Topologie Overzicht Opgave 5 PDF

Topologie overzicht Opgave 5: Homotopieën, fundamentaalgroep Nelleke Kortleven 17 januari 2025 1 Uitwerkingen oude tentamenopgaven 1.1 Oefententamen 24/25 - uitwerking opgave 5 (a) Zij f0 , f...

Topologie overzicht Opgave 5: Homotopieën, fundamentaalgroep Nelleke Kortleven 17 januari 2025 1 Uitwerkingen oude tentamenopgaven 1.1 Oefententamen 24/25 - uitwerking opgave 5 (a) Zij f0 , f1 : X → Y homotope continue afbeeldingen. Bewijs dat er voor elke x ∈ X een pad in Y bestaat van f0 (x) naar f1 (x). Zij F een homotopie tussen f0 en f1. We definiëren dan γ : [0, 1] → Y door γ(t) = F (x, t). Dan is γ een pad in Y met beginpunt f0 (x) en eindpunt f1 (y). (b) Neem aan dat g : X → Y en h : Y → X continue afbeeldingen zijn z.d. h ◦ g homotoop is met de identiteitsafeelding van X en dat Y wegsamenhangend is. Bewijs dat X wegsamenhangend is. We moeten aantonen dat X aan de definitie van wegsamenhang voldoet: tussen elke x0 , x1 ∈ X bestaat een pad in X: een continue afbeelding γ : [0, 1] → X met γ(0) = x0 en γ(1) = x1. Zij x0 , x1 ∈ X. Dan volgt: g is continu, dus in Y liggen de punten g(x0 ), g(x1 ). Gegeven is dat Y samenhangend is, dus er bestaat een pad δ tussen g(x0 ) en g(x1 ), zodanig dat δ(0) = g(x0 ) en δ(1) = g(x1 ). h is continu, dus h ◦ δ : [0, 1] → X is een continu pad in X dat h(g(x0 )) en h(g(x1 )) verbindt: (h ◦ δ)(0) = h(g(x0 )), (h ◦ δ)(1) = h(g(x1 )). Gegeven is de homotopie h ◦ g ≃ idX. Daarmee volgt uit deel (a) van de opgave dat elk punt x ∈ X verbonden is met het punt h(g(x)). We noemen het continue pad tussen x0 en h(g(x0 ) α0 , en het continue pad tussen x1 en h(g(x1 )) α1. De samenstelling van deze continue paden is het (dus continue) pad α0 ◦ (h ◦ δ) ◦ α1 , en het bestaan van dit pad tussen x0 en x1 toont aan dat X wegsamenhangend is. 1 1.2 Tentamen 23/24 - uitwerking opgave 5 De n-sfeer S n is gegeven door S n = {(x1 ,... , sn+1 ) ∈ Rn+1 : x21 + · · · + x2n+1 = 1.} Zij X een topologische ruimte, en zijn f, g : X → S n twee continue afbeeldingen z.d. f (x) ̸= −g(x) voor alle x ∈ X. Laat zien dat f en g homotoop zijn. Aanpak: we moeten laten zien dat er een continue afbeelding F : X × [0, 1] → S n bestaat, met F (x, 0) = f (x) voor alle x ∈ X, F (x, 1) = g(x) voor alle x ∈ X. We moeten deze randvoorwaarden van F controleren, en laten zien dat F continu is. Een voorbeeld: gegeven een topologische ruimte X zijn elke twee afbeeldingen f, g : X → Rn homotoop. We kunnen een homotopie dan namelijk als volgt definiëren: F : X × [0, 1] → Y, F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x). Zo’n afbeelding kunnen we voor deze opgave als volgt definiëren: F : X × [0, 1] → S n , gedefiniëerd door (1 − t)f (x) + tg(x) F (x, t) =. ||(1 − t)f (x) + tg(x)|| We laten eerst zien dat F continu is: ||(1 − t)f (x) + tg(x)|| = ̸ 0, want t ∈ [0, 1] en gegeven is f (x) ̸= −g(x), en (1 − t) en t zijn strikt niet-negatief en nooit tegelijkertijd 0. (1 − t) en t zijn polynomen en dus continu. De norm || · || is ook een continue bewerking. F is dus een samenstelling van continue afbeeldingen, en daarom continu. We controleren ook de randvoorwaarden van F : (1−0)f (x)+0·g(x) f (x) f (x) F (x, 0) = ||(1−0)f (x)+0·g(x)|| = ||f (x)|| = 1 = f (x). Er geldt ||f (x)|| = 1 omdat f (x) een punt op de n-sfeer is. (1−1)f (x)+1·g(x) g(x) g(x) F (x, 1) = ||(1−1)f (x)+1·g(x)|| = ||g(x)|| = 1 = g(x). Er geldt ||g(x)|| = 1 omdat g(x) een punt op de n-sfeer is. F is dus een homotopie tussen f en g, dus deze afbeeldingen zijn homotoop. 2 Uitwerkingen werkgroepopgaven Hoofdstuk 8.6 in aantekeningenbestand. 2