Polígonos y Áreas de Figuras Planas - Curso 2023-2024 PDF

LOS POLÍGONOS. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Área de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid 1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................1 2. DEFINICIONES BÁSICAS.............................

LOS POLÍGONOS. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Área de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid 1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................1 2. DEFINICIONES BÁSICAS.............................................................................1 3. CUADRILÁTEROS........................................................................................2 4. POLÍGONOS REGULARES..........................................................................4 5. TESELACIONES...........................................................................................7 6. PERÍMETROS Y ÁREAS...............................................................................8 ACTIVIDADES PARA PRACTICAR..................................................................11 1. INTRODUCCIÓN En este capítulo se hará un breve estudio de los polígonos de más de tres lados: se describirán los elementos que los integran y sus relaciones fundamentales. Se dedicará especial interés a los cuadriláteros y su clasificación. Se enunciará, a modo de curiosidad, el teorema de Gauss sobre polígonos regulares construibles con regla y compás y se describirán procedimientos gráficos para construirlos de forma exacta. Finalmente se estudiará el perímetro y la superficie de los mismos y, por ende, de la circunferencia y del círculo, de donde surge el número pi. 2. DEFINICIONES BÁSICAS Un polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los segmentos de la poligonal constituyen los lados del polígono. Los extremos de dichos segmentos son los vértices del polígono. En un polígono convexo se distinguen dos tipos de ángulos: o Ángulo interior: el formado por las semirrectas que contienen a dos lados consecutivos, y cuyo origen está en el vértice común de los mismos. o Ángulo exterior: el formado por las semirrectas que contienen a un lado, con el origen en el origen de uno de los lados, y a la prolongación del siguiente lado con origen en el vértice común. Hay que notar que los ángulos interior y exterior asociados al mismo vértice son suplementarios. Un polígono tiene el mismo número de lados, de vértices, de ángulos interiores y de ángulos exteriores. 1 de 15 Los segmentos que unen vértices no consecutivos son las diagonales del polígono. Si desde un vértice se trazan todas las diagonales se obtienen n-2 triángulos, siendo n el número de lados del polígono. Como los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, los ángulos interiores de un polígono de n lados sumarán (n-2)x180º. Los ángulos exteriores son suplementarios de los interiores correspondientes y, por tanto, su suma es nx180º-(n-2)x180º = 2x180º = 360º. Nótese que el valor de dicha suma es independiente del número de lados del polígono convexo. Tarea 1: Deduce la siguiente fórmula para calcular el número de diagonales de un polígono de n lados (Pista: Cuenta cuántas diagonales pueden trazarse desde cada vértice…) 𝑛𝑛 · (𝑛𝑛 − 1) 𝑛𝑛 · (𝑛𝑛 − 3) − 𝑛𝑛 = 2 2 3. CUADRILÁTEROS Son polígonos de cuatro lados y cuatro ángulos. Pueden ser cóncavos y convexos. Son los polígonos con menor número de lados que tienen diagonales (2 diagonales). Sus ángulos interiores suman 360º, al igual que los exteriores (en el caso de que sean convexos). Los cuadriláteros reciben nombres diferentes según sean sus lados y sus ángulos. Existen tres tipos diferentes de cuadriláteros según el paralelismo de sus lados: paralelogramos, trapecios y trapezoides. Paralelogramos. Son los cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. De ese paralelismo se deducen dos propiedades: sus lados son iguales dos a dos y sus ángulos son iguales dos a dos. Además, sus cuatro lados pueden llegar a ser todos iguales, o no, y lo mismo sucede con los ángulos. De que se cumplan o no estas igualdades surgen los cuatro tipos diferentes de paralelogramos. Al clasificar los paralelogramos, el modo en que se defina cada uno de los cuatro tipos da lugar a dos organizaciones diferentes de la clasificación: la clasificación inclusiva o jerárquica y la clasificación exclusiva. En la clasificación exclusiva, cada paralelogramo pertenece a uno y solo un tipo de los cuatro (por ejemplo, un cuadrado no puede ser un rectángulo, o un rombo). En la clasificación inclusiva, se admite que algunos tipos de paralelogramos son casos particulares de otros (por ejemplo, el cuadrado es un tipo particular de rectángulo y un tipo particular de rombo). Utilizar una u otra clasificación depende del modo en que definamos los cuatro tipos de paralelogramos. Se reflejan las definiciones posibles en la siguiente tabla: 2 de 15  Tipo de Definición en la clasificación Definición en la clasificación paralelogramo inclusiva (o jerárquica) exclusiva Paralelogramo que tiene sus Paralelogramo que tiene sus Cuadrado cuatro lados iguales y sus cuatro cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos iguales (rectos) ángulos iguales (rectos) Paralelogramo que tiene sus Paralelogramo que tiene sus Rectángulo lados iguales dos a dos1 y sus lados iguales dos a dos2 y sus cuatro ángulos iguales (rectos) cuatro ángulos iguales (rectos) Paralelogramo que tiene sus Paralelogramo que tiene sus Rombo cuatro lados iguales y sus cuatro lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos1 ángulos iguales dos a dos2 Paralelogramo que tiene sus Paralelogramo que tiene sus Romboide lados iguales dos a dos1 y sus lados iguales dos a dos2 y sus ángulos iguales dos a dos1 ángulos iguales dos a dos2 1 En la clasificación inclusiva, la expresión “iguales dos a dos” se admite la posibilidad de que los cuatro sean iguales (pues en ese caso las parejas opuestas siguen siendo iguales). 2 En la clasificación exclusiva, la expresión “iguales dos a dos” no admite la posibilidad de que los cuatro sean iguales, cada pareja es distinta a la otra. La diferencia proviene de las dos maneras distintas de interpretar la expresión “iguales dos a dos”. En el caso de que se admita la posibilidad de que se incluya en ella que los cuatro sean iguales (clasificación inclusiva), entonces el cuadrado es un tipo particular de rectángulo y un tipo particular de rombo, y los romboides serían equivalentes a los paralelogramos, pues todos los tipos de paralelogramos cumplirían la definición de romboide. Si no se admite esa posibilidad, entonces un paralelogramo no puede pertenecer a dos tipos distintos. La siguiente figura muestra la diferente organización resultante de escoger una u otra clasificación: Trapecios. Son los cuadriláteros que tienen únicamente dos de sus lados paralelos. Dentro de ellos, destacan dos tipos particulares de trapecios: o Trapecio rectángulo. Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos ángulos rectos. o Trapecio isósceles. Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos lados iguales. 3 de 15 Existen otros trapecios que no son ni isósceles ni rectángulos. Tales trapecios a veces se denominan trapecios escalenos, pero no es un nombre muy extendido. Trapezoides. Son los cuadriláteros que no tienen ninguno de sus cuatro lados paralelos. Un tipo de trapezoide con nombre específico son los cometas o deltoides, que tienen dos parejas de lados consecutivos iguales y los ángulos que forman los lados consecutivos de tamaño diferente son iguales. Pueden ser cóncavos o convexos, y sus diagonales son perpendiculares. Material complementario: En el siguiente vídeo puedes encontrar una píldora de conocimiento del proyecto “Saber, extender” de la UVa sobre las clasificaciones de cuadriláteros: https://youtu.be/0q3IHM5bx9s Tarea 2: Las dos diagonales de los cuadriláteros pueden tener diferentes propiedades según el tipo de cuadrilátero. Estudia qué propiedades tienen esas dos diagonales según el tipo de cuadrilátero, y estudia si es posible realizar una clasificación de los cuadriláteros atendiendo a las características de sus dos diagonales, fijándote en los siguientes criterios: si las diagonales se cortan o no en el punto medio, si se cortan o no perpendicularmente y si tienen la misma longitud o no. 4. POLÍGONOS REGULARES Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Atendiendo al número de lados, los primeros polígonos regulares son: el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular. Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia, es decir, existe una circunferencia que pasa por todos sus vértices. La figura de la derecha muestra un ejemplo, con un hexágono regular. Un polígono regular contiene tantos triángulos isósceles iguales como lados tenga, triángulos que se obtienen al unir dos vértices consecutivos del polígono con el centro de la circunferencia circunscrita, O. Este punto es el vértice común de todos los triángulos cuya base opuesta es una cuerda de la circunferencia circunscrita. El ángulo α es el ángulo central y su valor es 360º/n, siendo n el número de lados del polígono regular. Esto hace que, para el hexágono regular, los triángulos obtenidos al unir vértices consecutivos y centro sean equiláteros (¿por qué?). El ángulo central proporciona un método aproximado para construir polígonos regulares inscritos en una circunferencia, midiendo los múltiplos del ángulo central con el transportador. El segmento OM, que es la altura del triángulo isósceles BCO tomando como base el lado del polígono, se denomina apotema. Un polígono regular tiene tantas apotemas (todas de la misma longitud) como lados. 4 de 15 Construcciones exactas de polígonos regulares De todos los polígonos regulares, el triángulo equilátero y el cuadrado son muy fáciles de construir. Pero no todos los polígonos se construyen tan fácilmente, incluso hay muchos que no se pueden construir con regla y compás de forma exacta. El teorema de Gauss, que enunciamos a continuación, lo pone de manifiesto. Teorema de Gauss (a modo de curiosidad): Los únicos polígonos regulares con un número primo de lados que se pueden construir de forma exacta con regla y compás son aquellos en que su número de lados, P, es un número del tipo: 𝑘𝑘 𝑃𝑃 = 2(2 ) + 1, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑘𝑘 ≥ 0. Para k=0, P=3, el triángulo equilátero. Para k=1, P=5, el pentágono regular puede construirse. Para k=2, P=17, el polígono de 17 lados puede construirse con regla y compás. Obsérvese que, en virtud del teorema de Gauss, los polígonos de 7, 11 y 13 lados no son construibles de forma exacta con regla y compás. En el caso del hexágono regular, el lado del hexágono y el radio de la circunferencia circunscrita son iguales y, por tanto, con el compás se obtienen los vértices inmediatamente como aparece en la figura de la derecha a partir de un diámetro de la circunferencia. Una vez construido el hexágono regular, se puede construir el triángulo inscrito como se indica en la misma figura (dibujado con línea discontinua). El cuadrado también se construye de forma sencilla considerando dos diámetros perpendiculares. Éstos determinan los vértices A, B, C y D. A partir del cuadrado regular es fácil obtener los polígonos regulares de 8, 16, 32, 64, … lados. Para ello, hay que trazar las mediatrices a sus lados (o bisectrices de sus ángulos centrales). En la figura adjunta aparece dibujado el octógono regular con línea discontinua. Análogamente, por el mismo procedimiento, a partir del hexágono regular se pueden obtener los polígonos regulares de 12, 24, 48, … lados. La construcción de otros polígonos regulares (que pueden construirse) es un poco más complicada, y en cada caso hay que utilizar un método diferente. Un ejemplo es la construcción del pentágono regular, en la que, dada una circunferencia de radio r, la longitud del lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden r y √5−1 𝑟𝑟 (no se demuestra). Pincha aquí para ver los pasos de la construcción. 2 Tarea 3: Construye con regla y compás un cuadrado, un pentágono regular, un hexágono regular, un octógono regular y un polígono regular de 12 lados. 5 de 15 Polígonos estrellados Otro tipo interesante de polígonos son los polígonos estrellados. Estos se construyen a partir de los polígonos regulares al unir consecutivamente los vértices separados por un número fijo de vértices (salto) hasta llegar al primero. Se denotan por n/m siendo n el número de vértices del polígono regular convexo y m el salto entre vértices. Estos polígonos tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales, pero son cóncavos. En la dirección https://www.geogebra.org/m/z63cqune puede encontrarse un applet construido con GeoGebra, diseñado por la profesora Laura Conejo, en el que pueden generarse y visualizarse polígonos estrellados. En la figura adjunta están representados los tres pentadecágonos (polígonos de 15 lados) estrellados que existen: 15/2, 15/4 y 15/7. El polígono estrellado 15/3 no existe porque las diagonales, saltando de tres en tres vértices, generan el pentágono regular; 15/5 tampoco, porque genera el triángulo equilátero y 15/6 = 5/2 tampoco, porque realmente genera el pentágono estrellado. Finalmente, si el salto está comprendido entre n/2 y n, los polígonos que se generan son los mismos (por ejemplo, el polígono 15/2 es el mismo que 15/13), y únicamente se diferencia en el sentido de la generación (dextrógiro, sentido horario, o levógiro, sentido antihorario). De hecho, para un polígono regular de n lados se generan tantos polígonos regulares como fracciones irreducibles n/p se puedan obtener, siendo p, el salto, un número entero mayor o igual que 2 y menor o igual que n/2. Tarea 4: Localiza, en caso de que existan, polígonos estrellados en las siguientes imágenes de La Alhambra. 6 de 15 5. TESELACIONES Por teselar (otros sinónimos que a veces se usan: recubrir, embaldosar, enlosar, alicatar) el plano se entiende recubrir todo el plano por medio de polígonos sin que queden fisuras (es decir, espacios sin tapar) ni haya solapamientos. Los únicos polígonos regulares que teselan el plano son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Esto es así porque, como se indica en las figuras, se forman nudos, N (vértices de varios polígonos), de manera que los ángulos con el mismo vértice suman 360º. Con el resto de los polígonos regulares o no llegan o se exceden, puesto que la amplitud de su ángulo interior no es un divisor de 360º. Todos los cuadriláteros teselan el plano y, por consiguiente, también le teselan todos los triángulos. La figura de la derecha es un ejemplo de esta afirmación. Otra forma de teselar el plano consiste en intercambiar polígonos. Es una tarea interesante, aunque puede no ser sencilla, generar una trama que complete todo el plano. Se muestra a la derecha una propuesta de teselación que se ha generado utilizando solo dos tipos de polígonos: pentágonos regulares y octógonos cóncavos de lados iguales. Esta construcción sí que tesela el plano. Tarea 5: Señala qué polígonos teselan el plano en el mosaico de La Alhambra de la imagen de la derecha. Tarea 6: Diseña un mosaico que tesele el plano en el que se utilicen tres polígonos distintos. 7 de 15 6. PERÍMETROS Y ÁREAS Perímetros Todo polígono está limitado (definido) por una línea poligonal cerrada. Si se considera un segmento de longitud unidad, el perímetro de un polígono es el número de veces que la poligonal contiene a dicho segmento, y equivale a la suma de las longitudes de los lados del polígono. En el caso de los polígonos regulares, al ser todos los lados de la misma longitud, el perímetro P se obtiene multiplicando el número de lados, n, por la longitud del lado, l; Ppolígono regular = n · l unidades (pueden ser cm, dm… o cualquier unidad de longitud). Para el caso de la circunferencia, hay que tener en cuenta que, en cualquier circunferencia, sea del radio que sea, el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro es una cantidad constante, el número π (3’14159265...). Así, la longitud de la circunferencia es Lcircunferencia = π · d unidades, o bien, teniendo en cuenta que la longitud de un diámetro es el doble que la del radio, Lcircunferencia = 2 · π · r unidades. Tarea 7: Investiga las particularidades del número π (¿qué tipo de número es?, ¿cómo se define?, ¿cómo se pueden calcular aproximaciones?, …) Enrolla una cinta métrica que aprecie milímetros en objetos redondos, mide el diámetro y halla la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Si lo haces con cuidado, obtendrás aproximaciones de π superiores a las centésimas. Áreas Considerando un cuadrado de lado unidad como unidad básica, el área de una superficie es el número de cuadrados de lado unidad que contiene. Es inmediato calcular el área de cuadrados y de rectángulos cuando la longitud de sus lados son unidades enteras (3, 7, 45, …), ya que haciendo una rejilla cuadrada se puede contar el número de cuadrados unitarios que contiene. El área del cuadrado es el cuadrado del lado (Acuadrado = l2 unidades cuadradas) y el área del rectángulo es el producto de sus dos lados perpendiculares, que reciben el nombre de base y altura (Arectángulo = b · a unidades cuadradas). En ambos casos, el número de cuadrados coincide con el producto de medidas (significado de la multiplicación como producto cartesiano). Cuando las longitudes de los lados no sean números enteros (números fraccionarios o irracionales), el área se calcula igual. Tarea 8: Justifica, utilizando la definición de área de una superficie (es decir, contando el número de cuadrados de lado unidad que contiene), que el área de un rectángulo de base 7 unidades y altura 4 unidades es 28 unidades cuadradas. Ídem cuando la base es 5/2 unidades y altura 7/3 unidades es 35/6 unidades cuadradas. NOTA: En el segundo caso has de contar cuadraditos de lado 1/6 del cuadrado de partida (6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 3). Área del romboide y del rombo. Es igual al producto de la base por la altura correspondiente a dicha base (Aromboide = b · a unidades cuadradas, Arombo = b · a unidades cuadradas). 8 de 15 ¿Por qué esto es así? Viendo la figura de la derecha, el romboide ABCD de base AB y altura DH tiene el mismo área que el rectángulo HKCD. La razón es que los triángulos AHD y BKC son iguales, por lo que el romboide y el rectángulo tienen la misma base (AB=HK) y la misma altura (HD o KC). Así, el área de cualquier paralelogramo resulta ser igual al producto de la base por la altura correspondiente a dicha base (Aparalelogramo = b · a unidades cuadradas). NOTA: Existe otra fórmula para calcular el área de un rombo mucho más extendida, que hace uso de las dos diagonales del mismo. Si llamamos D a la diagonal mayor del rombo y d a la diagonal menor, el área del rombo también puede calcularse como la mitad del producto de las longitudes de las diagonales (Arombo = D·d/2 unidades cuadradas). La justificación de esta fórmula la encontramos en la figura de la derecha, donde vemos que el rombo es la mitad del rectángulo de lados D y d. Esta misma fórmula también sirve para calcular el área de un cometa (¿Por qué?). Área de un triángulo. Es la mitad del producto de la base por la altura correspondiente a dicha base (Atriángulo=b·a/2 unidades cuadradas). ¿Por qué esto es así? Considerando el triángulo ABC, y trazando por B y C las paralelas a los lados AC y AB, respectivamente, se obtiene un romboide y los triángulos ABC y BDC tienen la misma área porque tienen los tres lados iguales. Como el área de este romboide es igual al producto de la base por la altura, entonces el área del triángulo es la mitad de dicho producto. Herón de Alejandría, matemático griego, dedujo otra fórmula para calcular el área del triángulo cuando no se conoce la longitud de la altura (que es un caso muy común, por ejemplo en la medida de terrenos). Siendo a, b y c los lados del triángulo y denotando por p al semiperímetro (la mitad del perímetro, p=(a+b+c)/2): 𝑨𝑨𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏= 𝒑𝒑 · (𝒑𝒑 − 𝒂𝒂) · (𝒑𝒑 − 𝒃𝒃) · (𝒑𝒑 − 𝒄𝒄). En un trapecio, reciben el nombre de bases cada uno de los dos lados paralelos del cuadrilátero. La altura del trapecio es la distancia entre las dos bases (que se obtiene a través del segmento perpendicular comprendido entre ambas bases). Área de un trapecio. Para determinar la fórmula se argumenta teniendo presente la figura inferior. A partir de un trapecio de bases b1 y b2 y altura h, se replica el mismo 9 de 15 trapecio (b1=b’1 y b2=b’2) para formar un paralelogramo. El área de este paralelogramo es (b1+b2)·h y, por tanto, como el trapecio es la mitad, se obtiene la siguiente fórmula. 𝒃𝒃𝟏𝟏 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝑨𝑨𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = · 𝒉𝒉 𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐 Área de un polígono regular. Considerando un polígono regular de n lados, su área es la suma de los n triángulos isósceles iguales que componen el polígono. En esos polígonos, uno de sus lados coincide con el lado del polígono y los otros dos son sendos radios de la circunferencia circunscrita. Si llamamos ap a la apotema del polígono, dicha apotema es la altura de los triángulos isósceles tomando como base el lado del polígono. 𝑙𝑙·𝑎𝑎𝑎𝑎 Así, el área de cada triángulo es , por lo que el área 2 del polígono regular de n lados es: n·l·ap. 2 Como n·l es el perímetro del polígono, si llamamos P a dicho perímetro, finalmente se obtiene la fórmula de cálculo más habitual: 𝑷𝑷 · 𝒂𝒂𝒂𝒂 𝑨𝑨𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑í𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒏𝒏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐 Para obtener el área de un círculo, podemos pensar que a medida que vamos teniendo polígonos regulares inscritos en una circunferencia cada vez con una mayor cantidad de lados, el área de esos polígonos cada vez será mayor y se aproximará cada vez más al área del círculo completo. Así, podemos pensar qué sucedería en la fórmula del área del polígono regular a medida que el polígono va teniendo cada vez más lados. En ese caso, el perímetro del polígono cada vez se aproximaría más a la longitud de la circunferencia, y la apotema del polígono cada vez se aproximaría más al radio de la circunferencia. En el caso límite, el área del círculo sería: 𝑳𝑳𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 · 𝒓𝒓 𝟐𝟐 · 𝝅𝝅 · 𝒓𝒓 · 𝒓𝒓 𝑨𝑨𝒄𝒄í𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = = = 𝝅𝝅 · 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐 𝟐𝟐 10 de 15 Área de la corona circular. Es el área de la región delimitada por dos circunferencias concéntricas. Se calcula mediante la diferencia entre el área del círculo mayor, de radio R, y la del círculo menor, de radio r. Por tanto: 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝅𝝅 · 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝝅𝝅 · 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝝅𝝅 · (𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒓𝒓𝟐𝟐 ) 𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 Área del sector circular. Es proporcional a la amplitud del ángulo central que determina dicho sector, α. Si el ángulo central, α, se expresa en grados y se compara esta amplitud con los 360º, que darían lugar al área del círculo, obteniéndose: 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐 𝜶𝜶 𝑨𝑨𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 Área del segmento circular. En este caso el área se calcula mediante la diferencia del área del sector de ángulo β y el área del triángulo OAB, cuyos lados son radios de la circunferencia y cuyo ángulo comprendido es el ángulo central cuyo arco es el del segmento. Para calcular el área de otros polígonos no regulares u otras figuras irregulares, éstos pueden descomponerse en triángulos o en figuras más simples cuyas áreas se puedan calcular con los datos disponibles, y el área total será la suma de las áreas correspondientes. Tarea 9: Entra en https://www.geogebra.org/m/VdVgERYy, donde podrás ver una serie de applets GeoGebra relacionadas con el área de figuras planas (applets creados por el profesor Manuel Sada) y responde a las preguntas de cada apartado. 65 m ACTIVIDADES PARA PRACTICAR 1. Queremos rodear la parcela siguiente con una malla de 40 m alambre. Si el metro de malla nos cuesta 30 euros, ¿cuánto gastaremos en cercar la parcela? 105 m 2. El cuadrado ABCD tiene 10 cm de lado. Se ha construido un nuevo cuadrado MNPQ, siendo M, N, P y Q los puntos medios de los lados del cuadrado inicial. Halla el perímetro y el área del cuadrado MNPQ. 3. La planta de una biblioteca pública es rectangular, donde la base mide el triple que la altura y su área es igual a 108 m2. Calcula: a) El perímetro de la biblioteca. b) El área de otra parcela cuadrada que tenga el mismo perímetro que la biblioteca. 4. Se dispone de varias tiras de alambre de 24 m para construir polígonos regulares con el mismo perímetro. Halla el área del triángulo equilátero y del hexágono regular que pueden construirse utilizando una tira para cada uno. ¿Observas alguna relación entre las áreas? 11 de 15 5. De un polígono regular conocemos que su ángulo exterior tiene una amplitud de 15º. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? 6. (a) ¿En qué polígono regular el número que expresa la amplitud en grados de su ángulo central es igual a 10 veces el número de lados del mismo? (b) Misma pregunta sustituyendo ángulo central por ángulo interior. ¿Qué sucede en este caso? 7. En cada uno de los siguientes casos, halla el polígono regular: a) Cuyo ángulo interior vale 60º. b) Cuyo ángulo exterior vale 30º. c) Cuya suma de ángulos interiores es 1440º. d) Cuya suma de ángulos exteriores es 360º. e) Cuya suma de ángulos interiores y exteriores es 900º. f) Que tenga 77 diagonales. 8. El número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono regular es 170. ¿Cuánto mide el ángulo interior de dicho polígono? 9. Sabiendo que el pentágono de la figura de la derecha es regular, halla la medida de los ángulos 1, 2 y 3. 10. Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo de 12 m de altura y diagonales de 15 y 20 m de longitud. 11. Las dimensiones de un rectángulo ABCD son: AD=3cm y DC=5cm. Halla un punto P sobre AB cuya distancia x=AP sea tal que el área del trapecio PBCD sea cuatro veces el área del triángulo APD. 12. Halla el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyo perímetro mide 25m. 13. A continuación se indica cómo se construye una lúnula. Calcula el área de la misma si AB=4cm. Triángulo rectángulo Arco CB con centro en A Arco CB con centro en el Lúnula isósceles punto medio de CB ¿Observas alguna relación entre el área de la lúnula y el del triángulo rectángulo isósceles ABC? 14. Calcula el perímetro y el área de un rombo sabiendo que uno de sus lados mide 4 centímetros y dos de sus ángulos interiores valen 60º. 12 de 15 15. La aguja del minutero de un reloj mide 18 cm de largo. Calcula la distancia que recorre su extremo en treinta y cinco minutos. 16. Halla el perímetro y el área de la 17. Calcula el perímetro de cada una de estrella que aparece debajo sabiendo que las figuras sabiendo que la circunferencia el lado del cuadrado mide 8 cm. grande tiene 12 cm de diámetro. 18. Dos arcos de circunferencia de la misma longitud han sido trazados sobre circunferencias de radios de 25 y 20 centímetros respectivamente. El arco asociado a la circunferencia de mayor radio mide 45º. ¿Cuál es el valor del otro arco? 19. A un cuadrado de 24 cm de perímetro se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Dibuja con precisión la figura resultante y calcula el área de la corona circular formada por las dos circunferencias. 20. Dadas tres circunferencias de 3 cm de radio tangentes entre sí, se obtiene un triángulo curvilíneo limitado por las tres circunferencias, como puede verse en la figura de la derecha. Calcula el área de dicho triángulo curvilíneo. 21. El tangram es un antiguo juego chino que consta de siete figuras que forman un cuadrado como el que aparece en la parte derecha. a) Si el lado del cuadrado interior es de 12 cm, determina las longitudes de los lados de cada una de las figuras. b) Si el área del cuadrado interior es de 16 cm2, averigua el área de cada una de las figuras. c) Si consideramos como unidad de medida de áreas el área del triángulo más pequeño, indica el área que tienen en esa unidad el resto de las figuras. 22. Dibuja un hexágono regular de 2 cm de lado. Sobre cada uno de sus lados y hacia el exterior dibuja un cuadrado de lado el del hexágono, une con segmentos los vértices consecutivos exteriores de los cuadrados. Obtendrás un dodecágono. a) Justifica razonadamente si el dodecágono construido es regular o no. b) Halla el área del dodecágono. 13 de 15 23. El lado de un rombo mide 29 cm y una de las diagonales BD = 40 cm. Por un punto P de la otra diagonal se traza una paralela a BD que corta a los lados AD y AB en los puntos M y N, respectivamente. Calcula el área y el perímetro del pentágono MDCBN sabiendo que PM = 4 cm. 24. En un hexágono regular de lado 8 cm, los puntos H, G, I y J son los puntos medios de los lados en los que están situados. Se construye el triángulo HOG como muestra la figura adjunta. Se pide: a) Justificar que el triángulo HOG es equilátero. b) Calcular el área del trapecio HGIJ. 25. Si utilizamos la clasificación inclusiva de los paralelogramos, justifica si las siguientes frases son verdaderas o falsas: a) Un rombo es un cuadrado girado 45º. b) Rombos y cuadrados son paralelogramos. c) El cuadrado es el rombo cuya suma de ángulos interiores es mayor. d) Un cuadrado es un tipo especial de rombo. 26. Se dibujan dos circunferencias con centros en O y en P, ambas de un radio de 10 centímetros, dispuestas como se muestra en la figura. Ambas circunferencias se dividen en 12 partes iguales, marcándose con puntos dichas divisiones. A partir de esos puntos, se construye el polígono ABPCDEFOA, que aparece sombreado en la figura. (a) Calcula razonadamente los ángulos interiores del polígono ABPCDEFOA. (b) ¿Qué tipo de cuadrilátero es ZEFO? Justifica tu respuesta. (c) Calcula el perímetro y el área del polígono ABPCDEFOA. (d) ¿Cómo se llama la figura formada por el arco AB y la cuerda AB? Calcula su área. 27. Partimos de dos circunferencias concéntricas. Trazamos una tangente cualquiera a la interior que, naturalmente, cortará a la exterior en dos puntos. Si la distancia entre cualquiera de estos puntos y el punto de tangencia en la circunferencia interior es 1 m. ¿Cuál es el área de la corona circular determinada por ambas circunferencias? 14 de 15 28. En la figura de la derecha, tenemos cuatro círculos iguales de radio un metro. Uniendo los centros de dichos círculos obtenemos un cuadrilátero irregular. ¿Cuánto mide el área sombreada de la figura? 29. La longitud de la base del rectángulo ABCD es 8 cm y su anchura es 3 cm. Dividimos la diagonal del rectángulo AC en tres partes iguales, mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF? 30. ¿Cuál es el área de la zona sombreada de la figura de la derecha, sabiendo que el lado del cuadrado mide 4 m? 31. Utilizando los dígitos del 0 al 9 (sin repetir ninguno), rellena los huecos para crear cuatro rectángulos, dos de ellos con el mismo área y dos con el mismo perímetro. 15 de 15