Syllabus de Topographie ECAM 2020 PDF

Je remercie Monsieur Michel Gilmard, titulaire du cours de ce topographie jusqu'en 2009 de m'avoir permis d'utiliser et de reprendre ses notes de cours. Ce syllabus en est partie...

Je remercie Monsieur Michel Gilmard, titulaire du cours de ce topographie jusqu'en 2009 de m'avoir permis d'utiliser et de reprendre ses notes de cours. Ce syllabus en est partiellement inspiré TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 1 Table des matières 1 Définitions.................................................................................................................................. 4 1.1 Définitions............................................................................................................................. 4 1.2 Objectifs................................................................................................................................. 4 1.3 Unités..................................................................................................................................... 4 1.4 Échelle................................................................................................................................... 4 2 Représentation de la terre........................................................................................................... 5 2.1 Représentation planimétrique (2D)........................................................................................ 5 2.2 Altimétrie............................................................................................................................... 7 2.3 Coordonnées.......................................................................................................................... 8 3 Mesures et appareils................................................................................................................... 9 3.1 Outils de base......................................................................................................................... 9 3.1.1 Formules de base.......................................................................................................... 9 3.1.2 Nivelle.......................................................................................................................... 9 3.1.3 Support....................................................................................................................... 12 3.1.4 Lunette........................................................................................................................ 13 3.2 Mesures d'angles.................................................................................................................. 15 3.2.1 Equerre à prisme......................................................................................................... 15 3.2.2 Theodolite................................................................................................................... 16 3.3 Mesure de distance............................................................................................................... 18 3.3.1 Mètre.......................................................................................................................... 18 3.3.2 Mesureur électronique de distance (EDM)................................................................ 19 3.3.3 Stadia.......................................................................................................................... 20 3.4 Mesure de dénivelée............................................................................................................ 21 3.4.1 Nivellement direct...................................................................................................... 21 3.4.2 Niveau........................................................................................................................ 21 3.4.3 Nivellement indirect................................................................................................... 24 3.5 Calculs de coordonnées....................................................................................................... 25 Tolérances................................................................................................................................. 25 4 Levers topographiques.............................................................................................................. 27 4.1 Relevé trigonométrique........................................................................................................ 27 4.2 Orientation (1 station).......................................................................................................... 27 4.3 Polygonale ouverte.............................................................................................................. 28 4.3.1 Polygonale à deux stations......................................................................................... 28 4.3.2 Polygonale à n stations............................................................................................... 29 4.4 Polygonale fermée............................................................................................................... 29 4.4.1 Calcul des angles........................................................................................................ 29 4.4.2 Calcul des coordonnées.............................................................................................. 30 4.4.3 Tolérances.................................................................................................................. 30 4.5 Cheminement altimétrique................................................................................................... 31 4.6 Levé de détail....................................................................................................................... 31 4.6.1 Levé au tachéomètre................................................................................................... 31 4.6.2 Rayonnement altimétrique.......................................................................................... 32 4.6.3 Levé à l'équerre à prisme............................................................................................ 32 4.6.4 Levé extérieur............................................................................................................. 32 4.6.5 Levé intérieur............................................................................................................. 32 4.6.6 Courbes de niveau...................................................................................................... 33 5 Implantation.............................................................................................................................. 34 5.1 Introduction.......................................................................................................................... 34 TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 2  5.2 Implantation d'alignements.................................................................................................. 34 5.2.1 Tracer une perpendiculaire à un alignement existant................................................. 34 5.2.2 Abaisser une perpendiculaire sur un alignement existantes....................................... 34 5.2.3 Tracer une parallèle à un alignement existant............................................................ 34 5.2.4 Tracer un alignement sécant à un alignement existant............................................... 35 5.2.5 Matérialiser un alignement autour d'un obstacle........................................................ 35 5.2.6 Prolonger un alignement au-delà d'un obstacle.......................................................... 36 b. Implantation bâtiment.......................................................................................................... 36 5.3 Implantation au mètre.......................................................................................................... 36 5.4 Implantation à l'équerre à prisme......................................................................................... 36 5.5 Implantation au théodolite................................................................................................... 36 5.6 Implantation routière............................................................................................................ 37 5.6.1 Raccord par arc de cercle........................................................................................... 38 5.6.2 Raccord par clothoïde................................................................................................. 38 5.7 Implantation de niveau......................................................................................................... 39 5.7.1 Implantation de repères.............................................................................................. 39 5.7.2 Implantation de talus.................................................................................................. 39 5.8 Contrôle d'implantation........................................................................................................ 39 6 Calculs de surface..................................................................................................................... 40 6.1 Calcul de surface.................................................................................................................. 40 6.2 Calcul de volume................................................................................................................. 40 7 Méthodes particulières.............................................................................................................. 41 7.1 Intersection........................................................................................................................... 41 7.2 Relèvement.......................................................................................................................... 41 7.3 Trilatération......................................................................................................................... 41 7.4 Station libre.......................................................................................................................... 41 8 Les Erreurs................................................................................................................................ 42 8.1 Introduction.......................................................................................................................... 42 8.2 Erreurs liées aux appareils................................................................................................... 42 8.2.1 Nivelle........................................................................................................................ 42 8.2.2 Équerre à prisme......................................................................................................... 43 8.2.3 Théodolite................................................................................................................... 43 8.2.4 Mètre.......................................................................................................................... 43 8.2.5 Distance-mètre............................................................................................................ 43 8.2.6 Niveau........................................................................................................................ 43 8.2.7 Erreurs liées à l'opérateur........................................................................................... 44 9 Global Navigation Sattelite System.......................................................................................... 44 10 Photogrammétrie...................................................................................................................... 45 11 Lasergramétrie.......................................................................................................................... 45 12 SIG............................................................................................................................................ 46 13 Bibliographie............................................................................................................................ 46 Annexe 1 : Liste d’exercices résolus en cours................................................................................... 47 Annexe 2 : Enoncés pour les séance d’exercices............................................................................... 48 Annexe 3 : Dias sur la photogrammétrie et la lasergrammétrie......................................................... 51 TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 3 1 DÉFINITIONS 1.1 Définitions Topographie (grec: description d'un lieu): science qui donne les moyens de représenter la surface terrestre. Topométrie (grec: mesure d'un lieu): ensemble des techniques permettant d'obtenir les éléments métriques nécessaires à la réalisation d'un plan. Géodésie: (grec: description de la terre): science qui étudie la forme de la terre. Planimétrie: représentation 2D d'un espace 3D. Altimétrie: représentation du relief Levé: Prise de mesures sur site en vue d'établir un plan du terrain Plan: représentation informatique ou graphique de la projection horizontale d'un site Élévation: représentation informatique ou graphique de la projection verticale d'un élément Implantation: Matérialisation sur site d'un projet sur plan. 1.2 Objectifs La topographie a pour objectif de: - définir et modéliser des surfaces en plan et en élévation par 1) le relevé des éléments caractéristiques de ces surfaces; 2) la représentation graphique conventionnelle et orthonormée des éléments levés: - représenter, sur une surface existante, des éléments définis préalablement par calculs ou mesures graphiques (implantation). 1.3 Unités Longueur: l'unité courante en topographie est le mètre Angle: l'unité courante des appareils en topographie est le grade (gon); 400g = 360° = 2πr 1.4 Échelle L'échelle représente le rapport entre une distance mesurée sur un plan et la vraie grandeur. Les plans informatiques sont généralement dessinés à l'échelle 1:1, ce qui signifie qu'une distance mesurée à l'écran correspond à la même distance sur le terrain. En topographie, les plans papiers sont, sauf rares exceptions, à une échelle différente. L'échelle sera fonction de la grandeur du site à lever (format limite du plan papier = A0) et de la finalité (fonction du cahier des charges, des exigences du client ou selon l'habitude). En général, les échelles suivantes sont utilisées: Plan intérieur: 1/50 - (1/100) Relevé d'un terrain: 1/100 → 1/250... 1/500 Relevé d'un site important, de voies de communication: 1/250→ 1/1000... 1/2000 Plan de situation: 1/500 → 1/2000...1/5000 Cartes topographiques, routières: 1/10.000 → 1/1.000.000 TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 4 2 REPRÉSENTATION DE LA TERRE La forme générale de la terre est irrégulière et changeante dans le temps ; elle ne correspond à aucune figure géométrique régulière. Elle est représentée par des surfaces approchées dont principalement : − le géoïde, qui correspond à la surface en équilibre, constituée par l'ensemble des mers et océans au repos, et aux canaux sans écluses ; cette surface est, en tout point, normale à la verticale (= direction du fil à plomb). Cette surface est utilisée pour le positionnement altimétrique − l' ellipsoïde de révolution, figure géométrique simple la plus proche, dont le petit axe passe par les deux pôles. Cette forme sera utilisée pour les calculs de positionnement en plan (et en élévation), le géoïde permettant difficilement d'utiliser des relations mathématiques. Les valeurs des demi-axes (a & b) sont définis selon l'ellipsoïde choisie. L'ellipsoïde utilisée actuellement pour un référentiel mondial est l'ellipsoïde de Hayford Pour information, le demi grand axe a = 6.378.388 m le demi petit axe b = 6.356.912m le rayon moyen R = (a+b)/2 = 6.367,65 km Ellipsoïde de révolution b Axe de révolution Illustration 1 :représentation des variations du géoïde a Source: wikipedia.org, Source: cours de Monsieur Gilmard Les arcs de grands cercles de rayons égaux au demi petit-axe sont appelés méridiens tandis que les arcs de grands cercles perpendiculaires à l'axe de révolution sont appelés parallèles. Les calculs sur l'ellipsoïde sont réalisés sur base des relations en trigonométrie sphérique. Chaque point de la surface terrestre est repéré par ses coordonnées géographiques, c'est-à-dire sa longitude et sa latitude. − la longitude (λ) d’un lieu est l'angle dièdre formé par le méridien de ce lieu avec le méridien origine (Greenwich); elle est mesurée de 0 à 200 gon Est ou Ouest; − la latitude ϕ d'un lieu est l'angle que fait la normale en ce point avec le plan de l'équateur; elle est mesurée de 0 à 100 gon Nord ou Sud. − une direction est représentée par son Azimut. Il s'agit de l'angle dièdre que fait le plan contenant la normale de A et le point B avec le plan méridien de A compté à partir de la direction Nord du plan méridien, dans le sens horlogique (0 à 400 gon). Illustration 2 :positionnement 3D source : cleyo.free.fr 2.1 Représentation planimétrique (2D) La représentation 2D de la surface terrestre se fait par projection. Celle-ci sera choisie en fonction de l'étendue de l'ellipsoïde à projeter et de la finalité souhaitée. TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 5 Lorsque la surface à projeter est de petite taille, l'ellipsoïde est assimilée au plan tangent en son centre. Pour une distance de 5km, l'erreur commise est de 1mm; pour 20km, l'erreur vaut 6,5cm, ce qui reste acceptable pour des levés courants. La projection tangentielle reste donc valable pour les levés d'une étendue inférieure à 20km de diamètre. (Pour information, l'erreur en distance vaut: eD = D³/3R² où D= distance sur la terre & R= rayon terrestre) En altimétrie, l'altération est plus importante, ce qui oblige à tenir compte de la courbure de la terre pour des visées supérieures à 250m (Pour information, l'erreur en altimétrie vaut: eH = D²/2R) Lorsque la zone est plus importante, il est nécessaire d'utiliser des systèmes de projection, c'est-à- dire d'établir des relations mathématiques permettant de lier chaque point de l'ellipsoïde à un seul point du plan et inversement. Les projections sont déterminées par quatre paramètres : − le type de surface de projection : plane, conique, cylindrique − le type de contact avec l'ellipsoïde : tangent, sécant, poly-conique/cylindrique − la direction de l'axe de projection : − parallèle à l'axe de révolution de la terre ( projection directe) − perpendiculaire à l'axe // // // // (projection transverse) − oblique par rapport à l'axe // // // // (projection oblique) − la nature des déformations : − les angles : projection conforme − les distances en certains endroits : projection équidistante − les surfaces : projection équivalente − aucun élément : projection aphylactique Illustration 3 :Types de projections - Source : http://docs.qgis.org/2.2/fr/docs/gentle_gis_introduction/coordinate_reference_systems.html Ces surfaces étant développables, il est ensuite possible d'établir une carte planimétrique de l'endroit concerné et de définir un réseau géodésique, c'est-à-dire un réseau de points connus et matérialisés pour lesquels les coordonnées planimétriques sont connues. Ces points ont été établis par triangulation ; leur affinement est maintenant fait par mesures TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 6 topométriques et observations des satellites. Des projections sont réalisées à l'échelle de la Terre complète ou plus localement (à l'échelle d'un pays ou d'un continent) En Belgique, nous utilisons le réseau géodésique Lambert 2008 (ou parfois encore Lambert 1972) Projection de Lambert : - conique - sécante (deux parallèles de contact - directe (axe de révolution du cône confondu avec l'axe de révolution de la Terre) - conforme (angles conservés) source : ngi.be Illustration 4 :Projection Lambert Pour la représentation de la terre entière, nous utilisons la représentation UTM (Universal Transverse Mercator), qui est une projection cylindrique conforme, tangentielle. Projection UTM - poly-cylindrique - tangente (un parallèle de contact par cylindre - transverse (axe de révolution du cylindre perpendiculaire à l'axe de révolution de la Terre) - conforme (angles conservés) source : ngi.be & wikipedia.com Illustration 5 :Projection UTM 2.2 Altimétrie L'altimétrie est le plus souvent déterminée par rapport au géoïde. Cependant, certaines applications (telle que le positionnement par satellites), donne une information sur l'altitude par rapport à l'ellipsoïde. Chaque pays a défini sa surface de référence, parallèle au géoïde, à partir de laquelle sont définies toutes les altitudes. TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 7  H: Altitude orthométrique (définie par rapport au géoïde) H: altitude ellipsoïdale (définie par rapport à l'ellipsoïde) N: Hauteur géoïdale (déterminée à partir d'un géoïde globale et par mesure de la pesanteur) Source : http://www.ign.be/FR/FR2- 1-3.shtm Illustration 6 :Altitudes 2.3 Coordonnées Sur la terre: coordonnées géodésiques (λ et ϕ) Sur plan: coordonnées cartésiennes (X,Y,Z) En topographie: coordonnées polaires (angles horizontal et vertical – distance) _______________________________________ TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 8 3 MESURES ET APPAREILS 3.1 Outils de base 3.1.1 Formules de base − Relations trigonométriques dans un triangle rectangle cos γ = B/A sin γ = C/A tg γ = C/B − Coordonnées rectangulaires ↔ coordonnées polaires 3.1.2 Nivelle Cet instrument permet de régler et vérifier l'horizontalité et/ou la verticalité d'un appareil ou objet auquel il est appliqué. Le principe de cet instrument est axée sur les propriétés d'équilibre des liquides et des gaz emprisonnés dans des fioles de forme sphérique ("nivelle sphérique") ou torique ("nivelle torique" ). Cette fiole est montée dans une embase métallique comportant éventuellement une ou des vis de réglage. La nivelle se compose d'une fiole fermée et bombée en son centre, renfermant un liquide et une bulle de gaz. La bulle de gaz tend toujours à occuper l'espace le plus haut. Lorsque la bulle est au centre de la fiole, la surface mesurée est horizontale ou verticale. Le liquide utilisé est soit l'alcool (fluide, à faible dilatation et incongelable) soit l'éther (très fluide, à plus grande dilatation), soit un mélange des deux. La bulle surplombant le liquide est une bulle de vapeur du liquide. La bulle occupe toujours la partie la plus élevée de la fiole et le plan tangent en son centre est horizontal. La fiole comporte généralement une ou des graduations, symétriques par rapport au centre de la fiole, la directrice de la nivelle est la tangente en ce point (dans le plan médian de la fiole pour la nivelle torique). Il existe deux types de nivelle : toriques et sphériques. − Nivelle sphérique : cette nivelle est constituée par une fiole dont la partie intérieure supérieure est en forme de calotte sphérique comportant un repère circulaire. Le rayon de courbure de la calotte varie de 10 cm à 1 m. L'espace libre laissé par le liquide (bulle) prend la forme d'un petit cercle ; la circonférence ainsi dessinée sur la fiole doit avoir même centre que le cercle gravé sur la surface sphérique, pour que le support de la nivelle soit horizontal. Illustration 7 : Nivelle sphérique Le réglage de la nivelle se fait au moyen de 3 vis de réglage situées sous sa monture et permettant de faire basculer la nivelle autour d'une bille servant de pivot central. On utilise cette nivelle lorsque la précision attendue ne doit pas être grande (trépieds, cannes de centrage, mires, jalons, approche pour le réglage d'appareils …). Une nivelle sphérique est "réglée" lorsque le centre du cercle gravé coïncide avec le centre de la bulle, pour toute rotation de la nivelle autour de son axe vertical. Si la nivelle n'est pas réglée, le TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 9  centre de la bulle décrira un "parallèle" sur la calotte sphérique; dans ce cas, on modifiera la position de la nivelle par rapport à sa monture, grâce aux vis de réglage, jusqu'à obtenir une coïncidence entre les deux centres, pour toute rotation de la nivelle autour de son axe vertical. − Nivelle torique ou cylindrique : cette nivelle est constituée d'un tube cylindrique coudé et fermé à ses extrémités ou d’un tronçon de tore ; il peut aussi avoir une forme ovoïde et dans ce cas, la nivelle peut être retournée. Le rayon de courbure de ces nivelles varie de 15 à 200 m. De ce fait, ces nivelles sont beaucoup plus précises que les nivelles sphériques. La position du centre de la bulle est repérable à l'aide d'une échelle à traits équidistants gravés sur la surface extérieure du tube. Illustration 8: Nivelle torique vis de réglage La nivelle est considérée de niveau lorsque les nivelle extrémités de la bulle occupent des positions symétriques par rapport aux traits gravés sur la fiole: on "amène la bulle entre ses repères". Ce type de nivelle est réglé lorsque le trait central des graduations correspond au centre de la bulle et embase ce, pour deux directions diamétralement opposée de Illustration 9: Représentation schématique d'une nivelle la nivelle (après l'avoir retournée bout pour bout). Si ce n'est pas le cas, il faut corriger la pente du support de la moitié de l'erreur (e/2), l'autre moitié se corrigeant à l'aide de la vis de réglage de la nivelle. Ce type de nivelle permet d'assurer avec grande précision, la verticalité d'un axe ou l'horizontalité d'un axe ou d'un plan. Dans ce dernier cas, il suffira d'assurer l'horizontalité de 2 droites du plan, de préférence perpendiculaires pour plus de précision. − Les nivelles numériques: Il s'agit d'inclinomètres. Les variations sont renseignées sur un écran sous la forme d'une nivelle et de valeurs numériques. Ces nivelles se retrouvent sur les stations totales et remplacent la nivelle torique. − Observation de la bulle: On peut se placer en face des graduations et observer directement la bulle, mais cela nécessite de tourner autour de l'appareil. Il faut éviter toute erreur de parallaxe ce qui nécessite d'observer correctement en face des graduations. Pour éviter cet inconvénient, on dispose au-dessus de la nivelle un miroir plan incliné à 50 gon (45°) sur la direction de la nivelle. Il faut que le rayon dirigé sur le centre (axe de symétrie) soit perpendiculaire à la nivelle ; ainsi les rayons dirigés sur les extrémités de la bulle seront également inclinés de part et d'autre de la visée axiale. A cet effet, on dispose parfois 2 repères sur l'axe du miroir et sur l'axe de la nivelle, qui doivent être Illustration 10: Observation d'une nivelle alignés. TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 10 Dans certains appareils de précision, on utilise des "nivelles à coïncidence" qui permettent d'obtenir une plus grande précision lors de l'observation: une évaluation de la coïncidence permet une précision trois fois meilleure qu'un pointé ordinaire - toutes autres choses égales -. L'observation se fait dans une lunette pouvant encore grossir l'image de la bulle (précision augmentée); cette lunette donne, grâce à un système de prismes, les images de 2 "quarts" diamétralement opposés de la bulle; ces 2 "quarts" de bulle sont "en coïncidence" lorsque la bulle est "entre ses repères". Lorsque la bulle s'écarte de ses repères, les deux "quarts" de bulles se déplacent en sens opposés. Illustration 11: Nivelle à coïncidence − Rayon de courbure – Précision - Soit la nivelle réglée et la bulle entre ses repères le centre de la bulle est en A et la tangente TT en A est horizontale (a). Inclinons la nivelle d'un angle α: la bulle reste au point haut (devenu B), situé à la verticale du centre de courbure (b): le point A s'est déplacé d'une Illustration 12: Précision vs rayon de courbure, source : cours de Mr Gilmard longueur l = AB = α∗R (α en radians) Donc pour un même déplacement angulaire α, le déplacement linéaire 1 est proportionnel au rayon de courbure ; plus le rayon de courbure est grand, plus on peut déceler de petits déplacements angulaires α On définit la sensibilité d'une nivelle comme étant l'angle pour lequel le déplacement de la bulle est de 2 mm (soit l division) : en radian: ε = 2/R (R en mm) en secondes : ε = 2*200.000/R (R en mm) en décimilligrades (dmgon) : ε = 2*600.000/R (R en mm) (Pour R = 30m , on a une sensibilité ε = 40 dmgon/2mm. ). En réalité, on peut obtenir une précision supérieure à la sensibilité, puisqu'on pourra estimer environ le dixième de graduation ; la précision sera donc d’environ 1/10 de la sensibilité, et même mieux avec les dispositifs d'observation à prismes (cfr. supra) − Remarques concernant la précision et la lecture : a) Vitesse de déplacement : Lors d'une inclinaison de la nivelle, la vitesse de déplacement de la bulle croit rapidement puis décroît de plus en plus lentement pour s'annuler. La fin du déplacement est très lente et un observateur pressé risque de commettre une erreur. Le temps de stabilisation sera proportionnel au rayon de courbure R, à l’inclinaison i, et inversement proportionnel à la longueur de la bulle l : t0 = k * R * i1/3 / l1/2 où k est une constante tenant compte de la rugosité des parois et de la viscosité du liquide utilisé. TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 11  On constate donc qu'au plus le rayon augmente, au plus la précision augmente mais au plus le temps de stabilisation augmente. b) Paresse de la bulle. Supposons au départ, la bulle entre ses repères ; soulevons l'extrémité droite de la nivelle puis reposons la sur son support : la bulle revient vers le centre et s'arrête en Al , à droite de A. Faisons de même vers la gauche : la bulle s'arrête en A2 (à gauche de A). Le calage exact de la bulle est le point A, situé au milieu de Al-A2. On appelle « paresse » de la bulle, la distance AAl=AA2. Cette paresse « p » est due au frottement liquide - paroi et à la légère viscosité du liquide ; elle peut s’exprimer comme suit : p = K’ * R / l L'erreur angulaire qui en découle vaut : e1 = p / R = K’ / l et est indépendante du rayon R. En général, la longueur « l » de la bulle est proportionnelle au rayon R d'où p = K' * R / l cte 0,2 mm, soit de même ordre de grandeur que la précision de lecture ( 1/10 d'intervalle). Pour R = 10 m, e1 0,2 * 600.000 / 10.000 = 12 dmgon Comme l’erreur moyenne quadratique d'appréciation est de 0,15mm, on en déduit la précision du niveau : e = (0,2² + 0,15²)1/2 / R(mm) (soit 1/10 de la sensibilité). On peut augmenter la précision (jusqu’à e = +/- 0,05/R) en utilisant le système à coïncidence et en amenant toujours la bulle dans le même sens (l'erreur de paresse devient une erreur systématique éliminée lorsqu'on respecte l'égalité des portées : cfr. infra, utilisation du niveau). − Mesure de faibles pentes : Dans de rares cas, la nivelle peut être graduée en "pentes". Si la nivelle est bien réglée, une seule lecture lui permettra d'évaluer la pente d'une droite ; si la nivelle n'est pas réglée, il suffira de faire 2 mesures dans les 2 positions de la nivelle. 3.1.3 Support Les instruments de mesures sont en général posés sur un support. Ceux-ci sont de deux types. a) La cane Il s'agit d'une tige verticale sur laquelle se fixe l'appareil. Ce dernier est axé par rapport à l'axe de la cane. Le centrage se fait en positionnant la pointe de la cane sur le point désiré puis en rendant cette cane verticale (à l'aide d'une nivelle). Ce type de support est utilisé principalement avec une équerre à prisme ou un réflecteur. Ces canes peuvent être télescopiques de façon à adapter la taille à l'utilisateur ou à la configuration du terrain. Dans ce cas, des graduations permettent de lire la hauteur de l’instrument par rapport au sol. Ces supports sont maintenus en place soit manuellement, soit à l’aide d’un trépied léger (pince). b) La pince Il s'agit d'un trépied léger à 3 branches (télescopiques ou non) servant à maintenir les canes et jalons en place. c) Le trépied Il s'agit d'un plateau muni de trois branches (coulissantes) disposé à 120°. De part et d'autre de chaque tenon partent deux branches articulées autour d'une vis avec écrou à oreilles les liant au plateau. Ces 2 branches forment une " jambe". Des entretoises relient les branches pour les garder parallèles. L'extrémité d'une jambe est munie d'une pointe ferrée comportant un sabot sur lequel on appuie parallèlement à la branche (et non verticalement) pour faire pénétrer la pointe dans le sol. Les branches, aussi appelées "jambes" peuvent être de longueur constante ou comporter deux parties coulissantes. TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 12 L'appareil est fixé sur le plateau au moyen d'un écrou aussi appelé d'une vis à pompe. Le plateau est préalablement rendu plus ou moins horizontal. Le centrage se fait par plomb optique ou laser intégré à l'appareil. Cane à prisme Pince Trépied Illustration 13: Supports d) Précision Il faut veiller à avoir une erreur de centrage ne provoquant pas une erreur angulaire supérieure à la demi - précision de l'appareil utilisé. Pour un appareil ayant une précision de 6 dmgon, l'erreur de centrage doit être inférieure à 3 dmgon, soit 0,5 mm pour une visée de 100 m ! 3.1.4 Lunette La lunette est la partie d'un appareil qui permet de faire une visée : Illustration 14: Vue schématique d'une lunette; source : cours de Mr Gilmard Elle se compose de plusieurs éléments: − un oculaire : est formé de 2 lentilles plans convexes se comportant comme une loupe ; il a pour but d'amplifier l'image formée sur le réticule en donnant une image virtuelle agrandie de l'objet (image qui reste renversée) ainsi que des traits réticulaires. Pour que l’œil puisse observer sans fatigue, il est souhaitable que l'image se forme très loin. Il faut alors que les foyers de l'oculaire et de l'objectif soient confondus (lunette "afocale"). L'oculaire doit pouvoir se déplacer par rapport au réticule, selon les caractéristiques de l’œil de l'opérateur. L'oculaire se trouve donc dans un "porte-oculaire" dont le déplacement se fait soit par filetage soit par coulissement à frottement. Il existe des oculaires coudés qui permettent des visées zénithales. − un réticule: lame de verre à faces parallèles, fixe par rapport à l'objectif sur laquelle sont gravées de fines lignes noires ; l'intersection des traits centraux matérialise un point de l'axe optique. Il existe des oculaires coudés qui permettent des visées zénithales. − (un prisme redresseur): il s'agit d'un système de prismes accolés situés entre la lentille divergente et le réticule. Ce système oriente l'image dans le même sens que l'objet vu à l’œil nu. (lunette à image droite). Ce système n'est pas monté sur toutes les lunettes. − une lentille divergente de mise au point : il s'agit d'une lentille divergente mobile située entre l’objectif et le réticule; elle forme avec l'objectif un "objectif à foyer variable" permettant de TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 13  placer l'image sur le plan du réticule. − un objectif: ensemble de lentilles accolées, se comportant comme une lentille convergente, donnant de l'objet situé à grande distance, une image réelle et renversée, située près du plan focal. Illustration 15: Principe optique d'une lunette; source : cours de Mr Gilmard L'axe optique est l'axe passant par le centre du réticule et de l'oculaire. Selon l'instrument, la lunette peut pivoter en plan et en élévation.  Caractéristiques des lunettes : − axe optique: c'est la droite joignant les 2 points fixes de la lunette. Ces 2 points fixes sont d'une part le centre optique de la lentille objectif (non réglable) et d'autre part la croisée des fils réticulaires (réglable avec les 4 vis de réglage). L’oculaire ne présente pas de point fixe. − Grossissement G: c'est le rapport du diamètre apparent d'un objet vu dans la lunette et à l'oeil nu. On démontre encore que G = grossissement = F/f, avec F = distance focale de l'objectif, f = distance focale de l'oculaire Ce grossissement varie, pour les lunettes topographiques, de 4 à 40. Il peut atteindre 50 en géodésie. Couramment, G varie de 25 à 35. − ouverture: c'est le diamètre de l'objectif exprimé en millimètres (de 25 à 60 mm pour les lunettes habituelles). − champ visuel: c’est l’espace visible dans la lunette. Il est mesuré par l'angle d'ouverture du cône dont le sommet est au centre optique de l'objectif et la base est limitée par l’anneau du diaphragme. α = d/F (en radian). En général, il varie entre l et 2 degrés. On l’exprime en mètre par km (de 39 m à 27 m par km pour les théodolites WILD). Au plus le grossissement G est élevé, au plus la distance F doit être élevée et au plus le champ visuel diminue. − clarté : c'est le rapport entre la quantité de lumière que l’unité de surface de la rétine de l’œil reçoit de l'objet vu à travers la lunette et celle qu'elle recevrait à l’œil nu. On admet que c = O² / (5*G²) (O = ouverture, G = grossissement). Le grossissement nuit donc à la clarté et inversement. Les constructeurs doivent donc choisir un compromis entre ces 2 caractéristiques. − pouvoir séparateur :  de l' œil (ou acuité visuelle): c'est l'angle limite permettant de distinguer à l'œil nu une séparation entre deux sources lumineuses voisines. TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 14  Des cônes (Φ = 3 à 6 µm) tapissent la rétine. Si 2 rayons lumineux atteignent 2 cônes voisins, le cerveau ne pourra pas faire la distinction. Par contre, si les 2 rayons atteignent 2 cônes non voisins, le cerveau distinguera 2 taches lumineuses séparées. Le pouvoir séparateur de l'œil est donc l'angle ayant son sommet au centre optique du cristallin O et ayant pour base l'entredistance entre 2 cônes voisins sur la rétine. La distance O-R étant de 15 mm, le pouvoir séparateur de l’œil vaudra: 4,5/15.000 = 2 cgon (soit 0.1 mm à 30 cm)  d'une lunette : c'est l'angle limite permettant de distinguer, avec cette lunette, une séparation entre 2 sources lumineuses voisines. Il vaut : acuité visuelle / G = 2 cgon /G (G = grossissement de la lunette) Si G = 25, le pouvoir séparateur de la lunette vaudra 8 dmgon. - précision de pointé : cette précision est supérieure à l'acuité visuelle car elle fait appel à l'appréciation d'un écart, le cerveau faisant la moyenne des résultats enregistrés par tous les cônes. Il existe plusieurs types de réticule. - Absence d’aberrations : la combinaison dans l'objectif de plusieurs lentilles convergentes et divergentes en verres différents permet de corriger au mieux les aberrations de sphéricité, astigmatisme, courbure, chromatisme, distorsion,... - limite d'utilisation d’une lunette (lectures sur mires). Supposons que la précision du pointé de l'appareil vaut: (100 dmgon / G) (réticule en croix) soit (1/6000*G) en radian. Si on veut limiter l'écart sur la mire à l mm, il faut que la distance D séparant la mire de l'appareil reste inférieure à 6.000 * G * l mm (si G = 30 => D ≤ 180 m). 3.2 Mesures d'angles 3.2.1 Equerre à prisme 1. Définition Une équerre à prisme est un instrument de mesure d'angles basé sur la matérialisation d'angles droits. Les points sont mesurés en coordonnées cartésiennes grâce à l'utilisation complémentaire d'un mètre. Pour informations, cet instrument fait partie de la famille des équerres à pinnules dont le principe est identique mais permet des mesures d'anges quelconques. 2. Composition L'équerre à prisme est constituée de deux prismes pentagonaux à deux faces perpendiculaires entre elles et deux faces réfléchissantes (formant un angle de 45°). TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 15  3. Principe de fonctionnement Les rayons incidents et sortants sont toujours perpendiculaires (double réflexion interne sur des faces à 45°). Cela permettra à l'opérateur d'effectuer simultanément perpendiculaires à lui à gauche et à droite ; une ouverture supérieure et une seconde inférieure permettent également une visée de face. Grâce à ces trois directions de visée, il est possible de matérialiser des perpendiculaires et de ce fait, de réaliser des relevés en coordonnées cartésiennes (x, y) Illustration 16: Schéma de fonctionnement et vue d'une équerre à prisme 4. Jalon Un jalon est une tige en bois ou en métal d'un diamètre d'environ 2cm et d'une hauteur d'environ 2m. Il permet de reporter verticalement des points à mesurer, situés au sol ou plus bas que la visée. 3.2.2 Theodolite 1. Définitions Théodolite: mesures d'angles (verticaux – horizontaux) Tachéomètre: théodolite + distancemètre Station totale: Tachéomètre + carnet de terrain et processeur Les points sont mesurés en coordonnées polaires grâce à l'utilisation complémentaire d'un (disto)mètre. Pour informations, cet instrument fait partie de la famille des goniomètres. 2. Composition Illustration 17: Axes et cercles gradués d'un théodolite Il se compose de trois axes: − principal: axe de rotation de l'appareil (et du cercle gradué horizontal), c'est un axe vertical après mise en station; − secondaire: perpendiculaire à l'axe principal, il passe par le centre de basculement de la lunette et donc du cercle gradué vertical; − optique: axe de visée de la lunette, il est perpendiculaire à l'axe secondaire. Ancien théodolite Théodolite Station totale Illustration 18: Théodolites anciens et actuels TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 16  Et des éléments suivants : − une plaque d'embase permettant la fixation au trépied, − une embase comprenant trois vis calantes, − une vis de commande du cercle horizontal (permet de modifier l'orientation du cercle horizontal), − le plomb optique (permet de centrer l'appareil sur le point de station) − le limbe qui comprend le cercle horizontal gradué de 0 à 400grades, − une nivelle sphérique (sur le limbe) et une nivelle cylindrique (sur l'alidade) − l'alidade qui pivote autour de l'axe principal et comprend la nivelle sphérique, la lunette et le cercle gradué vertical (de 0 à 400g), − des vis de réglage (d'approche et Illustration 19: Schéma d'un théodolite, fin) de l'alidade et de la lunette. source : http://www.ifao.egnet.net 3. Principe de fonctionnement Le tachéomètre permettra d'effectuer des mesures en coordonnées polaires en visant un point et en lisant la valeur des angles vertical et horizontal ainsi qu'en prenant la distance liant le centre des trois axes de l'appareil au point mesuré. Chaque point est ainsi connu en coordonnées polaires dont: − le point de référence du système est le tachéomètre − et direction de référence, le zéro du limbe (AH = 0,0000gon). Chaque point relevé d'une même station, est positionné dans ce même repère, indépendamment des autres. 4. Mesures d'angles Angle horizontal (AH) - Angle vertical (AV) Les axes représentent les plans de visée. On notera que la référence est inversée par rapport à celle utilisée en trigonométrie classique (où l’axe X est la référence) Les angles sont mesurés en grades (gon); Illustration 20: mesure d'angles avec le théodolite 400gon = 360° Le relevé de certains points, tels que les points de stations et les bornes, implique une précision plus grande. Dans ce cas, le point est relevé deux fois, en cercle à gauche et en cercle à droite (amélioration de la précision par suppression d'erreurs systématiques: voir chapitre sur les erreurs). Ces deux mesures ont un lien. TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 17 Le cercle horizontal est pivoté de 200 grades tandis que le cercle vertical est renversé. Ce qui donne les configurations suivantes : Dès lors : AHCD = AHCG+/-200gon AVCD = 400gon – AVCG Illustration 21: configuration des visées en CG et CD 3.3 Mesure de distance 3.3.1 Mètre Le mètre est un ruban, le plus souvent en acier, ou une succession de section rigide d'environ 20cm (le plus souvent en bois ou plastique). La longueur mesurée est directement lue sur le ruban ou le mètre rigide déployé entre les deux points extrêmes. La distance obtenue est une distance oblique. Il existe trois classes de précisions en Europe, définie par une directive européenne1 précisant la tolérance sur la précision des lectures possibles : a+b*L (+c) "a "représente la tolérance fixe, "b"la tolérance supplémentaire fonction de la longueur mesurée "c" la tolérance supplémentaire dans le cas où le mètre est équipé d'un crochet "L" la longueur arrondie au mètre supérieur. a b c Classe I 0,1 0,1 0,1 Classe II 0,3 0,2 0,2 Classe III 0,6 0,4 0,3 Il existe également une classe différente pour les instruments de mesure en immersion avec sonde et une dernière pour les instruments de mesures dans les réservoirs. Les mètres sont étalonnés en usine pour respecter une des classes notées ci-dessous ; les mètres étant sensibles à la température et à la force exercée, l'étalonnage est généralement à une température de référence de 20°C et une force exercée de 50N Les indications d'utilisation adéquate du mètre sont indiquées au début des graduations. Source: http://www.dueesseantinfortunistica.it/ Illustration 22: mètre 1 Directive 2004/22/CE DU PARLEMENT EUROPÉEN ET DU CONSEIL du 31/03/04 sur les instruments de mesure TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 18 Pour des mesures de très grande précision, un fil Invar est utilisé. Le fil invar est réalisé grâce à un alliage de Fer (64%), de Nickel (36%) et en quelques autres éléments en faible quantité, qui lui confère un coefficient de dilatation quasi nul. Son utilisation reste très limitée du fait de sa grande fragilité ; l'application actuelle est la mesure de précision de dénivellée (voir chapitre sur le niveau). On peut obtenir une précision au 0,1mm pour des distances inférieures à 20m. 3.3.2 Mesureur électronique de distance (EDM) La mesure électronique de distance sont des instruments indépendants (disto-mètre) ou des dispositifs inclus dans d'autres appareils de mesure (tachéomètres, stations totales). Il s'agit d'une mesure indirecte de distance obliguqe, basée sur le temps de propagation d'une onde électromagnétique. Les EDM comprennent de base: − un émetteur − un récepteurs − un calculateur. Deux types d'ondes sont utilisées : ondes pulsées (ondes laser) B) ondes entretenues (ondes infrarouges) Illustration 23: Ondes pulsées Source : cours de topométrie, IGN ENSG Illustration 24: Ondes entretenues Les ondes pulsées sont émises très rapidement Les ondes entretenues sont émises en continus avec une très grosse énergie ; le rayonnement est (ondes sinusoïdales) avec une énergie moindre ; très directionnel et ne comprend qu'une seule le rayonnement est moins directionnel et longueur d'onde. comprend plusieurs longueurs d'onde. Les longueurs d'ondes utilisées sont situées dans Les longueurs d'ondes utilisées sont également l'infra-rouge, proche du visible. situées dans l'infra-rouge, proche du visible. La distance est déterminée en mesurant le temps La distance est déterminée en mesurant le de parcours de l'onde qui se réfléchit sur le déphasage entre l'onde envoyée et l'onde reçue et premier obstacle trouvé : en recherchant le nombre entier de cycle. d : 1/2*c*dt Cette inconnue est résolue par exemple par modulation de la fréquence. Où c = vitesse de la lumière ≅ 300.000 km/s Les ondes entretenues donnent en général des mesures un peu plus précises mais nécessite d'utiliser un dispositif réfléchissant le rayon (prisme) TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 19 La précision annoncée d'un distancemètre comprend également deux parties : − une partie fixe représentant la tolérance fixe − une partie exprimée en partie par million (ppm) représentant une tolérance additionnelle en fonction de la distance parcourue Il n'existe pas de classe de précision pour les distancemètre, simplement indication de précision dans les caractéristiques techniques de l'appareil dans les conditions de l'étalonnage. D'une manière générale, les distancemètre utilisés en topographie propose des précisions de l'ordre de 2mm+2ppm. Le temps de propagation d'une onde est fonction du milieu, c'est-à-dire, dans notre cas, de la température, de la pression et de l'humidité. Une correction peut être calculée pour des conditions d'utilisation différentes de celles d'étalonnage. Dans le cas de mesures par ondes entretenues, l'utilisation du prisme engendre également un ralentissement de l'onde qui est pris en compte au travers d'une constante de prisme. Lors de la combinaison d'un distancemètre avec un théodolite ou similaire, la distance horizontale est calculée ainsi : Le point A correspond au départ de l’onde électromagnétique ou laser. Le point B correspond à l’objet visé à l’aide de la lunette. Illustration 25: représentation en élévation d’une prise de mesure D’après l’Illustration 25, et en utilisant les relations de trigonométrie, nous pouvons déduire que: Dh = Dhoriz= Dmesurée* sin AV 3.3.3 Stadia La stadia est un ancien dispositif (latte graduée) permettant la mesure indirecte d'une distance horizontale. Ce système n'est aujourd'hui plus utilisé seul mais complète certains autres appareils de mesure et en particulier le niveau (voir infra). Cette distance est déterminée par lecture sur une mire des valeurs correspondant aux deux traits extrêmes du réticule. Illustration 26: Principe de mesure stadimétrique Connaissant l'angle formé entre ces deux traits (en général 2ε ≈1/100rad), la distance est déterminée par trigonométrie. Dh = K (M2-M1) où K = 1/(2* tan 2ε) K est généralement égal à 100 (voir mode d'emploi de l'appareil) Source : Leicageosystems TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 20 3.4 Mesure de dénivelée 3.4.1 Nivellement direct Le nivellement consiste à déterminer la différence de niveau entre deux points à l'aide d'un niveau et d'une mire. Le niveau est placé à mi-chemin entre les points à mesurer tandis que la mire est placée successivement sur le point de référence puis sur le point à déterminer. Illustration 27: Nivellement direct 3.4.2 Niveau 1. Définition Le niveau est un appareil permettant le calcul de différences de dénivelées grâce à plan de visée toujours perpendiculaire à son axe principal ; c'est-à-dire horizontal une fois l'appareil mis correctement en station. Il permet également une estimation des distances horizontales. Il est utilisé lorsque les mesures de dénivelées doivent être précises et que la position en plan n'est pas nécessaire ou peut être approchée. La précision du niveau est supérieure à celle d'un tachéomètre courant car la hauteur d'appareil n'intervient pas ici et que le plan de visée est le plus parfaitement horizontal possible. Illustration 28: Schéma d'un niveau automatique, source : http://www.ifao.egnet.net 2. Composition Trois types de niveaux se retrouvent sur le terrain aujourd’hui : − le niveau non-automatique, − le niveau automatique, − le niveau électronique. D'une façon générale, il comprend les éléments suivants : − une plaque d'embase permettant de fixer le niveau à un trépied, − trois vis calantes permettant le réglage du plateau, − un plateau comprenant une nivelle sphérique, TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 21 − (un cercle gradué), − une lunette équipée d'une vis de mise au point de l'objet, d'une autre de réglage du réticule ainsi que d'une vis de réglage fin; selon le type de niveau elle comprend une nivelle torique ou un compensateur à pendule (voir supra) Le niveau non-automatique est équipé d'une nivelle torique pour rendre le plateau horizontal. Pour augmenter la précision de mise en station, la nivelle n'est pas directement visible mais deux quarts opposés de celle-ci sont visibles via une loupe. Le niveau automatique est équipé d'un compensateur à la place de la nivelle torique. Il s'agit d'un système mobile soumis à la pesanteur (pendule) qui, une fois libéré, entraîne avec lui un prisme mobile. C'est ce prisme qui assure la visée horizontale. Le niveau doit cependant être d'abord mis grossièrement en station à l'aide de la nivelle sphérique de façon à permettre au compensateur de travailler. (Sa plage de débattement étant limitée.) Pour ce faire, le niveau dispose d'un bouton de contrôle à actionner après chaque visée et avant la lecture. En pressant ce bouton, le pendule est libéré durant un court instant avant d'être amorti. La précision ainsi obtenue est de 0,05mm à 35m. 3. Principe de fonctionnement D’où la relation: zB=zA+ Lar – Lav Illustration 29: nivellement direct Source : geodesie.ign.fr Du fait d'un plan de référence horizontal, le niveau permet de mesurer l'écart d'altitude entre altitude du plan optique et les points recherchés. Il est ainsi possible de déduire la différence d'altitude entre les points mesurés. 4. La mire La mire est une "latte" graduée en centimètres ou millimètres. La lecture se fait en notant la valeur de la graduation coïncidant avec le trait central du réticule. Comme vérification, la demi-somme des valeurs lues au droit des deux traits extrêmes du réticule doit être identique à la valeur au droit du trait central. Lorsque la mire est posée sur un point intermédiaire, elle est installée sur une crapaudine. Illustration 30: Mire classique et vue de la mire depuis le niveau TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 22  5. Le micromètre Le micromètre est une lame de verre à faces parallèles inclinables. Le micromètre va permettre de mesurer au dixième de millimètre (et évaluation du centième de millimètre) en mesurant le déplacement de la lame pour faire correspondre le réticule au trait de la mire Invar le plus proche. L'ajout de ce système provoque un décalage constant de l'axe de visée. Cela n'a pas de conséquence sur la prise de mesure à condition d'effectuer toutes les mesures avec le micromètre et la mire Invar. Illustration 31: Schéma de fonctionnement du micromètre, source : aftopo.org. 6. Le niveau numérique C'est un niveau équipé d'un lecteur numérique capable de lire un code- barres remplaçant ou accompagnant les graduations sur la mire. Ce code-barres est une alternance de bandes noires et blanches dont les largeurs forment un code connu du lecteur numérique. Ce niveau permet de supprimer les erreurs de mise en station (si celle- ci n'est pas faite, il n'est pas possible de prendre de mesure) et les erreurs de lecture. Ce système fonctionne avec difficultés si le site est peu ou mal éclairé. Les mesures prises ont une précision comparable aux mesures prises avec un niveau automatique. La précision maximale est de 1mm/km pour un cheminement fermé. Illustration 32: Photo d’une mire à code-barres et d’une mire classique 7. Le niveau laser Illustration 33: Niveau laser Illustration 34: niveau laser Source : www.debonix.fr TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 23 Il dispose d'un pointé laser à la place de la lunette et permet de matérialiser un axe ou un plan horizontal et/ou vertical (niveau rotatif). Certains modèles permettent également de matérialiser des obliques. Ces niveaux ont pour but principal d’aider à l'implantation de niveaux ou la matérialisation d'alignements. La mise en station est quasi "automatique" grâce à un système pendulaire. La précision moyenne de ces systèmes est d'1,5mm/30m. Il est possible d'adjoindre un récepteur sur une mire ; celui-ci émet des signaux sonores lorsqu'il capte le signal du niveau laser. Dans ce cas, il est aussi possible de réaliser seul, un nivellement classique comme expliqué ci-dessus 3.4.3 Nivellement indirect Le nivellement indirect ou trigonométrique se réalise à l'aide d'un tachéomètre. Il permet d'obtenir des coordonnées 3D des points mesurés. Le tachéomètre est placé sur un point de coordonnées connues (ou à définir) et orienté sur un autre point connu (ou à définir). Un prisme est placé successivement sur tous les points à relever. A la différence du nivellement direct, cette technique permet d'avoir l'information précise de positionnement en plan ; les niveaux sont définis par rapport au point de station et non plus par différence avec d'autres points. Le plus souvent, le point à relever n’est pas visible depuis la station totale et nécessite d’être surélevé. C’est pourquoi, un prisme est utilisé. De ce fait, la distance oblique ne correspond plus à la distance entre la lunette de l’appareil et le point à lever mais entre l’axe de visée de l’appareil et le centre du prisme. Ill Illustration 35: Vue en élévation d’une mesure avec prisme D’où la relation : Dv = Dmesuré *cos AV zB = zA + Happareil + Dmesuré *cos AV - hprisme = dv + Happareil- hprisme NB: lorsque le mesureur de distance est un laser, il n'y a donc pas de hauteur de prisme si le point est visé directement! TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 24 3.5 Calculs de coordonnées Le théodolite et dérivés donnent des coordonnées polaires (angles + distances) tandis que le positionnement sur plan se fait en coordonnées cartésiennes (x,y,z). Le passage de l'un vers l'autre se fait à l'aide des formules de trigonométrie de base. Avant tout calcul, il est nécessaire d'établir un repère. En polaire, cela induit de connaître un point de départ et une direction. Lors du relevé sur site, le point de départ correspond à la position de l'appareil tandis que la direction de référence correspond à la direction donnée par le zéro du limbe. → l'Angle Horizontal (AH) correspond donc à l'angle entre la direction du zéro du limbe et la direction visée. Comme le zéro du limbe est différent à chaque mise en station, nous utiliserons la notion de « gisement » qui sera fixé pour l’ensemble du levé. Une relation lie bien sûr l’AH au gisement (voir supra) → l'Angle Vertical (AV) correspond par contre à l'angle entre le zénith et la direction visée ! Lors du calcul en cartésien, − le point de départ est généralement décalé (par ex. (100,00-100,00-100,00)) de façon à obtenir des coordonnées positives pour tous les points; − l'orientation de référence (axe des Y) est généralement gardée identique à celle du terrain pour la première station uniquement (AHAB=gAB) − le gisement correspond toujours à l'angle entre la direction de référence (axe Y) et la direction visée → ΑΗ ≠ gisement en général Calcul des distances : dist. horizontale : Dh= Dmes* sin AV dist. verticale : Dv= Dmes* cos AV Illustration 36: Représentation cartésienne et polaire D’après l'illustration ci-dessus et les relations de trigonométrie, nous pouvons déduire que: xB = xA + Dh*sin gAB yB = yA + Dh*cos gAB zB= zA+ Dv = zA+ Dmes*cos AV + (Happareil - hprisme) NB: les hauteurs de l'appareil et de la cane doivent être prises en considération (voir infra: nivellement trigonométrie) → dh < do → si 0A 1.466 1.300 300.2510 302.9150 25.898 187.3121 96.1615 41.310 B->C 1.466 1.300 387.3119 303.8375 41.310 285.5337 104.4531 41.334 C->B 1.532 1.300 85.5332 295.5462 41.334 3) Calcul des coordonnées de 1, 2 et 3. A (100,00 ; 100,00 ; 10,00)m & gAB = 100g Station Hap (m) Hp (m) AH (g) AV (g) Dist. (m) 121,7116 99,3320 98,179 A->C 1,871 1,300 321,7122 300,6682 98,179 161,0703 100,9094 75,018 A->B 1,871 1,300 361,0697 299,0902 75,018 298,6543 99,9405 75,008 B->A 1,730 1,300 98,6539 300,0591 75,008 4,2333 98,1416 57,142 B->C 1,730 1,300 204,2337 301,8588 57,142 104,7840 102,7999 57,175 C->B 1,714 1,300 304,7844 297,2009 57,175 159,8440 101,1756 98,192 C->A 1,714 1,500 359,8446 298,8242 98,192 A->1 1,871 1,300 104,7859 100,7643 52,954 B->2 1,730 1,300 295,4309 298,7659 69,087 C->3 1,714 1,300 278,9704 102,7541 42,941 4) Calcul du gisement A-B et de la distance entre A et B xA = 500,000m – yA= 500,000m & xB = 488,705m – yB = 589,703m 5) Calcul de l’erreur de position entre CG et CD pour les mesures suivantes: AHAB = 100,00000gon & 299,9960gon AVAB = 100,0000gon & 299,9970 dABmesuré = 25,000m Idem pour dABmesuré = 100,000m TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 48  6) Calcul de la surface délimitée par les points suivants (coordonnées en mètres) : A (100,100), B (150,110), C (160,130), D (130, 150), E (135, 120), F (120, 120), G (110,135) 7) Calcul du niveau de E et de F (2pts) à partir de zA= 10,000m selon les mesures prises au niveau sur la mire, donnés ci-dessous. Données terrains A B C D E F G H I J A Larr (mm) 504 201 305 21 793 2430 3027 2873 1974 2082 Lav (mm) 3740 2643 1873 2643 743 320 543 87 345 1278 8) Calcul les coordonnées de 5 points du raccord circulaire à réaliser selon le croquis suivants (entrée et fin de raccord compris). Notez également votre système de référence. 9) Déterminez les coordonnées de deux points quelconques permettant de matérialiser ST (S est inaccessible) a) à l'équerre à prisme & b) au tachéomètre 10) Quelles sont les coordonnées de M (x,y,z) si vous disposez des données suivantes : A (100,00 ; 100,00 ; 10,00)m & B (150,110,10)m Station AH (g) AV (g) dmes (m) B 100 100 50,99 A M 50 100 / A 300 100 50,99 B M 350 100 / TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 49 11) Quelles sont les coordonnées de votre station dans le repère AB si vous disposez des données suivantes : A(0 ;0 ;0) & B (3,122 ;0) Station AH (g) AV (g) dmes (m) A 11,5457 100,8821 8,514 M B 34,9571 100,8789 8,561 12) Quelle est la hauteur de station de B si vous disposez des données suivantes : ST Hap (m) Hp (m) AH (g) AV (g) Dist. (m) 369,0438 101,8719 76,745 A->B 1,743 1,300 169,0440 298,1283 76,745 81,6491 98,6780 76,730 B->A ? 1,300 281,6495 301,3220 76,730 13) Sur base du schéma ci-dessous, calculez les cubatures pour la réalisation de ce projet. NB : Les niveaux indiqués en rouge correspondent aux niveaux du terrain naturel existant TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 50 ANNEXE 3 : DIAS SUR LA PHOTOGRAMMÉTRIE ET LA LASERGRAMMÉTRIE TOPOGRAPHIE – COPYRIGHT C. HUENAERTS ECAM 2020 PAGE 51