Tentamenstof Rekenen PDF

Tentamenstof Rekenen Artikel: rekenen/wiskunde en taal: een didactisch duo 2 functies van de psycholoog Vygotsky: - De sociale functie Taal als middel voor communicatie en voor samen leren. Communicatie over onze denkprocessen vindt plaats via taal. - De individuele fun...

Tentamenstof Rekenen Artikel: rekenen/wiskunde en taal: een didactisch duo 2 functies van de psycholoog Vygotsky: - De sociale functie Taal als middel voor communicatie en voor samen leren. Communicatie over onze denkprocessen vindt plaats via taal. - De individuele functie Taal als middel voor ons denken; taal is het belangrijkste voertuig voor ons denken. Deze 2 functies kunnen natuurlijk ook tegelijk worden toegepast. Als je met iemand praat, denk je ook na. Vygotsky (1986) beschouwde taal als bron voor het denken en leren van individuen. Hij wees als eerste expliciet op het belang van met name gesproken taal (externe dialoog) voor het leren, dat hij geïnterioriseerde (verinnerlijkte) dialoog noemde. Er zijn meerdere psychologen die wijzen op het verband tussen taal en leren. Ontwikkeling komt voort uit interactie met anderen. Het construeren van wiskunde is een communicatieve activiteit die erop gericht is betekenis te geven aan kwantitatieve, relationele en ruimtelijke aspecten van de wereld. Wiskunde en de daarbij behorende taal ontwikkelen zich samen en beïnvloeden elkaar. Kortom, zonder taal is er geen wiskunde. Bij wiskunde is daarbij ook sprake van een specifieke symbolentaal. Uit onderzoek is gebleken dat taalzwakke leerlingen meer moeite hebben met wiskunde/rekenen. Het echte probleem is dat leraren en leerlingen zich niet realiseren dat taalvaardigheid en leerstrategieën van allochtone leerlingen een barrière vormen voor het leren van rekenen-wiskunde. Er blijkt veel miscommunicatie in de klas plaats te vinden. De leerlingen realiseren zich niet dat zij (taal)problemen hebben die hen parten spelen bij wiskunde. Ze hanteren soms ineffectieve strategieën om met onbekende woorden om te gaan, zoals het bedekken van een woord dat ze niet weten. De beschreven onderzoeken maken duidelijk dat er sprake is van een verborgen taalproblematiek. De problemen blijken zich in de volle breedte voor te doen: leerlingen kunnen zowel problemen ondervinden bij het begrijpen van teksten in reken-wiskundemethoden, als bij het begrijpen van wat er gezegd wordt in de les, alsook bij het zelf actief gebruiken van taal in de les. Het is cruciaal om leerlingen te laten praten en schrijven in de reken-wiskundeles. Dit heeft een diagnostische functie: leraren krijgen hierdoor zicht op denkprocessen van leerlingen en kunnen hierdoor mogelijke problemen tijdig signaleren. Maar praten en schrijven in de reken-wiskundeles heeft ook een sterk didactische functie: in wat leerlingen zeggen en schrijven wordt veel zichtbaar over hun denkprocessen en deze bieden aanknopingspunten voor een leraar om aan niveauverhoging te werken. Begrippen: - Vaktaal: delen, ml, breuk, verhouding, tabel, teller, symmetrie-as. - Schooltaal: toename, patroon, geleidelijk, aflezen, verband. – Dagelijkse taal: parket, voorrijkosten, ingrediënten. - Formuleringen – Eén op de vier, één per vier, één staat tot vier (bij verhoudingen). - Als je het ene getal verdubbelt, moet je het andere halveren (bij vermenigvuldigen). - Om de drie uur, elke drie uur, elk uur. Tussen de middag (bij tijd). 3 soorten talen: - Teksten, taal in woorden. - Wiskundige modellen en schema’s, zoals grafieken, diagrammen, enzovoort. - Wiskundige symbolen (63, +, , 6 (-> i.p.v. =) - Structurerend rekenen: verkort rekenen op basis van een bepaalde structuur (als een kind 5+5 weet, kan hij ook 4+5, want 1 minder) - Formeel rekenen: rekenen zonder model - Om te kunnen beginnen met vermenigvuldigen, moeten de kinderen goed kunnen optellen. Ze kunnen tellen met sprongen en herhaald optellen. Ze leren de bijbehorende wiskundetaal: x (‘keer’). - Structurerend vermenigvuldigen: vermenigvuldigen met een duidelijke context. Ankerpunt: andere keersommen die als steunpunt wordt gebruikt. - Structurerend delen: begin in groep 5 ongeveer. Herhaald aftrekken en gebruik maken van de inverse relatie tussen vermenigvuldigen en delen. - Formeel vermenigvuldigen: geen modellen meer nodig, automatiseren. Er ontstaat een cognitief netwerk aan ankerpunten (geheugensteuntjes, sommen die een kind wel weet). - Opvermenigvuldigen gebruiken voor delen. Overgaan op het formele niveau van delen. Hoofdstuk 4: hoofdrekenen en cijferen Kerninzichten: handig rekenen, schattend rekenen, standaardprocedures Handig/gevarieerd rekenen: gebruik maken van het specifieke karakter van de getallen in de opgave en van de eigenschappen in de bewerking (bijv. 400-299, 400-300+1) Varia: er zijn heel veel verschillende manieren voor handig rekenen. Verdubbelen en halveren: 6x35=3x70 Rekenen met tekorten: rekenen met negatieve getallen Associatieve eigenschap: de volgorde van een berekening aanpassen door middel van haakjes waarbij de uitkomst hetzelfde blijft. Leerlijnen hoofdrekenen (chronologisch): - Groep 3/4: rijgen en splitsen - Groep 5: rekenen tot 1000, schriftelijk leren rekenen, handig rekenen. Interactie tussen kinderen tijdens rekenen is belangrijk. - Groep 6: rekenen met nullen (700000:35), hoofdrekenen (alleen als dit van ze gevraagd wordt) Schattend rekenen: een schatting maken, ongeveer uitrekenen. Rekenen met afgeronde getallen. Orde van grootte: eenheid, tiental, honderdtal, etc. Kijken wat een logische volgorde is. Wiskundige attitude: kan het getal wel kloppen? Kritisch kijken naar antwoorden. Gecijferdheid: het vermogen om op passende wijze met getallen en getalsmatige gegevens om te gaan. Leerlijn schattend rekenen (chronologisch): - Afronden van getallen: eerst globaal afronden (204->200), later regels leren en slim afronden. - Schattend optellen en aftrekken: rekenwerk wordt makkelijker, consequenties moeilijker in te schatten. - Schattend vermenigvuldigen en delen: vaak pas in groep 8, want moeilijk. - Schattend rekenen met onvolledige gegevens: kinderen leren steeds meer referentiegetallen (bijv. gemiddelde snelheid van een auto op de snelheid, zo kan je inschatten hoelang je nog onderweg bent) Kolomsgewijs rekenen en cijferen: rekenen in kolommen, van links naar rechts en van groot naar klein Als kinderen kolomsgewijs rekenen onder de knie hebben, kunnen ze overgaan op cijferen. Cijferend rekenen is een algoritme: procedures die, als je ze goed uitvoert, tot het goede antwoord leiden. Cijferen gaat van rechts naar links. Leerlijn kolomsgewijs rekenen en cijferen: - Van hoofdrekenen via kolomsgewijs rekenen, naar cijferend aftrekken en vermenigvuldigen. Gebroken getallen Hoofdstuk 5: verhoudingen Kerninzichten: vergelijking tussen grootheden, gelijkwaardige getallenparen 2 inhoudelijke aspecten verhoudingen: - Het ordenen van de grootheid: minuten, uren, lengte - Het denken in verhoudingen: wat is het verband? Evenredig verband: gelijkheid van verhoudingen, constante toename of afname Vormen zijn gelijkvormig als ze dezelfde vorm hebben, al is 1 vorm 2x zo groot (vergrotingsfactor). Wanverhoudingen kan je goed afbeelden door bolle en holle spiegels te laten zien (spiegelen). Gelijkwaardige getallenparen: 2:3 -> 4:6 -> 6:9 Een dubbele getallenlijn: aan zowel aan de bovenkant als aan de onderkant getallen (soort verhoudingstabel) De regel van drieën: als je 3 getallen hebt in een verhoudingstabel, kan je met die getallen het 4 e getal berekenen. Het voordeel van de verhoudingstabel is dat het als denkmodel en als rekenmodel kan worden gebruikt. Externe verhoudingen: een verhoudingstabel met verschillende grootheden erin (km, min) Interne verhoudingen: een verhoudingstabel met dezelfde grootheid erin (bij een schaalmodel). Een schaallijn kan je ook weergeven als dubbele getallenlijn. Bovenin zet je het aantal centimeters en onderaan het aantal kilometers dat die centimeter weergeeft. Leerlijn verhoudingen: - In de onderbouw wordt de basis gevormd. Kwantificeren: Als meetbare grootheid behandelen. In hoeveelheden uitdrukken of beschouwen. Dit is vooral bij mengsituaties het geval (ranja, meer ‘doppen’ ranja, veel zoeter) - Schaallijn en dubbele getallenlijn - Juiste wiskundetaal gebruiken, vanaf groep 7 formele verhoudingstaal (2 staat tot 4) - Vooral in groep 7 en 8 veel rekenen met verhoudingstabellen. - Veel wisselingen tussen concreet niveau, modelondersteunend niveau en formeel niveau, omdat er vaak veel verschil is tussen leerlingen. Hoofdstuk 6: breuken Kerninzichten: breuken in verdeel en meetsituaties, breuken als verhoudingen Teller van een breuk: het bovenste getal Noemer van een breuk: het onderste getal Bij breuken gaat het om een deel van het geheel. Kinderen leren dat breuken gelijkwaardig kunnen zijn: 6/8 = 3/4. Deze breuken hebben niet dezelfde noemer en zijn dus ongelijknamig. Als ze noemer hetzelfde is zijn de breuken gelijknamig. Kinderen vinden het fijn om in het begin breuken te oefenen met stroken die ze moeten opdelen. Dit afpassen en meten verminderen ze steeds meer. Informele kennis: dingen die ze weten van buiten school (bijv. hoe je een pizza opdeelt in stukjes) Verschijningsvormen breuken: - Een meetgetal - Een eerlijke verdeling - Deel-geheelverhouding De breuk gebruiken als operator: de breuk gebruiken om mee te vermenigvuldigen, bijv. 2/3 x 60 = 40. 60 fungeert hier als een bemiddelende grootheid. Het strookmodel: 1/2 van 300.000 -> 1/2 is een relatief getal en 300.000 een absoluut getal. Het relatieve getal wordt gebruikt als operator/vermenigvuldiger. Het cirkelmodel wordt ook vaak gebruikt bij het rekenen met breuken, maar dit model is beter om te gebruiken voor aflezen en niet als denkmodel. Dubbele verhoudingen weergeven is lastig in het cirkelmodel. Ook een kansverhouding wordt vaak weergegeven met een breuk. Leerlijnen breuken (chronologisch): - Jonge leeftijd: kinderen kunnen dingen eerlijk verdelen (informele kennis) - Benoemde breuken: 1 van de 4 stukjes cake - Het gebruiken van stroken voor het visualiseren van breuken - Verhoudingen betekenisvol maken: 1 : 4 - Breuknotatie aanleren ¼ - Het gelijknamig maken van breuken als opstapje voor het optellen en aftrekken met breuken - Breuken op de getallenlijn positioneren en ordenen. Het is een model voor het werken met breuken en minder een model van situaties met breuken weergeven. - Gemengde breuken (2 2/3), breuken ordenen (welke is groter?) Optellen en aftrekken met breuken: - Verdelen: ieder krijgt ½ pizza, dus ½ + ½ = 1 - Gelijknamig maken: als de breuk gelijknamig is gemaakt kan je de breuken makkelijk bij elkaar optellen. Vermenigvuldigen met breuken: - Rekenen met een operator (2/3) en een bemiddelende grootheid (60) (2/3 x 60) - Herhaald optellen: 2/3 + 2/3 + 2/3 = 3 x 2/3 - Commutatieve eigenschap: omdraaien van de som, zodat hij makkelijker is - Vergroten of verkleinen: je wil een rechthoek 1 ½ x groter maken. Delen met breuken: alleen kinderen met veel inzicht lukt dit vaak. Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde: (1/2 : 2/3 = ½ x 3/2 = ¾) Hoofdstuk 7: kommagetallen Kerninzichten: decimale structuur, decimale verfijning Bij kommagetallen wordt de waarde van cijfers bepaald door de plek waar het staat in het getal: de positiewaarde. Kommagetallen hebben dezelfde decimale structuur als hele getallen, waardoor je optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen op dezelfde manier kan doen. Het is belangrijk dat de kinderen doorhebben dat 0,2 hetzelfde is als 2/10. Ze hebben dezelfde waarde, maar een andere structuur. Een tiendelige breuk: een decimale breuk, een breuk uitgeschreven als kommagetal 1/10, 1/100 bijv. Vermenigvuldigen met kommagetallen: - Heel getal x kommagetal = belangrijk dat je komma verplaatst als dat nodig is (5 x 0,9 = 4,5). - Kommagetal x kommagetal = wordt vaak kleiner (0,5 x 0,2 = 0,1) Makkelijk te berekenen door er breuken van te maken (5/10 x 2/10 = 1/10 = 0,1) Bij het delen kan er rest ontstaan: 29:7= 4 rest 1 Decimale verfijning: hoe meer getallen achter de komma, hoe verfijnder het decimale getal is. De verfijning gebeurt in stappen van 10 en je kan oneindig lang doorgaan. Vaak ronden we getallen af en dat gaat ten koste van de meetnauwkeurigheid. Het metrieke stelsel: het systeem van lengtematen. Zie plaatje. Het relatienetwerk is hierbij ook weer belangrijk: 0,5 = 0,50 = ½ Equivalenten: 9,7 = 9,70 = 9,700 = 9,7000 Leerlijn kommagetallen (chronologisch): - Op jonge leeftijd komen kinderen in aanraking met kommagetallen, denk hierbij aan prijzen in de supermarkt (vooral geld gerelateerd). - Breuken als basis - Benoemde kommagetallen en kennis maken met de decimale structuur en getallenlijnen - Formeel niveau, dus kale sommen. Gelijkwaardigheid van breuken en kommagetallen is zichtbaar. - Het ontstaan van een relatienetwerk: welke getallen zijn hetzelfde (andere structuur) - Prijs-gewicht context: hoeveel betaal je voor een bepaald aantal gram van iets - Vergroten en verkleinen Hoofdstuk 8: procenten Kerninzichten: een gestandaardiseerde verhouding, deel-geheel verhouding Gestandaardiseerde verhouding: een percentage is een vaste verhouding van zoveel op de 100. Heuristiek: een (vuist)regel die ervoor zorgt dat er minder acties nodig zijn om tot de oplossing van een probleem te komen. Een gemakkelijk getal kiezen om grip op te krijgen (bijv. 1 op de 25 omzetten in 4 op de 100) Promille: 1 duizendste deel, ‰ 1% is een relatief getal, het hangt af van het absolute getal. Procenten-asymmetrie: het percentuele verschil is asymmetrisch. Het hangt er vanaf vanuit welk perspectief je het percentage berekend. Het absolute verschil kan alsnog wel gelijk zijn. Conflictsituatie: bijv. kies je voor een jas met 30% of 30 euro korting. Je kan niet bepalen voordat je de prijs van de jas weet. Je kan percentages alleen bij elkaar optellen als je hetzelfde grondgetal hebt (hetzelfde absolute getal waar je de berekening voor maakt, het geheel). Leerlijn procenten (chronologisch): - Bovenbouwgroepen 7 en 8: ze hebben hiervoor alleen informele kennis over procenten. Zoals: 100% is alles, ik voel me niet 100%, 50% is de helft. - Eerst leren rekenen met verhoudingen. - Eerst 1% ergens van uitrekenen en daarna verder rekenen. - De procentenstrook gebruiken (soort strookmodel, maar dan met percentages) - Procentenstrook wordt uiteindelijk gebruikt als hulpmiddel en niet meer als denkmodel - Vermenigvuldig factor: een percentage omschrijven naar een decimaal getal en daarmee vermenigvuldigen. - Uiteindelijk: rente en btw berekenen. Let op! Opdrachten maken in het boek Boek: effectief rekenonderwijs op de basisschool (hoofdstuk 1&2) Hoofdstuk 1: Visies op rekenonderwijs: realistisch versus traditioneel Realistisch rekenen: leerlingen moeten zelf actief van principes van het rekenen ontdekken (sociaal constructivisme), leerkracht begeleidende rol, veel verhaaltjessommen, weinig automatiseren. 5 uitgangspunten realistisch rekenen: - Betekenisvol leren: verhaaltjessommen, zo realistisch mogelijk, connectie met werkelijkheid - Van informeel naar formeel: eerst begrijpen, dan oefenen met de sommen - Leerlingen ontwikkelen eigen oplossingsprocedures: stapsgewijs oplossen van sommen - Interactie en reflectie: veel praten over de stof - Verstrengeling van leerlingen: verschillende domeinen worden tegelijkertijd aangeboden. Leerlingen moeten zelf ontdekken hoe handig rekenen werkt, het wordt niet expliciet uitgelegd. Geleid heruitvinden: vragen stellen om de leerlingen op het juiste spoor te zetten (realistisch rekenen). De ijsbergmetafoor: kinderen worden ondergedompeld in rekenkundige representaties. Het zwaartepunt ligt bij figuren en alledaagse situaties. Het topje van de ijsberg bestaat uit abstracte sommen (klein deel dus). Traditioneel rekenen: op een zo efficiënt mogelijke manier kennis en vaardigen leren beheersen en kunnen toepassen. 5 uitgangspunten traditioneel rekenen: - Instructie als start: nieuwe stof wordt uitgelegd en voorgedaan door de leerkracht. 1 methode aangeleerd en aan het einde controle van begrip. - Van concreet naar abstract: concreet materiaal gebruikt (blokjes bijv.), daarna met modellen werken, zoals een getallenlijn. Zo min mogelijk verhaaltjes en contexten. - 1 nieuw onderwerp per les: 1 onderwerp centraal in de les. Systematische opbouw van de les. - Ruime aandacht voor automatiseren: stof wordt heel vaak herhaald. Automatiseren voor de rekenles begint (veel sommen maken in bepaalde tijd). - Toepassen als sluitstuk: pas als de stof goed wordt beheerst, gaan ze over in verhaalsommen en contexten. Traditioneel: verschillende voorbeelden uitwerken, maar steeds dezelfde oplossingsprocedure gebruiken. De ijsbergmetafoor: deze ijsberg is eigenlijk het tegengestelde dan die van het realistisch rekenen. Het zwaartepunt ligt bij abstracte sommen maken en het topje van de ijsberg bestaat uit verhaaltjessommen. Belangrijke verschillen realistisch en traditioneel rekenen Realistisch rekenen Traditioneel rekenen Constructivisme Instructivisme Individualisme Collectivisme Kolomsgewijs rekenen Cijferend rekenen Happendeling Staartdeling Uit het hoofd rekenen Rekenen op papier Rekenoorlog: - Start in 1970 door Ontwikkeling van Wiskunde Onderwijs, directeur Hans Freudenthal. Minder gericht op traditioneel rekenen en meer op realistisch. - 1979 term ‘realistisch reken- en wiskunde onderwijs’ ingevoerd. - Vanaf 1980 nieuwe methodes uitgebracht met realistische aspecten erin. - Na 2004 alleen nog maar realistische methodes op de markt (na invoer euro 2002) - Resultaten Cito-toetsen steeds slechter, kritiek groeit. - Recent: er zijn weer traditionele methodes op de markt en vele realistische methodes zijn aangepast. Cito-toetsen zorgen voor een middenweg. - Toch is het realistisch rekenen de dominante rekendidactiek. - Onderzoek canada: EDI-model effectiever dan onderzoekend leren. Effectief rekenonderwijs: onderwijs waar de kinderen het meest van leren - 80% van de les EDI en 20% onderzoekende aanpak. - Beperkt zelfstandig werken, biedt meer interactie aan - Rest vooral traditioneel Hoofdstuk 2: effectief rekenonderwijs in de klas Onderwijzen is een altruïstische daad: een expert deelt zijn kennisvoorsprong met beginnelingen. Lesgeven, met de nadruk op geven. Mensen zijn sterk gericht op het overdragen van kennis. De interactie tussen ouder en kind vormen een ontmoetingsplek tussen generaties. Kennis en vaardigheden worden hier doorgegeven. Kinderen imiteren volwassenen graag. Een goede rekenles bestaat uit systematisch opgebouwde, hoogwaardige directe instructie met veel interactie en goede feedback waarbij de verantwoordelijkheid stapsgewijs wordt overgedragen aan de leerlingen. Het GOVI-model: Geleidelijk Overdragen van Verantwoordelijkheid Instructiemodel - Het ik-wij-jij-principe - Je rol wordt steeds kleiner, en de leerlingen doen steeds meer zelf - De begeleide inoefening is hierbij heel belangrijk: kijken of de leerlingen het snappen - Als 80% van de leerlingen het begrijpt gaan ze zelfstandig aan het werk, rest verlengde instructie. De CRA-aanpak: Concreet Representatie en Abstract - Fase 1: Concreet: tastbaar materiaal gebruiken - Fase 2: Representatie: een plaatje i.p.v. fysieke materialen - Fase 3: Abstract: getallen en symbolen CRMAT-aanpak: aanvulling op CRA-aanpak, Model en Toepassing zijn toegevoegd - Modelfase: het gebruiken van een model zoals een getallenlijn. - Toepassingsfase: nieuwe stof toepassen in nieuwe situaties (verhaalsommen) Niet te lang doorgaan met het gebruik van concreet materiaal. Snel overgaan op de abstractie van het rekenen. Automatiseren is heel belangrijk om te kunnen rekenen op hogere niveaus. Aanbevolen duur rekenles: 60 minuten. De opbouw van een rekenles: automatiseren, start, instructie, begeleide inoefening, kleine lesafsluiting, zelfstandige verwerking, grote lesafsluiting. Het lesdoel vormt de ruggengraat van je les. Een goed lesdoel is: Compact, Concreet en Controleerbaar. Het bestaat uit een concept (hoofdgedachte) en een vaardigheid (de te nemen stappen). Tijdens je instructie moet je zo min mogelijk vragen stellen aan de klas. Je toetst ze dan, in plaats van dat je ze wat leert. Zo heeft iedereen in de klas de kans om het te begrijpen. Als het de kinderen lukt om zelfstandig te werken zonder instructie dan konden ze het al. De leerlingen hebben veel belang bij een stapsgewijze aanpak. Leg moeilijke woorden uit, want een zwakke taalvaardigheid mag niet zorgen voor zwakke rekenvaardigheid. Activeer kinderen tijdens je uitleg: voeg een actieve opdracht toe. Je kan hiervoor een instructiekaart gebruiken. Let niet op de tijd van je instructie, maar let op de mate van begrip in de klas. Geef de kinderen die hun vingers opsteken niet de beurt, maar kies willekeurig. Je kan ook gebruik maken van wisbordjes. Richt je ook op de manier waarop de kinderen dingen hebben berekend. Bied denktijd voordat je iemand de beurt geeft. Geef inhoudelijke feedback, gericht op stappen van de oplossingsprocedures. Dit noem je ook wel formatieve evaluatie. Benoem wat er fout is gegaan en wat er beter kan. Geef zwakke rekenaars evenveel feedback als de overige leerlingen. Tijdens de kleine lesafsluiting doe je een controle van begrip. Ze moeten de wisbordjes op de kop houden tot iedereen er klaar voor is. Ze houden de bordjes tegelijk omhoog. Voldoende beheersing bij 80% goed. Verschil zelfstandig werken en zelfstandig verwerken: - Zelfstandig werken: losgekoppeld van de instructie. Apart doel op zich: zelfstandig werken. Lesdoel wordt dus aan de kant geschoven. - Zelfstandig verwerken: zojuist onderwezen lesdoel eigen maken door sommen te maken. Dit kan ook in tweetallen zijn. Zoveel mogelijk berekeningen laten opschrijven, dus niet alleen het antwoord. Dan kan je niet zien waar de mogelijke fout zit. Kans op fouten ook kleiner. Klaar? Fouten herstellen vorige rekenles, rekenopdracht maken. De grote lesafsluiting duurt slechts enkele minuten, niet opnieuw gaan uitleggen. Dit is meer een doelenchecker.