Unidad 1: Introducción al Método Deductivo

Unidad 1: Introducción al Método Deductivo

• El tema es la deducción a través de la geometría.
• La geometría es parte de las matemáticas.
• El hombre ha estado en contacto con el mundo matemático, incluyendo la geometría, desde la antigüedad.
• La naturaleza ha mostrado al hombre la necesidad de la geometría para facilitar su existencia en la Tierra.
• La historia de la geometría se divide en tres etapas: antes de los griegos, durante los griegos y el Renacimiento y la época moderna.
• Los matemáticos griegos fueron importantes para el apogeo y auge de esta área de las matemáticas.

Conceptos Básicos de la Geometría

• La geometría estudia las formas, sus propiedades y sus demostraciones.
• La geometría se clasifica en: Geometría Plana y Geometría del Espacio.

Antecedentes Históricos

• Se muestran ejemplos históricos como pinturas egipcias y un puente.
• La historia de la geometría incluye a los babilonios, egipcios, e incluso al hombre prehistórico.

Antes de los Griegos

• El hombre prehistórico
• Babilonios
• Egipcios

Antiguos Griegos

• Tales de Mileto
• Anaximandro
• Arquímedes
• Diofanto
• Pitágoras de Samos
• Euclides

Renacimiento y la época moderna

• Hindúes
• Pascal
• Descartes
• Barrow
• Fermat
• Bolyai
• Galileo

Conceptos, Axiomas y Postulados

• Enunciados sobre términos básicos, reglas y principios matemáticos.

Clasificación de la Geometría

• La geometría se clasifica en geometría plana y geometría del espacio.

Geometría

• Estudia las formas, sus propiedades y demostraciones.

Geometría Plana

• Estudia las formas y propiedades de las figuras planas.

Geometría del Espacio

• Estudia las formas y propiedades de las figuras de tres dimensiones.

Términos Indefinidos

• Punto
• Línea
• Superficie

Punto

• Carece de longitud, anchura y espesor.
• Tiene solo posición.

Línea

• Una sucesión infinita de puntos.
• Tiene sólo una dimensión: la longitud.

Superficie Plana (o Plano)

• Una sucesión infinita de líneas.
• Tiene dos dimensiones: largo y ancho.

Definiciones

• Semirrecta
• Segmento de Recta
• Punto Medio
• Puntos Colineales
• Proposición

Semirrecta

• Conjunto de puntos que parten desde un origen (punto O) en una dirección.

Segmento de Recta

• Parte de una recta comprendida entre dos puntos.

Punto Medio

• Divide un segmento en dos partes iguales.

Puntos Colineales

• Puntos que están sobre la misma recta.

Proposición

• Enunciado de un hecho (ley o principio) que puede ser verdadero o falso.

Axiomas, Postulados, Teoremas y Corolarios

• Axioma: Proposición evidente, no requiere demostración.
• Postulado: Proposición en geometría, no tan evidente como el axioma, pero se admite sin demostración.
• Teorema: Proposición cuya verdad debe ser demostrada para ser aceptada.
• Corolario: Proposición que es una consecuencia directa de un teorema.

Axioma de Identidad

• Cualquier cantidad u objeto es igual a sí mismo.

Axioma de Sustitución

• En toda expresión, una cantidad u objeto puede ser reemplazado por su igual.

Axioma de Transitividad

• Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí.

Axioma del Todo o Partición

• El todo es igual a la suma de sus partes y mayor que cada una de ellas.

Axioma de Adición

• Si a cantidades iguales se les suman o restan cantidades iguales, los resultados son iguales.

Axioma de Multiplicación

• Si cantidades iguales se multiplican o se dividen por cantidades iguales, los resultados son iguales.

Axioma de Multiplicación (potencias/raíces)

• Si cantidades iguales se elevan a una misma potencia o se les extrae una misma raíz, los resultados son iguales.

Postulados

• Postulado de la Existencia de Puntos
• Postulado del Plano
• Postulado de los Dos Puntos, la Recta y el Plano
• Postulado de la Separación de Planos
• Postulado de Invarianzas

Postulado de la Existencia de Puntos

• El espacio existe y contiene al menos cuatro puntos no coplanares.

Postulado del Plano

• Un plano existe y tiene por lo menos tres puntos no colineales.

Postulado de los Dos Puntos, la Recta y el Plano

• Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que los contiene está en el plano.

Postulado de la Separación de Planos

• Una recta en un plano divide a éste en dos partes llamadas semiplanos.

Postulado de Invarianzas

• Cualquier figura geométrica puede moverse sin que cambie su forma ni tamaño.

Postulado de la Distancia Mínima

• El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une.

Postulado de la Intersección de las Rectas

• Dos rectas no pueden cortarse en más de un punto.

Postulado de Unicidad del Punto Medio

• El punto medio de un segmento de recta es único.

Problemas

• Explicaciones en general de los distintos tipos de problemas que se pueden encontrar en la geometría.
• Se discute la importancia de los gráficos y valores numéricos en la resolución.