رياضيات - ع تج - باقة الامتياز تحضيرا للفصل 2 - نافع بكالوريا 2024 PDF

Summary

هذه باقة أسئلة رياضيات لطلاب الثالثة علوم تجريبية للتحضير للامتحان النهائي للفصل الثاني للعام الدراسي 2023-2024. تتضمن هذه الباقة 10 اختبارات من ثانويات مختلفة في الجزائر. تغطي المواضيع أسئلة حول الدوال، المتتاليات، الدوال الأصلية، و الحساب التكاملي، بالإضافة إلى العد والاحتمالات.

Full Transcript

‫‪ 13‬شعبــان ‪ 1445‬هـ الموافق لــــ يوم الجمعة ‪ 23‬فيفري ‪2024‬‬ ‫الفصل الثاني ‪02 :‬‬ ‫‪...‬تذكروا أن شعار العمل في هذه الحديقة العلمية ‪:‬‬ ‫‪ *1‬أيُّها النُّخبة العلمية ‪ ،،‬نضع بين أيديكم هذه الباقة المعلوماتية التطبيقية المفعمة باألفكار‬ ‫الطازجة والمفيدة ‪ ،‬التي تتض...

‫‪ 13‬شعبــان ‪ 1445‬هـ الموافق لــــ يوم الجمعة ‪ 23‬فيفري ‪2024‬‬ ‫الفصل الثاني ‪02 :‬‬ ‫‪...‬تذكروا أن شعار العمل في هذه الحديقة العلمية ‪:‬‬ ‫‪ *1‬أيُّها النُّخبة العلمية ‪ ،،‬نضع بين أيديكم هذه الباقة المعلوماتية التطبيقية المفعمة باألفكار‬ ‫الطازجة والمفيدة ‪ ،‬التي تتضمن { ‪ 10‬اختبارات للفصل ‪ - 2023 II‬بعض ثانويات الوطن ‪}-‬‬ ‫في مادة الرياضيات ‪ -‬شعبة علوم تجريبية ‪،، -‬‬ ‫صل و سلم التنقيط نحو الفصل الثاني ‪ ،،‬بحيث‬ ‫‪ ‬علما َّ‬ ‫أن ‪ ::‬المواضيع مرفقة بالتصحيح المف ًّ‬ ‫تشمل المحاور التالية ‪ :‬محور الدوال ‪ ،،‬المتتاليات ‪ ،،‬الدوال األصلية و الحساب التكاملي ‪،،‬‬ ‫محور العد و االحتماالت من برنامج مادة الريـــــــاضيات ‪،،‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ *2‬أيها الشُّرفاء النظاميين ‪َ :‬و ْليكن في العلم أن هذه الباقة ألجل التحضير الختبار الفصل‬ ‫الثاني تشمل أغلب المحاور ‪ ،،‬أي من لم يدرس أي محور منها في القسم النظامي فليركز على‬ ‫ما درس في القسم النظامي و فقط ‪ ،،‬حتى يتم دراسته في القسم بعد ‪،،‬‬ ‫* بالنسبة للنظاميين كذلك هذه الباقة تعتبر محطة تحضيرية ممتازة الختبار الفصل الثاني ثم‬ ‫البكالوريا التجريبية ‪ ،،‬ختاما نحو امتحان البكالوريا ‪ ،،‬المطلوب منكم هو استغالل هذه الفترة‬ ‫للمحاولة في هذه الباقة و تنظيم الوقت حسب نظام المراجعة ‪،،‬‬ ‫‪ *3‬أيها الشُّرفاء األحرار ‪ :‬المطلوب منكم المحاولة في كامل مضمون الباقة لتكون بمثابة مرحلة‬ ‫جس النبض المعلوماتي و مواكبة وتيرة الدروس النظامية للموسم الحالي ‪ ،،‬مع تدوين األفكار طبعا‪.‬‬ ‫‪ *4‬أيها التالميذ الشُّرفاء شعبتي رياضيات و تقني رياضي ‪ :‬يمكن المحاولة في مواضيع‬ ‫شعبة علوم تجريبية ‪ ،،‬من أجل أخذ أفكار إضافية و التمرن المتدرج من السهل إلى المعقَّد ‪،،‬‬ ‫‪ *5‬أيها الشُّرفاء تجاوزوا األفكار المعادة ألنها وضعت لفئة معينة من أجل التمرن وكسب‬ ‫سرعة بديهية معتبرة في حين مصادفتها بمراعاة المستوى الفردي لكل تلميذ{ة} ‪ ،،‬طبعا ‪،،‬‬ ‫‪ *6‬أيها النُّخبة العلمية ‪ ،،‬بعد تفحص المواضيع و المحاولة في أكبر قدر منها نرجو تدوين‬ ‫األفكار الطازجة في كراس خاص مع تحديد رقم الموضوع و التمرين ‪ ،،‬من أجل العودة ألخذها‬ ‫قبيل موعد االختبار التجريبي ‪ ،،‬فـالبكالوريا في قادم الزمن ‪..‬تسهيال لكم و استغالال للوقت ‪،،‬‬ ‫تغريدةُّأملُّ‪ُّ:‬أيهاُّالتالميذُّالشرفــــــــا ْءُّ‪ُّ،،‬إنناَُّنسعىُّلتوفيرُّأجودُّالموادُّالمعلوماتيةُّاألوليةُّلكمُّ‬ ‫‪ُّ،،‬منُّأجلُّأنُّتُبدعواُّفيُّ ُ‬ ‫صنعُِّتاجُّاالمتيازُّ‪ُّ،،‬‬ ‫من تجميع و تنظيم ‪ :‬عقبة بن نافع‬ ‫‪2 0 2 3 0 3 06BAC 3 S E‬‬ ‫⊞‬ ‫ا ﻤ ﻮر ﺔ ا ﺰاﺋﺮ ﺔ اﻟﺪﻳﻤﻘﺮاﻃﻴﺔ اﻟﺸﻌﺒﻴﺔ‬ ‫ﺛﺎﻧﻮ ﺔ‪:‬اﻟﺸ ﻴﺪة ﺟﺒﺎر ﻋﺎ ﺸﺔ ‪-‬ﺗﻴﺎرت‪-‬‬ ‫ﻣﺪﻳﺮ ﺔ اﻟ ﺑﻴﺔ ﻟﻮﻻﻳﺔ ﺗﻴﺎرت‬ ‫اﻟﺴﻨﺔ اﻟﺪراﺳﻴﺔ‪2023 / 2022 :‬‬ ‫اﳌﺴﺘﻮى ‪ :‬اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮ ﻴﺔ‬ ‫اﳌﺪة ‪ 03:‬ﺳﺎو‪ 30‬د‬ ‫ّ‬ ‫ﻣﺎدة اﻟﺮ ﺎﺿﻴﺎت‬ ‫اﺧﺘﺒﺎر اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎ ﻲ‬ ‫أن ﻳﺨﺘﺎر أﺣﺪ اﳌﻮﺿﻮﻋ ن اﻟﺘﺎﻟﻴ ن ‪:‬‬ ‫ﻋ اﳌ‬ ‫اﳌﻮﺿﻮع ّ‬ ‫اﻷول ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻷول‪ 04) :‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫أﺟﺐ ﺑ أو ﺧﻄﺄ ﻣﻊ اﻟﺘ ﻳﺮ‪:‬‬ ‫‪ (1‬اﻧﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ ا ﻤﻮﻋﺔ }‪Ω = {0; 2; 3; 5; 6; 8‬‬ ‫إﻣ ﺎﻧﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪360‬‬ ‫ﻮ‬ ‫ﻋﺪد إﻣ ﺎﻧﻴﺎت ﺸﻜﻴﻞ ﻋﺪد ﻣﻦ أر ﻊ أرﻗﺎم ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﺜ ﻣﺜ‬ ‫‪m=π‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺎل ]‪[0; π‬‬ ‫‪ (2‬اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ )‪ g(x) = cos(x‬ﻋ ا‬ ‫)‪2 ln(2x + 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y ′ = e1+2x +‬‬ ‫‪+ 3‬‬ ‫ﻌﺘ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫ﺎل [∞‪]0; +‬‬ ‫‪ (3‬ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ‪ x‬ا‬ ‫‪2x + 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x2 + 4e2x+1 + ln(2x + 1) + + c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺣﻞ ﺬﻩ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻮ ‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪q = ln 2‬‬ ‫ﺎ‪:‬‬ ‫‪ N‬ﺑـ‪ un = ln en. ln 2 :‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ أﺳﺎﺳ‬ ‫‪ (4‬اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ (un‬اﳌﻌﺮﻓﺔ ﻋ‬ ‫)‪ 04‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺜﺎ ﻲ‪:‬‬ ‫) ‪ln(un+1 ) = −1+ln(un‬‬ ‫اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ )‪ (un‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـﺤﺪ ﺎ اﻷول ‪ u0 = 1‬و ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪ n‬ﺑـ ‪:‬‬ ‫‪. un+1 = e−1 un‬‬ ‫‪ (1‬أ‪ /‬ﺑ ن أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪ n‬ﻓﺈن‬ ‫ب‪ /‬ﺑﺮ ﻦ ﺑﺎﻟ اﺟﻊ أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪ n‬ﻓﺈن ‪. un > 0‬‬ ‫‪ (2‬أ‪ /‬ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪ n‬ﻗﺎرن ﺑ ن ‪ uun+1‬و ‪. 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ب ‪ /‬اﺳﺘ ﺘﺞ إﺗﺠﺎﻩ ﻐ اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ (un‬وﺗﻘﺎر ﺎ ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ (vn‬اﳌﻌﺮﻓﺔ ﺑـ )‪. vn = 2 + ln(√un‬‬ ‫أ‪ -‬ﺑ ن أن )‪ (vn‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﻣﻌﻴﻨﺎ أﺳﺎﺳ ﺎ ‪ r‬و ﺣﺪ ﺎ اﻷول ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬اﻛﺘﺐ ﻋﺒﺎرة)‪(vn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ n‬ﺛﻢ اﺳﺘ ﺘﺞ ﻋﺒﺎرة )‪ (un‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪. n‬‬ ‫∞‪. n→+‬‬ ‫ج‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪lim un‬‬ ‫‪ (4‬ﻧﻀﻊ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪: n‬‬ ‫‪.Sn = e2(v −2) + e2(v −2) + e2(v −2) +... + e2(v‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪n −2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪e−(n+1) − 1‬‬ ‫‪. Sn = e‬‬ ‫‪1−e‬‬ ‫‪-‬ﺑ ن أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪ n‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫ﺻﻔﺤﺔ ‪ 1‬ﻣﻦ ‪4‬‬ ‫⊞‬ ‫‪2 0 2 3 0 3 06BAC 3 S E‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ 0 3) :‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋ ‪ 9‬ﻛﺮ ﺎت ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻻ ﻧﻔﺮق ﺑﻴ ﺎ ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ ‪،‬ﻣ ﺎ ار ﻊ ﻛﺮ ﺎت ﺑﻴﻀﺎء ﻣﺮﻗﻤﺔ‪ 2 ، 2 ، 2،0 :‬وﺧﻤﺲ‬ ‫ﻛﺮ ﺎت ﺣﻤﺮاء ﻣﺮﻗﻤﺔ ‪ ، 0 ، 2 ، 1 ، 1 ، 1‬ﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﻋ اﻟﺘﻮا ودون إرﺟﺎع ﺛﻼث ﻛﺮ ﺎت ﻣﻦ ﺬا اﻟﺼﻨﺪوق ‪.‬‬ ‫‪ -‬اﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ا ﺪث ‪ : C‬ﺐ ﻛﺮة ﺣﻤﺮاء ﻋ اﻷﻗﻞ ‪.‬‬ ‫ا ﺪث ‪ : A‬ﺐ ﺛﻼث ﻛﺮات ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن ‪.‬‬ ‫ﺐ ﻛﺮﺗﺎن ﺗﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ ‪ 2‬ﻋ اﻷﻛ ‪.‬‬ ‫ا ﺪث ‪: E‬‬ ‫ا ﺪث ‪ : B‬ﺐ ﺛﻼث ﻛﺮات ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﺮﻗﻢ ‪.‬‬ ‫ﺐ ﺛﻼث ﻛﺮات ﻣﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻣ ﺎ أﻛ أو ﺴﺎوي ‪5‬‬ ‫ا ﺪث ‪: F‬‬ ‫‪ -‬ﻗﻤﻨﺎ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ‪ 4‬ﻛﺮات ﺣﻤﺮاء ﻟﻠﺼﻨﺪوق ﻣﺮﻗﻤﺔ ﺑـﺎﻟﺮﻗﻢ ‪4‬‬ ‫ﻣﺎ ﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﻳ ﻮن ﺟﺪاء أرﻗﺎم اﻟﻜﺮات اﻟﺜﻼث اﳌ ﻮ ﺔ زوﺟﻴﺎ ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺮا ﻊ‪ 9 ) :‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫)‪− ln(x − 1‬‬ ‫[∞‪ ]1; +‬ﺑــ‪:‬‬ ‫‪ I‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ g‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪→ −‬‬ ‫→‬ ‫ﺲ ) ‪(O; i , j‬‬ ‫) ‪ (Cg‬ﺗﻤﺜﻴﻠ ﺎ اﻟﺒﻴﺎ ﻲ اﳌﺴﺘـﻮي اﳌ ﺴﻮب إ اﳌﻌﻠﻢ اﳌﺘﻌﺎﻣﺪ اﳌﺘﺠﺎ‬ ‫‪ lim‬و)‪lim g(x‬‬ ‫اﺣﺴﺐ )‪g(x‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x−‬‬‫‪→1‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫>‬ ‫‪−x‬‬ ‫= )‪g ′ (x‬‬ ‫‪ (2‬أ‪ /‬ﺑ ن أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪ ]1; +‬ﻓﺈن‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫ب‪ /‬ﺷ ﻞ ﺟﺪول ﻐ ات اﻟﺪاﻟﺔ ‪g.‬‬ ‫‪ (3‬أ‪ /‬ﺑ ن أن اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ g(x) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا ‪ α‬ﻣﻦ ا ﺎل [‪]2, 7; 2, 8‬‬ ‫ب‪ /‬اﺳﺘ ﺘﺞ إﺷﺎرة )‪ g(x‬ﻋ [∞‪. ]1; +‬‬ ‫)‪4 ln(x − 1‬‬ ‫= )‪f(x‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻋ [∞‪ ]1; +‬ﺑــ‪:‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪→ −‬‬ ‫→‬ ‫ﺲ ) ‪(O; i , j‬‬ ‫) ‪ (Cf‬ﺗﻤﺜﻴﻠ ﺎ اﻟﺒﻴﺎ ﻲ اﳌﺴﺘـﻮي اﳌ ﺴﻮب إ اﳌﻌﻠﻢ اﳌﺘﻌﺎﻣﺪ اﳌﺘﺠﺎ‬ ‫‪-‬ﻓﺴﺮ اﻟﻨ ﻴﺠﺘ ن ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‪. -‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫و اﺣﺴﺐ‬ ‫‪lim f(x) = 0‬‬ ‫‪ (1‬أ‪ /‬ﺑ ن أن‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪→1‬‬ ‫>‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫)‪f ′ (x) = 4e−x g(x‬‬ ‫‪ (2‬ﺑ ن أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪: ]1; +‬‬ ‫‪ (3‬اﺳﺘ ﺘﺞ اﺗﺠﺎﻩ ﻐ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺛﻢ ﺷ ﻞ ﺟﺪول ﻐ ا ﺎ‪.‬‬ ‫ﻧﺄﺧﺬ ‪ f(α) ≃ 0.15 ، α ≃ 2.75‬و اﻟﻮﺣﺪة ‪.2cm‬‬ ‫‪ (4‬اﺣﺴﺐ )‪ f(2‬و )‪ g(2‬ﺛﻢ أ ﻛﻼ ﻣﻦ )‪ (Cg‬و)‪. (Cf‬‬ ‫‪∫α‬‬ ‫‪∫α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪J‬‬ ‫‪ln(x − 1)dx‬‬ ‫و‬ ‫=‪I‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ III‬ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x > 1‬ﻧﻀﻊ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (1‬أ‪ /‬اﺣﺴﺐ اﻟﻌﺪد ا ﻘﻴﻘﻲ ‪I‬‬ ‫*إرﺷﺎد ‪g(α) = 0‬‬ ‫‪J=3−α‬‬ ‫ب‪ /‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺘ ﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ﺑ ن أن ‪:‬‬ ‫‪(α − 2)2‬‬ ‫=‪I−J‬‬ ‫‪α−1‬‬ ‫أ‪ /‬ﺑ ن أن‬ ‫‪(2‬‬ ‫اﻟﺬي ﻳﺤﺼﺮﻩ )‪ (Cg‬وﻣﺤﻮر اﻟﻔﻮاﺻﻞ واﳌﺴﺘﻘﻴﻤ ن‬ ‫ب‪ /‬اﺳﺘ ﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ ‪ S‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ا‬ ‫اﻧﺘ اﳌﻮﺿﻮع اﻷول‬ ‫اﻟﻠﺬﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﻤﺎ ‪ x = 2‬و ‪. x = α‬‬ ‫ﺻﻔﺤﺔ ‪ 2‬ﻣﻦ ‪4‬‬ ‫‪2 0 2 3 0 3 06BAC 3 S E‬‬ ‫⊞‬ ‫اﳌﻮﺿﻮع اﻟﺜﺎ ﻲ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻷول‪ 4) :‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫اﺟﺐ ﺑ أو ﺧﻄﺄ ﻣﻊ اﻟﺘ ﻳﺮ‪:‬‬ ‫‪ (Un ) (1‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳ ﺎ ‪ q = 2‬وﺣﺪ ﺎ اﻷول ‪U0 = 3‬‬ ‫)‪S = 2023ln(6‬‬ ‫ﻧﻀﻊ )‪ ، S = ln(u50) + ln(u51) +... + ln(u2023‬ا ﻤﻮع ‪ S‬ﺴﺎوي ‪:‬‬ ‫‪ (2‬ﻓﺮ ﻖ ﻋﻤﻞ ﻳﺘ ﻮن ﻣﻦ ‪ 4‬ﺴﺎء و ‪ 7‬رﺟﺎل ﻧﺮ ﺪ ﺸ ﻞ ﻨﺔ ﺗﻀﻢ رﺋ ﺴﺎ وﻧﺎﺋﺒﺎ و أﻣ ن ‪ ،‬ﻋﺪد اﻟ ﺎن اﻟ ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫‪168‬‬ ‫ﺸﻜﻴﻠ ﺎ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻀﻢ اﻟ ﻨﺔ رﺟﻠ ن أﺣﺪ ﻤﺎ اﻟﺮﺋ ﺲ ‪:‬‬ ‫]‪[ π‬‬ ‫√‬ ‫ﻢ ‪ v‬اﳌﻮﻟﺪ ﺑﺪوران )‪ (C‬ﺣﻮل‬ ‫‪،‬ا‬ ‫;‪0‬‬ ‫ﺎل‬ ‫‪ (3‬ﻟﻴﻜﻦ )‪ (C‬اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎ ﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f : x −→ cosx‬ﻋ ا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v=1‬‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﻔﻮاﺻﻞ )‪ (xx ′‬ﺑﻮﺣﺪة ا ﻮم ﺴﺎوي ‪:‬‬ ‫‪∫n‬‬ ‫ﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫= ‪Un‬‬ ‫‪ N‬ﺑـ‪2x dx :‬‬ ‫‪ (4‬اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ (Un‬اﳌﻌﺮﻓﺔ ﻋ‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ 4‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺜﺎ ﻲ‪:‬‬ ‫‪6Un − 2‬‬ ‫‪Un+1‬‬ ‫=‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪:n‬‬ ‫اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ )‪ (Un‬اﳌﻌﺮﻓﺔ ﻋ ‪ N‬ب ‪ U0 = 32‬و وﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪Un+1 = 6 −‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪ (1‬أ( ﺗﺤﻘﻖ أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪: n‬‬ ‫ب( ﺑﺮ ﻦ ﺑﺎﻟ اﺟﻊ أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪. 32 ⩽ Un ⩽ 2 :n‬‬ ‫‪ (2‬ﺑ ن أن اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ (Un‬ﻣ اﻳﺪة و اﺳﺘ ﺘﺞ أ ﺎ ﻣﺘﻘﺎر ﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (3‬أ( ﺑ ن أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪.0 ⩽ 2 − Un+1 ⩽ 89 (2 − Un) : n‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.n−‬‬ ‫⩽ ‪ 0 ⩽ 2 − Un‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ‪lim Un‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪:n‬‬ ‫ب( اﺳﺘ ﺘﺞ أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ‬ ‫)‪4‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬ ‫‪g(x) = xe−x‬‬ ‫و‬ ‫‪f(x) = x − 3 + (x + 2)2 e−x‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و‪ g‬داﻟﺘﺎن ﻣﻌﺮﻓﺘﺎن ﻋ ‪ R‬ﺑـ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪→ −‬‬ ‫→‬ ‫ﺲ ) ‪(O; i , j‬‬ ‫) ‪ (Cg‬ﺗﻤﺜﻴﻠ ﺎ اﻟﺒﻴﺎ ﻲ اﳌﺴﺘـﻮي اﳌ ﺴﻮب إ اﳌﻌﻠﻢ اﳌﺘﻌﺎﻣﺪ اﳌﺘﺠﺎ‬ ‫‪G(x) = (−x − 1)e−x‬‬ ‫داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟـ‪ g‬ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺑ ن أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪G‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫=‪J‬‬ ‫‪x2 e−x dx‬‬ ‫و‬ ‫=‪I‬‬ ‫‪xe−x dx‬‬ ‫‪ (2‬ﻧﻀﻊ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫أ‪ /‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺘ ﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ﺑ ن أن ‪. J = 2I − e−1 :‬‬ ‫ب‪ /‬اﺣﺴﺐ ﻗﻴﻤﺔ ‪ I‬ﺛﻢ اﺳﺘ ﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ ‪. J‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫=‪µ‬‬ ‫‪x − 3 + (x + 1)e−x dx‬‬ ‫‪ (3‬ﺑﺎﻹﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﻤﺎ ﺳﺒﻖ اﺣﺴﺐ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ -‬ﻓﺴﺮ ﺬﻩ اﻟﻨ ﻴﺠﺔ ﻨﺪﺳﻴﺎ ‪.‬‬ ‫ﺻﻔﺤﺔ ‪3‬ﻣﻦ ‪4‬‬ ‫‪2 0 2 3 0 3 06BAC 3 S E‬‬ ‫⊞‬ ‫)‪ 0 8‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺮا ﻊ‪:‬‬ ‫‪ I‬ﻌﺘ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬اﳌﻌﺮﻓﺔ ﻋ ‪ R‬ب ‪. g(x) = 1 + 4xe2x :‬‬ ‫‪ (1‬ﺑ ن أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪. g ′(x) = 4(2x + 1)e2x : x‬‬ ‫اﺗﺠﺎﻩ ﻐ (اﻟﺪاﻟﺔ ‪. g‬‬ ‫)‬ ‫‪ (2‬اﺳﺘ ﺘﺞ‬ ‫‪.R‬‬ ‫‪ g −1‬ﺛﻢ اﺳﺘ ﺘﺞ أﺷﺎرة )‪ g(x‬ﻋ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (3‬ﺑ ن أن ‪> 0‬‬ ‫‪ f II‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﳌﻌﺮﻓﺔ ﻋ ‪ R‬ب ‪. f(x) = (2x − 1)e2x + x + 1 :‬‬ ‫‪−‬‬ ‫→‬ ‫‪−‬‬ ‫→‬ ‫‪−‬‬ ‫‪→ −‬‬ ‫→‬ ‫) ‪ (Cf‬ﺗﻤﺜﻴﻠ ﺎ اﻟﺒﻴﺎ ﻲ اﳌﺴﺘﻮي اﳌ ﺴﻮب إ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ وﻣﺘﺠﺎ ﺲ ) ‪. "∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 2cm" ، (o; i ; j‬‬ ‫‪. x−‬‬ ‫‪ (1‬ﺑ ن أن ∞‪ lim f(x) = −‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ )‪lim f(x‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪ (2‬أ ( ﺑ ن أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈن ‪.f ′(x) = g(x) :‬‬ ‫ب ( اﺳﺘ ﺘﺞ إﺗﺠﺎﻩ ﻐ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺛﻢ ﺷ ﻞ ﺟﺪول ﻐ ا ﺎ ‪.‬‬ ‫∞‪ x→−‬ﺛﻢ اﺳﺘ ﺘﺞ أن ) ‪ (Cf‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣﻘﺎر ﺎ )∆( ﻳﻄﻠﺐ ﻌﻴ ن ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ‪.‬‬ ‫‪ (3‬أ ( اﺣﺴﺐ ]‪lim [f(x) − x‬‬ ‫ب ( ادرس اﻟﻮﺿﻊ اﻟ ﺴ ﻟﻠﻤﻨﺤ ) ‪ (Cf‬و اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ )∆( ‪.‬‬ ‫‪ (4‬أ ( اﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﳌﻤﺎس ) ‪ (T‬ﻟﻠﻤﻨﺤ )‪ (Cf‬ﻋﻨﺪ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ اﳌﻌﺪوﻣﺔ ‪.‬‬ ‫ب ( ﺑ ن أن اﳌﻨﺤ )‪ (Cf‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﻘﻄﺔ إ ﻌﻄﺎف ‪ A‬ﻳﻄﻠﺐ ﻌﻴ ن إﺣﺪاﺛﻴ ﺎ ‪.‬‬ ‫) ‪ (∆) ، (T‬و )‪. (Cf‬‬ ‫‪ (5‬اﺣﺴﺐ )‪ f(1‬ﺛﻢ أ‬ ‫‪ (6‬ﻧﺎﻗﺶ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺣﺴﺐ ﻗﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻂ ا ﻘﻴﻘﻲ ‪ m‬ﻋﺪد ﺣﻠﻮل اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪. f(x) = x + ln(m‬‬ ‫‪∫ 12‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(2x − 1)e2x dx = 1 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (7‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﳌ ﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ﺑ ن أن‬ ‫‪0‬‬ ‫ا ﺪد ﺑﺎﳌﻨﺤ )‪ (Cf‬و اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ (T‬و اﳌﺴﺘﻘﻴﻤ ن ‪ x = 0‬و ‪.x = 12‬‬ ‫‪ (8‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ S‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ا‬ ‫ﺑ ن أن ‪S = (6 − 2e)cm2 :‬‬ ‫اﻧﺘ اﳌﻮﺿﻮع اﻟﺜﺎ ﻲ‬ ‫ﺻﻔﺤﺔ ‪4‬ﻣﻦ ‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻴﺔ‪2023 / 2022 :‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ‪3:‬ع ت‬ ‫اﳌﻮﺿﻮع ّ‬ ‫اﻷول‬ ‫ﻴﺢ ﻣﻘ ﺡ ﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎ ﻲ ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮ ﺎﺿﻴﺎﺕ‬ ‫ﺗ‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫‪vn+1 − vn = 2 + ln‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪un+1 − 2 − ln ( un‬‬ ‫‪ (3‬أ‪-‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻷول‪ 04) :‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫أﺟﺐ ﺑ أو ﺧﻄﺄ ﻣﻊ اﻟﺘ ﻳﺮ‪:‬‬ ‫‪= ln‬‬ ‫) ‪un+1 − ln ( un‬‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫‪" ⇚ (1‬ﺧﻄﺄ"‬ ‫‪un+1‬‬ ‫‪un+1‬‬ ‫√ ‪= ln‬‬ ‫‪= ln‬‬ ‫اﻟﺘ ﻳﺮ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﳌﺒﺪأ اﻷﺳﺎ ﻟﻠﻌﺪ ‪:‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪un‬‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪5 × 5 × 4 × 3 = 300‬‬ ‫‪= ln‬‬ ‫= ) ‪e−1 = ln(e−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪" ⇚ (2‬ﺧﻄﺄ" اﻟﺘ ﻳﺮ‬ ‫=‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻣﻨﮫ )‪ (vn‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ أﺳﺎﺳ ﺎ‬ ‫‪1 ∫π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪cos xdx = [sin x]π‬‬ ‫وﺣﺪ ﺎ اﻷول ‪. v0 = 2‬‬ ‫‪π−0 0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪ -‬ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﺒﺎرة)‪ (vn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪: n‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪(sin(π) − sin(0)) = 0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪vn = v0 + n.r = 2 +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪" ⇚ (3‬ﺧﻄﺄ" اﻟﺘ ﻳﺮ‬ ‫اﺳﺘ ﺘﺎج ﻋﺒﺎرة ) ‪ (un‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫√‬ ‫‪y = e1+2x + (ln |2x + 1|)2 + 2 + c‬‬ ‫) ‪vn = 2 + ln ( un ) = 2 + 12 ln(un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫)‪un = e2(vn −2‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫⇚ "ﺧﻄﺄ" اﻟﺘ ﻳﺮ‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪un = e‬‬ ‫‪−n‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪un = ln en. ln 2 = n. ln 2‬‬ ‫∞‪. n→+‬‬ ‫‪lim un = lim e‬‬ ‫‪-n‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ج‪-‬‬ ‫√‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪q = ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ أﺳﺎﺳ ﺎ ‪:‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫‪.Sn = e2(v −2) + e2(v −2) + e2(v −2) +... + e2(v‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪n −2‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫)‪ 04‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺜﺎ ﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ‪ e2(vn −2) = un‬و ‪un = e−n‬‬ ‫أ‪ /‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ln(un+1 ) = −1 + ln(un‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫ﺎ اﻷول ‪1‬‬ ‫*ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳ ﺎ ‪ e−1‬وﺣﺪ‬ ‫‪un+1 = e‬‬ ‫) ‪−1+ln(un‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫وﻣﻨﮫ ‪Sn = u0 + u1 + u2 +... + un‬‬ ‫‪un+1 = e−1.eln(un‬‬ ‫)‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) ‪1 − (e−1‬‬ ‫‪n−0+1‬‬ ‫‪un+1 = e−1.un‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫‪Sn = u0‬‬ ‫) ‪1 − (e−1‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫(‬ ‫ب‪ /‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ u0 = 1 > 0‬وﻣﻨﮫ اﻟﻘﻀﻴﺔ ﻣﺤﻘﻘﺔ ﻣﻦ أﺟﻞ ‪) n = 0‬‬ ‫‪1 − e−n−1 − e−(n+1) − 1‬‬ ‫= ‪Sn‬‬ ‫=‬ ‫‪1 − e−1‬‬ ‫ﻣﻦ أﺟﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ N‬ﻧﻔﺮض ان ‪ un > 0‬وﻧ ﻦ أن ‪−e−1 (1 − e) un+1 > 0‬‬ ‫)‪( −(n+1‬‬ ‫)‬ ‫‪e‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪1−e‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫ﻣﻦ ﻓﺮﺿﻴﺔ اﻟ اﺟﻊ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪un > 0‬‬ ‫وﻣﻨﮫ ‪e−1.un > 0‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ 4) :‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫وﻣﻨﮫ ‪un+1 > 0‬‬ ‫ﻋﺪد اﻹﻣ ﺎﻧﻴﺎت اﳌﺘﺎﺣﺔ‬ ‫‪un > 0‬‬ ‫وﻣﻨﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ‪ n ∈ N‬ﻓﺈن‬ ‫= ‪cardΩ‬‬ ‫‪A39‬‬ ‫‪= 9 × 8 × 7 = 504‬‬ ‫ ﺣﺴﺎب اﺣﺘﻤﺎل اﻷﺣﺪاث‬ ‫‪ (2‬أ‪ /‬ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴ ‪ n‬ﻧﻘﺎرن ﺑ ن ‪ uun+1‬و ‪: 1‬‬ ‫ا ﺪث ‪ : A‬ﺐ ﺛﻼث ﻛﺮات ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A34‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪A35‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪un+1‬‬ ‫= )‪p (A‬‬ ‫=‬ ‫‪= e−1 = 0, 36 < 1‬‬ ‫‪A39‬‬ ‫‪504‬‬ ‫‪un‬‬ ‫ﺐ ﺛﻼث ﻛﺮات ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﺮﻗﻢ‬ ‫ا ﺪث ‪: B‬‬ ‫ب ‪ /‬اﺳﺘ ﺘﺎج إﺗﺠﺎﻩ ﻐ اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ (un‬وﺗﻘﺎر ﺎ ‪:‬‬ ‫‪A34‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪A33‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪ uun+1 < 1‬واﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ذات ﺣﺪود ﻣﻮﺟﺒﺒﺔ ﻓﺈن‬ ‫= )‪p (B‬‬ ‫=‬ ‫‪A39‬‬ ‫‪504‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪ (un‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎﻣﺎ‬ ‫ﺐ ﻛﺮة ﺣﻤﺮاء ﻋ اﻷﻗﻞ‬ ‫ا ﺪث ‪: C‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ﺎ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎﻣﺎ وﻣﺤﺪودة ﻣﻦ اﻷﺳﻔﻞ ﻓ ﻣﺘﻘﺎر ﺔ ‪.‬‬ ‫ﺐ ﻛﺮة ﺣﻤﺮاء ﻋ اﻷﻗﻞ‬ ‫ا ﺪث ‪: C‬‬ ‫‪ (2‬أ‪ /‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﻋ [∞‪]1; +‬‬ ‫!)‪(1 + 2‬‬ ‫!)‪(2 + 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪(A15 × A24 ) +‬‬ ‫‪(A25 × A14 ) + A35‬‬ ‫‪′‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= )‪p (C‬‬ ‫!‪1!.2‬‬ ‫!‪2!.1‬‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪A39‬‬ ‫ب‪ /‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ g ′ (x) < 0‬وﻣﻨﮫ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎﻣﺎ ﻋ [∞‪]1; +‬‬ ‫‪(3 × 60) + (3 × 80) + 60 480‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﺟﺪول ﻐ ات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. g‬‬ ‫‪504‬‬ ‫‪504‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪′‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﺐ ﻛﺮﺗﺎن ﺗﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ ‪ 2‬ﻋ اﻷﻛ‬ ‫ا ﺪث ‪: E‬‬ ‫‪(2 + 1)! 2‬‬ ‫‪(1 + 2)! 1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪(A4 × A15 ) +‬‬ ‫‪(A4 × A25 ) + A35‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫!‪p (E) = 2!.1‬‬ ‫!‪1!.2‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪A39‬‬ ‫أ‪ /‬اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ g(x) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا ‪α‬‬‫‪(3‬‬ ‫‪(3 × 60) + (3 × 80) + 60 480‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﻣﻦ ا ﺎل [‪ ----]2, 7; 2, 8‬ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﳌ ﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‬ ‫‪504‬‬ ‫‪504‬‬ ‫ب‪ /‬اﺳﺘ ﺘﺞ إﺷﺎرة )‪ g(x‬ﻋ [∞‪]1; +‬‬ ‫ﺴﺎوي ‪5‬‬ ‫ﺐ ﺛﻼث ﻛﺮات ﻣﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻣ ﺎ أﻛ أو‬ ‫ا ﺪث ‪: F‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫!)‪(2 + 1‬‬ ‫‪A34 +‬‬ ‫‪(A24 × A13 ) 24 + 108 132‬‬ ‫= )‪p (F‬‬ ‫!‪2!.1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪A39‬‬ ‫‪504‬‬ ‫‪504‬‬ ‫ﻮ ﺔ زوﺟﻴﺎ‬ ‫ﻳ ﻮن ﺟﺪاء أرﻗﺎم اﻟﻜﺮات اﻟﺜﻼث اﳌ‬ ‫‪II‬‬ ‫إذا ﺎن ﻣﻦ ﺑﻴ ﺎ ﻋ اﻷﻗﻞ رﻗﻢ زو‬ ‫)∞(‬ ‫ح‬ ‫= )‪lim f(x‬‬ ‫∞‬ ‫ع‬ ‫‪ (1‬أ‪/‬‬ ‫‪A310 +‬‬ ‫‪(2 + 1)! 2‬‬ ‫‪(A10 × A13 ) +‬‬ ‫‪(1 + 2)! 1‬‬ ‫) ‪(A10 × A23‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ت‬ ‫= )‪p (H‬‬ ‫!‪2!.1‬‬ ‫!‪1!.2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪A313‬‬ ‫)‪4 (x − 1‬‬ ‫)‪ln(x − 1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪lim‬‬ ‫×‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪720 + (3 × 270) + (3 × 60) 1710‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪ 4x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln(x − 1) ‬‬ ‫‪1716‬‬ ‫‪1716‬‬ ‫‪= lim ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x→+∞  ex‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪|{z} |{z} | {z‬‬ ‫)‪ 04‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺮا ﻊ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻣﻨﮫ ﻣﺤﻮر اﻟﻔﻮاﺻﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎرب أﻓﻘﻲ ﻟـ ) ‪(Cf‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim g(x) = lim ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫∞‪ = +‬‬ ‫‪(1 I‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x→+∞  x − 1‬‬ ‫‪| {z }‬‬ ‫‪z‬‬ ‫|}‬ ‫{‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫)‪4 ln(x − 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f(x) = lim‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x−‬‬‫‪→1‬‬ ‫>‬ ‫‪x−‬‬‫‪→1‬‬ ‫>‬ ‫‪ex‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln(x‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻣﻨﮫ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ذو اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = 1‬ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟـ ) ‪(Cf‬‬ ‫∞‪ x − 1 | {z } = +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x−‬‬‫‪→1‬‬ ‫‪x−‬‬‫} ‪→1 | {z‬‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ (2‬ﺑ ن أﻧﮫ ﻣﻦ أﺟﻞ ﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪: ]1; +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪.ex − ex.4 ln(x − 1‬‬ ‫)‪− 4 ln(x − 1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(ex )2‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 4e−x‬‬ ‫)‪− ln(x − 1‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫)‪= 4e−x g(x‬‬ g(x) ‫ ﻣﻦ إﺷﺎرة‬f ′ (x) ‫إﺷﺎرة‬ (3 g(α) = 0 ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ]1; α] ‫ ﻣ اﻳﺪة ﺗﻤﺎﻣﺎ ﻋ‬f ‫وﻣﻨﮫ اﻟﺪاﻟﺔ‬ 1 ‫وﻣﻨﮫ‬. [α; +∞[ ‫وﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎﻣﺎ ﻋ‬ − ln(α − 1) = 0 α−1 ‫وﻣﻨﮫ‬ f ‫ﺟﺪول ﻐ ات اﻟﺪاﻟﺔ‬ 1 x 1 α +∞ ln(α − 1) = ′ α−1 f (x) + 0 − ‫وﻣﻨﮫ‬ f(α) f(x) J= α−1 − α + 2 =1 − α + 2 = 3 − α −∞ +∞ α−1 g(2) = 1 ‫ و‬f(2) = 0 ‫ﺣﺴﺎب‬ (4 I − J = ln(α − 1) − (3 − α ) /‫(أ‬2 = 1 (3 − α)(α − 1). (Cf)‫( و‬Cg) ‫إ ﺸﺎء ﻛﻼ ﻣﻦ‬ − α−1 α−1 α 1 1 − 3α + 3 + α2 − α = α−1 α − 4α + 4 (α − 2)2 2 = = α−1 α−1 S ‫ﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ اﺳﺘ‬/‫ب‬ ∫ α (α − 2)2 S= g(x)dx =I − J = (u.a) 2 α−1 cm2 ‫ﻟﺘﺼﺒﺢ اﳌﺴﺎﺣﺔ ﺑـ‬ (α − 2)2 ( − → → ) 4(α − 2)2 − S= i × j = cm2 α−1 α−1 III I ‫ﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ ﺣﺴﺎب اﻟﻌﺪد ا‬/‫( أ‬1 ‫اﻧﺘ اﳌﻮﺿﻮع اﻷول‬ ∫α 1 I= dx = [ln(x − 1)]α 2 = ln(α − 1) x−1 2 J=3−α : ‫ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺘ ﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ﻧﺒ ن أن‬/‫ب‬ : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ∫ ∫ u ′ (x) × v(x)dx = [u(x) × v(x)] − u(x) × v ′ (x)dx      u ′ (x) = 1 u(x) = x  v(x) = ln(x − 1) ⇒  1 : ‫ﺑﻮﺿﻊ‬  v ′ (x) = x−1 ∫ α ∫ α x J = ln(x − 1)dx = [x ln(x − 1)]2 − dx 2 x−1 α ∫ α 1 = [x ln(x − 1)]2 − 1 + x−1 dx 2 = [x ln(x − 1)]α 2 − [x + ln(x − 1)]α 2 = α ln(α − 1) − α − ln(α − 1) − 2 = (α − 1) ln(α − 1) − α + 2 ‫ّ‬ ‫اﻟﺜﺎ ﻲﺍﳌﺴﺘﻮﻯ ‪3:‬ع ت‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭ‬ ‫اﳌﻮﺿﻮع‬ ‫ﻴﺢ ﻣﻘ ﺡ ﻻﺧﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎ ﻲ ﻣﺎﺩﺓ ﺍﻟﺮ ﺎﺿﻴﺎﺕ‬ ‫ﺗ‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺜﺎ ﻲ‪ 04) :‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻷول‪ 04) :‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫‪ (1‬ﻧﺒ ن ‪ G‬داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟـ‪ g‬ﺣﻴﺚ ‪G(x) = (−x − 1)e−x‬‬ ‫أﺟﺐ ﺑ أو ﺧﻄﺄ ﻣﻊ اﻟﺘ ﻳﺮ‪:‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ )‪G ′ (x) = −e−x − e−x (−x − 1‬‬ ‫‪" ⇚ (1‬ﺧﻄﺄ" اﻟﺘ ﻳﺮ‬ ‫)‪=e−x (−1 + x − 1) = xe−x = g(x‬‬ ‫ا ﻤﻮع ﻳﺼﺒﺢ ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎ ﻌﺔ ﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ أﺳﺎﺳ ﺎ‬ ‫)‪ ln(2‬وﺣﺪ ﺎ اﻷول )‪ln(3‬‬ ‫‪ (2‬أ‪ /‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺘ ﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ﺑ ن أن ‪J = 2I − e−1 :‬‬ ‫‪∫ ′‬‬ ‫∫‬ ‫) ‪S = ln(u50 ) + ln(u51 ) +... + ln(u2023‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪u (x) × v(x)dx = [u(x) × v(x)] − u(x) × v ′(x)dx :‬‬ ‫‪1973‬‬ ‫=‬ ‫))‪× (2073 ln(2) + 2 ln(3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ u ′ (x) = e−x‬‬ ‫‪ u(x) = −e−x‬‬ ‫‪ v(x) = x2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪ v ′ (x) = 2x‬‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ ‪:‬‬ ‫‪" ⇚ (2‬ﺧﻄﺄ" اﻟﺘ ﻳﺮ‬ ‫ﺍﻟﺘ ﻳﺮ ‪ :‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺎﻟﺘ ﻥ‬ ‫‪∫1‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬ ‫‪2 −x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪J‬‬ ‫‪xe‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫‪[−x2 e−x ]0‬‬ ‫‪− (−2xe‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫ﺭﺟﻞ )ﺍﻟﺮﺋيﺲ( ﺭﺟﻞ )ﻥ ﺃﻭﻝ ( ﺍﻣﺮﺃﺓ )ﺃﻣ ﻥ(‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫‪= −e−1 − 0 + 2 xe−x dx = −e−1 + 2I‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺭﺟﻞ )ﺍﻟﺮﺋيﺲ( ﺍﻣﺮﺃﺓ )ﻥ ﺃﻭﻝ ( ﺭﺟﻞ )ﺃﻣ ﻥ(‬ ‫ﺘﺎج ﻗﻴﻤﺔ ‪J‬‬ ‫ب‪ /‬ﺣﺴﺎب ﻗﻴﻤﺔ ‪ I‬ﺛﻢ اﺳﺘ‬ ‫‪∫1‬‬ ‫‪2 × 7 × 6 × 4 = 336‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻋﺪﺩ ﺍﻟلجﺎﻥ هﻮ‬ ‫=‪I‬‬ ‫‪xe−x dx = [(−x − 1)e−x ]10 = −2e−1 + 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وﻣﻨﮫ ‪J == −e−1 + 2I = 2 − 5e−1‬‬ ‫‪" ⇚ (3‬ﺧﻄﺄ" اﻟﺘ ﻳﺮ‬ ‫‪∫ π2‬‬ ‫‪∫ π2‬‬ ‫√(‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪ (3‬ﺑﺎﻹﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﺣﺴﺎب‬ ‫‪v=π‬‬ ‫‪(f(x))2 dx = π‬‬ ‫‪cosx dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫=‪µ‬‬ ‫‪x − 3 + (x + 1)e‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪v = π [sinx]02 = π sin‬‬ ‫‪− sin0 = π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫=‪µ‬‬ ‫‪(x + 1)2 e−x dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫" اﻟﺘ ﻳﺮ‬ ‫‪" ⇚ (4‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫‪∫1‬‬ ‫‪= x2 e−x dx + 2 x2 e−x dx + e−x dx‬‬ ‫∫‬ ‫‪n+1‬‬ ‫∫‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∫‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫= ‪2x dx‬‬ ‫= ‪eln 2 dx‬‬ ‫‪ex ln 2 dx‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= J + 2I + [−e−x ]10 = 5 − 10e−1‬‬ ‫[‬ ‫‪]n+1 [ x ]n+1‬‬ ‫‪1 x ln 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫=‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪ln 2 n‬‬ ‫ﺬﻩ اﻟﻨ ﻴﺠﺔ ﻨﺪﺳﻴﺎ‬ ‫ﺗﻔﺴ‬ ‫‪[ x ]n+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n+1‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(Cf‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ µ‬ﻮ ﻣﺴﺎﺣﺔ ا ا ﺪد ﺑﺎﳌﻨﺤ‬ ‫= ‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln 2 n‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪y = x − 3‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫وﻣﻨﮫ‬‫= ‪un‬‬ ‫واﳌﺴﺘﻘﻴﻤ ن اﻟﺬﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﻤﺎ ‪ x = 0‬و ‪x = 1‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫وﻣﻨﮫ ) ‪ (un‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳ ﺎ ‪ 2‬وﺣﺪ ﺎ اﻷول ‪ln 2‬‬ ‫‪ (3‬ﺃ( ﺗبﻴﺎﻥ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ كﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴ ي ‪: n‬‬ ‫)‪ 4‬ﻧﻘﺎط(‬ ‫اﻟﺘﻤﺮ ﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.0 6 2 − Un+1‬‬ ‫) ‪6 (2 − Un‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪6(Un + 3) − 20‬‬ ‫‪ (1‬ﺃ(‬ ‫‪6Un − 2‬‬ ‫‪2(Un + 3) − 6Un + 2‬‬ ‫‪Un+1 = 6 −‬‬ ‫=‬ ‫‪2 − Un+1 = 2 −‬‬ ‫=‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪6Un + 18 − 20‬‬ ‫‪6Un − 2‬‬ ‫= ‪Un+1‬‬ ‫=‬ ‫) ‪2 − Un+1 = 8 − 4Un = 4(2 − Un‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ي ‪6 Un 6 2 :n‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻟ هﺎﻥ ﺑﺎﻟ ﺍﺟﻊ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ كﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)∗( ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪n = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 Un + 3‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 Un‬‬ ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺃﻳﻀﺎ‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪0 6 U0 = 6 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍلخﺎﺻﻴﺔ ﻣﺤﻘﻘﺔ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪n = 0‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴ ي ﻛﻴﻔﻲ‬ ‫)∗∗( ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ‪6 Un 6 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭﻧ هﻦ ﺃﻥ ‪. 32 6 Un+1 6 2‬‬ ‫‪2 − Un‬‬ ‫ﺑﻀﺮﺏ ﻃﺮ ي ﺍﳌ ﺍجحﺔ ي‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ 6 Un 6 2‬ﻭﻣﻨﻪ ‪+ 3 6 Un + 3 6 2 + 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪−20‬‬ ‫) ‪2 − Un+1 = 4(2 − Un ) 6 8 (2 − Un‬‬ ‫‪−20 6 −‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪66−‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪66−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ‬ ‫‪2 − Un+1‬‬ ‫) ‪6 (2 − Un‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪3 14‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ ‪6 Un+1 6 2‬‬ ‫‪0 6 2 − Un+1‬‬ ‫ﻭ ‪ Un+1 6 2‬ﻣﻌﻨﺎﻩ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣﻦ )∗( ﻭ )∗∗( نﺴﺘنﺘﺞ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ كﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴ ي ‪.. 2 6 Un 6 2 :n‬ﻭﻣﻨﻪ ﻳنﺘﺞ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ كﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴ ي‬ ‫)‪.0 6 2 − Un+1 6 89 (2 − Un‬‬ ‫‪ (2‬ﺗبﻴﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ (Un‬ﻣ ﺍﻳﺪﺓ ‪:‬‬ ‫‪6Un − 2‬‬ ‫)‪6Un − 2 − Un (Un + 3‬‬ ‫= ‪Un+1 −Un‬‬ ‫= ‪−Un‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪−U2n + 3Un − 2‬‬ ‫)‪(Un − 1)(Un − 2‬‬ ‫= ‪Un+1 −Un‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪Un + 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫> ‪Un − 1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ 6 Un 6 2‬ﻭﻣﻨﻪ ‪ Un + 3 > 0‬ﻭ ‪> 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ‪ Un − 2 6 0‬ﻭﻣﻨﻪ ‪ Un+1 − Un > 0‬ﺃﻱ ﺃﻥ)‪ (Un‬ﻣ ﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎﻣﺎ‪.‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ﺃﻥ) ‪(Un‬ﻣ ﺍﻳﺪﺓ ﻭﻣﺤﺪﻭﺩﺓ ﻣﻦ ﺍﻷﻋ ى ﻓ ﻣﺘﻘﺎﺭبﺔ ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﺍﺳﺘنﺘﺎﺝ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ كﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴ ي ‪: n‬‬ ‫)‪ 08‬ﻧﻘﺎﻁ(‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺮ ﻦ ﺍﻟﺮﺍ ﻊ‪:‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫‪0 6 2 − Un 6 1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺍ ﺰﺀ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫‪. g(x) = 1 + 4xe2x‬‬ ‫نﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟ هﺎﻥ ﺑﺎﻟ ﺍﺟﻊ‬ ‫‪( )0‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ كﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0 6 2 − U0 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)∗( ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪ n = 0‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪g ′ (x) = 4e2x + 2e2x (4x) = (8x + 4)e2x= 4(2x + 1)e2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0 6‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍلخﺎﺻﻴﺔ ﻣﺤﻘﻘﺔ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪n = 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4e2x > 0‬‬ ‫‪ :‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪g‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺳﺘنﺘﺎﺝ ﺍﺗﺠﺎﻩ تﻐ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫‪0 6 2 − Un 6‬‬ ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬ ‫)∗∗(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2x + 1‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﺷﺎﺭﺓ ﺍﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﻦ ﺍﺷﺎﺭﺓ‬ ‫ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴ ي ﻛﻴﻔﻲ ‪ n‬ﻭﻧ هﻦ ﺃﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( )n+1‬‬ ‫‪x=−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2x + 1 = 0‬ﻭﻣﻨﻪ‬ ‫‪0 6 2 − Un+1 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪g ′ (x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﳌ ﺍجحﺔ ي‬ ‫‪0 6 2 − Un 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−∞; −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ ‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎﻣﺎ ﻋ ى ﺍﳌﺠﺎﻝ‬ ‫‪( )n‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0 6 (2 − Un ) 6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻳنﺘﺞ‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪=1− >0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪0 6 2 − Un+1 6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫) ‪(2 − Un‬‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫ﺍﺳﺘنﺘﺎﺝ ﺍﺷﺎﺭﺓ )‪ g(x‬ﻋ ى ‪R‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫‪( )n+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪g −‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ g − 1‬ﻗﻴﻤﺔ ﺣﺪﻳﺔ ﺻﻐﺮ ﻯ‬ ‫‪0 6 2 − Un+1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.‬ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ كﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ R‬ﻓﺈﻥ ‪. g (x) > 0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣﻦ )∗( ﻭ )∗∗( نﺴﺘنﺘﺞ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ كﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴ ي‬ ‫ﺍ ﺰﺀ ﺍﻟﺜﺎ ﻲ ‪:‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫‪. f(x) = (2x − 1)e2x + x + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0 6 2 − Un 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim 2xe2x = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟ ﺎﻳﺔ ‪ :‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫∞‪lim f(x) = −‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim −e2x = 0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫< ‪−1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪< 1‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n−‬‬ ‫‪→+∞ 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪ lim x + 1 = −‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫(‬ ‫‪)n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 6 2 − Un‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪lim 2x − 1 = +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪lim f(x) = +‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪lim e2x = +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪n−‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪lim Un = 2‬‬ ‫‪ n−‬ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪lim 2 − Un = 0‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪ lim x + 1 = +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪ (4‬ﺃ ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﳌﻤﺎﺱ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ‪.0‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫)‪y = f (0)(x − 0) + f(0‬‬ ‫)‪.f (x) = g(x‬‬ ‫ﺃ ( ﺗبﻴﺎﻥ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ كﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫)‪y = (1 + 4(0)e0 )(x − 0) + ((0 − 1)e0 + 0+1‬‬ ‫‪y = x+ 0‬‬ ‫‪f ′ (x) = (2)e2x + 2e2x (2x − 1) + 1‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫‪= (2 + 4x − 2)e2x + 1‬‬ ‫ﺏ ( ﺗبﻴﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﳌﻨﺤ ) ‪ (Cf‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺇنﻌﻄﺎﻑ ‪A‬‬ ‫)‪= 1 + 4xe2x = g(x‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ )‪ f (x) = g (x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﺷﺎﺭﺓ )‪ f (x‬ﻣﻦ ﺍﺷﺎﺭﺓ)‪g (x‬‬ ‫ﺇﺗﺠﺎﻩ تﻐ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﺏ ( ﺍﺳﺘنﺘﺞ‬ ‫)ﺗﻤﺖ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﺷﺎﺭ ﺎ ي ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ‪ 2‬ﻣﻦ ﺍلجﺰﺀ ﺍﻷﻭﻝ( ﻭﻣﻨﻪ ﻳنﺘﺞ‬ ‫ﺍﺷﺎﺭﺓ ﺍﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ )‪ g(x‬ﻭﻣﻨﻪ ‪f ′ (x) > 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نﺴﺘنﺘﺞ ﺃﻥ ‪ f‬ﻣ ﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎﻣﺎ ﻋ ى ‪R‬‬ ‫)‪f ′′ (x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐ ﺍﺕ ‪:‬‬ ‫‪f(− ) = (−1 − 1)e−1 − 1 + 1 = −2e− 1 +‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x=−‬‬ ‫ﺍﳌﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺍنﻌﺪﻣﺖ ﻭﻏ ﺕ ﺍﺷﺎﺭ ﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ (− 12 , −2e−1 + 12‬ﻧﻘﻄﺔ ﺇنﻌﻄﺎﻑ‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪f(1) = ((2(1)−1)e2(1) +1+1 = e2 +2‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫∞‪: x→−‬‬ ‫‪ (3‬ﺃ ( ﺣﺴﺎﺏ ]‪lim [f(x) − x‬‬ ‫]‪lim [f(x) − x] = lim [(2x − 1)e2x + x + 1 − x‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫]‪= lim [(2x − 1)e2x + 1‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪= lim [2xe‬‬ ‫‪−e‬‬ ‫‪+ 1] = 1‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪lim [f(x) − x − 1] = 0‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪ x→−‬ﻣﻌﻨﺎﻩ‬ ‫]‪lim [f(x) − x‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪ y‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭ‬ ‫‪= x+1‬‬ ‫ﺫﻭ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫)∆(‬ ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤ )‪ (Cf‬ﺑﺠﻮﺍﺭ ∞‪. −‬‬ ‫ﺏ ( ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻮﺿﻊ ﺍﻟنﺴ ﻟﻠﻤﻨﺤ )‪ (Cf‬ﻭ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ )∆( ‪(6 :‬‬ ‫ﺍﳌﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ‪ :‬ﺣﻠﻮﻝ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ )‪f(x) = x + ln(m‬‬ ‫‪f(x) − y = f(x) − x − 1 = (2x − 1)e2x‬‬ ‫ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ي ﻓﻮﺍﺻﻞ ﻧﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﳌﻨﺤ ) ‪ (Cf‬ﻣﻊ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫) ‪ y = x + ln(m‬ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﻣﺎﺋﻠﺔ ﻣﻮﺍﺯيﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤ ﻥ ) ‪ (T‬ﻭ )∆(‬ ‫ﺍﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﻣﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ‪ 2x − 1‬ﻭﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪ ln(m) < 0‬ﺃﻱ ‪ m< 1‬ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻠﻮﻻ‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪ ln(m) = 0‬ﺃﻱ ‪ m = 1‬ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻭﺍﺣﺪ‬ ‫‪f(x) − y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪ 0 < ln(m) < 1‬ﺃﻱ ‪ 1 < m < e‬ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻠ ﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﻥ‬ ‫ﺍﻟﻮﺿﻊ‬ ‫) ‪(Cf‬ﺗﺤﺖ)∆(‬ ‫) ‪(Cf‬ﻓﻮﻕ)∆(‬ ‫ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪ ln(m) 6 0‬ﺃﻱ ‪ m 6 e‬ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻭﺍﺣﺪ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟنﺴ ﺑ ﻥ‬ ‫) ‪(Cf‬‬ ‫)∆(‬ ‫ﻳﻘﻄﻊ‬ ‫)∆( ﻭ ) ‪(Cf‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ )‪(0.5; 1.5‬‬ ‫ي‬  ‫ﺑﻔﺮﺽ‬ (7  u(x) = (2x − 1) u ′ (x) = 2  v ′ (x) = e2x 1 v(x) = e2x 2 ∫ 12 [ ] 12 ∫ 12 2x 2x − 1 2x 2 2x (2x − 1)e dx = −e e dx 0 20 0 2   1 1 [ ]1 2( ) − 1 2( ) 0 − 1  2 0  1 2x 2 =  e 2 − e − e. 2 2 2 0 [ ] 1 1 2( 12 ) 1 0 1 1 1 = 0+ − e − e = − e+ 2 2 2 2 2 2 e =1− 2 [ ] 1 ( T) ‫ﻓﻮﻕ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬ (Cf ) ‫ﺍﳌﻨﺤ‬ 0, 2 ‫ ي ﺍﳌﺠﺎﻝ‬: ‫( ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍلح‬8 ∫ 12( ∫ 12( ‫ﻭﻣﻨﻪ‬ ) ) S= f(x) −y dx = (2x − 1)e2x + x + 1 − x dx 0 0 ∫ 12 ( ) S = (2x − 1)e2x + 1 dx 0 e 1 (2 − e + 1 ) − → → − S= 1− + −0 = ∥ i ∥ × ∥ j ∥cm2 2 2 2 S= 3 − e (2 × 2)cm2 = (6 − 2e)cm2 2 ‫ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ

Use Quizgecko on...
Browser
Browser