Tema 3_1 Fonaments Didàctics PDF

Magnituds i la seua mesura Fonaments didàctics Assignatura 33655 Didàctica de la geometria, mesura, probabilitat i estadística Curs 2024/2025 Profe...

Magnituds i la seua mesura Fonaments didàctics Assignatura 33655 Didàctica de la geometria, mesura, probabilitat i estadística Curs 2024/2025 Professora: Carmen Melchor 1. La teoria de Piaget sobre els estadis de comprensió del procés de mesura Molta la recerca sobre el desenvolupament de les nocions de mesures espacials com la longitud es deu a Piaget i cols. (1960). Els estadis que descriuen l'evolució d'aquest desenvolupament són els següents: Estadis inicials: el xiquet no té conservació de la quantitat. Quan els extrems de dues línies iguals no estan alineats, creu que les línies tenen diferents longituds. Fa raonaments lineals per comparar àrees o volums. Per exemple, «és més gran perquè és més llarg». L'infant es recolza en estimacions visuals. Per exemple, en el cas que se li demane construir una torre de cubs multilink de la mateixa alçada que una altra donada, només es fixa als cims de les torres ignorant el fet que les bases es troben a diferent nivell. A més, no utilitza correctament o amb significat els instruments de mesura, ja que superposa unitats, deixa buits o només cobreix una part de la quantitat de magnitud a mesurar. No comprèn les propietats d' iteració, equipartició o transitivitat de la mesura. Estadi en què emergeix la conservació i la transitivitat: El xiquet comença a entendre la idea d'utilitzar objectes intermediaris per fer comparacions entre les magnituds de diferents objectes. Encara no comprèn que les unitats de mesura han de ser totes de la mateixa mida i té dificultats per coordinar mesures en totes les direccions. Curs 2024/2025 2 1. La teoria de Piaget sobre els estadis de comprensió del procés de mesura Estadi d'inici de la conservació operacional i la transitivitat: El xiquet és capaç de mesurar l'alçada d'una torre de cubs multilink amb una vara sobre la qual fa una marca i la utilitza per construir una segona torre de la mateixa alçada. No obstant això, té dificultat per utilitzar un instrument intermedi més curt que la torre. Millora la conservació de la superfície i de la capacitat. Estadi en què es capta la idea d' unitat de mesura de quantitat de magnitud més petita que l' objecte que cal mesurar: El xiquet és ara capaç de procedir de manera més calculada utilitzant unitats de mesura de menys quantitat de magnitud que la que es vol mesurar. Piaget afirma que fins al moment s'han pogut desenvolupar els conceptes de mesura de longitud, superfície i capacitat. Tanmateix, la mesura del volum, entesa com a quantitat d'espai ocupat per un objecte determinat, no es domina. Açò succeeix perquè no és possible cobrir o omplir amb unitats de mesura aquest espai ocupat, ja que l'objecte, per exemple una patata, és un sòlid impenetrable; tan sols la superfície és visible. Curs 2024/2025 3 1. La teoria de Piaget sobre els estadis de comprensió del procés de mesura https://www.youtube.com/watch?v=gnArvcWaH6I Curs 2024/2025 4  2. Les propietats de la mesura En el desenvolupament de l'aprenentatge de les magnituds i la seva mesura en Educació Primària apareixen estructures complexes que requereixen comprendre i aprendre un conjunt de propietats de les magnituds. Stephan i Clements (2003) recullen les següents propietats entre les quals s'inclouen algunes de les que ja va definir Piaget. L’ equipartició és un procés mental que consisteix a dividir un objecte en parts que tinguen la mateixa quantitat de magnitud. Per a això, cal acceptar que un objecte es pot descompondre, la qual cosa no és trivial per a l' alumnat d' Educació Primària. L' objectiu és arribar a comprendre que al resultat d' una partició se li pot tornar a aplicar equipartició de forma successiva. Això indueix a la idea de continuïtat de la mesura. Per exemple, el metro es pot subdividir en deu parts iguals cadascuna de les quals té una quantitat de magnitud de 10 decímetres. Al seu torn, el decímetre es pot subdivir en deu parts iguals cadascuna de les quals té una quantitat de magnitud de 10 centímetres, etc. Curs 2024/2025 5  2. Les propietats de la mesura La iteració de la unitat és l'habilitat de repetir la unitat de mesura successiva per recobrir la quantitat de magnitud que es vulga mesurar. Aquest recobriment no pot deixar buits i s' ha de realitzar amb una unitat de mesura fixada i única. Per exemple, per mesurar l'amplada d'una taula utilitzant el palmell de la mà, sempre serà la mateixa persona la que col·loqui la mà sense deixar espai entre una posició i la següent fins a recobrir tota la longitud. La transitivitat de la mesura significa que si un objecte A té la mateixa quantitat de magnitud que un objecte B i aquest al seu torn té la mateixa quantitat de magnitud que un objecte C, llavors A i C tenen la mateixa quantitat de magnitud. Per exemple, si els meus peus són igual de llargs que els teus, que són igual de llargs que els de la teva germana, em podràs deixar les sabates de la teva germana. La conservació afirma que la mesura d'una quantitat de magnitud no canvia encara que l' objecte pateixa determinades transformacions o es realitzen canvis en el procés de mesurament. La quantitat de magnitud no variarà mentre no s'afegeix o es lleva. Per exemple, una corda tindrà la mateixa longitud estirada que enrotllada. Únicament hi haurà menys longitud si tallem un tros. Curs 2024/2025 6  2. Les propietats de la mesura L'acumulació de distància i additivitat consisteix en el fet que segons es va iterant la unitat de mesura, es va realitzant un comptatge d'aquesta iteració. El resultat del comptatge indicarà la mesura de la quantitat de magnitud. En l'exemple anterior de mesurar l’ample d'una taula utilitzant el palmell de la mà, quan diem que mesura 5 pams significa que hem comptat 5 iteracions. La relació entre el nombre i la mesura implica entendre que si medim una quantitat de magnitud amb dues unitats diferents, obtenim números diferents (la mesura de la quantitat de magnitud associada a cada unitat) encara que aquesta quantitat de magnitud no varia. Per exemple, la mesura de l' amplada d' una taula utilitzant el palmell de la mà del docent serà diferent a la realitzada amb el palmell de la mà d' un alumne. Anota en quin moment del vídeo i de quina forma apareix cadascuna de les pròpies des de la mesura. https://www.youtube.com/watch?v=0Xh6mBnT5Vk Curs 2024/2025 7 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Carrillo i cols. (2016) proposen una seqüència d'ensenyament en la qual es pretén que l'alumnat d'Educació Primària adquireixi els conceptes de magnitud, mesura, unitat de mesura d'una quantitat de magnitud i estimació i els apliqui en diferents situacions quotidianes. A més, un altre objectiu és que conega les relacions entre les diferents magnituds i els seus elements. Se sintetitza les seqüència d' ensenyament en les fases següents: Fase 1 de percepció de la magnitud a mesurar: Inicialment es pot demanar a l'alumnat que identifique quines propietats dels objectes de l'aula poden ser mesurats. Cal observar que no tots els objectes tenen les mateixes magnituds. La percepció de la magnitud que es pretén mesurar és una fase fonamental per a la comprensió de la mesura. Per exemple, cal saber identificar que per saber si hi ha prou suc per a un berenar, el que cal mesurar és la capacitat. Fase 2 d'identificació d' objectes amb la mateixa quantitat de magnitud: Quan es percep la magnitud, cal crear situacions en què es comparen objectes per introduir la idea de quantitat de magnitud. Es compararan objectes que comparteixen una mateixa propietat, s'ordenaran segons la magnitud i s'agruparan aquells que tinguen la mateixa quantitat de magnitud. Per exemple, en una balança de platerets podem veure quan el pes dels objectes s'equilibra. En el cas de la capacitat de recipients, es poden fer transvasaments per identificar-ne els que tenen. En el cas del temps, dues situacions duren el mateix si girem el rellotge de sorra d'inici i fi alhora. Curs 2024/2025 8 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Fase 3 de comprensió de la necessitat de mesurar: El procés de comparació de quantitat de magnitud (per exemple, és més ample o més curt) resulta poc efectiu en situacions en què els objectes són difícils de comparar per la seva mida i inaccessibilitat. Cal crear situacions d' aquest tipus, en les quals siga necessari mesurar amb interacció amb l'entorn per introduir la idea de referent o intermediari, de manera que l' alumne trie un objecte que actuarà com a unitat de mesura. Per exemple, per al cas de la superfície es pot plantejar a l' alumnat si un cartell que hi ha en una altra aula cabrà en un mural de la recepció afegint la condició que no es pot traslladar sense saber si cap o no. Inicialment el referent no ha de ser estàndard. En el cas del mural, per exemple, es podrien utilitzar folis per fer el mesurament i comparar. Per a la longitud, se solen utilitzar com a unitats no estàndard inicials, parts o relacions del cos com per exemple peu, pam o pas. Curs 2024/2025 9 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Fase 3 de comprensió de la necessitat de mesurar: L'elecció d' una unitat de mesura no estàndard és arbitrària, tot i que convé que s' ajusti a l' objecte que es vol mesurar. Si la unitat escollida és molt xicoteta, s' ha de reiterar moltes vegades sobre l'objecte que cal mesurar, la qual cosa pot resultar precisa però poc pràctic. No és pràctic, per exemple, mesurar el llarg d'una habitació fent servir clips. Quan la mesura d'un objecte no es correspon amb un nombre sencer, es pot recórrer a un refinament o enquadrament d' aquesta mesura. Per exemple, si l'altura d'una ampolla és una mica menys de dos bolígrafs, podem dir que la seua alçada està entre un i dos bolígrafs. L' alçada de l' ampolla es pot mesurar amb un bolígraf i tres clips. Curs 2024/2025 10 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Fase 3 de comprensió de la necessitat de mesurar: Quan la mesura d'un objecte no es correspon amb un nombre sencer, es pot utilizar un refinament d'aquesta mesura. Per exemple, si l'alçada d'una ampolla és més xicoteta que dos bolígrafs, podem dir que la seua altura està entre un i dos bolígrafs. Però també podem mesurar amb un bolígraf i dos clips. Pot ser interessant exercitar els alumnes en els enquadraments perquè normalment se'ls acostuma a resultats sencers i, quan obtenen un que no ho és, tenen grans dificultats per expressar-ho. EXEMPLE: Pes d'una àncora de vaixell amb grans d'arròs -> podem afinar molt Curs 2024/2025 11 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Fase 3 de comprensió de la necessitat de mesurar: EXPERIMENT: que els alumnes mesuren el pes del llibre de matemàtiques i, per calcular-ho, disposen de balances, monedes i femelles. Com sabrem si les mesures efectuades pels dos grups són correctes? Cal trobar equivalència entre monedes i femellesà necessitat de canvi d'unitat SISTEMES IRREGULARS Tornem a l'exemple de l’àncora: 1. Utilitzar trossos de plom fins passar-se. Retirar l'últim tros de plom utilitzat. 2. Utilitzar a continuació femelles fins passar-se. Retirar llavors l'última femella utilitzada. 3. Completar amb grans d'arròs fins a aconseguir l'equilibri. És de suposar que obtenir l'equilibri d'aquesta forma siga bastant probable. Però amb aquest sistema encara ens resulta difícil trobar l'equivalència entre les diferents unitats de mesura i, per tant, haurem de recórrer als sistemes regulars. Curs 2024/2025 12 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Fase 3 de comprensió de la necessitat de mesurar: SISTEMES REGULARS Formem per exemple un sistema regular que substitueixi el format pels trossos de plom, les femelles i els grans d'arròs. Prenem com u1 1 policub, com u2 el conjunt de 3 policubs i com u3 el conjunt de tres conjunts u2. En aquest sistema arbitrari no té sentit emprar més de dues vegades qualsevol de les unitats, ja que amb tres unitats aconseguim una unitat d'ordre superior. D'aquesta forma, en les escriptures complexes només apareixerien les xifres 0, 1 i 2. Curs 2024/2025 13 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura La utilització dels referents no estàndard és fonamental per a la comprensió del concepte d'unitat de mesura, però no és pràctica, ja que de vegades no permet fer comparacions amb precisió i dificulta la comunicació. La mesura és relativa, ja que el resultat del mesurament canvia en funció de la unitat que s'utilitze (dificultat del concepte de mesura). Per exemple, si dos xiquets mesuren el llarg dels seus llits amb els palmells de les seues mans, els mesuraments no seran comparables i hi haurà un problema de comunicació. A més, pot ser que no es puga recobrir el total del llarg amb les mans. Per tant, caldrà que l' alumne siga conscient de la necessitat de la utilització d'unitats estàndard o convencionals del SI per poder fer una comparació precisa amb múltiples i submúltiples i que faciliti la comunicació. Hi ha una tendència a proposar activitats en les quals no intervé l'acció física de mesurar i es plategen contextos purament numèrics, per exemple, amb un tractament quasi exclusiu de les unitats principals de cada magnitud, els seus múltiples i submúltiples, la conversió de mesures expressades en diferents unitats i les operacions amb mesures. Aquesta aritmetització de la mesura dificulta la comprensió dels conceptes de magnitud i unitat de mesura. Per tant, cal intercalar activitats de conversió d' unitats de mesura amb activitats de comparació, d' estimació, de mesurament físic i d' elecció de la unitat de mesura. Les activitats de mesurament físic permetran detectar dificultats i errors en el procés degudes a l' arrodoniment, les aproximació o la manca de precisió de l' instrument, per exemple. Curs 2024/2025 14 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Per tant, els diferents aspectes sobre les magnituds i la seva mesura que s' han de treballar per al seu aprenentatge són: percepció de la magnitud, comparació, necessitat del mesurament, mesurament i estimació. M. González (2022) classifica els procediments per mesurar que es treballen en Educació Primària en els següents tipus: Procediments de mesurament directe: l'alumnat reitera successivament la unitat de mesura, amb els seus múltiples i submúltiples, fins que completa la quantitat de magnitud que es vol mesurar. Per exemple, se superposen els centímetres de la cinta mètrica sobre una corda que es vol mesurar. Procediments de mesurament indirecte: l' alumnat mesura quantitats d'una altra magnitud i amb elles aplica fórmules per obtenir la quantitat de magnitud que es desitja me- dir. Per exemple, per mesurar l' àrea d' un triangle es mesuren les longituds de la seva base i de la seva alçada, es multipliquen i es divideixen entre dos. Procediments d'estimació: l'alumnat obté la mesura de la quantitat de magnitud de forma aproximada a partir de judicis subjectius sobre la mida de la quantitat. Els procediments d'estimació es poden recolzar en procediments de mesurament directe i/o indirecta. Per exemple, per calcular la superfície d' un bosc cremat a partir d' una fotografia aèria, delimiten la zona mitjançant una quadrícula i compten els quadrats afectats. Curs 2024/2025 15 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Lott i Harrell (2003) proposen sis principis bàsics per al disseny d'activitats per desenvolupar les habilitats d'estimació en l'alumnat d'Educació Primària: 1. Desenvolupar l' habilitat: L'alumnat ha d' enfrontar-se a situacions en les quals es requereixi estimar per poder desenvolupar l' habilitat a través de la pràctica repetida. 2. Ús de múltiples sentits: Cal proposar activitats en les quals l' alumnat hagi d' utilitzar diferents sentits per realitzar estimacions. Per exemple, es pot estimar el volum d'un objecte utilitzant el tacte o la longitud a través del temps que es triga a recórrer la pista d' esports. A més, aquest tipus d' activitats desenvoluparà l'habilitat de generar referents, visuals o no, amb els quals desenvolupar l' estimació. 3. Ús de fonts externes i coneixements previs: Cal dissenyar activitats amb situacions contextualitzades, en les quals l' alumnat pugui tant realitzar estimacions en la qual usin referents amb sentit en aquest context com avaluar-les en funció de les característiques pròpies de la situació. Per exemple, si es demana a un alumne que estimi el valor d'un sac de patates de 10kg, una estimació molt per sota del pes real del sac podrà avaluar-se per comparació amb un objecte de pes proper a aquesta estimació. Per exemple, si l'alumne diu que el sac pesa 500 gr, es podrà avaluar comparant amb un paquet d'arròs d'1 kg. Una estimació molt per sobre del pes real del cas, podrà avaluar-se amb el pes del propi infant. Curs 2024/2025 16 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Lott i Harrell (2003) proposen sis principis bàsics per al disseny d'activitats per desenvolupar les habilitats d'estimació en l'alumnat d'Educació Primària: 4. L'estimació com a procés: Cal proposar activitats en les quals l' alumnat haja d'aplicar habilitats de forma gradual, usant diferents característiques de l ' objecte la magnitud del qual s' estima. Per exemple, es planteja a l' alumnat que ha d' estimar el pes d'un gos; s'hauria de considerar la seua mida, si està en forma o no, buscar informació sobre el pes mitjà de la raça, etc. Si es realitza aquest procés amb diversos gossos es pot fer una comparació entre les estimacions per avaluar-ne el resultat. 5. Adequació de l' estimació: És important fer que l' alumnat reconegui si té sentit estimar o no. Per exemple, tindrà sentit estimar la quantitat d'algun ingredient per cuinar, però no el nombre de rajoles per enrajolar el terra. 6. Ús de l'estimació en contextos professionals: Cal proposar jocs de rols en els quals es simulen professions que requereixen l'ús de l' estimació. Curs 2024/2025 17 3. L'ensenyament de les magnituds i la seua mesura Bright (1976) presenta una classificació de vuit tipus d'activitats per al treball de l'estimació de la mesura. Per exemple, per estimar la superfície d'una taula es pot tenir la unitat, per exemple el decímetre quadrat, present. Un altre exemple consistiria a donar com a mesura de superfície de 2 metres quadrats i haver de buscar objectes que tinguin aquesta mesura aproximada. Curs 2024/2025 18 Problemes de Fermi: Una ferramenta idònia per a l’aprenentatge de la mesura de magnituds Roma 1901-Chicago 1954 19  El problema dels afinadors Hui ha vingut l'afinador Moltes gràcies Laura! per a revisar el teu Per cert…quants piano…ja està llest per afinadors de piano hi a tocar ha a Chicago? 20 Característiques dels problemes de Fermi L'objectiu és obtenir l'ordre de magnitud la informació aportada sempre és limitada requereixen que l'alumne es plantege més preguntes necessita comunicació entre els alumnes. és necessari estimar posem l'èmfasi en el procés i no tant en el resultat. Curs 2024/2025 21  Els problemes de Fermi et donen molt… Continguts Objectius Modelització Identificar i avaluar estratègies de modelització Estimació Generar diverses solucions a un problema donat Mesurades de magnitud Aplicar principi i generalitzacions a nous problemes i situacions Expressions algebraiques, relació entre variables Analitzar problemes des de diferents punts de vista Fórmules Comunicar idees matemàtiques verbalment i per escrit Resolució de problemes Treballar amb diferents eines de mesura Crear i utilitzar fórmules per a resoldre un problema Utilitzar internet com a eina i per a la cerca d'informació Millorar la capacitat d'estimar i la confiança Curs 2024/2025 22  …per molt poc Coneixements previs Materials Conèixer els instruments bàsics de mesura Paper Coneixements aritmètics bàsics (suma, resta, multiplicació i Llapis divisió) Connexió a internet (opcional) En alguns casos… coneixements bàsics de fraccions, Instruments de mesura (opcional) decimals i percentatges. Equip bàsic per a comprovar evidències a partir d'experiments (opcional) Curs 2024/2025 23 Estimació en 1 dimensió: longitud Curs 2024/2025 24  Cadena humana “Si li demanem a tots els habitants de Sueca que envolten el poble posant-se uns al costat d'uns altres, podrien o haurien de demanar reforços a la gent del poble del costat?” Curs 2024/2025 25  Respostes experiència 2on primària Primeres reflexions: Som massa gent en el poble. Faltaria gent. Hi ha molta gent que treballa. El planeta és molt gran i no seriem prou. Si ens posem un al costat d’altre i, si es posen els cotxes i gossos, sí que seriem suficients. Curs 2024/2025 26  Reflexió des d’un context més pròxim Per a bordejar el pati, en els de classe seriem prou o necessitaríem gent de més classes? Dificultats amb el concepte de perímetre (confusió perímetre–àrea) Curs 2024/2025 27  Usem una unitat de mesura externa per a mesurar un perímetre més xicotet Quants cubs necessitarem per a bordejar la placa? Curs 2024/2025 28 Utilitzem una unitat de mesura externa per a mesurar un perímetre més xicotet Quantes cordes necessitem per a bordejar el pati? Curs 2024/2025 29  Utilitat de l'equivalència entre unitats diferents (canvis d'unitat): de cordes a alumnes Quants alumnes necessitem per a bordejar el pati? Curs 2024/2025 30  Emprem el sistema internacional i els plànols Quants cm mesura el perímetre del jardí en el plànol? Curs 2024/2025 31 Resolguem la pregunta inicial Curs 2024/2025 32  Pila de paper Un professor ha estat un temps malalts i no ha pogut corregir els exàmens dels seues alumnes, que s’han anat acumulant a sa casa fins que han arribat al sostre. Com calcularies quals folis té la pila d’exàmens? Curs 2024/2025 33  Respostes a la pila de paper Quins procediments identifiqueu en aquestes resolucions? Curs 2024/2025 34 Estimació en 2 dimensions: àrea Curs 2024/2025 35 Concert al pati Curs 2024/2025 36 Reducció a 1 dimensió (linealització) Curs 2024/2025 37  Procediments Recompte eficaç Suma reiterada Curs 2024/2025 38  Iteració de la unitat lineal Si una persona ocupa 30 cm de costat… Curs 2024/2025 39 Densitat lineal Curs 2024/2025 40  Bot a dues dimensions Iteració de la unitat Densitat Curs 2024/2025 41 Importància del procés de validació Curs 2024/2025 42 I més errades... Curs 2024/2025 43  Quanta gent cap en la plaça de l'ajuntament de la teua ciutat en una manifestació? Curs 2024/2025 44 Quants arbres hi ha en Central Park? Curs 2024/2025 45 Estimació en 3 dimensions: volum Curs 2024/2025 46 Quantes gotes d'aigua es necessiten per a omplir un poal? Curs 2024/2025 47  La font del mirador En l'encreuament de l'avinguda de Tarongers amb l'entrada a València hi ha una rotonda amb un mirador i una font. Com ja sabeu a València plou poques vegades, però quan plou, ho fa amb molta intensitat. Si es repeteixen les dades de l'última gota freda es poden aconseguir intensitats al voltant dels 25,5 L/m2 (segons les dades del 22/09/14). Imagineu que, per una avaria, deixen de funcionar els embornals de la font de la rotonda, quant temps tardaria a desbordar-se? Curs 2024/2025 48  Com dissenyar problemes de Fermi El problema ha de plantejar un repte. L'enunciat del problema no ha de contenir dades numèriques. Els problemes han de basar-se en situacions del món real relativament properes a la realitat dels alumnes. Han de ser problemes de resposta oberta. Curs 2024/2025 49 Quanta gent hi ha veient una mascletà? Curs 2024/2025 50