كتاب الرياضيات لطلبة إدارة اﻷعمال PDF
Document Details
Uploaded by ProfuseGravity7101
Qassim University
2021
Alaaeddin Moussa, Lama Alhakim
Tags
Summary
هذا الكتاب يتناول دروس الرياضيات للطلاب في كليات إدارة الأعمال. يتضمن الكتاب موضوعات مثل الدوال والانحدارات والاشتقاقات ، ومخصص لطلبة الجامعات. تم تحديثه من الطبعة الأولى، مع التركيز على فهم أفضل للمفاهيم الرياضية.
Full Transcript
See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/353827484 اﻟﻤﻮاﻛﺐ ﻓﻲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻜﻠﻴﺎت إدارة اﻷﻋﻤﺎل Book · August 2021 CITATIONS READS 0...
See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/353827484 اﻟﻤﻮاﻛﺐ ﻓﻲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻜﻠﻴﺎت إدارة اﻷﻋﻤﺎل Book · August 2021 CITATIONS READS 0 2,126 2 authors: Alaaeddin Moussa Lama Alhakim Qassim University Qassim University 22 PUBLICATIONS 138 CITATIONS 21 PUBLICATIONS 109 CITATIONS SEE PROFILE SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Alaaeddin Moussa on 16 January 2024. The user has requested enhancement of the downloaded file. املواكب يف الرياضيات للكيات إدارة األعمال (نسخة جتريبية ،الفصل )452 د /لىم عبد العزيز احلكيم د/عالء ادلين أمني موىس قال رسول اهلل ﷺ ْ َ َ َ َ ْ َ َ ُ َ َ ََّ َ ْ َ َ َ ْ َ ْ ْ َ ََّ َ ُ َ َ َ َ ُ ْ َ َ َ ْ َ َ ت الساعة و ِِف ي ِد أح ِدكم ف ِسيلة ،فإ ِ ِن استطاع أن َل تقوم حَت يغ ِرسها فليغ ِرسها) (إِن قام ِ ()1 حديث صحيح ( )1الراوي :أنس بن مالك – املحدث :األبلاين – املصدر :صحيح األدب املفرد – الصفحة أو الرقم.371 : املحتويات الفصل األول :ادلوال 1 تمهيد ............................................................................................................................... 1-1 3 انلطاق واملدى واملنحين ابلياين لدلالة ................................................................................. 2-1 8 فحص اخلط العمودي ........................................................................................................ 3-1 9 ادلوال اليت سنتعامل معها.................................................................................................. 4-1 16 تمارين (....................................................................................................................... )1 5-1 17 الفصل اثلاين :انلهايات 25 تمهيد ................................................................................................................................ 1-2 25 انلهاية عند نقطة ............................................................................................................... 2-2 32 اتلوسيع األول ملفهوم انلهاية ............................................................................................... 3-2 34 اتلوسيع اثلاين ملفهوم انلهاية ............................................................................................... 4-2 39 تمارين (....................................................................................................................... )2 5-2 الفصل اثلالث :اَلتصال 47 تمهيد................................................................................................................................ 1-3 47 اتصال ادلالة عند نقطة ...................................................................................................... 2-3 52 اتصال ادلالة ىلع فرتة......................................................................................................... 3-3 54 تمارين (....................................................................................................................... )3 4-3 الفصل الرابع :اَلشتقاق 61 تمهيد ................................................................................................................................ 1-4 61 متوسط معدل تغري ادلالة ................................................................................................... 2-4 63 املعدل االين تلغري ادلالة (تعريف االشتقاق) ....................................................................... 3-4 64 خواص وقواعد االشتقاق ................................................................................................... 4-4 70 املشتقة من املرتبة اثلانية ................................................................................................... 5-4 71 تمارين (....................................................................................................................... )4 6-4 الفصل اخلامس :تطبيقات اَلشتقاق 77 تمهيد ................................................................................................................................. 1-5 77 قاعدة لوبيتال..................................................................................................................... 2-5 79 حساب ميل املماس ملنحين ادلالة يف نقطة منه .................................................................... 3-5 80 دراسة تغريات ادلوال.......................................................................................................... 4-5 93 تمارين (........................................................................................................................ )5 5-5 الفصل السادس :اتلطبيقات اَلقتصادية –اتلحليل احلدي 101 تمهيد ................................................................................................................................. 1-6 101 ادلوال االقتصادية الشهرية.................................................................................................. 2-6 102 اتلقريبات الشائعة دلوال اتللكفة واإليراد واألرباح احلدية.................................................. 3-6 103 دراسة أمثلية ادلوال االقتصادية......................................................................................... 4-6 106 تمارين (........................................................................................................................ )6 5-6 الفصل السابع :اتلاكمل 111 تمهيد................................................................................................................................. 1-7 111 اتلاكمل غري املحدد ............................................................................................................ 2-7 112 القواعد األساسية حلساب اتلاكمل غري املحدد وبعض خواصه............................................ 3-7 117 القواعد العامة حلساب اتلاكمل غري املحدد........................................................................ 4-7 121 طريقة اتلجزئة حلساب اتلاكمل غري املحدد........................................................................ 5-7 123 اتلاكمل املحدد ................................................................................................................... 6-7 126 حساب املساحة................................................................................................................. 7-7 131 تمارين (........................................................................................................................ )7 8-7 الفصل اثلامن :ادلوال متعددة املتغريات 141 تمهيد ................................................................................................................................. 1-8 142 قيمة ادلالة متعددة املتغريات عند نقطة معطاة.................................................................... 2-8 143 املشتقات اجلزئية حىت املرتبة اثلانية لدلوال متعددة املتغريات............................................. 3-8 145 تمارين (........................................................................................................................ )8 4-8 149 قائمة بأهم املراجع العلمية ........................................................................................................... مقدمة اكن صباح اثلامن من مارس لعام ،2020ذلك ايلوم اذلي قلب حياتنا رأسا ىلع عقب.. حيث وجدنا أنفسنا يف ذلك الصباح وقد جردنا من ادواتنا كمدرسني..وأسلحتنا كمناضلني يف ساحات العلم واتلعليم.. حيث ال أقالم جتدي وال سبورات تنفع..فلم يعد هناك قااعت وال طالب..واختىف ذلك الضجيج احلبيب يف الردهات واملمرات قبيل اثلامنة بقليل..ليسود الصمت املطبق.. ترجتف الرموز الرياضية يف قلق وخوف..كيف أصل إيلهم..ومن ييع من أكون؟؟ ومعها تلك الغصة األيلمة من أين نبدأ..وحنن اذلين ال نعرف أداة إال القلم..وال سالح نلا سواه.. لكننا..بدأنا..من بني الراكم انتفضنا..عرصنا أذهاننا نلكتب لطلبتنا خربة سنوات كثرية مبعرثة ىلع السبورات هذه الصفحات تلصلهم عرب االثري الفيض..إىل لك بيت وعرب لك جهاز.. تلصلنا بهم وتصلهم بنا.. ضغنا هلم من الرموز طريقا منريا وسط يلل اتلعليم االلكرتوين الطويل.. لعلنا كنا فيه قادة هلم..نمسك بأيديهم عربه ونعرب بهم إىل انلجاح.. نسقيهم ما حيتاجونه من جرعة الرياضيات احلبيبة تلكون هلم عونا يف بقية الطريق.. اكنت تلك حماولة..واتلطبيق هو من يكشف نقاط الضعف وجييل نقاط القوة.. وها حنن ذا بعد سنوات قالئل نعود إيلكم بالطبعة اثلانية حافظنا فيها ىلع نقاط القوة من حيث التسلسل والوضوح وأساسيات األفاكر..وعدنلا فيها كثريا مما قد وجدناه عسري الفهم أو صعب اتلطبيق.. بعد عن اهلدف.. حترينا ادلقة العلمية بقدر ما اكن ذلك ممكنا دون تعقيد أو مبالغة أو ٍ ّ لن نديع حبال من األحوال أن هذه الصفحات يه مرجع عليم يستند إيله يف اتلفاضل واتلاكمل فالكتب يف ذلك كثرية واملراجع وفرية..حنن هنا فقط نركز ىلع فئتنا املستهدفة وهم طلبة لكية االقتصاد واإلدارة.. عرب املزيد من اتلمارين يف قوالب عدة لرتتيق جبهدنا وجهدهم حىت نالمس معا درجة أىلع وأىلع..سعيا منا حنو ادلرجات العال يف ادلنيا واألجر واملثوبة ىلع ذلك يف اآلخرة.. إنها فقط..حماولة ثانية ىلع ذلك الطريق.. نسأل املوىل أن نكون قد وفقنا فيها..وإن فاتنا يشء أو أشياء..فذلك طبع اإلنسان مهما اكن.. باتلوفيق بنياتنا وأبناءنا.. الفصل األول -ادلوال 1.1 /تمهيد الفصل األول -ادلوال 1.1تمهيد ً تعتبر الدالة واحدة من أهم املفاهيم في الرياضيات ،وتشكل اللبنة األساسية والقلب النابض ملا يعرف بالتحليل الرياض ي ،ولها تطبيقات شاسعة تمتد في مجاالت عديدة كالطب والهندسة والفيزياء ،والكيمياء ،واالقتصاد ،واإلدارة. على سبيل املثال يتعامل االقتصاديون مع أنواع مختلفة من الدوال كدالة التكلفة الكلية ،ودالة اإليراد الكلي ،ودالة األرباح الكلية، ودالة التكلفة الحدية ،ودالة اإليراد الحدي ،ودالة األرباح الحدية ،ودالة الطلب ،ودالة العرض ،ودالة االستهالك ،وغيرها. ً قبل التطرق للتعريف الرياض ي الدقيق للدالة لعلنا نتوقف قليال عند مكنونات العبارات التالية: يرى االقتصاديون من وجهة نظر املستهلك وجود عالقة عكسية بين السعر والكميات املطلوبة ،وهذا يعني أنه كلما ارتفع السعر تنخفض الكميات املطلوبة والعكس بالعكس وذلك مع االفتراض بأن بقية العوامل األخرى ثابتة. يرى االقتصاديون من وجهة نظر التاجر وجود عالقة طردية بين السعر والكميات املعروضة ،وهذا يعني أنه كلما ارتفع السعر تزيد الكميات املعروضة والعكس بالعكس وذلك مع االفتراض بأن بقية العوامل األخرى ثابتة. ً يرى االقتصاديون أيضا أن مقدار االستهالل الكلي يتوقف على حجم الدخل القومي ،فكلما زاد الدخل القومي زاد االستهالك الكلي، وكلما قل الدخل القومي كلما قل االستهالك الكلي. من خالل العبارات السابقة نستنتج بأن تغير السعر أدى إلى تغير ما في الكميات املطلوبة وفي الكميات املعروضة على حد سواء، ً وأيضا التغير في الدخل القومي أدى إلى تغير ما في االستهالك الكلي.ولعلنا وصلنا إلى النظرة التالية: (التغير في مقدار ما أدى إلى تغير في مقدار آخر) ً إذا وصلنا إلى قناعة أكيدة بالنظرة السابقة فنحن قريبون من املعنى الدقيق ملفهوم الدالة ،ولعل املثال التالي يجعلنا أكثر قربا مما نصبو إليه. في أحد الورش الصغيرة تبين أن إنتاج القطعة الواحدة من الصحون النحاسية يكلف ) (20ريال ،ويترتب على الورشة آجار يومي ً يبلغ ) (100ريال.هل نستطيع بناء عالقة ما تربط بين عدد الوحدات املنتجة والتكلفة الكلية املترتبة يوميا؟ عدد الوحدات التكلفة املتغيرة التكلفة الثابتة التكلفة الكلية 1 20 × 1 100 20 × 1 + 100 = 120 2 20 × 2 100 20 × 2 + 100 = 140 3 20 × 3 100 20 × 3 + 100 = 160 −−−− −−−− −−−− −−−− 𝑥 𝑥 20. 100 20. 𝑥 + 100 من هذا الجدول نالحظ أنه عندما كان عدد الوحدات املنتجة وحدة واحدة كانت التكلفة الكلية تساوي )(120ريال ،وعندما تغير عدد الوحدات املنتجة وأصبح وحدتين أصبحت التكلفة الكلية تساوي )(140ريال ،وعندما تغير عدد الوحدات املنتجة وأصبح ثالث وحدات أصبحت التكلفة تساوي )(160ريال ،وهكذا. فإذا استخدمنا الرمز )𝑥( للداللة على عدد الوحدات املنتجة سنصل وفق اآللية السابقة على أن التكلفة الكلية املقابلة لها تساوي ) ،(20𝑥 + 100وبما أن هذا املقدار يتبع لتغير املتغير )𝑥( يمكننا التعبير عنه بالشكل التالي: 𝐶(𝑥) = (20𝑥 + 100) ; 𝑥 ∈ ℕ وهي دالة التكلفة الكلية التي نبحث عنها. 1 الفصل األول -ادلوال 1.1 /تمهيد تعريف :1-الدالة 𝑓 هي عالقة تربط كل عنصر من املجموعة الحقيقية غير الخالية 𝑓𝔇 ،بعنصر وحيد من املجموعة الحقيقية غير الخالية 𝑓.ℛونعبر عن ذلك بالشكل: → 𝑓𝔇 𝑓: 𝑓ℛ →𝑥 𝑦 )𝑥(𝑓 = 𝑦 وتسمى املجموعة 𝑓𝔇 بنطاق الدالة 𝑓 ،وتسمى املجموعة 𝑓 ℛبمدى الدالة 𝑓 ،وتسمى القاعدة التي من خاللها نربط بين عناصر ً النطاق واملستقر بقاعدة الربط ويرمز لها ب ـ ـ )𝑥(𝑓 = 𝑦 ،ويمكننا أيضا تسمية املقدار )𝑎(𝑓 بصورة العنصر )𝑎( أو قيمة الدالة عند العنصر )𝑎(. مالحظة :1-من خالل قاعدة الربط يمكننا إيجاد جميع املعلومات املرتبطة بالدالة ،كالنطاق واملدى ،وجرت العادة أن نكتب ما يلي: ً ً لتكن لدينا الدالة𝑓 التي قاعدة ربطها )𝑥(𝑓 = 𝑦 ،بدال من الشكل السابق وأحيانا نقوم بكتابة قاعدة الربط مباشرة للتعبير عن الدالة 𝑓. إن تصور الدالة وفق املخططات التالية هو أمر مفيد للغاية: املدخالت ⏟ قاعدة الربط ⏟ املخرجات ⏟ 𝑥 )𝑥(𝑓 𝑦 النطاق ⏟ قاعدة الربط ⏟ املدى ⏟ 𝑓𝔇 )𝑥(𝑓 𝑓ℛ للحصول على قيمة الدالة عند نقطة ما تنتمي لنطاق هذه الدالة ما علينا سوى استبدال املتغير )𝑥( الذي يدخل في تركيب قاعدة ً الربط بهذه النقطة ،فمثال إذا كانت لدينا الدالة𝑓 التي قاعدة ربطها هي: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 فإن قيمة الدالة 𝑓 بشكل رمزي هي: قيمة الدالة 𝑓 عندما 𝑥 = 0هي ) 𝑓(0حيث.................................................................................................................................. : قيمة الدالة 𝑓 عندما 𝑥 = 1هي ) 𝑓(1حيث.................................................................................................................................. : قيمة الدالة 𝑓 عندما 𝑥 = −1هي ) 𝑓(−1حيث......................................................................................................................... : قيمة الدالة 𝑓 عندما 𝑥 = 2هي ) 𝑓(2حيث.................................................................................................................................. : 2 الفصل األول -ادلوال 2.1 /انلطاق واملدى واملنحين ابلياين لدلالة 3𝑥+5 = )𝑥(𝑓.فأوجد كما يلي: مثال :1-لتكن لدينا الدالة 𝑓 التي قاعدة ربطها √𝑥 2 +1 1) 𝑓(−1) =................................................................................................................................................... 2) 𝑓(√2) =................................................................................................................................................... 1 = ) ( 𝑓 )3 ................................................................................................................................................... 3 = )4) 𝑓(1 ................................................................................................................................................... 2.1انلطاق واملدى واملنحين ابلياين لدلالة 1.2.1نطاق ومدى ادلالة لتوضيح النطاق واملدى سنعود إلى تصور الدالة 𝑓 وفق املخططات التالية: املدخالت ⏟ قاعدة الربط ⏟ املخرجات ⏟ 𝑥 )𝑥(𝑓 𝑦 النطاق ⏟ قاعدة الربط ⏟ املدى ⏟ 𝑓𝔇 )𝑥(𝑓 𝑓ℛ نعلم أن عناصر املدخالت واملخرجات هي مجموعات جزئية من مجموعة األعداد الحقيقية أي 𝔇𝑓 ⊆ ℝ :و ،ℛ𝑓 ⊆ ℝونعلم ً أيضا بأن الدالة تقوم بربط كل عنصر من عناصر املدخالت 𝑓𝔇 ،بعنصر وحيد من قائمة املخرجات 𝑓.ℛ ً ماذا لو قمنا باختيار عنصر ما وليكن ،𝑎 ∈ ℝوسمحنا له مؤقتا بأن يكون أحد عناصر املدخالت ووجدنا أن صورته )𝑎(𝑓 ً ً ليست عددا حقيقيا! ما هو التصرف املنطقي حيال هذا األمر؟ الحل املنطقي يكون باستبعاد هذا العنصر من قائمة املدخالت ،وبهذا نضمن بأن جميع األعداد الحقيقية املوجودة في قائمة املدخالت ستقترن وفق قاعدة ربط الدالة 𝑓 بأعداد حقيقية ضمن قائمة جديدة هي قائمة املخرجات. من خالل ما تقدم ذكره يمكننا تعريف نطاق الدالة 𝑓 وفق ما يلي: }𝔇𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ ; 𝑓(𝑥) ∈ ℝ وبهذا ستكون الدالة 𝑓 معرفة عند كل نقطة تنتمي لنطاقها. على سبيل املثال لو قمنا بإيجاد قيمة الدالة 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1عند النقطة ،𝑥 = −3سنجد أن ،√−4 ∉ ℝ :ويحدث ً األمر عينه من أجل كل األعداد الحقيقية التي تنتمي للفترة ).𝑥 ∈ (−∞, 1وعلى النقيض تماما سنجد أن√𝑥 − 1 ∈ ℝ : وذلك من أجل كل األعداد الحقيقية التي تنتمي للفترة )∞ .𝑥 ∈ [1,وبهذه املناقشة نصل للنتيجة التالية: نطاق الدالة 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1هو )∞ .𝔇𝑓 = [1, 3 الفصل األول -ادلوال 2.1 /انلطاق واملدى واملنحين ابلياين لدلالة من خالل تعريفنا للنطاق نستطيع الجزم بأن صورة أي عنصر من عناصر النطاق وفق الدالة 𝑓 هي عدد حقيقي بال شك ،أي أنه: إذا كان 𝑓𝔇 ∈ 𝑎 فإن .𝑓(𝑎) ∈ ℝفإذا ما قمنا بإيجاد صور جميع عناصر النطاق فإننا سنحصل على مجموعة املخرجات والتي تمثل مدى الدالة 𝑓.ℛولذا يمكننا التعبير عن مدى الدالة 𝑓 بشكل رياض ي وفق ما يلي: ;)𝑎( 𝑓{ = 𝑓ℛ } 𝑓𝔇 ∈ 𝑎 على سبيل املثال وجدنا فيما سبق أن نطاق الدالة 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1هو )∞ .𝔇𝑓 = [1,فإذا قمنا بإيجاد قيم هذه الدالة عند كل عنصر من عناصر هذا النطاق سنجد أن.ℛ𝑓 = [0, ∞) : وبناء على جميع ما سبق يمكننا كتابة ما يلي: 𝑓: [1, → )∞ ⏟ [0, )∞ ⏟ 𝑓𝔇 𝑓ℛ →𝑥 𝑦 = √𝑥 − 1 2.2.1املنحين ابلياين لدلالة املنحني البياني للدالة 𝑓 التي نطاقها 𝑓𝔇 هو مجموعة نقاط املستوي الديكارتي )𝑦 𝒫: (𝑂, 𝑥,التي تنتمي للمجموعة التالية: })𝑥(𝑓 = 𝑦 𝑑𝑛𝑎 𝑓𝔇 ∈ 𝑥 ;𝒫 ∈ )𝑦𝛤 = {(𝑥، ويمكننا الحصول على املنحني البياني للدالة 𝑓 بشكل تقريبي من خالل تحديد بعض النقاط ))𝑥(𝑓 (𝑥،املساعدة للرسم ،حيث إن ً 𝑓𝔇 ∈ 𝑥 والوصل بينها ،وعادة ما يتم وضع هذه النقاط في جدول نسميه بجدول النقاط املساعدة. ً فمثال إليجاد املنحني البياني للدالة 𝑓 حيث: )∞ 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 ; 𝔇𝑓 = (−∞, سنختار على سبيل املثال العناصر التالية ،𝑥 = −2, 𝑥 = −1, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2 :ونقوم بإيجاد صورها ً ) 𝑓(−2), 𝑓(−1), 𝑓(0), 𝑓(1), 𝑓(2تباعا لنحصل على الجدول التالي الذي يضم النقاط املساعدة. 𝑥 𝑦 )𝑦(𝑥، −2 3 )(−2,3 −1 0 )(−1,0 0 −1 )(0, −1 1 0 )(1,0 2 3 )(2,3 وبتمثيل النقاط املساعدة على املستوي الديكارتي )𝑦 𝒫: (𝑂, 𝑥,والوصل بينها نحصل على املنحني البياني للدالة املعطاة كما في الشكل التالي: 4 الفصل األول -ادلوال 2.1 /انلطاق واملدى واملنحين ابلياين لدلالة شكل (( )1-1املنحني البياني للدالة 𝟏 ) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − مثال :2-ارسم املنحني البياني للدالة 𝑓 بشكل تقريبي ،حيث: 5 = )𝑥(𝑓 . )∞ ; 𝔇𝑓 = (−∞, 𝑥 2 +1 𝑥 𝑦 )𝑦 (𝑥, −3 −2 −1 0 1 2 3 ً ً مالحظة :2-يوفر املنحني البياني للدالة 𝑓 معلومات قيمة عنها ،ويعطي انطباعا كامال عن سلوكها ،وتعتبر قراءة الدالة من خالل منحناها البياني هدف ال غنى عنه ،وسنعمل على تحقيق هذا الهدف عبر عدة فصول متعاقبة.أما اآلن سنكتفي بإيجاد ما يلي: )1قيمة الدالة 𝑓 ،وذلك عند نقطة تنتمي لنطاقها. )2إيجاد نطاق الدالة 𝑓 ،وذلك بإسقاط املنحني البياني للدالة على املحور األفقي 𝑥𝑂 . )3إيجاد مدى الدالة 𝑓 ،وذلك بإسقاط املنحني البياني للدالة على املحور العمودي 𝑦𝑂 . )4مجموعة حلول املعادلة ،𝑓(𝑥) = 𝑘 ; 𝑘 ∈ ℝوالتي سنرمز لها ب ـ ـ 𝑘𝑆. 5 الفصل األول -ادلوال 2.1 /انلطاق واملدى واملنحين ابلياين لدلالة مثال :3-أوجد البيانات التالية ،وذلك باالستفادة من املنحني البياني للدالة 𝑓. 𝑥 −1 0 1 2 𝑦 3 3 = 𝑓𝔇 ......................................................... = 𝑓ℛ .......................................................... = | |𝑆1 ......................................................... = 𝑆3 .......................................................... مثال :4-أوجد البيانات التالية ،وذلك باالستفادة من املنحني البياني للدالة 𝑓. 𝑥 0 1 2 4 𝑦 0 4 = 𝑓𝔇 ......................................................... = 𝑓ℛ .......................................................... = | |𝑆1 ......................................................... = 𝑆3 .......................................................... 6 الفصل األول -ادلوال 2.1 /انلطاق واملدى واملنحين ابلياين لدلالة مثال :5-أوجد البيانات التالية ،وذلك باالستفادة من املنحني البياني للدالة 𝑓. 𝑥 −2 −1 0 4 𝑦 0 0 = 𝑓𝔇 ......................................................... = 𝑓ℛ .......................................................... = | |𝑆1 ......................................................... = | |𝑆4 .......................................................... مثال :6-أوجد البيانات التالية ،وذلك باالستفادة من املنحني البياني للدالة 𝑓. 𝑥 −2 −1 0 1.5 𝑦 1 1 = 𝑓𝔇 ......................................................... = 𝑓ℛ .......................................................... = 𝑆1 ......................................................... = 𝑆3 .......................................................... 7 الفصل األول -ادلوال 3.1 /فحص اخلط العمودي 3.1فحص اخلط العمودي لكل دالة منحناها البياني الذي يعبر عنها ،وفي الفقرة السابقة عرضنا كيفية رسم املنحني البياني لدالة ما بشكل تقريبي ،ولكن وقد يخطر ً في بالنا أن كل منحن في املستوي الديكارتي هو منحن لدالة ما ،وهذا األمر ليس صحيحا بالضرورة فالكثير من املنحنيات ال تحقق التعريف الرياض ي للدالة. الدالة تقرن كل عنصر من املجموعة 𝑓𝔇 بعنصر وحيد من املجموعة 𝑓 ،ℛوالبد من ظهور عالقة االقتران هذه في املنحني البياني لها، منحن بياني لدالة ما. ٍ فإذا لم يف منحن ما بهذه العالقة لن يكون بحال من األحوال ً بناء على ما سبق نستطيع القول إنه إذا قطع خط عمودي منحنيا ما في أكثر من نقطة فإنه ال يشكل دالة باملتغير املستقل 𝑥. مثال :7-من بين املنحنيات التالية نالحظ باستخدام فحص الخط العمودي أن املنحنيات 𝑑 𝑎,هي فقط منحنيات لدوال ما. )𝐴( )𝐵( )𝐶( )𝐷( 8 الفصل األول -ادلوال 4.1 /ادلوال اليت سنتعامل معها 4.1ادلوال اليت سنتعامل معها 1.4.1كثريات احلدود دالة كثيرة الحدود من الدرجة ) ،(𝑛 ∈ ℕهي الدالة 𝑓 التي يعبر عن قاعدة ربطها وفق الصيغة التالية: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 حيث 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎0هي أعداد حقيقية ثابتة و .𝑎𝑛 ≠ 0ونطاق هذه الدالة هو𝔇𝑓 = ℝ : ومن األمثلة على هذه الدالة نورد ما يلي: 3 6𝑥 5 +4𝑥 3 1) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 = )𝑥(𝑓 )2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + √2 3 5 2 عندما ) (𝑛 = 0تصبح دالة كثيرة الحدود بالشكل التالي ،𝑓(𝑥) = 𝑎0 :وعندها تسمى بالدالة الثابتة ،ومن األمثلة عليها ما يلي: 3 1 1) 𝑓(𝑥) = 0 )𝜋2) 𝑓(𝑥) = (3 + 2 3) 𝑓(𝑥) = ( + 5 ) √7 الحظ أن قيمة الدالة الثابتة 𝑓(𝑥) = 𝑎0عند أي نقطة 𝑎 = 𝑥 هي .𝑓(𝑎) = 𝑎0 ً فمثال إذا كانت لدينا الدالة الثابتة 𝑓(𝑥) = 3سنجد أن.𝑓(−1) = 3, 𝑓(0) = 3, 𝑓(1) = 3, 𝑓(3) = 3 : مثال :8-أوجد نطاق الدوال التالية: 1) 𝑓1 (𝑥) = 3 .................................................................................................................................................................................................................... 3 𝜋2 2) 𝑓2 (𝑥) = + 5 √7 .................................................................................................................................................................................................................... 3) 𝑓3 (𝑥) = −3𝑥 2 + 4𝑥 + 1 .................................................................................................................................................................................................................... )𝑥4) 𝑓4 (𝑥) = 3𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 4 .................................................................................................................................................................................................................... 3𝑥 2 + 6𝑥 + 2 = )𝑥( 4) 𝑓5 3 .................................................................................................................................................................................................................... 9 الفصل األول -ادلوال 4.1 /ادلوال اليت سنتعامل معها 2.4.1ادلالة الكرسية الدالة الكسرية هي الدالة 𝑓 التي يعبر عن قاعدة ربطها وفق الصيغة التالية: )𝑥(ℎ = )𝑥(𝑓 )𝑥(𝑔 ً حيث ℎدالة ما ،و 𝑔 دالة ليست ثابتة.وندعو الدالة الكسرية بالدالة الكسرية النسبية أو اختصارا بالدالة النسبية وذلك عندما يكون ً كال من بسطها ومقامها عبارة عن كثيرتي حدود.ويتم تحديد نطاق الدالة النسبية وفق ما يلي: 𝑎{ ∖ 𝔇𝑓 = ℝ } ⏟ ; 𝑔(𝑎) = 0 مجموعة أصفار املقام ومن األمثلة على الدالة الكسرية النسبية نورد ما يلي: 1 4𝑥+3 𝑥 3 −7𝑥 2 +4𝑥+1 = )𝑥(𝑓 )1 = )𝑥(𝑓 )2 = )𝑥(𝑓 )3 𝑥 𝑥−3 𝑥 2 −2𝑥+10 مثال :9-أوجد نطاق الدوال التالية: 𝑥 2 +4𝑥+1 = )𝑥( 1) 𝑓1 2𝑥−6 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 5𝑥 3 +4𝑥+1 = )𝑥( 2) 𝑓2 𝑥3𝑥 2 −12 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 𝑥 2 +5𝑥+7 = )𝑥( 3) 𝑓3 𝑥 2 −2𝑥+1 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 5𝑥+1 = )𝑥( 4) 𝑓4 2𝑥 2 −4𝑥+6 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 10 الفصل األول -ادلوال 4.1 /ادلوال اليت سنتعامل معها 3.4.1ادلالة اجلذرية الرتبيعية الدالة الجذرية التربيعية هي الدالة 𝑓 التي يعبر عن قاعدة ربطها وفق الصيغة التالية: )𝑥(𝑓(𝑥) = √ℎ حيث ℎهي دالة ليست ثابتة.ويتم تحديد نطاق الدالة الجذرية التربيعية وفق ما يلي: }𝔇𝑓 = {𝑥 ∈ 𝔇ℎ ; ℎ(𝑥) ≥ 0 ومن األمثلة على هذه الدالة ما يلي: 4𝑥+3 𝑥√ = )𝑥(𝑓 )1 2) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 2𝑥 + 10 3) 𝑓(𝑥) = √ 𝑥−3 مثال :10-أوجد نطاق الدوال التالية: 𝑥1) 𝑓1 (𝑥) = √3 − 2 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 2) 𝑓2 (𝑥) = √𝑥 2 + 3𝑥 − 4 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 3) 𝑓3 (𝑥) = √9 − 6𝑥 + 𝑥 2 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 4) 𝑓4 (𝑥) = √2𝑥 2 − 5𝑥 + 4 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 11 الفصل األول -ادلوال 4.1 /ادلوال اليت سنتعامل معها 4.4.1ادلالة األسية الطبيعية الدالة األسية الطبيعية هي الدالة 𝑓 التي يعبر عن قاعدة ربطها وفق الصيغة التالية: )𝑥(𝑓(𝑥) = 𝑒 ℎ حيث ℎهي دالة ما وليست دالة ثابتة ،والعدد 𝑒 وهو عدد حقيقي غير نسبي يدعى بالعدد النيبيري ( ،)1ويبرهن أن هذا العدد يحقق املتباينة ،2 < 𝑒 < 3وقيمته التقريبية هي.𝑒 ≈ 2.7182818284 : يتم تحديد نطاق الدالة األسية الطبيعية وفق ما يلي: 𝔇𝑓 = 𝔇ℎ ومن األمثلة على الدالة األسية الطبيعية ما يلي: 𝑥2 +4 𝑥 𝑒 = )𝑥(𝑓 )1 𝑥 𝑒 = )𝑥(𝑓 )2 3) 𝑓(𝑥) = 𝑒 1+√𝑥+3 من الخواص الهامة التي تتعلق بالدالة األسية الطبيعية نورد ما يلي حيث .𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑎𝑒 𝑏1) 𝑒 𝑎. 𝑒 𝑏 = 𝑒 𝑎+ )2 𝑏= 𝑒 𝑎− 𝑏3) (𝑒 𝑎 )𝑏 = 𝑒 𝑎. 𝑏𝑒 مثال :11-أوجد نطاق الدوال التالية: 2 +4𝑥−1 𝑥 𝑒 = )𝑥( 1) 𝑓1 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 2) 𝑓2 (𝑥) = 𝑒 √𝑥+3 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 2 = )𝑥( 3) 𝑓3 𝑒 )3𝑥(𝑥+2)(𝑥−5 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. ( )1من الصعب تحديد من قام باكتشاف العدد )𝑒( ،فما نعرفه عن العدد النيبيري أنه وجد في أعمال أربعة علماء هم :جون نابير ،وكريستيان هيجنز ،وجاكوب برنولي ،وليونهارد أويلر.فعلى سبيل املثال ظهر العدد )𝑒( في أعمال جاكوب برنولي في مشكلة الفائدة املركبة ،وفي محاولته لفحص الفائدة املركبة املستمرة وذلك في عام 1683م. 12 الفصل األول -ادلوال 4.1 /ادلوال اليت سنتعامل معها 5.4.1ادلالة اللواغريتمية الطبيعية الدالة اللوغاريتمية الطبيعية هي الدالة 𝑓 التي يعبر عن قاعدة ربطها وفق الصيغة التالية: ))𝑥(𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(ℎ حيث ℎهي دالة ليست ثابتة.ويتم تحديد نطاق الدالة اللوغاريتمية الطبيعية وفق ما يلي: }𝔇𝑓 = {𝑥 ∈ 𝐷ℎ ; ℎ(𝑥) > 0 ومن األمثلة على هذه الدالة ما يلي: )𝑥(𝑛𝑙 = )𝑥(𝑓 )1 )𝑥2) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 2 − 2 )3) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(√𝑥 + 3 من الخواص الهامة التي تتعلق بالدالة اللوغاريتمية الطبيعية نورد ما يلي حيث. 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑎𝑛𝑑 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 : 𝑎 𝑎 = ) 𝑎 𝑒(𝑛𝑙 )1)𝑙𝑛(𝑎𝑏) = 𝑙𝑛(𝑎) + 𝑙𝑛(𝑏) 2) 𝑙𝑛 ( ) = 𝑙𝑛(𝑎) − 𝑙𝑛(𝑏) 3 𝑏 من الخاصة الثالثة نستنتج بشكل مباشر أن.𝑙𝑛(𝑒 1 ) = 𝑙𝑛(𝑒) = 1 𝑎𝑛𝑑 𝑙𝑛(𝑒 0 ) = 𝑙𝑛(1) = 0 : مثال :12-أوجد نطاق الدوال التالية: 1 ) 1) 𝑓1 (𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥 − 2 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. ) 2) 𝑓2 (𝑥) = 𝑙𝑛(9 − 𝑥 2 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. )3) 𝑓3 (𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 4𝑥 + 4 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. )4) 𝑓4 (𝑥) = 𝑙𝑛(2𝑥 2 + 3 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 13 الفصل األول -ادلوال 4.1 /ادلوال اليت سنتعامل معها 6.4.1دالة القيمة املطلقة دالة القيمة املطلقة هي الدالة 𝑓 التي يعبر عن قاعدة ربطها وفق الصيغة التالية: |)𝑥(𝑓(𝑥) = |ℎ حيث ℎهي دالة ليست ثابتة.يتم تحديد نطاق دالة القيمة املطلقة وفق ما يلي: 𝔇𝑓 = 𝔇ℎ ومن األمثلة على هذه الدالة ما يلي: |𝑥| = )𝑥(𝑓 )1 |2) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 + 4𝑥 − 2 |3) 𝑓(𝑥) = |1 − √𝑥 + 3 من الخواص الهامة التي تتعلق بدالة القيمة املطلقة ما يلي حيث. 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ : |𝑥| = |𝑥 1) | − 2) |𝑥| ≥ 0 3) |𝑥| = 0 ⇔ 𝑥 = 0 |𝑦| 4)|𝑥𝑦| = |𝑥|. |𝑥| = 5) √𝑥 2 مثال :13-أوجد نطاق الدوال التالية: |)1) 𝑓1 (𝑥) = |2𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 4 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 1 | = )𝑥( 2) 𝑓2 | )2𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 4 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. |)𝑥3) 𝑓3 (𝑥) = |𝑙𝑛(𝑥 2 + 4 .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................. 14 الفصل األول -ادلوال 4.1 /ادلوال اليت سنتعامل معها مالحظة :2-في بعض األحيان نقوم بالتعبير عن قاعدة ربط دالة ما 𝑓 ،وفق الصيغة التالية: )𝑥( ℎ1 𝑖𝑓 𝑥 ∈ 𝐷1 )𝑥( ℎ2 𝑖𝑓 𝑥 ∈ 𝐷2 = )𝑥(𝑓 −−−− −−−− )𝑥( 𝑛{ℎ 𝑛𝐷 ∈ 𝑥 𝑓𝑖 حيث 𝑛 ℎ1 , ℎ2 , ….. , ℎهي دوال ما و 𝑛𝐷 𝐷1 , 𝐷2 , … ,مجموعات حقيقية تقاطعها مثنى مثنى هو املجموعة الخالية ∅. وعندها نقول إن الدالة 𝑓 كتبت على هيئة دالة شرطية. ومن األمثلة على ذلك نورد ما يلي: 5𝑥 𝑖𝑓 𝑥 ≤ 0 5𝑥 𝑖𝑓 𝑥 > 2 1) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 𝑖𝑓 0 < 𝑥 ≤ 1 { = )𝑥(𝑓 )2 √𝑥 𝑖𝑓 𝑥 > 9 𝑥 2 𝑖𝑓 𝑥 ≤ 2 𝑥 2 −4 5𝑥 𝑖𝑓 𝑥 ≥ 2 𝑖𝑓 𝑥 ≠ 2 𝑥−2 { = )𝑥(𝑓 )3 { = )𝑥(𝑓 )4 𝑥 2 𝑖𝑓 𝑥 < 2 3 𝑖𝑓 𝑥 = 2 يمكننا بكل بساطة التعبير عن جميع الدوال التي سبق ذكرها (الفقرة ( ))2-1على هيئة دالة شرطية.فعلى سبيل املثال نقوم بكتابة دالة القيمة املطلقة |𝑥| = )𝑥(𝑓 على النحو التالي: 𝑥 𝑖𝑓 𝑥 ≥ 0 { = |𝑥| = )𝑥(𝑓 𝑥− 𝑖𝑓 𝑥 > 0 ً ويمكننا أيضا التعبير عن دالة كثيرة الحدود 𝑓(𝑥) = 5𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1على هيئة دالة شرطية وفق ما يلي: 5𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 𝑓𝑖 𝑥≠0 { = )𝑥(𝑓 1 𝑓𝑖 𝑥=9 مثال :2-أوجد ما يلي ،وذلك من أجل الدالة 𝑓 التي قاعدة ربطها: 𝑥5 𝑖𝑓 − 2 < 𝑥 ≤ 0 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 𝑖𝑓 0 < 𝑥 ≤ 9 𝑥√ 𝑓𝑖 𝑥>9 1) 𝑓(−1) =................................................................ = )3) 𝑓(9 ................................................................ = )2) 𝑓(0 ................................................................ 4) 𝑓(10) =................................................................ 15 الفصل األول -ادلوال 5.1 /تمارين ()1 مثال :3-أوجد ما يلي ،وذلك من أجل الدالة 𝑓 التي قاعدة ربطها: 𝑥 2 −4 𝑖𝑓 𝑥 ≠ 2 ℎ(𝑥) = { 𝑥−2 3 𝑖𝑓 𝑥 = 2 1) ℎ(−1) =................................................................ = )3) ℎ(3 ................................................................ = )2) ℎ(0 ................................................................ = )4) ℎ(2 ................................................................ 5.1تمارين ()1 ً 1.5.1أوجد قيمة لك دالة من ادلوال اتلايلة عند انلقاط املشار إيلها جانيا. 4 )1 ( = )𝑥(𝑓 ) 𝑥=0 𝑥=e 𝑥=π 𝑒+√3 )2 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 4 𝑥 = √2 𝑥=0 𝑥=3 𝑥 3 +3𝑥 2 −𝑥−1 )3 𝑓(𝑥) = − 𝑥 = −2 𝑥=1 𝑥=0 𝑥+1 2𝑥−3 )4 √ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥 = −2 𝑥=0 𝑥=1 𝑥+1 2 −2 )5 𝑥𝑓(𝑥) = 𝑒 3 − 𝑒 2 𝑥 = √3 𝑥=0 𝑥=1 )6 )𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(4𝑥 + √𝑥 2 + 1 𝑥=0 𝑥=1 𝑥 = √8 7) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 3𝑥 + 1| − 2 𝑥 = −1 𝑥=0 𝑥=4 3𝑥 + 5 𝑖𝑓 𝑥 < 0 )8 𝑓(𝑥) = { 5 𝑖𝑓 𝑥 = 0 𝑥 = −2 𝑥=0 𝑥=3 𝑙𝑛(6𝑥 + 5) 𝑖𝑓 𝑥 > 0 √𝑥 2 + 1 𝑖𝑓 𝑥 ≠ 0 )9 { = )𝑥(𝑓 𝑥 = −3 𝑥=0 𝑥=3 2𝑒 + 1 𝑖𝑓 𝑥 = 0 16 الفصل األول -ادلوال 5.1 /تمارين ()1 2.5.1ارسم املنحين ابلياين لدلوال اتلايلة بشلك تقرييب )∞ 1) 𝑓(𝑥) = 3; 𝔇𝑓 = (−∞, )∞ 2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1; 𝔇𝑓 = (−∞, )∞ 3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4; 𝔇𝑓 = (−∞, )∞ 4) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3 ; 𝔇𝑓 = [−3, )∞ 5) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 4|; 𝔇𝑓 = (−∞, ]6) 𝑓(𝑥) = √16 − 𝑥 2 ; 𝔇𝑓 = [−4, 4 3.5.1أوجد ابليانات اتلايلة ،وذلك باالستفادة من املنحنيات ابليانية 𝑥 −3 −2 𝑦 0 0 0 0 = 𝑓𝔇 ......................................................... = 𝑓ℛ .......................................................... = | |𝑆2 ......................................................... = 𝑆4 .......................................................... 𝑥 −3 0 3 4 5 𝑦 4 = 𝑓𝔇 ......................................................... = 𝑓ℛ .......................................................... = | |𝑆2 ......................................................... = 𝑆4 ..........................................................
