INTERSECCIÓN DE LAS RECTAS. Dos rectas no pueden cortarse pueden más de un punto. P POSTULADO DE UNICIDAD DEL PUNTO MEDIO. El punto medio de un segmento de recta es único. B M A M divide al segmento AB en partes iguales y no existe otro punto diferente a él que cumpla lo mismo que M. POSTULADO DEL PUNTO Y DEL PLANO. Tres puntos no colineales están contenidos en uno y sólo un plano, es decir, se afirma que tres puntos no colinelaes determinan un plano. POSTULADO DE LOS DOS PUNTOS, LA RECTA Y EL PLANO. Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que los contiene están en el plano. POSTULADO DE LA SEPARACIÓN DE PLANOS. Una recta en un plano divide a éste en dos partes llamadas semiplanos. semiplano. semiplano. POSTULADO DE INVARIANZA. Cualquier figura geométrica puede moverse sin que cambie su forma ni su tamaño.