Chapitre 6 : Calcul Littéral PDF - Prépa Concours 2024-2025

Chapitre 6 : Calcul littéral Chapitre 6 : Calcul littéral 1. Expression littérale Définition Une expression littérale comprend une ou plusieurs lettres qui représentent des variables. Exemples : 3 a+ b et 4 x ²+6 x – 5 sont des expressions Propriété : simplific...

Chapitre 6 : Calcul littéral Chapitre 6 : Calcul littéral 1. Expression littérale Définition Une expression littérale comprend une ou plusieurs lettres qui représentent des variables. Exemples : 3 a+ b et 4 x ²+6 x – 5 sont des expressions Propriété : simplification d’écriture Pour « marquer » la priorité de la multiplication, le symbole « × » peut être omis entre 1 nombre et une lettre, entre un nombre ou une lettre et une parenthèse ou encore entre 2 parenthèses. Par contre, on ne l’enlève jamais entre deux nombres écrits en chiffres, car cela peut porter à confusion. 2 Exemples : on écrira donc : 3×a=3 a 4×x ²=4 x 3×( x +2)=3( x+ 2) ou encore (x−1)×(3 x+ 2)=( x−1)(3 x+ 2) Définition La valeur numérique d'une expression littérale s’obtient en remplaçant la ou les variables par leur valeur numérique. Exemples : pour a=– 6 et b=23 l’expression 3 a+ b est égale à 5. En effet, 3×(−6)+ 23=5 pour x=– 2 l’expression 4 x ²+6 x – 5 est égale à – 1. En effet, 2 4×(−2) + 6×(−2)−5=16−12−5=−1 Exercice type 1 : Voici un programme de calcul : 1. Exécute cet algorithme en choisissant 5 à l ‘étape 1. Quel résultat obtiens-tu ? 2. Exécute cet algorithme en choisissant 0 à l ‘étape 1. Quel résultat obtiens-tu ? 3. Si on note x le nombre de départ, exprime à l’aide d’une expression littérale le calcul numérique exécuté par l’algorithme. 4. Quel était le nombre de départ si le résultat final est 41 ? Prépa concours 2024-2025 1  Chapitre 6 : Calcul littéral 2. Développement. Définition Développer une expression, c'est transformer un produit defacteurs en somme de plusieurs termes. Propriété : simple et double distributivité k, a, b, c et d désignent des nombres k ( a+b)=k a+ k b et k ( a −b)=k a – k b (a +b)(c + d )=a c +a d +b c+b d Remarque : Dans les propriétés de simple et double distributivité données ci-dessus, à gauche du signe égal, on a la forme factorisée, à droite du égal, la forme développée. Illustrations : On distribue la multiplication par 24, c’est de la simple distributivité. Exemples : A = -3 (x – 2) B = 4 (x + 1) A = -3 × x – (-3) × 2 B=4×x+4×1 A = -3 x – (-6) B=4x+4 A = -3 x + 6 C = (4 x + 1)(3 – 2x) = (4 x + 1) (3 + (– 2x)) On se ramène à la propriété. C = (4 x) × 3 + (4 x) × (– 2x) + 1 × 3 + 1 × (– 2x) C = 12x - 8 x² + 3 – 2x On calcule C = - 8 x² + 10 x + 3 On réduit Exercice type 2 : Développer A=6(3 x +7) E=2+4 x −( x +3) B=4( 3 x −5) F =7(2+ x)−x (3 x−4) C=−2( x +3) G=(2 x+3)(4 x−1) D=5 x (2−4 x) H =( 8 x −5)(−2 x+ 4) Prépa concours 2024-2025 2  Chapitre 6 : Calcul littéral 3. Factorisation Définition Factoriser une expression, c'est transformer une somme de plusieurs termes en produit de facteurs. Propriété : k, a, b, c et d désignent des nombres k a +k b=k (a +b) et k a – k b=k (a −b) Remarque : Il faut bien comprendre que dans un sens on développe, dans l’autre on factorise… Exemples : Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun et le mettre en évidence A=2x+ 6 B = 5x - 5 A=2×x +2× 3 B=5×x-5×1 Attention à cette étape ! A = 2 ( x + 3) B = 5 ( x – 1) Remarque : Lorsqu’on réduit une expression littérale (« regroupement de termes », on utilise une factorisation. 2 x + 6 x = x (2 + 6) = 8 x Exercice type 3 : Factoriser les expressions suivantes : a. 2 x 2 −3 x=... c. 2 x 2 + x=... b. 2 x 2 +6 x=... d. x 2 −x=... Exercice type 4 : D2velopper et réduire les expressions suivantes : −2(−x +3)+ 2( x−5)=... 7−2( x −3)=... Prépa concours 2024-2025 3  Chapitre 6 : Calcul littéral 4. Les identités remarquables Propriété : a et b désignent des nombres 2 2 2 (a +b) =a + 2 ab+ b 2 2 2 (a−b) =a −2 ab+b 2 2 (a +b)(a−b)=a −b Remarque : ces formules sont soit à apprendre. En effet, dans le sens développement, on peut les retrouver en utilisant la double distributivité. Par contre, dans le sens factorisation, on ne peut pas faire sans… Exemples : (2 x +3)2=(2 x )2 +2×2 x×3+3 2=4 x 2+12 x+9 (4−5 x) 2=4 2−2×4×(5 x )+(5 x )2=16−40 x +25 x 2 (x +3)(x−3)= x 2−9 Exercice type 5 : Compléter le plus simplement possible pour obtenir des égalités a. ( x +...)2=...+...+ 4 b. x 2 −...+16=(...−...)2 c. x 2 −...=(...+5)(...−...) d. (2 x+...)2 =...+...+36 e....−9=(2 x+...)(...−...) Prépa concours 2024-2025 4