TD2 Calcul Intégral - Biomathématiques L1S1 - École de Médecine Saint Christopher

Année Académique 2019/2020 École de Médecine Saint Christopher Iba Mar DIOP Biomathématiques : L1S1 TD2 : Calcul intégral Exercice 1 : Calculer les primitive...

Année Académique 2019/2020 École de Médecine Saint Christopher Iba Mar DIOP Biomathématiques : L1S1 TD2 : Calcul intégral Exercice 1 : Calculer les primitives des fonctions suivantes 1 1 1. f (x) = x2 +3x−1 2. f (x) = 5x3 − x2 +2x 3. f (x) = 2 +cos x+x3 4. f (x) = 2 cos(2x)+5 2 x 3 1 2x 5.; f (x) = sin x +2 cos x −3 6. f (x) = √ +4 7. f (x) = ex +1+tan2 x 8. f (x) = +e x x 8x + 4 9. f (x) = 2(2x+1)3 10. 3x2 (x3 +4)5 11. f (x) = √ 12. (4x3 +1) cos(x4 +x) x2 + x Exercice 2 : Calculer les intégrales suivantes Z 1 Z 3 Z 3 3 6 1. (2x + 5x + 1)dx 2. ( + x2 − 1)dx 3. (6 cos(3x + 1) + 2ex )dx 0 2 x 1 Z 2 Z 4 5 Z Z π x 3 1 5 7 4 4. (sin(5x−1)−2 )dx 5. (e x+ )dx 6. ( 4 + √ )dx 7. cos(2x)dx −1 1 x 3 x x 0 π Z 6 Z e Z 1 Z 5 Z 2 x 2 x 8. sin(2x)dx 9. ln xdx 10. xe dx 11. (x +1)e dx 12. (x2 +x) sin xdx 0 1 0 2 1 Exercice 3 : Calculer les intégrales suivantes π π Z Z Z 3 Z 5 4 2 2 2 1 1. (x −2x) cos xdx 2. (x+3) sin xdx 3. x ln xdx 4. dx 0 π 3 1 2 x ln(x2 ) −1 −3 5 4 x−1 1 − x2 e3x Z Z Z Z ln x 5. p dx 6. dx 7. dx 8. dx −2 x(x − 2) −5 (x3 − 3x + 2)3 3 1 + e3x 2 x 1  Exercice 4 : Soient les fonctions affines par morceaux f et g définies respectivement sur les intervalles [0; 3] et [−1; 4] par    2x − 3 si 0 ≤ x ≤ 2   3x + 2  si −1 ≤ x ≤ 0 f (x) = g(x) =   x−1  si 2 < x ≤ 3  −5x + 2 si 0 < x ≤ 4 1. Calculer l’intégrale de f sur [0; 3]. 2. Calculer l’intégrale de g sur [−1; 4]. Exercice 5 : Soient les fonctions affine par morceaux f et g définies sur l’intervalle [−1; 5] par  1 3 si −1 ≤ x ≤ 0    x+1  − x+ si −1 ≤ x ≤ 1      2  2 f (x) = −x + 1 si 0 < x ≤ 3 g(x) =  − 1 x + 5 si 1 < x ≤ 5         x−5 si 3 < x ≤ 5 4 4 1. Calculer les intégrales sur [−1; 5] de f et g. 2. En déduire les intégrales sur [−1; 5] des fonctions f + 4g et 5f − 2g. Exercice 6 : 1. Comparer, sans calculer, les réels I et J Z 2 Z 2 a) I = xex dx b) J = x2 ex dx 1 1 2. Démontrer les encadrements suivants : Z 9 Z 1 9 1 1 1 a) ≤ √ dx ≤ 9 b) ≤ 3 dx ≤ 1 4 0 1+ x 2 0 1+x √ Z 2√ −4 Z 2 1 c) 2≤ 1 + x3 dx ≤ 3 d) 2e ≤ x2 dx ≤ 2 1 0 e Exercice 7 : Calculer les intégrales suivantes Z 2 Z 3 Z 3 a) (2x + 1) cos(2x)dx b) (x − 3) sin(x − 3)dx c) (4x − 2)e4x dx 1 2 −2 2