Chapitre 9 - Calcul Intégral PDF

Chapitre IX : Calcul intégral et mesure Jugement dernier, Chapelle Sixtine, Michelange. A l’issue de ce chapitre nous serons en mesure calculer l’aire et le volume de la trompette de Gabriel. Compétences à développer...

Chapitre IX : Calcul intégral et mesure Jugement dernier, Chapelle Sixtine, Michelange. A l’issue de ce chapitre nous serons en mesure calculer l’aire et le volume de la trompette de Gabriel. Compétences à développer Résoudre un problème à l’aide du calcul intégral. Etre en mesure de calculer des intégrales simples au moyen des techniques de primitivation usuelles. D’où vient-on ? Au premier degré, nous avons appris à exprimer une longueur, une aire, un volume en fonction de données littérales. En cinquième année, la fonction dérivée est introduite et les formules de dérivation sont exercées. Où va-t-on ? L’encadrement d’une grandeur par une somme de produits élémentaires permet d’introduire le concept d’intégrale définie qui conduit au calcul d’aires et de volumes. 1 1. Primitives Un physicien connaissant la vitesse d’un mobile peut-être amené à vouloir en déduire sa position. Un chimiste connaissant la cinétique d’une réaction chimique peut vouloir en déduire la concentration en réactifs ou produits. Un démographe connaissant le taux d’accroissement d’une population va certainement vouloir déterminer la grandeur de cette population dans le futur. Dans tous les cas, le problème mathématique consiste à déterminer une fonction F dont la dérivée est une fonction f connue. Si cette fonction existe, elle est appelée fonction primitive de la fonction f. Définition : Soit un intervalle I de ℝ. La fonction F est appelée une primitive de la dF fonction f sur I si : F′(x) = (x) = f (x) ∀x ∈ I. dx Exemple 1.1 : si f (x) = x 2. On sait avec nos connaissances sur les règles de dérivation que la fonction dont elle est la dérivée est une fonction cube. Pour obtenir f , on fait précéder cette fonction cube d’un coefficient permettant d’obtenir exactement x 2. Ainsi 1 3 1 1 F(x) = x et on constate que F′(x) = (x 3)′ = (3x 2) = x 2 = f (x). 3 3 3 1 3 Mais la fonction G(x) = x + 50 est également une primitive de f (x) car la dérivée d’une 3 1 constante est nulle. Ainsi, l’on constate que toute fonction de la forme H(x) = x 3 + k où 3 k est une constante réelle est aussi une primitive de f (x). D’où en découle le résultat suivant. Théorème IX.1.1 : Si F est une primitive de f sur un intervalle I de ℝ alors F(x) + k où k est une constante réelle arbitraire, est également une primitive de f. 1 Exercice 1.1 : trouve les primitives des fonctions suivantes. 1 (a) f (x) = sin x (b) f (x) = (c) f (x) = x n, n ≠−1 x Exercice 1.2 : détermine toutes les fonctions f (x) telles que x3 − x f′(x) = 3 cos x + x Exercice 1.3 : trouve l’expression analytique de la fonction f si f′(x) = e x + x et f (0) = 1 1 Ce théorème est une conséquence du théorème de la valeur moyenne vu dans le chapitre présentant les dérivées. 2 Comme on le constate, l’opération de primitivation peut être envisagée comme l’opération « inverse » de l’opération de dérivation2. On donne ci-dessus la table des primitives de fonctions usuelles qui se déduit directement des fonctions dérivées des fonctions usuelles. Fonction Primitive cf (x) cF(x) + k f (x) + g(x) F(x) + G(x) + k x n+1 x n, n ≠ − 1 +k n+1 1 ln | x | + k x ex ex + k cos x sin x + k sin x −cos x + k *** Exercice 1.4 : Détermine la forme générale des primitives des fonctions suivantes. (a) f (x) = x − 2 (b) f (x) = 1 + 3x 2 − 4x 3 (c) f (x) = 4x 5 − x 3 − 1 (d) f (x) = 8x 9 + x −2 (e) f (x) = (x − 1)(2x + 3) (f) f (x) = (x + 1)2 5 3 (g) f (x) = x 2 − (h) f (x) = x 2,7 − x 2 (i) f (x) = π x 2 1 (j) f (x) = e 2 (k) f (x) = 1 − (l) f (x) = 2 x − x 4 x 3t 2 − 2t + 1 1 + t + t2 (m) f (x) = x x−1 (n) f (t) = (o) g(t) = t t 2+x 2 3 − 2x 2 (p) f (x) = (q) f (x) = (r) h(θ ) = 2 sin θ − 4 cos θ 1+x 1+x 2 (s) f (θ ) = (t) f (t) = e t − 2 (u) f (x) = 2e x + 4x 2 cos2 θ 2 En langue anglaise, les fonctions primitives sont appelées antiderivatives, ce qui est particulièrement parlant. 3 Exercice 1.5 : Trouve la primitive des fonctions suivantes. (a) f (x) = 4x 3 − 3x + 1, F(0) = 1 (b) f (θ ) = 2 cos θ − 1, F(π) = − 1 Exercices 1.6 : Sachant que le graphe cartésien de la fonction f passe par le point (1; 6) et que la pente de sa tangente en (x; f (x)) est donnée par 2x + 1, détermine la valeur de f (2). Problème 1.1 : Une pierre se détache du sommet de la tour gauche de la cathédrale Saints-Michel-et-Gudule qui culmine à 65 m de hauteur. Combien de temps cette dernière va-t-elle prendre avant d’atteindre le sol ? A quelle vitesse percute-t-elle ce dernier ? Problème 1.2 : Une balle est lancée depuis le solution à une vitesse de 15 m /s. Après combien de temps atteindra-t-elle sa hauteur maximale et quand retombera-t-elle sur le sol ? Problème 1.3 : Quelle est l’accélération constante d’une Porsche 911 Carrera qui passe de 0 à 100 k m /h en 4,2 s ? Problème 1.4 : Un train à grande vitesse peut accélérer et décélérer au rythme de 3 m /s 2. Sa vitesse maximale est de 350 k m /h. (a) Quelle est la distance maximale que le train peut parcourir s’il démarre depuis une gare, atteint sa vitesse maximale et continue à cette vitesse pendant 15 min ? (b) Trouve le temps minimum nécessaire pour rallier deux stations distantes de 160 k m. (c) Supposons dans les mêmes conditions que le trajet prenne 40 min. A quelle distance sont situées les deux stations ? 2. Quadrature et intégrale définie Archimède de Syracuse (Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος, 287 a.C.n. - 212 a.C.n.) a été le premier à proposer une méthode géométrique pour déterminer l’aire d’un disque. Nous avons étudié cette suite au début du chapitre sur les limites. Pendant toute la période moderne, les mathématiciens ont recherché une méthode générale permettant de calculer l’aire d’une surface quelconque. C’est avec l’avènement du calcul intégrale qu’une solution générale à ce problème a été apportée. Comme pour Archimède, l’idée est d’approximer le calcul d’une surface au moyen de figure géométriques dont on connait l’aire. Considérons une fonction f : ℝ → ℝ : x → f (x) continue sur un intervalle [a, b]. Nous voudrions calculer l’aire comprise entre le graphe cartésien de cette fonction et l’axe Ox. Pour fixer les idées, tentons dans un premier temps de calculer de manière approchée l’aire sous la parabole f (x) = x 2 entre les points d’abscisse 0 et 1. Divisons pour ce faire l’intervalle [0; 1] en cinq sous-intervalles de tailles égales et construisons des rectangles permettant d’approcher l’aire considérée. Deux options se présentent à nous. Soit utiliser des rectangles majorant l’aire précise, soit utiliser des rectangles minorant cette aire. Nous avons représenté ci-dessous ces deux situations. Les lignes verticales séparant les sous-intervalles intersectent dans les deux cas de figure le graphe cartésien de notre fonction en f (0,2), f (0,4), f (0,6), f (0,8) et f (1). 4  Approximation de l’aire comprise entre le graphe de f (x) et l’axe Ox : minorant S5,inf et majorant S5,sup. Dans les deux cas, la valeur approchée de l’aire est donnée par la somme des aires des rectangles, la hauteur de ces derniers étant obtenue par l’image des bornes des intervalles, leur largeur étant égales à 0,2. S5,inf = 0,2.02 + 0,2.0,22 + 0,2.0,42 + 0,2.0,62 + 0,2.0,82 = 0,24 S5,sup = 0,2.0,22 + 0,2.0,42 + 0,2.0,62 + 0,2.0,82 + 0,2.12 = 0,44 On peut donc en conclure que l’aire recherchée est comprise entre ces deux valeurs, donc 0,24 < A < 0,44 Il est maintenant possible de répéter cette procédure en divisant l’intervalle en un nombre plus grand de sous-intervalles. Pour un nombre de dix intervalles on obtient : 0,2850 < A < 0,3850 Outil 2.1 : A l’aide d’un tableur, évalue les valeurs des deux sommes pour 10, 20, 30, 50, et 100 sous intervalles et complétez le tableau suivant. n Sn,inf Sn,sup 10 20 30 50 100 Etablissons une conjecture sur la valeur vers laquelle les deux sommes tendent si n → + ∞. 5 Problème 2.1 : A l’aide de tes connaissances sur les suites, montre que (n + 1)(2n + 1) Sn,sup = et calcule la limite de cette valeur lorsque n → + ∞. 6n 2 Problème 2.2 : La NASA relève pendant la première minute de son décollage la vitesse de la navette spatiale Endeavour. Estime la hauteur atteinte par cette dernière. Temps (s) 0 10 20 30 40 50 60 Vitesse (m /s) 0 56 136 226 326 383 440 *** Considérons maintenant une fonction quelconque f : ℝ → ℝ : x → f (x) continue sur un intervalle [a, b]. Procédons de manière analogue à celle utilisée plus haut dans notre exemple sur la fonction x 2. Divisons l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles de même longueur et numérotons au moyen d’un indice 1 ≤ i ≤ n. La longueur de chaque sous- b−a intervalle est donnée par Δx =. n Notons f (αi ) la plus grande valeur prise par f sur le sous-intervalle i et f (βi ) la plus petite valeur prise par f sur le sous-intervalle i. Calculons les sommes suivantes : n ∑ Sn,inf = f (βi )Δx, appelée somme inférieure de Riemann i=1 n ∑ Sn,sup = f (αi )Δx, appelée somme supérieure de Riemann i=1 Par construction, ces deux sommes encadrent la valeur de l’aire comprise entre le graphe cartésien de f et l’axe Ox : Sn,inf < A < Sn,sup Il est possible de démontrer que lorsque n → + ∞ , les deux sommes de Riemann convergent, pour une fonction continue sur un intervalle [a, b] fini vers une même valeur. Théorème IX.2.1 : Soit une fonction f : ℝ → ℝ : x → f (x) continue sur [a, b] alors lim Sn,sup = lim Sn,inf = A n→+∞ n→+∞ et f est dite intégrable (au sens de Riemann) sur [a, b]. Cette limite est appelée l’intégrale b ∫a définie de f entre a et b et notée A = f (x) d x. Le symbole ci-dessus utilisé pour l’intégrale a été proposé par Leibniz, il s’agit d’un grand S symbolisant la somme. La fonction f dans l’intégrale est appelée l’intégrande et les 6 constantes a et b sont appelées les bornes de l’intégrale. Le processus de calcul d’une intégrale est appelé intégration. L’intégrale définie est un nombre. Il faut être vigilant au fait que l’intégrale d’une fonction peut-être négative (lorsque f est négative) et qu’elle ne correspond à l’aire comprise entre la courbe de f et l’axe Ox qu’à un signe près. Remarquons que les sommes de Riemann supérieures et inférieures ne sont pas en général les meilleures approximations. Il est souvent plus approprié d’utiliser le point milieu de chacun des sous-intervalles. Règle du point milieu : Soit une fonction f : ℝ → ℝ : x → f (x) continue sur [a, b] b n ∫a f (xim)Δx = Δx[ f (x1m) + f (x2m) +... + f (xnm)] ∑ f (x) d x ≈ i=1 b−a xi−1 + xi où Δx = et xim = (point milieu) n 2 Exercice 2.1 : En utilisant un tableur et la règle du point milieu avec n = 100, calcule une approximation des intégrales suivantes. 2 1 1 1 1 ∫1 x ∫0 ∫0 ∫0 2 x 2 (a) dx (b) 4 1 − x dx (c) (e + 1) d x (d) e −x d x *** Propriétés des intégrales : a b a ∫b ∫a ∫a (1) f (x) d x = − f (x) d x (2) f (x) d x = 0 b b b ∫a ∫a ∫a (3) k d x = k(b − a) où k ∈ ℝ (4) k f (x) d x = k f (x) d x b b b ∫a ∫a ∫a (5) [ f (x) + g(x)] d x = f (x) d x + g(x) d x b c b ∫a ∫a ∫c (6) f (x) d x = f (x) d x + f (x) d x 7  b b ∫a ∫a (7) Si f (x) ≥ g(x) sur [a, b] alors f (x) d x ≥ g(x) d x b ∫a (8) Si m ≤ f (x) ≤ M sur [a, b] alors m(b − a) ≤ f (x) d x ≤ M(b − a) Nous démontrerons ensemble au tableau certaines de ces propriétés qui découlent de la définition de l’intégrale comme la limite une somme de termes. *** Exercice 2.2 : Ecris sous la forme d’une intégrale unique 3 6 −1 ∫−2 ∫3 ∫−2 f (x) d x + f (x) d x − f (x) d x 8 8 ∫0 ∫0 Exercice 2.3 : Si f (x) d x = 36 et g(x) d x = 14, évalue la valeur de l’intégrale 8 ∫0 [2f (x) + 5g(x)] d x {x 6 4 si x < 4 ∫0 Exercice 2.4 : Trouve la valeur de f (x) d x si f (x) = si x ≥ 4 3. Théorème fondamental de l’analyse Le théorème fondamental de l’analyse est bien nommé car il établit le lien entre le calcul différentiel et intégral. Nous avons vu comment calculer de manière approchée au moyen des sommes de Riemann des intégrales. Cependant, il serait commode de développer une méthode de calcul systématique et directe du calcul de ces dernières sans avoir à passer par la limite d’une somme infinie. C’est Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Leibniz (1646-1716) qui furent les premiers à établir le lien entre les deux branches de l’analyse.3 Définition : Soit f : ℝ → ℝ : x → f (x) continue sur [a, b] et soit x ∈ [a, b]. La fonction x ∫a g(x) = f (t) dt représente l’aire (variable) sous le graphe cartésien de f de a à x. C’est à l’aide de cette fonction que nous allons établir le lien entre le calcul différentiel et le calcul intégral. Nous allons montrer que g(x) est une primitive de f sur [a, b]. 3Les deux savants s’opposèrent dans une controverse célèbre sur la paternité et l’antériorité de cette découverte. 8 Théorème IX.3.1 (Théorème fondamental de l’analyse) : Soit une fonction f : ℝ → ℝ : x → f (x) continue sur [a, b] alors x ∫a g(x) = f (t) dt a≤x≤b est une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et g′(x) = f (x) Preuve : Soient x et x + h des points de ]a, b[, alors x+h x x x+h x ∫a ∫a ∫a ∫x ∫a g(x + h) − g(x) = f (t) dt − f (t) dt = [ f (t) dt + f (t) dt] − f (t) dt x+h ∫x = f (t) dt Ainsi pour h ≠ 0, on a, g(x + h) − g(x) 1 x+h h ∫x = f (t) dt h Comme f est continue sur [x, x + h] , il existe deux nombres u et v sur cet intervalle pour lesquels la fonction f est minimale et maximale avec f (u) = m et f (v) = M. On a donc par la propriété (8) x+h x+h ∫x ∫x mh ≤ f (t) dt ≤ Mh ⇔ f (u)h ≤ f (t) dt ≤ f (v)h h étant positif, on peut diviser les deux membres par h et on obtient : g(x + h) − g(x) f (u) ≤ ≤ f (v) h Faisons maintenant tendre h → 0. Dans ce cas, u → x et v → x puisque u et v appartiennent à l’intervalle [x, x + h]. Nous avons donc lim f (u) = lim f (u) = f (x) et lim f (v) = lim f (u) = f (x) h→0 u→x h→0 v→x Ainsi comme f (u) et f (v) encadrent le taux d’accroissement de g qui lorsque h → 0 est égal à la dérivée de g′, on en déduit que (par le théorème des gendarmes (IV.4) : g(x + h) − g(x) lim = g′(x) = f (x) h→0 h *** d x d x ∫a En utilisant la notation de Leibniz, on a donc : f (t) dt = f (x) 9  x ∫a 2 2 Exemple 3.1 : La dérivée de la fonction g(x) = e −t dt est donnée par g′(x) = e −x Théorème IX.3.2 (a) : Soit une fonction f : ℝ → ℝ : x → f (x) continue sur [a, b] alors b ∫a f (t) dt = F(b) − F(a) où F est une primitive de f, i.e. F′(x) = f (x) x ∫a Preuve : de (IV.3.1) nous savons que g(x) = f (t) dt est une primitive de f, c’est à dire que g′(x) = f (x). Nous savons donc que g et F ne diffèrent que d’une constante k F(x) = g(x) + k a ∫a Or nous savons que g(a) = f (t) dt = 0. Ainsi : b ∫a F(b) − F(a) = [g(b) + k] − [g(a) + k] = g(b) − g(a) = g(b) = f (t) dt *** Exercice 3.1 : Evalue précisément les valeurs des intégrales suivantes. Compare avec les résultats obtenus de manière approchée. 2 1 1 1 ∫1 x ∫0 ∫0 2 (a) dx (b) x dx (c) (e x + 1) d x *** Le théorème fondamental de l’analyse peut également être réécrit de manière condensée de la manière ci-dessous où l’intégrale d’un taux d’accroissement sur un intervalle [a, b] peut être calculée en faisant la différence des valeurs en b et a de cette fonction. On exprime donc que la somme infinitésimale des variations sur un intervalle d’une grandeur est la différence entre les valeurs finales et initiales de cette grandeur. Théorème IX.3.2 (b) : L’intégrale sur un intervalle [a, b] d’un taux d’accroissement est donnée par b ∫a F′(x) d x = F(b) − F(a) Ce théorème a de très nombreuses applications en sciences naturelles et en sciences sociales. Il est indéniablement l’un des théorèmes les plus importants de l’analyse mathématique. Nous donnons ci-dessous à titre d’exemple quelques unes de ces applications. 10 Exemple 3.2 : Si P(t) représente la population d’un pays à un instant t, alors P′(t) représente la vitesse de variation de cette population et on a alors : tf ∫t P′(t) dt = P(tf ) − F(ti) i Ce qui exprime la somme des variations pendant la période considérée (multipliée par les intervalles de temps) est égale à la différence nette de population entre l’instant final et l’instant initial. Exemple 3.3 : Si V(t) représente le volume d’eau dans une citerne à un instant t, alors V′(t) représente le débit de vidange de cette citerne et on a alors : t2 ∫t V′(t) dt = V(t2) − V(t1) 1 Ce qui se traduit par le fait que la somme des débits pendant la période considérée (multipliée par les intervalles de temps) est égale à la différence nette de volumes entre l’instant 2 et l’instant 1. Exercice 3.2 : Calcule la valeur des intégrales suivantes 3 1 4 ∫−1 ∫−1 ∫1 3 9 (a) (x − 3x) d x (b) x dx (c) (6 − 3t + 4t 2) dt 1 2 7 ∫0 ∫0 ∫1 3 3 7 (d) (1 + 2u − 2u ) du (e) x dx 2 (f) x dx 2π 3 3 1 ∫π ∫1 t 5 ∫0 (g) cosθ dθ (h) dt (i) x(2 + x 4) d x 1 4 5 x−2 ∫0 ∫2 ∫1 (j) (2 + t t) dt (k) dx (l) (z − 3)(2z + 1) d z x 3 1 1 ∫0 ∫−1 ∫0 (m) (2 sin θ + e θ ) dθ (n) e u+2 du (o) xπ d x a 1 1 3 4 + u2 ∫0 ∫−1 x ∫0 u 3 x+3 (p) e dt (q) dx (r) du 1 1 3 ∫ −1 ∫−1 ∫−2 2 2 (s) (1 + x) d x (t) (1 + x + x ) d x (u) (1 + u π ) du 2 11 Problème 3.1 : De l’eau s’écoule d’une citerne à un débit de d(t) = 200 − 5t (exprimé en litres par minutes). Détermine le domaine de définition de cette fonction. Trouve la quantité d’eau qui s’est écoulée pendant les dix première minutes. Problème 3.2 : Le coût marginal de production de x mètres d’un tissu exprimé en euros par mètre est donné par la fonction C′(x) = 3 − 0,01x + 0,000006x 2. Trouve l’augmentation du coût de production si le niveau de production passe de 2000 à 4000 mètres. 4. Intégrales indéfinies Le lien qui a été fait entre fonction primitive et l’intégrale nous pousse à utiliser une nouvelle notation pour la fonction primitive sous la forme d’une intégrale. On parle alors d’intégrale indéfinie. Définition : Soit f : ℝ → ℝ : x → f (x) continue. La fonction ∫ f (x) d x = F(x) est appelée intégrale indéfinie. On a F′(x) = f (x). La table des intégrales indéfinie donnée ci-dessus est une synthèse toute naturelle de la table des primitives vues en dans la section (1) et des propriétés des intégrales vues dans le deuxième paragraphe. Règle de primitivation (synthèse) : ∫ ∫ ∫ cf (x) d x = c f (x) d x + k a dx = ax + k ∫ ∫ ∫ [ f (x) + g(x)] d x = f (x) d x + g(x) d x + k n+1 x 1 ∫ ∫ x xn d x = + k, n ≠ − 1 d x = ln | x | + k n+1 ax ∫ ∫ x x x e dx = e + k a dx = +k ln a ∫ ∫ cos x d x = sin x + k sin x d x = − cos x + k Exercice 4.1 : Trouve la forme générale des intégrales indéfinies suivantes ∫ ∫ ∫ 1 (a) (x 2 + x −3) d x (b) ( x3 + x 4 ) d x (c) (u + 2)(−3u + 4) du 12  x3 − 3 ∫ ∫ ∫ 2 (d) v(v + 4) d v (e) dx (f) (sin θ + 4 cos θ ) dθ x x2 − 1 ∫ ∫ ∫ x +1 2 x+3 (g) (y − 1,8y + 3) d x (h) (e − 2) d x (i) dx 5. Intégration par substitution ou changement de variable On l’a vu, en vertu du théorème fondamental de l’analyse, le calcul d’une intégrale définie passe par le calcul d’une primitive. Nous avons jusqu’à présent uniquement calculé des primitives directement en « renversant » l’opération de dérivation. Cependant, certaines intégrales ne peuvent pas être calculées immédiatement de cette façon. Par exemple, considérons la primitive suivante x ∫ F(x) = dx 1 + x2 Cette fonction n’a aucune primitive connue a priori. Si l’on est perspicace et en se souvenant de la règle de dérivation des fonctions composées, on constate que 1 1 1 1 x ( 1 + x 2 )′ = (1 + x 2)− 2 (1 + x 2)′ = (1 + x 2)− 2.2x = 2 2 1 + x2 Dès lors une la primitive recherchée est bien F(x) = 1 + x 2 + k. Il n’est cependant pas toujours aisé de repérer la primitive d’une fonction par dérivation de fonction composée. C’est pour cette raison que l’on est amené à introduire une nouvelle technique d’intégration, l’intégration par changement de variable, appelée aussi intégration par substitution. Règle de substitution (a) : Soit u = g(x) une fonction dérivable sur un intervalle I et f une fonction continue sur cet intervalle I, alors du ∫ ∫ ∫ f [g(x)]g′(x) d x = f (u) d x = f (u) du dx ∫ ∫ Preuve : soit F′(x) = f (x). Alors f [g(x)]g′(x) d x = F′[g(x)]g′(x) d x Or, la règle de dérivation des fonctions composées nous donne : d ∫ [F(g(x)] = F′[g(x)]g′(x) et donc F′[g(x)]g′(x) d x = F[g(x)] + k dx En procédant au changement de variable u = g(x), il vient que 13 ∫ ∫ ∫ ∫ f [g(x)]g′(x) d x = F′[g(x)]g′(x) d x = F[g(x)] + k = F(u) + k = F′(u)du = f (u)du *** Comme la fonction g(x) = u , on peut utiliser d x et du comme des différentielles, à savoir du manipuler g′(x) = en séparant les deux quantités infinitésimales d x et du. dx ∫ Exemple 5.1 : 4x − 1 d x du 1 Procédons au changement de variable u = 4x − 1. Donc = 4 , et du = d x. Ainsi la dx 4 règle de substitution nous donne : 3 1 1 1 u2 1 ∫ ∫ 4∫ 3 4x − 1 d x = u. du = u du =. 3 + k = (4x − 1) 2 + k 4 4 6 2 ∫ Exemple 5.2 : x 2 cos(x 3 + 1) d x du 1 Procédons au changement de variable u = x 3 + 1. Donc = 3x 2 , et du = x 2 d x. dx 3 Ainsi la règle de substitution nous donne : 1 1 1 1 ∫ ∫ 3∫ x 2 cos(x 3 + 1) d x = cos u. du = cos u du = sin u + k = sin(x 3 + 1) + k 3 3 3 *** Lors d’une intégration par substitution pour une intégrale définie, il faut être vigilant au fait que les bornes d’intégrations sont modifiées lors du changement de variable. Règle de substitution (b) : Soit u = g(x) une fonction dérivable sur un intervalle [a, b] et f une fonction continue sur cet intervalle I, alors b g(b) ∫a ∫g(a) f [g(x)]g′(x) d x = f (u) du Exercice 5.1 : Evalue les intégrales suivantes par la substitution adéquate ∫ ∫ ∫ 2 (a) x sin x 2 d x (b) xe −x d x (c) (4t − 1)6 dt 1 ∫ ∫ 4 − 3x ∫ (d) (x + 1) x 2 + 2x d x (e) dx (f) x 1 − x2 d x 14  ex ∫ ∫ ∫ (1 − e x)2 (g) cosπ θ dθ (h) e x cos e x d x (i) dx sin t z2 (ln z)2 ∫ ∫ z3 + 2 ∫ z (j) dt (k) dz (l) dz t 1 2 1 1 πθ ex ∫0 ∫1 x 2 ∫−1 2 (m) cos dθ (n) dx (o) xe −x d x 2 10 1 a dx ex + 1 ∫0 ∫0 e x + x ∫0 (p) (q) dx (r) t a 2 − t 2 dt (1 + 3x)4 1 e4 π dx ∫ −1 ∫e x ln x ∫−π 2 2 (s) (1 + x)(x + 2) d x (t) (u) x 3 cos x 4 d x 2 Problème 5.1 : Une population de bactéries commence avec 400 bactéries et croît avec à la vitesse de v(t) = 450,268e 1,12567t. Détermine le nombre de bactéries après trois heures. Problème 5.2 : La respiration est un phénomène cyclique et un cycle de respiration prend en moyenne 5 s. Pour une personne saine, le flux maximum d’air dans les poumons est de 0,5 L /s. On peut donc modéliser le flux d’air dans les poumons par la fonction : 1 2π t f (t) = sin( ), exprimée également en L /s. 2 5 Montre avec tes connaissance sur les fonctions trigonométriques que cette fonction correspond bien au phénomène décrit. Estime le volume d’air inhalé à l’instant t. 6. Intégration par parties Nous avons vu que l’intégration par substitution était le corollaire de la règle de dérivation des fonctions composées. Nous allons enrichir ici nos possibilités d'intégration en proposant une autre règle qui découle elle de la règle de dérivation du produit. Il s’agit de la technique d’intégration par parties. Pour deux fonctions dérivables f et g, on a en effet : d [ f (x)g(x)] = f′(x)g(x) + f (x)g′(x) dx Et, en conséquence du théorème fondamental de l’analyse, il vient ∫ ∫ ∫ f (x)g(x) = [ f′(x)g(x) + f (x)g′(x)] d x ⇔ f (x)g(x) = f′(x)g(x) d x + f (x)g′(x) d x ∫ ∫ Et donc en réarrangeant cette équation : f (x)g′(x) d x = f (x)g(x) − f′(x)g(x) d x 15 Formule d’intégration par parties (a) : Soient f et g deux fonctions dérivables, on a ∫ ∫ f (x)g′(x) d x = f (x)g(x) − f′(x)g(x) d x + k On voit ici que l’opération de dérivation dans l’intégrale passe d’une fonction à l’autre. L’utilisation de cette formule de manière adéquate permet parfois de simplifier le calcul d’une intégrale. Il est conseillé d’utiliser cette technique lorsque l’on a affaire à l’intégrale d’un produit de fonctions ne pouvant être évaluée par un changement de variable. ∫ Exemple 6.1 : Calculons l'intégrale x cos x d x f (x) = x ⇒ f′(x) = 1 g′(x) = cos x ⇒ g(x) = sin x ∫ ∫ Et donc x cos x d x = x sin x − sin x d x = x sin x + cos x + k On constate immédiatement que le choix de f et de g amène à une simplification ou une complexification de l’intégrale. C’est bien évidemment la première option qu’il faut retenir. ∫ Exemple 6.2 : Calculons l'intégrale x 2e x d x f (x) = x 2 ⇒ f′(x) = 2x g′(x) = e x ⇒ g(x) = e x ∫ ∫ Et donc x 2e x d x = x 2e x − 2xe x d x Il faut donc effectuer une nouvelle intégration par parties sur la deuxième intégrale obtenue. Ce qui nous donne, f (x) = 2x ⇒ f′(x) = 2 g′(x) = e x ⇒ g(x) = e x ∫ ∫ ( ∫ ) x 2e x d x = x 2e x − 2xe x = x 2e x− 2xe x − 2e x d x = x 2e x − 2xe x + 2e x + k ∫ Exemple 6.3 : Calculons l’intégrale e x sin x d x Le choix de f et g ne semble a priori pas évident et les deux solutions semblent conduire à des résultats similaires. f (x) = sin x ⇒ f′(x) = cos x g′(x) = e x ⇒ g(x) = e x 16  ∫ ∫ Et donc e x sin x d x = e x sin x − e x cos x d x Le résultat ne semble pas très convainquant. Persévérons et essayons néanmoins une nouvelle intégration par parties. f (x) = cos x ⇒ f′(x) = − sin x g′(x) = e x ⇒ g(x) = e x On a donc : ∫ ( ∫ ) ∫ e x sin x d x = e x sin x− e x cos x − (−e x sin x) d x = e x sin x − e x cos x − e x sin x d x Ce qui a première vue semble encore plus compliqué. Cependant dans le second membre apparaît la primitive recherchée. Nous pouvons la ramener dans le premier membre et nous obtenons : ∫ 2 e x sin x d x = e x sin x − e x cos x Divisons les deux membres par deux et ajoutant une constante pour obtenir la primitive générale recherchée. e x(sin x − cos x) ∫ x e sin x d x = +k 2 *** Nous donnons enfin la formule d’intégration par parties pour une intégrale définie. Formule d’intégration par parties (b) : Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle [a, b], on a b b ∫a ∫a f (x)g′(x) d x = f (x)g(x)] − b f′(x)g(x) d x a Dans la formule ci-dessus f (x)g(x)] , représente la variation de fg entre a et b. b a Exercice 6.1 : Evalue les intégrales suivantes ∫ ∫ ∫ (a) x 2 ln x d x (b) θ sin θ dθ (c) t cos 5t dt ∫ ∫ ∫ (d) xe −x d x (e) (x 2 + x)cos x d x (f) θ 2 sin 2θ dθ 17  ∫ ∫ ∫ (g) ln x d x (h) z 4 ln z d z (i) x 2x d x ∫ ∫ ∫ (j) ln2 t dt (k) e −θ cos 2θ dθ (l) z 3e z d z 1 1 5 ln x ∫0 ∫0 ∫2 (m) θ cos π θ dθ (n) xe −2x d x (o) dx x 2 2π a ∫1 ∫0 ∫0 2 2 (p) y ln y d y (q) t sin 2t dt (r) e x sin(a − x) d x −1 π 0 ∫−3 ∫−π ∫−a 5 2 (s) y ln(−y) d y (t) t cos 2t dt (u) e 2 x cos(a + x) d x Exercice 6.2 : Démontre la propriété suivante (formule de réduction) 1 n−1 ∫ n ∫ sinn x d x = − cos x sinn−1 x + sinn−2 x d x où n≥2 n Problème 6.1 : Une fusée brûle pendant son ascension du carburant, donc sa masse diminue avec le temps. Notons M = 30 000 kg la masse initiale de la fusée et supposons qu’elle diminue avec un ratio r de 160 kg/s avec une vitesse d’éjection des gaz ve = 3 000 m /s. On peut ainsi modéliser la vitesse d’ascension verticale de la fusée par l’équation : M − rt v(t) = − gt − ve ln où g = 9,8 m /s 2 M Le premier terme négatif est dû à la force gravitationnelle, le second à la vitesse crée par l’éjection des gaz du carburant. (a) Détermine le domaine de définition de cette fonction. (b) Trouve la hauteur atteinte par la fusée une minute après le décollage. Problème 6.2 : Une particule se déplace en ligne droite avec une vitesse v(t) = t 2e −t mètres par seconde. Quelle sera la distance parcourue par la particule en t secondes ? 18 7. Problèmes de quadratures et de cubatures, calcul de longueurs L’intégrale définie a été introduite dans la section (2) par le biais du calcul de l’aire comprise entre le graphe cartésien d’une fonction et l’axe Ox. Nous allons ici étendre les possibilités offertes par cette dernière en établissant des formules de calcul d’aires, de volumes et de longueurs. Théorème IX.7.1 (Aire comprise entre deux courbes) : Soient une fonction f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que f ≥ g sur [a, b] alors b ∫a A= [ f (x) − g(x)] d x est l’aire comprise entre le graphe cartésien de des deux fonctions et les droites x = a et x = b. n ∑ Preuve : Les sommes de Riemann sont du type A = [ f (x* i ) − g(x* i )]Δx. On en déduit i=1 que l’intégrale est donnée sur l’intervalle [a, b] par l’expression ci-dessus. Exercice 7.1 : Calcule l’aire comprise entre les fonctions. Utilise Geogebra pour visualiser la configuration géométrique de ce problème. (a) f (x) = 2x − x 2 et g(x) = x 2 x (b) f (x) = et g(x) = x 4 − x x2 + 1 Problème 7.1 : En économie, les inégalités au sein d'une société peuvent être représentées par une courbe de Lorenz y = L(x). 19 Dans un système d’axe, on porte en abscisse la fraction de la population possédant en ordonnée une fraction des richesses. La courbe de répartition équitable des richesses est une droite joignant le point (0,0) et le point (1,1). Nous allons étudier dans ce problème la répartition des richesses suivant une distribution de Pareto dont la courbe de Lorenz est 1 L(x) = 1 − (1 − x)1− α. Comparons les distribution des richesses dans deux pays A et B pour lesquels αA = 2 et αB = 3. Le coefficient de Gini, est un bonne mesure des inégalités dans une société donnée. Il s’agit du double de l’aire comprise entre L(x) et la droit de répartition équitable des richesses. (a) Calcule la valeur du coefficient de Gini pour les deux pays A et B. (b) Interprète tes résultats et explique quel pays présente le plus d’inégalités. Si l’on augmente la valeur du paramètre α de la distribution de Pareto, comment évolue les inégalités ? (c) Confirme ton résultat sur Geogebra en comparant les courbes de Lorenz des deux pays. *** Un autre problème de mesure qu’il est possible de résoudre au moyen du calcul intégral est le problème de cubature, à savoir l’évaluation de volumes. Considérons une surface définissant un volume dans un espace à trois dimensions. Pour fixer les idées, prenons pour exemple le volume obtenue par la rotation autour de l’axe Ox d’une parabole d’équation y = f (x) = x 2. Construisons un plan orthogonal à l’axe Ox. Ce dernière va intersecter le volume intérieur selon une surface A = A(x). Cette dernière va varier à mesure que x augmente. C’est donc une fonction de x. Dans notre exemple, il s’agit d’un disque. Supposons que l’on souhaite évaluer le volume délimité par les plans x = a , x = b et la surface obtenue par la rotation de la parabole autour de l’axe Ox. Ce volume peut-être divisé en tranches d’épaisseur Δx si l’on divise l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles. Le volume de chaque tranche est donné par le produit de sa largeur par l’aire de la section4. 4 prenons par exemple en première approximation la valeur du point milieu de chaque sous- intervalle xim 20 Le volume recherché est donc approximativement égal à la somme des volumes de chacune des tranches : n V nm A(xim )Δx ∑ ≈ i=1 Il s’agit d’une somme de Riemann. En faisant tendre n → + ∞ , on faisant tendre cette somme vers une intégrale définie égale au volume recherché. Théorème IX.7.2 (Volume d’un solide) : Soit V un volume délimité par les plans x = a et x = b et soit A(x), section de V par un plan orthogonal à l’axe Ox, une fonction continue sur l’intervalle [a, b], alors b ∫a V= A(x) d x. Exemple 7.1 : Evaluons l’aire comprise par la rotation d’une parabole y = f (x) = x 2 autour de l’axe Ox et les plans d’équations x = 0 et x = 1. La section par un plan orthogonal à l’axe Ox est un disque de rayon y = x 2. Dès-lors la valeur de l’aire de cette section A(x) = π (x 2 )2 = π x 4. Ainsi le volume recherché est donné par l’intégrale suivante 5 ]0 5 1 1 1 x5 π ∫0 ∫0 4 V = A(x) d x = π x d x = π = Exemple 7.2 : Evaluons l’aire d’une sphère de rayon r. La sphère peut-être obtenue en effectuant la rotation de la fonction y = f (x) = r 2 − x 2. L’aire d’une section de la sphère par un plan orthogonal à l’axe Ox est un disque de rayon y et est donc égale à A(x) = π ( r 2 − x 2 )2 = π (r 2 − x 2) Le volume recherché est donc donné par l’intégrale suivante [ 3 ]−r 3 r r r x3 4 ∫−r ∫−r 2 2 2 V= A(x) d x = π (r − x ) d x = π r x − = π r3 Exemple 7.3 : Evaluons l’aire d’une pyramide à base carrée de côté a et de hauteur h. Plaçons le sommet de la pyramide en l’origine du repère et le centre de sa base le long de l’axe Ox. La section de cette dernière est alors un carré. La dimension de ce dernier est maximale à la base et égale à a. En x , elle peut être obtenue par règle de trois et est a a égale à x. La valeur de la section de la pyramide est donc égale à A(x) = ( x)2 et le h h volume recherché est donné par l’intégrale : h 3 ]0 h h h a 2 a 2 x3 a 2h ∫0 ∫0 h V= A(x) d x = ( x) d x = ( ) = 3 *** On note que la formule ci-dessus peut-être simplifiée lorsque le volume recherché est obtenu par la révolution d’une fonction f (x) autour de l’axe Ox. Dans ce cas, l’aire de la section du volume A(x) = π[ f (x)]2 21 Théorème IX.7.3 (Volume d’un solide de révolution) : Le V un volume délimité par les plans x = a et x = b et par la révolution d’une fonction f (x) , continue sur l’intervalle [a, b], autour de l’axe Ox est donné par b ∫a V=π [ f (x)]2 d x. L’intégrale permet également de calculer des longueurs d’arc de courbe représentée par une fonction continue et la valeur de l’aire d’une surface de révolution autour de l’axe Ox. Nous donnons ces formules sans démonstration. Théorème IX.7.4 (Longueur d’un arc de courbe) : Soit f (x) une fonction continue sur l’intervalle [a, b]. La longueur de l’arc de courbe de f de a à b est donnée par b ∫a L= 1 + [ f′(x)]2 d x. Théorème IX.7.5 (Surface de révolution) : Soit f (x) une fonction continue sur l’intervalle [a, b]. L’aire de la surface de révolution de f autour de l’axe Ox est donnée par b ∫a A= 2π f (x) 1 + [ f′(x)]2 d x Exercice 7.2 : Calcule le volume obtenu par la rotation des fonctions suivantes autour de l’axe Ox 1 (a) f (x) = x sur [0,1] (b) f (x) = 2 − x sur [1,2] (c) f (x) = e x sur [0,1] 2 Problème 7.2 : La trompette de Gabriel est obtenue par la rotation d’une fonction inverse autour de l’axe Ox sur l’intervalle [1, + ∞]. (a) Calcule le volume de cette dernière sur [1,a] et calcule la limite de l’expression obtenue lorsque a → + ∞. (b) Donne l’expression de la surface de révolution de cette dernière sur [1,a] et tente de minorer cette intégrale par une fonction F(a). Calcule la limite de l’expression obtenue lorsque a → + ∞. Que constates-tu ? 22