PDF: رياضيات 2-2 - الدوال, العمليات, الجذر التربيعي

‫رياضيات 🎩‬ ‫‪2-2‬‬ ‫الوحدة الأولى‬ ‫العمليات على الدوال‬ ‫العمليات الأساسية على الدوال ‪ :‬الجمع ‪ ،‬الطرح ‪ ،‬الضرب ‪ ،‬القسمة‬ ‫التقاطع ‪ :‬تقاطع مجموعتين هو مجموعة العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين‬ ‫رمز ال...

‫رياضيات 🎩‬ ‫‪2-2‬‬ ‫الوحدة الأولى‬ ‫العمليات على الدوال‬ ‫العمليات الأساسية على الدوال ‪ :‬الجمع ‪ ،‬الطرح ‪ ،‬الضرب ‪ ،‬القسمة‬ ‫التقاطع ‪ :‬تقاطع مجموعتين هو مجموعة العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين‬ ‫رمز التقاطع‬ ‫تركيب دالتين ‪ :‬هي إحدى الطرائق التي تستعمل لدمج دالتين ‪ ،‬وعند تركيب دالتين فإن‬ ‫قيم دالة منهما تستعمل لحساب قيم الدالة الأخرى‬ ‫‪ G‬دالتين وكان مدى ‪ G‬مجموعة جزئية من مجال ‪ F‬فإن يمكن إيجاد دالة التركيب بالشكل‬ ‫إذا كانت ‪F‬و‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪1‬‬  ‫🚨‬ ‫يمكن أن يكون تركيب دالتين غير معرف‬ ‫العالقات والدوال العكسية‬ ‫العالقة العكسية ‪ :‬هي مجموعة من الأزواج المرتبة ‪ ،‬يمكنك الحصول عليها عن طريق‬ ‫تبديل إحداثيات كل زوج مرتب في العالقة ‪ ،‬فيصبح مجال العالقة هو مدى العالقة‬ ‫العكسية لها ‪ ،‬ومداها هو مجال العالقة العكسية لها‬ ‫يعني الزبدة اعكس الامور‬ ‫العالقة العكسية ‪ :‬تكون كل من العالقتين عكسية لألخرى إذا وفقط إذا تحقق الشرط‬ ‫)‪ (A,B‬التالي كلما احتوت إحداهما على زوج مرتب‬ ‫)‪ (B.A‬واحتوت الأخرى على الزواج المرتب‬ ‫إن ما ينطبق على الأزواج المرتبة في العالقة والعالقة العكسية ‪ ،‬ينطبق أيضا على الأزواج‬ ‫المرتبة في الدالة ومعكوسها ‪ ،‬وإذا كان معكوس الدالة يمثل دالة أيضا فإنه يسمى دالة‬ ‫عكسية‬ ‫يرمز للدالة العكسية للدالة‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪2‬‬  ‫اختبار الخط الأفقي ‪ :‬إذا كان معكوس دالة يمثل دالة أيضا ‪ ،‬فإن الدالة الأصلية تكون دالة‬ ‫متباينة‬ ‫تذكر أنه يمكنك استعمال اختبار الخط الرأسي لمعرفة إذا كانت العالقة تمثل دالة أم لا‬ ‫ونفس الشيء مع اختبار الخط الافقي‬ ‫تكون كل ‪ g,f‬دالة عكسية لألخرى إذا وفقط كان تركيب كل منهما يساوي الدالة المحايدة‬ ‫من الدالتين‬ ‫دوال ومتباينات الجذر التربيعي‬ ‫إذا احتوت دالة على الجذر التربيعي لمتغير تسمى دالة الجذر التربيعي وهي نوع من أنواع‬ ‫الدالة الجذية‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪3‬‬  ‫يمكنك تمثيل دالة الجذر التربيعي بيانيا بتحديد القيم الصغرى لها‬ ‫حدود المجال والمدى تمثل إحداثيات نقطة بدء منحنى دالة الجذر التربيعي‬ ‫متباينة الجذر التربيعي ‪ :‬هي متباينة تحتوي الجذر التربيعي ‪ ،‬ويمكن تمثيلها بيانيا‬ ‫الجذر النوني‬ ‫لإيجاد الجذر التربيعي للعدد س يجب أن تجد العدد الذي مربعه يساوي س وبالمثل هي‬ ‫فإن العملية العكسية لرفع عدد لقوة‪n‬إيجاد الجذر النوني للعدد‬ ‫تعريف‬ ‫الجذر‬ ‫النوني‬ ‫🚨‬ ‫بعض الأعداد لها أكثر من جذر نوني حقيقي‬ ‫عندما يكون هناك أكثر من جذر ‪n‬عددا زوجيا فإن الجذر غير السالب يسمى الجذر الرئيس‬ ‫حقيقي ويكون‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪4‬‬  ‫عدد فرديا فهناك فقط جذر واحد وبناء على ذلك فال يوجد هناك جذر رئيس ولا يوجد حاجة‬ ‫إذا كان ‪ n‬إلى استعمال رمز القيمة المطلقة‬ ‫تذكر أن الأعداد الحقيقة التي لا يمكن كتابتها في صورة كسور عشرية منتهية أو دورية‬ ‫تسمى أعداد غير نسبية‬ ‫دليل الجذر‪ :‬يكون عدد زوجيا وأس ما تحت الجذر عدد زوجيا‪ ،‬وكان أس الناتج عددا فرديا يجب‬ ‫أن تجد القيمة المطلقة للناتج لتتأكد من أن الجواب ليس سالبا‬ ‫العمليات على العبارات الجذرية‬ ‫لإزالة الجذور من المقام أو الكسور تحت الجذر استعمل عملية تسمى إنطاق المقام‬ ‫كيف يعمل إنطاق المقام ‪ :‬اضرب البسط والمقام في مقدار بحيث تكون جميع أسس‬ ‫الثواتب والمتغير الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر مما يسهل إيجاد الجذر‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪5‬‬  ‫الدقيق‬ ‫لكي تكون العبارة الجذرية التي تتضمن جذورا في أبسط صورة يجب ألا يتضمن ما تحت‬ ‫الجذر عوامل ( غير العدد ‪ )1‬يمكن أن تكتب في صورة قوى نونية لعدد صحيح أو كثيرة حدود‬ ‫الجذور الدقيقة ‪ :‬يسهل إيجاد الجذور بصورة دقيقة عندما تكون جميع أسس الثوابت‬ ‫والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر‬ ‫مثال على الجذور الدقيقة‬ ‫تبسيط العبارات الجذرية ‪ :‬تكون العبارة الجذرية في أبسط صورة إذا تحققت الشروط الآتية‬ ‫تبسيط العبارات الجذرية ‪ :‬إذا كان دليل‪ n‬أصغر ما يمكن‬ ‫تبسيط العبارات الجذرية ‪ :‬إذا لم يتضمن ما تحت الجذر عوامل ( غير العدد ‪ )1‬يمكن أن تكتب‬ ‫على صورة قوى نونية لعدد صحيح أو لكثيرة حدود‬ ‫تبسيط العبارات الجذرية‪ :‬إذا لم يتضمن ما تحت الجذر كسورا‬ ‫تبسيط العبارات الجذرية ‪ :‬إذا لم توجد جذور في المقام‬ ‫🚨‬ ‫الجذور المتشابهة ‪ :‬أي يكون للجذور الدليل نفسه وما تحت الجذور المقادير‬ ‫نفسها‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫يمكنك أيضا ضرب الجذور باستعمال التوريع بالترتيب لضرب ثنائيتي الحد‬ ‫المرافق ‪ :‬حاصل ضرب عددين مترافقين هو عدد نسبي دائما‬ ‫يمكن استعمال المرافق لإنطاق المقام‬ ‫الأسس النسبية‬ ‫تعلم أن تربيع عدد غير سالب وإيجاد جذره التربيعي هما عمليتان عكسيتان‬ ‫يمكنك إيجاد قيم الأسس النسبية بافتراض أن عبارات الأسس النسبية يصح فيها ما يصح‬ ‫في عبارات الأسس الصحيحة‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪6‬‬  ‫القواعد التي تنطبق على الأسس الصحيحة السالبة تنطبق أيضا على الأسس النسبية‬ ‫السالبة‬ ‫تبسيط العبارات ‪ :‬خواص الأسس التي تعلمتها سابقا تنطبق أيضا على الأسس النسبية‬ ‫لذا اكتب كل عبارة على صورة أسس موجبة واحرص على أن تكون الأسس في مقام الكسر‬ ‫أعداد صحيحة موجبة لذلك انت في حاجة إلى إنطاق المقام أحيانا‬ ‫عند تبسيط عبارة جذرية اجعل دليل الجذر أقل ما يمكن ‪ ،‬وتذكر أن استعمال الأسس النسبية‬ ‫يسهل هذه العملية‬ ‫العبارات الجذرية والأسية ‪ :‬اكتب العبارة بعد تبسيطها ( الناتج النهائي) على الصورة التي‬ ‫كان عليها قبل التبسيط بمعنى لو بدأت بعبارة جذرية اكتب الناتج على صورة جذرية وإذا‬ ‫بدأت بعبارة تتضمن أسسا نسبية فاكتب الناتج النهائي على الصورة الأسية‬ ‫تكون العبارات التي تتضمن أسسا نسبية في أبسط صورة إذا تحققت الشروط الآتية ‪ :‬جميع‬ ‫الأسس غير سالبة ‪ ،‬جميع الأسس في المقام هي أعداد صحيحة موجبة ‪ ،‬لا يتضمن أي من‬ ‫البسط أو المقام أو كليهما كسرا ‪ ،‬دليل الجذر أو الجذور المبتقية فيها أصغر ما يمكن‬ ‫حل المعادلات والمتباينات الجذرية‬ ‫المعادلات الجذرية ‪ :‬تحتوي على عبارات جذرية يكون المتغير فيها تحت الجذر ويمكنك حلها‬ ‫عن طريق رفع طرفي المعادلة لأس معين‬ ‫حل المعادلات الجذرية ‪ :‬اجعل الجذر طرف واحد المعادلة ‪ ،‬ارفع طرفي المعادلة لقوة‬ ‫مساوية لدليل الجذر ‪ ،‬وذلك للتخلص من الجذر ‪ ،‬حل معادلة كثيرة الحدود الناتجة‬ ‫حال دخيال ‪ :‬يحدث عند بعض المعادلات الجذرية ‪ ،‬قد لا يحقق الحل المعادلة الأصلية‬ ‫للتخلص من الجذر التربيعي ارفع العبارة الجذرية لألس ‪ ، 2‬وللتخلص من الجذر التكعيبي ارفع‬ ‫العبارة الجذرية لألس ‪3‬‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪7‬‬  ‫للتخلص من الجذر النوني لأي عبارة ارفعه لألس ‪n‬‬ ‫المتباينة الجذرية ‪ :‬هي متباينة تحتوي عبارات جذرية‪ ،‬ويكون المتغير فيها تحت الجذر‬ ‫حل المتباينات الجذرية ‪ :‬إذا كان دليل الجذر عددا زوجيا ‪ ،‬فعين قيم المتغير التي لا تجعل ما‬ ‫‪ ،‬تحت الجذر سالبا‬ ‫المتباينات الجذرية‪ :‬إذا كان طرفا المتباينة موجبين فإنه يمكنك تربيع الطرفين مع بقاء الرمز‬ ‫الوحدة الثانية‬ ‫ضرب العبارات النسبية وقسمتها‬ ‫تسمى النسبة بين كثيرتي حدود ‪ :‬عبارة نسبية‬ ‫بما أن المتغيرات في الجبر تمثل أعداد حقيقة في أغلب الأحيان ‪،‬فإن العمليات على العبارات‬ ‫النسبية تشبه العمليات على الأعداد النسبية ‪ :‬عند تبسيط العبارات النسبية يتم قسمة كل‬ ‫من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر‬ ‫تكون العبارة النسبية غير معرفة عند قيم المتغير التي تجعل مقامها صفرا‬ ‫في بعض الأحيان يمكنك إخراج العدد ‪ 1-‬كعامل مشترك من البسط أو المقام للمساعدة في‬ ‫تبسيط العبارة النسبية‬ ‫تستعمل طريقة ضرب الكسور أو قسمتها في ضرب العبارات النسبية أو قسمتها فعندما‬ ‫تضرب كسرين فإنك تضرب البسط في البسط والمقام في المقام ‪ ،‬أما عند قسمة كسرين‬ ‫فإنك تضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه أو تضرب المقسوم في النظير الضربي‬ ‫للمقسوم عليه‬ ‫ضرب العبارات النسبية ‪ :‬لضرب عبارتين نسبيتين اضرب البسط في البسط والمقام في‬ ‫المقام‬ ‫قسمة العبارات النسبية ‪ :‬لقسمة عبارة نسبية على أخرى اضرب المقسوم في مقلوب‬ ‫المقسوم عليه‬ ‫في بعض الأحيان عليك أن تحلل البسط أو المقام أو كليهما قبل تبسيط ناتج ضرب عبارات‬ ‫نسبية أو قسمتها‬ ‫تحليل كثيرات الحدود ‪ :‬عند تبسيط عبارات نسبية قد تظهر عوامل إحدي كثيرتي الحدود في‬ ‫كثيرة الحدود الأخرى‬ ‫الكسر المركب ‪ :‬يحوي بسط ومقامه أو أحدهما كسورا‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪8‬‬  ‫لتبسيط كسر مركب اكتبه أولا على صورة قسمة عبارتين‬ ‫مثال على الكسر المركب‬ ‫جمع العبارات النسبية وطرحها‬ ‫عند جمع عبارتين نسبيتين بمقامين مختلفين أو طرحهما يجب أن تجد أولا المضاعف‬ ‫المشترك الأصغر‬ ‫ولإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو لكثيرتي حدود أو أكثر يجب أن تحلل كال‬ ‫منهما إلى عواملها الأولية ثم تضرب جميع العوامل التي لها الأس الأكبر‬ ‫جمع العبارات النسبية وطرحها ‪ :‬عند جمع عبارتين نسبيتين أو طرحهما يجب أن نوحد‬ ‫مقاميهما ثماما‬ ‫لجمع العبارات النسبية أو طرحها أعد كتابة العبارات بحيث تكون مقاماتها متساوية ثم‬ ‫أجمع وأطرح‬ ‫يستعمل المضاعف المتشرك الأصغر لجمع أو طرح عبارات نسبية مقاماتها كثيرات حدود‬ ‫من طرائق تبسيط الكسور المركبة تبسيط كل من البسط والمقام على حدة ثم تبسيط‬ ‫العبارة الناتجة‬ ‫حدود غير معرفة ‪ :‬تذكر أن هناك قيودا على المتغيرات في المقام‬ ‫وهناك طريقة أخرى لتبسيط الكسور المركبة وهي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر‬ ‫لمقامات البسط والمقام ثم اختصارها بضرب كل من بسط العبارة ومقامها في المضاعف‬ ‫المتشرك الأصغر‬ ‫تمثيل دوال المقلوب بيانيا‬ ‫خط التقارب لدالة ‪ :‬هو مستقيم يتقرب منه التمثيل البياني للدالة ولدالة المقلوب‬ ‫خط تقارب رأسي ‪:‬عند القيمة المستثناة من مجالها‬ ‫خط تقارب أفقي ‪ :‬يبين سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪9‬‬  ‫مجال دالة المقلوب هو مجموعة القيم التي تكون الدالة عندها معرفة‬ ‫‪ x‬قد لا تكون بعض قيم‬ ‫في دالة المقلوب منطقية‬ ‫‪ x‬خطوات التقارب ‪ :‬يبين خط التقارب الرأسي قيمة‬ ‫التي تكون الدالة عندها غير معرفة أما خط التقارب الأفقي فيبين سلوك طرفي التمثيل‬ ‫البياني‬ ‫تمثيل الدوال النسبية بيانيا‬ ‫لتمثيل الدالة النسبية بيانيا يكون من المفيد تحديد أصفارها وخطوط التقارب لها‬ ‫‪ x‬فأصفار الدالة النسبية هي جميع‬ ‫التي يكون عندها‬ ‫‪a(x)=0‬‬ ‫يمكنك استعمال خطوط التقارب لتسهيل تمثيل الدالة النسبية بيانيا ويمكنك استعمالها‬ ‫لتوضيح عدد الأجزاء التي ينقسم إليها التمثيل البياني للدالة فإذا كان هناك خط تقارب‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪10‬‬  ‫رأسي واحد فإن التمثيل ينقسم إلى فرعين أما إذا كان هناك خط تقارب فإنه ينقسم إلى‬ ‫ثالثة أفرع‬ ‫نقط انفصال ‪ :‬وتظهر هذه النقط على شكل فجوات في التمثيل البياني للدالة ‪ ،‬لأن الدالة‬ ‫تكون غير معرفة عند تلك النقاط ومعرفة حولها‬ ‫فجوات التمثيل البياني ‪ :‬تذكر أن وجود مشترك بين البسط والمقام يدل على وجود فجوة‬ ‫في التمثيل البياني للدالة‬ ‫دوال التغير‬ ‫تغيرا طرديا ‪ :‬عندما تكون النسبية بين كميتين متغيرتين ثابتة‬ ‫التغير المشترك ‪ :‬يصنف بعض الرياضيين التغير المشترك بوصفه حالة خاصة من التغير‬ ‫المركب‬ ‫التغير المشترك ‪ :‬يحدث عندما تتغير كمية ما طرديا مع حاصل ضرب كميتين أخريين أو أكثر‬ ‫التغير العكسي ‪ :‬فإذا تغيرت الكميتان عكسيا فحاصل ضربهما يساوي ثابتا هو ‪K‬‬ ‫تتغير كميتان موجبتان أو سالبتان معا عكسيا إذا كانت إحداهما تزيد بنقصان الأخرى وتتغير‬ ‫كميتان إحداهما موجبة والأخرى سالبة عكسيا إذا كانت إحداهما تزيد بزيادة الأخرى‬ ‫التغير المركب ‪ :‬يحدث عندما تتغير كمية ما طرديا أو عكسيا أو كليهما معا مع كميتين‬ ‫أخريين أو أكثر‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪11‬‬  ‫حل المعادلات والمتباينات النسبية‬ ‫تسمى المعادلة التي تحتوي على عبارة نسبية أو أكثر معادلة نسبية‬ ‫ومن الممكن الحصول على حلول دخيلة عند ضرب طرفي المعادلة النسبية في القاسم‬ ‫المشترك الأصغر لهما‬ ‫الحل الدخيل ‪ :‬هو الحل الذي لا يحقق المعادلة الأصلية‬ ‫إذا نتج عن تعويض أحد الحلول صفر في أحد مقامات المعادلة وجب أستثناء هذا الحل‬ ‫مسائل المسافة ‪ :‬عندما تتضمن مسائل المسافة الذهاب والعودة فإن المسافة في‬ ‫الذهاب تساوي المسافة في العودة‬ ‫المتباينات النسبية ‪ :‬هي المتباينات التي تحتوي على عبارة نسبية أو أكثر‬ ‫تقسم خطط الأعداد ‪ :‬من الضروري استعمال القيم المستثناة وحلول المعادلة المتربطة‬ ‫جميعها عند تقسيم خط الأعداد إلى فترات‬ ‫الوحدة الثالثة‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪12‬‬  ‫المتتابعات بوصفها دوال‬ ‫المتتابعة ‪ :‬مجموعة من الأعداد مرتبة في نمط محدد أو ترتيب معين ويسمى كل عدد في‬ ‫المتتابعة حدا‬ ‫ويمكن للمتابعة أن تكون منتهية أي لها عدد محدد من الحدود أو غير منتهية ‪ :‬حيث تستمر‬ ‫إلى مالا نهاية‬ ‫يحدد كل حد في المتتابعة الحسابية ‪ :‬بإضافة قيمة ثابتة إلى الحد الذي يسبقه مباشرة‬ ‫وتسمى القيمة الثابتة الفرق المشترك أو الأساس‬ ‫إذا كان لحدود فرق مشترك ( ثابت) حيث يزيد كل حد على الحد الذي يسبقه بقيمة ثابتة‬ ‫يسمى متتابعة حسابية‬ ‫أساس المتتابعة الحسابية ‪ :‬هو الفرق بين كل حدين متتالين ابتداء من الحد الثاني‬ ‫لاحظ عند تمثيل حدود المتتابعة الحسابية تقع على مستقيم واحد ‪ ،‬مما يعني أن المتتابعة‬ ‫الحسابية هي دالة خطية مجالها أو متغيرها المستقل هو رقم الحد ومداها أو متغيرها‬ ‫التابع هو قيمة الحد نفسه والميل هو أساسها الذي هو الفرق الثابت‬ ‫الميل عند تمثيل المتتابعة الحسابية هو الفرق الثابت بين الحدود‬ ‫المتتابعة الهندسية ‪ :‬نوع آخر من المتتابعات ‪ ،‬ويمك الحصول على أي حد من حدودها بضرب‬ ‫الحد السابق له مباشرة في عدد ثابت‬ ‫العدد الثابت في المتتابعة الهندسية يسمى أساس المتتابعة الهندسية أو النسبة‬ ‫المشتركة للمتتابعة‬ ‫النسب ‪ :‬إذا وجدت نسبة أحد الحدود إلى الحد السابق له فأوجد بقية النسب بالطريقة‬ ‫نفسها‬ ‫أساس المتتابعة الهندسية ‪ :‬هو النسبة بين كل حدين متتالين الحد قسمة سابقه من‬ ‫ابتداء من الحد الثاني‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪13‬‬  ‫التمثيل البياني في المتتابعة الهندسية تمثيل أسي‬ ‫التمثيل البياني للمتتابعة الحسابية تمثيل خطي‬ ‫مجموعة‪ x‬الدالة الأسية ‪ :‬هي متصلة ومتباينة ومجالها مجموعة الأعداد الحقيقة ومداها‬ ‫الأعداد الحقيقة الموجبة ولها خط تقارب أفقي وهو المحور‬ ‫ويمر منحني الدالة الأسية بالنقطة (‪)0.1‬دائما‬ ‫يمكنك استعمال خصائص المتتابعات الحسابية والمتتابعات الهندسية في تصنيف‬ ‫المتتابعات‬ ‫المتتابعات والمتسلسالت الحسابية‬ ‫الحد النوني في المتتابعة الحسابية ‪ :‬تستعمل الصيغة الآتية للتعبير عن الحد النوني‬ ‫التحقق من صحة الحل ‪ :‬تحقق من صحة الحل باستعمال صيغة الحد النوني التي أوجدتها‬ ‫لحساب الحدود الثالثة الأولى في المتتابعة‬ ‫أساس المتتابعة الحسابية ‪ :‬لا تخطئ في تحديد إشارة أساس المتتابعة الحسابية وتحقق‬ ‫دائما من أن صيغة الحد النوني التي تعطي حدود المتتابعة جميعها‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪14‬‬  ‫الوسط الحسابي ‪ :‬هو معدل عددين أو أكثر‬ ‫الأوساط الحسابية ‪ :‬هي الحدود الواقعية بين أي حدين غير متتالين في متتابعة حسابية‬ ‫أوساط حسابية ‪ :‬الحدود الواقعة بين حدان غير متتالين‬ ‫المتسلسلة ‪ :‬يمكنك إيجادها بوضح إشارة جمع بين حدود المتتابعة لذا فالمتسلسلة‬ ‫الحسابية هي مجموعة حدود متتابعة حسابية‬ ‫ويسمى ناتج جمع الحدود الأولى من المتسلسلة المجموع الجزئي‬ ‫🚨‬ ‫يمكنك إستعمال صيغة المجموع في إيجاد حدود المتتابعة الحسابية‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪15‬‬  ‫المتتابعات والمتسلسالت الهندسية‬ ‫الحد النوني في المتتابعة الحسابية ‪ :‬تستعمل الصيغة الآتية للتعبير عن الحد النوني في‬ ‫متتابعة حسابية‬ ‫إذا علمت بعض حدود المتتابعة الهندسية فإنه يمكنك إيجاد صيغة الحد النوني لها‬ ‫الأوساط الهندسية ‪ :‬هي الحدود الواقعة بين حدين غير متتالين في متتابعة هندسية‬ ‫ويمكنك استعمال أساس المتتابعة الهندسية لإيجاد الأوساط الهندسية‬ ‫المتسلسلة الهندسية ‪ :‬يمكنك الحصول عليها عن طريق وضع إشارة جمع بين حدود‬ ‫المتتابعة الهندسية‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪16‬‬  ‫🚨‬ ‫يمكنك استعمال صيغة مجموع حدود المتسلسلة الهندسية لإيجاد قيمة حد‬ ‫معين من حدود المتسلسلة‬ ‫المتسلسالت الهندسية الالنهائية‬ ‫المتسلسلة الهندسية التي لها عدد لا نهائي من الحدود تسمى المتسلسلة الهندسية‬ ‫الالنهائية‬ ‫المجموع الجزئي لمتسلسلة لا نهائية ‪ :‬هو مجموع عدد محدد من حدودها وليس مجموع كل‬ ‫حدودها‬ ‫والمتسلسلة الهندسية الالنهائية تكون متقاربة عندما تقترب مجاميعها الجزئية من عدد‬ ‫ثابت كلما زاد عدد الحدود‬ ‫وعندما لا تقترب هذه المجاميع من عدد ثابت مع زيادة قيمة عدد الحدول فإن المتسلسلة‬ ‫الالنهائية تكون متباعدة‬ ‫مجموع محيطات المثلث المكونة للشكل تعطى بالمتسلسلة الالنهائية‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪18‬‬  ‫🚨‬ ‫عندما تكون المتسلسلة الهندسية الالنهائية متباعدة فإنه لا يوجد مجموع‬ ‫لحدود المتسلسلة‬ ‫التقارب والتباعد‬ ‫تتقارب المتسلسلة الهندسية الالنهائية عندما تكون القيمة المطلقة لأي حد فيها أقل من‬ ‫القيمة المطلقة للحد السابق له ‪ ،‬وتكون المتسلسلة الحسابية الالنهائية متباعدة دائما‬ ‫يمكنك استعمال رموز المجموع لكتابة المتسلسالت الهندسية الالنهائية ‪ ،‬وهي التي‬ ‫تستمر حدودها إلى مالا نهاية أي أنها تستمر دون توقف‬ ‫الكسور الدورية ‪ :‬الكسر العشري الدوري هو عدد نسبي ‪ ،‬ويمكن كتابته في صورة كسر‬ ‫اعتيادي‬ ‫الكسور الدورية ‪ :‬الكسر العشري الدوري هو مجموع متسلسلة هندسية لانهائية ويمكن‬ ‫استعمال صيغة مجموع المتسلسلة الهندسة الالنهائية لتحويل هذا الكسر العشري‬ ‫الدوري إلى كسر اعتيادي‬ ‫نظرية ذات الحدين‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪19‬‬  ‫ينسب مثلث باسكال إلى العالم الفرنسي بليز باسكال على الرغم من قيام العديد من‬ ‫العلماء بدراسته قبله في بالد المسلمين والهند وبالد فارس والصين وإيطاليا‬ ‫يتكون المثلث من صفوف يكون بداية كل صف فيه ونهايته العدد ‪ ، 1‬وكل عدد من الأعداد‬ ‫الأخرى في الصف ويكون ناتج جمع العددين اللذين فوقه على اليمين واليسار مباشرة‬ ‫أبو بكر محمد بن الحسن الكرخي ‪ :‬عالم رياضي مسلم وهو أول من أوجد المثلث المشهور‬ ‫الذي يسمى الأن مثلث باسكال‬ ‫التوافيق ‪ :‬يسمى عدد طرق التشكيل لمجموعة عناصر لي لترتبيها أهمية بالتوافيق‬ ‫نظرية ذات الحدين ‪ :‬يمكن استعمال نظرية ذات الحدين ‪ :‬لإيجاد مفكوك ذات الحدين بدلا‬ ‫من استعمال مثلث باسكال‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪20‬‬  ‫🚨‬ ‫عندما يكون معامال الحدين في ذات الحدين يختلف عن العدد ‪ 1‬فإن المعامالت لن‬ ‫تكون متماثلة وفي مثل هذه الحالة استعلم نظرية ذات الحدين‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪21‬‬  ‫🚨‬ ‫نظرية ذات الحدين والاحتمال ‪ :‬يمكنك استعمال نظرية ذات الحدين في حساب‬ ‫نتائج التجارب المستقلة المتكررة‬ ‫البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي‬ ‫مبدأ الاستقراء الرياضي ‪ :‬هو أسلوب لبرهنة الجمل الرياضية المتعلقة بالأعداد الطبيعية‬ ‫كما في برهان المجموع فإن مبدأ الاستقراء الرياضيا يمكنك استعماله لبرهنة قابلية‬ ‫القسمة أيضا‬ ‫المثال المضاد ‪ :‬هو مثال يناقض الفرضية‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪22‬‬  ‫الأمثلة المضادة ‪ :‬يمكنك إثبات خطاء جملة رياضية من خالل مبدأ الاستقراء الرياضي‬ ‫وأسهل طريقة لعمل ذلك هي إيجاد مثال تكون عنده الجملة الرياضية خاطئة‬ ‫رياضيات ‪2-2‬‬ ‫‪23‬‬