Homotopieën en Fundamentele Groep

Homotopieën en Fundamentele Groep

• Uitwerking opgave 5: Het bewijs toont aan dat als twee continue afbeeldingen van een ruimte X naar een ruimte Y homotop zijn, er voor elk punt in X een pad in Y bestaat tussen de beelden van die punt onder de twee afbeeldingen.
• Homotopie: Een homotopie is een continue familie van afbeeldingen die twee gegeven continue afbeeldingen verbindt. De afbeeldingen fo en f1 zijn homotop als ze verbonden zijn door een continue afbeelding F.
• Homotopie (detail): De homotopie F wordt gedefinieerd door F(x,t), waarbij x een punt uit X is en t een waarde in het interval [0,1]. Als t=0 is, dan is F(x,0)=f0(x), en als t=1, F(x,1)=f1(x).
• Pad in Y: Een pad in Y is een continue afbeelding γ van het interval [0,1] naar Y. Deze pad verbindt fo(x) met f1(x).
• Wegsamenhangend: Een ruimte Y is wegsamenhangend als elk paar punten in Y verbonden kan worden door een pad in Y.
• Identiteitsafbeelding: De identiteitsafbeelding van X is de afbeelding die elk punt x in X naar zichzelf afbeeldt.
• Uitwerking (deel b): Als een afbeelding van X naar Y homotop is met de identiteitsafbeelding, en Y is wegsamenhangend, dan is X wegsamenhangend.
• Bewijs (deel b): Dit bewijs maakt gebruik van een continue afbeelding g: X → Y, een continue afbeelding h: Y → X, hun samenstelling h∘g, en de homotopie.

Tentamen 23/24 - Opgave 5

• n-sfeer (Sn): De n-sfeer Sn is de verzameling punten in de (n+1)-dimensionale ruimte die een afstand 1 hebben van de oorsprong.
• Homotopie (voorbeeld): Twee continue afbeeldingen f, g van een ruimte X naar een n-sfeer Sn zijn homotop als ze verbonden kunnen worden door een continue afbeelding F: X × [0,1] → Sn.
• Formule: De formule voor de homotopie F is: F(x,t) = ((1-t)f(x) + tg(x)) / ||(1-t)f(x) + tg(x)||
• Uitdagingen: De afbeeldingen f(x) en g(x) moeten niet tegengesteld aan elkaar zijn om een homotopie te kunnen vinden.
• Continuïteit: De homotopie F is continu als de norm ||(1-t)f(x)+tg(x)|| niet 0 is voor elk punt in X en voor elke waarde van t in het interval [0, 1]. Dit is te bewijzen door de eigenschappen van de norm, de continuïteit van f en g en de waarde van t te gebruiken.
• Randvoorwaarden: F(x, 0) moet gelijk zijn aan f(x) en F(x, 1) moet gelijk zijn aan g(x). Dit is eenvoudig te controleren met de formule.

Dit quizmateriaal onderzoekt de concepten van homotopieën en de fundamentele groep binnen de topologie. Het legt de nadruk op de relatie tussen continue afbeeldingen, homotopieën en de wegsamenhangendheid van ruimtes. Voor ieder punt in een ruimte wordt de verbinding met paden in een andere ruimte verkend.