العمليات على الدوال والعلاقات العكسية

بالتأكيد ، إليك ملاحظات الدراسة التفصيلية:

العمليات على الدوال

• تشمل العمليات الأساسية على الدوال: الجمع والطرح والضرب والقسمة.
• تقاطع مجموعتين هو مجموعة العناصر المشتركة بينهما.
• يرمز لعملية التقاطع بالرمز ∩.
• تركيب دالتين هو طريقة لدمج دالتين، حيث تستخدم قيم دالة لحساب قيم الدالة الأخرى.
• إذا كان مدى الدالة g جزءًا من مجال الدالة f، فإنه يمكن إيجاد دالة التركيب f[g(x)].

العلاقات والدوال العكسية

• العلاقة العكسية هي مجموعة الأزواج المرتبة التي يتم الحصول عليها بتبديل إحداثيات كل زوج مرتب في العلاقة الأصلية.
• مجال العلاقة الأصلية يصبح مدى العلاقة العكسية، ومدى العلاقة الأصلية يصبح مجال العلاقة العكسية.
• تكون العلاقتان عكسيتين لبعضهما البعض إذا تحقق الشرط التالي: كلما احتوت إحداهما على زوج مرتب (A, B)، فإن الأخرى تحتوي على الزوج المرتب (B, A).
• إذا كان معكوس الدالة يمثل دالة أيضًا، فإنه يسمى دالة عكسية ويرمز له ب f⁻¹(x).

اختبار الخط الأفقي والدوال المتباينة

• إذا كان معكوس الدالة يمثل دالة، فإن الدالة الأصلية تكون متباينة.
• يمكن استعمال اختبار الخط الرأسي لمعرفة إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا، وبالمثل تستخدم اختبار الخط الأفقي.
• لإيجاد معكوس الدالة، يتم التبديل بين x و y في قاعدة الدالة.
• تكون الدالتان f و g عكسيتين لبعضهما البعض إذا كان تركيبهما (f∘g)(x) = (g∘f)(x) = x، أي الدالة المحايدة.

دوال ومتباينات الجذر التربيعي

• دالة الجذر التربيعي هي دالة تحتوي على الجذر التربيعي لمتغير وهي نوع من أنواع الدالة الجذرية.
• يمكن تمثيل دالة الجذر التربيعي بيانيًا بتحديد القيم الصغرى لها.
• تُستخدم حدود المجال والمدى لتحديد إحداثيات نقطة بدء منحنى دالة الجذر التربيعي.
• متباينة الجذر التربيعي هي متباينة تحتوي على الجذر التربيعي، ويمكن تمثيلها بيانيًا.
• لإيجاد الجذر النوني للعدد س يجب إيجاد العدد الذي مربعه يساوي س.
• الجذر النوني هو العملية العكسية لرفع عدد لقوة n.

تعريف الجذر النوني

• بشكل عام إذا كان b^n = a ف b هو الجذر النوني ل a
• يرمز للجذر النوني ب ⁿ√
• بعض الأعداد لها أكثر من جذر نوني حقيقي.
• عندما يكون هناك أكثر من جذر ذي أس زوجي، فإن الجذر غير السالب يسمى الجذر الرئيس ويكون حقيقيًا.

العمليات على العبارات الجذرية

• خاصية الضرب: √a * √b = √a.b
• خاصية القسمة: √a / √b = √(a/b)
• لإزالة الجذور من المقام أو الكسور تحت الجذر، تُستخدم عملية تسمى إنطاق المقام بضرب البسط والمقام في مقدار بحيث تكون جميع أسس الثوابت والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر.

تبسيط العبارات الجذرية

• يجب ألا تتضمن العبارة الجذرية التي تتضمن جذورًا عوامل يمكن كتابتها في صورة قوى لعدد صحيح.
• يسهل إيجاد الجذور عندما تكون جميع أسس الثوابت والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر.
• يجب أن يكون دليل الجذر أصغر ما يمكن.
• يجب ألا تتضمن العبارة ما تحت الجذر كسورًا.
• يجب ألا توجد جذور في المقام.

الجذور المتشابهة

• تكون الجذور متشابهة إذا كان لها الدليل نفسه وما تحت الجذر هو المقدار نفسه.
• يمكن ضرب الجذور باستعمال التوزيع لضرب ثنائيتي الحد.
• المرافق هو حاصل ضرب عددين مترافقين وهو دائمًا عدد نسبي ويمكن استعمال المرافق لإنطاق المقام.

الأسس النسبية

• تربيع عدد غير سالب وإيجاد جذره التربيعي هما عمليتان عكسيتان.
• يمكن إيجاد قيم الأسس النسبية بافتراض أن عبارات الأسس النسبية يصح فيها ما يصح في عبارات الأسس الصحيحة.

معادلات ومتباينات الجذر

• المعادلة الجذرية: هي معادلة تحتوي على عبارات جذرية يكون المتغير فيها تحت الجذر.
• لحل المعادلات الجذرية:
• اجعل الجذر طرفا واحد المعادلة
• ارفع طرفي المعادلة لقوة مساوية لدليل الجذر للتخلص من الجذر
• حل معادلة كثيرة الحدود الناتجة

متباينات نسبية

• إذا كان دليل الجذر عددا زوجيا، فعين قيم المتغير التي لا تجعل الجذر سالبا.
• إذا كان طرفا لمتباينة موجبين، فإنه يمكنك تربيع الطرفين مع بقاء الرمز.

ضرب العبارات النسبية وقسمتها

• تسمى النسبة بين كثيرتي حدود بالعبارة النسبية.

• عند تبسيط العبارات النسبية يتم قسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر.
  

• تكون العبارة النسبية غير معرفة عند قيم المتغير التي تجعل مقامها صفرا.
• في بعض الأحيان يمكنك إخراج العدد 1- كعامل مشترك من البسط أو المقام للمساعدة في تبسيط العبارة النسبية.

ضرب العبارات النسبية وقسمتها

• اضرب كسرين فإنك تضرب البسط في البسط والمقام في المقام
• عند قسمة كسرين فإنك تضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه
• لضرب عبارتين نسبيتين اضرب البسط في البسط والمقام في المقام.
• لقسمة عبارة نسبية على أخرى اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه

جمع العبارات النسبية وطرحها

• لجمع أو طرح عبارتين نسبيتين يجب أن توحد المقامات ثم تجمع أو تطرح.

• المضاعف المشترك الأصغر لجمع أو طرح عبارات نسبية مقاماتها كثيرات حدود.
  

• حدود غير المعرفة هي القيود على المتغيرات في المقام.
• هناك طريقة لوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات البسط والمقام ثم اختصار العبارة.

تمثيل دوال المقلوب بيانيا

• خط التقارب لدالة هو مستقيم يتقرب منه التمثيل البياني للدالة
• خط التقارب الرأسي: عند القيمة المستثناة من مجالها
• خط التقارب الأفقي: يبين سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة

مجال دالة المقلوب

• مجال دالة المقلوب هو مجموعة القيم التي تكون الدالة عندها مُعرفة.
• خط التقارب الرأسي يحدد قيمة تكون الدالة عندها غير معرفة.
• خط التقارب الأفقي يحدد سلوك طرفي التمثيل البياني
• يستفاد من خطوط التقارب في تمثيل الدالة النسبية بيانيا

القيمة المطلقة

• لتمثيل الدالة النسبية بيانيا يكون من المفيد تحديد أصفارها وخطوط التقارب لها
• أصفار الدالة النسبية هي جميع التي يكون عندها a(x)=0
• تتقارب المتسلسلة الهندسية اللانهائية عندما تكون القيمة المطلقة لأي حد فيها أقل من القيمة المطلقة للحد السابق له

الدوال المركبة

• يَصنف بعض الرياضيين التغير المُشترك بوصفه حالة خاصةً من التغير المُرَكب
• التغير المشترك: حدوث تغير في كمية طرديًا مع حاصل ضرب كميتين أخريين أو أكثر.
• التغير العكسي : إذا تغيرت الكميتان عكسيًا فحاصل ضربهما يساوي ثابتًا هو K
• إذا كات إحداهما تزيد بنقصان الأخرى وتتغير كميتان إحداهما موجبة والأخرى سالبة عكسيًا إذا كانت إحداهما تزيد بزيادة الأخرى
• التغير المركب: عندا تتغير كمية ما طردًيا أو عكسيًا أو كليهما مع كميتين أخريين أو أكثر

المعادلات و المتباينات النسبة

• تُسمي المعادلة التي تحتوي على عبارة نسبية أو أكثر معادلة نسبية
• ويمكن الحصول على حلول دخيلة عند ضرب طرفي المعادلة النسبية في القاسم المشترك الأصغر لهما
• الحل الدخيل : هو الحل لا الذي يحقق المعادلة الأصلية

أتمنى أن تساعدك!