محاضرات في التفاضل و التكامل PDF

‫كلية العلوم‬ ‫قسم الرياضيات‬ ‫محاضرات في التفاضل و التكامل‬ ‫للفرقة األولى بكلية الزراعة‬ ‫إعـــداد‬ ‫اعضاء هيئة التدريس بالقسم‬  ‫الدوال‬...

‫كلية العلوم‬ ‫قسم الرياضيات‬ ‫محاضرات في التفاضل و التكامل‬ ‫للفرقة األولى بكلية الزراعة‬ ‫إعـــداد‬ ‫اعضاء هيئة التدريس بالقسم‬  ‫الدوال‬ ‫مفهوم الدالة ‪:‬‬ ‫يعتبر مفهوم الدالة من أهم المفاهيم األساسية في الرياضيات وكلمة دالة‬ ‫تعبررر ررن مفهرروم أ كميررة مررا تعتمررد لررإ كميررة أأررر فر ا فرض ر ا أ ‪Y ،X‬‬ ‫رررر‬ ‫رررر ‪x X‬‬ ‫مجمو ترررا يرررر أاليترررا فيةررران لةا رررد تعرررين ل ررر‬ ‫وحيد ‪ yY‬دالة من ‪ x‬إلإ ‪ y‬بفرض أ ‪ f‬دالرة مرا معةرا ‪ ،‬المجمو رة ‪ X‬التري‬ ‫رراد وحيرداد ‪ yY‬يةران لهرا مجالل‬ ‫رر مرن ااررها‬ ‫تعين الدالة ‪ f‬ل ر‬ ‫الدالاا ‪( f‬نةرراا الدالررة ‪ Domain‬ويرمررره لهررا بررالرمه ‪ D f‬المجمو ررة التررري‬ ‫اارررها الع ااررر الم ررا ر ‪ yY‬المعي ررة بالدالررة ‪ f‬يةرران لهررا ماادا الدال ا ‪f‬‬ ‫‪ Range‬ويرمه لها بالرمه ‪R f‬‬ ‫أمثلة على مفهوم الدالة ‪:‬‬ ‫من األمثلة التي توضح مفهوم الدالة نجد أ مساحة المربر تعتمرد لرإ‬ ‫طون ضلعه‪ ،‬ومتوسط ارتفاع نوع معرين مرن أنرواع ال باترات يتو رف لرإ سرن‬ ‫ب معين يعتمد لإ كمية الم شط التي تؤثر ليه‬ ‫ال بات‪ ،‬وتجاوب‬ ‫وإ ا أ ةيت الدالة ‪ f‬بعال ة من ال روع )‪ y = f(x‬فر ‪ x‬يةران لهرا المتريرر‬ ‫المستة للدالة ‪ y ،f‬يةان لها المترير التاب للدالة ‪f‬‬ ‫في معظم الحاالت سي و مجان ومد الدالة التي نحن ب دد دراسرتها‬ ‫مجمو ات جهئية من مجمو ة األ داد الحةيةية في مث هذه الحاالت كثيراد مرا‬ ‫تمث الدالة برسم بياني‬ ‫مثاالل ا تبررر الدالررة ‪ f ( x)  x 2‬مجرران الدالررة ‪ f‬هررو مجمو ررة األ ررداد الحةيةيررة‬ ‫ومد الدالة ‪ f‬هو مجمو ة األ داد الحةيةية ير السالبة‬ ‫‪y‬‬ ‫ـ ‪1‬ـ‬  ‫‪x‬‬ ‫شكل (‪)1‬‬ ‫الرسم البياني للدالة ‪ f ( x)  x 2‬يبدو كم ح إ لرإ كر حرر ‪( U‬هرذا الشر‬ ‫يعررر باسررم الةة ر الم رراف ويجررب الت ويرره إلررإ أ أأ م ح ررإ معةررإ (أو‬ ‫مجمو ة من ال ةط في المستو ‪ x y‬ي و بيانرا د لدالرة مرا كرريةة أ يةابر أأ‬ ‫أط رأسي البيا في نةةة واحد لإ األكثر فمرثالد الرسروم البيانيرة فري كر‬ ‫(‪ 2‬جميعها دوان‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(ب)‬ ‫(أ)‬ ‫من ناحية أأر ‪ ،‬الرسوم البيانية في كر (‪ 3‬ال يمثر أأ م هرا دالرة والسربب‬ ‫في لك يرج إلإ أ ه اك أةوطا د رأسية تتةاط م هذه الرسروم البيانيرة فري‬ ‫أكثر من نةةة‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xo‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ـ ‪2‬ـ‬  ‫‪y2‬‬ ‫شكل (‪)3‬‬ ‫في مث‬ ‫فمثالد ي ا ر الةيمة ‪ x  xo‬لإ الش األون يمتا ‪ y1 , y 2‬للمترير ‪y‬‬ ‫هذه الحالة ال ي ا ر الةيمة ‪ x‬دائما د يمة واحد للمترير ‪y‬‬ ‫و لرإ وجرره العمرروم ف نره لررإ الرسررم البيرراني لدالرة‪ ،‬تمثر الةرريم الوا عررة‬ ‫رردها الرسررم البيرراني معرفرا د لمجرران الدالررة‬ ‫لررإ محررور السرري ات والترري ي ررو‬ ‫دها للرسم البياني‬ ‫كذلك تمث الةيم الوا عة لإ محور ال ادات والتي ي و‬ ‫فةط‪ ،‬مد الدالة هذا موضح في ك (‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫المد‬ ‫‪x‬‬ ‫المجان‬ ‫شكل (‪)4‬‬ ‫و البا د ال يذكر مجان الدالرة ارراحة فري مثر تلرك الحراالت ي رو مرن‬ ‫المفهوم أ المجان هو مجمو ة جمي يم المترير المسرتة التري تحةر الةا رد‬ ‫المعةا‬ ‫لدالررة )‪ f(x‬معرفررة بعال ررة جبريررة ي ررو مجرران )‪ f(x‬هررو مجمو ررة جمير‬ ‫األ رررداد الحةيةيرررة ‪ x‬التررري ي رررو لهرررا )‪ f(x‬ررردداد حةيةيرررا د فمرررثالد مجررران الدالرررة‬ ‫‪ f ( x)  x‬هررو مجمو ررة جمي ر األ ررداد الحةيةيررة يررر السررالبة‪ ،‬بالمث ر فرري‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ g ( x) ‬ي ررو المجرران هرو مجمو ررة جمير األ ررداد الحةيةيررة‬ ‫حالرة الدالررة‬ ‫‪x 3‬‬ ‫ما دا ‪ x = 3‬حيث ي بح المةام افراد وت و بالتالي )‪ g(3‬ير معرفة‬ ‫و موماد‪،‬‬ ‫د البحث ن مجان دالة ما ف ن را يجرب أ نذأرذ فري ا تبارنرا هرذين‬ ‫الشرطين ‪:‬‬ ‫‪ ‬أأ ايرة تحت المة الجذر التربيعي ال يم ن أ ت و سالبة‬ ‫‪ ‬مةام أأ كسر ال يم ن أ يساوأ ال فر‬ ‫ـ ‪3‬ـ‬  ‫‪x3‬‬ ‫‪g ( x) ‬‬ ‫الدالة ‪ g‬حيث‬ ‫مثلل أوجد مجان ومد‬ ‫‪x2‬‬ ‫الحل‬ ‫من الواضح أ )‪ g(x‬ليست دداد حةيةيا د رد ‪ x = 2‬وبالترالي فر مجران‬ ‫‪ g‬هو مجمو ة جمي األ داد الحةيةية فيما دا ‪x = 2‬‬ ‫لإ ‪:‬‬ ‫وإليجاد مد الدالة ‪ g‬ف ن ا ن تب ‪ y‬بدالد من )‪ g(x‬ل ح‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫لإ يمة ‪ x‬بداللة ‪ ،y‬ف جد أ ‪:‬‬ ‫ونح هذه المعادلة ل ح‬ ‫‪3 2 y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y 1‬‬ ‫وهذه المعادلة األأير نالحظ أ ‪ y‬يم ن أ تذأذ أأ يمة دا الواحد وبالترالي‬ ‫ف مد الدالة ‪ g‬هو مجمو ة جمي األ داد الحةيةية دا الواحد‬ ‫ين مجان ومد الدالة ‪ f‬حيث ‪f ( x)  x  4‬‬ ‫مثلل‬ ‫الحل‬ ‫مجران الدالررة ‪ f‬هررو مجمو ررة جمير ريم ‪ x‬الترري ي ررو لهررا المةرردار تحررت‬ ‫المة الجذر التربيعي ير سالب‪ ،‬أأ أ ‪:‬‬ ‫‪ x  4 0‬أو ‪x  4‬‬ ‫من العال ة الدالية المعةا ‪ f(x) ،‬ت و دائما د ير سالبة ل يمرة للمتريرر ‪ x‬فري‬ ‫مجان ‪ f‬وبالتالي ف مد الدالة ‪ f‬هو مجمو ة األ داد الحةيةية ير السالبة‬ ‫ين مجان الدالة )‪f ( x)  ( x  2) ( x  3‬‬ ‫مثلل‬ ‫الحل مجرران الدالررة ‪ f‬مجمو ررة جمير رريم ‪ x‬الترري تجعر المةرردار تحررت المررة‬ ‫الجذر التربيعي أكبر من أو يساوأ ال فر أأ أ ‪:‬‬ ‫‪D f   x ( x  2 ) ( x  3)  0 ‬‬ ‫اإلكرار‬ ‫دما ي رو ل رال المعراملين )‪ (x - 2‬و )‪ (x - 3‬نفر‬ ‫هذا الشرط يتحة‬ ‫أو دما ي عدم أحدهما‬ ‫الحرظ أ كرال المعراملين )‪ (x - 2‬و )‪ (x - 3‬ي رو موجبرا د ردما ‪ x > 3‬وي رو‬ ‫سالبا د دما ‪ x < 2‬وبالتالي ‪:‬‬ ‫‪D f   x x  2 or x  3 ‬‬ ‫ـ ‪4‬ـ‬ ‫ويم ن وض حساب مجان الدالة ‪ f‬من جدون اإلكارات التالي كما هو موضح‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪( x - 2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪( x - 3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪( x - 2) ( x - 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫مثلل حدد مجان الدالة‬ ‫)‪( x  1) ( x  2‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫)‪( x  3) ( x  4‬‬ ‫الحل‬ ‫‪x‬‬ ‫نعين أافار البسط وهي ‪ x = 1 ،x = 2‬ثم نعين أافار المةام وهي‬ ‫‪ x = - 3 ، = 4‬ثم نةسم أط األ داد الحةيةيرة بواسرةة الر ةط … ‪ 4, 2, 1, -3,‬ثرم‬ ‫نعين إكار ك من البسط والمةام لإ حد وبالتالي إكرار ال سرر حترإ يسره‬ ‫تحديد مجان الدالة م مالحظة أ الدالة ير معرفة إال إ ا كا ال سر (المةدار‬ ‫الذأ ية تحت الجذر ير سالب (أأ موجب أو افر‬ ‫‪‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪( x - 1) ( x - 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪( x + 3) ( x - 4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪( x  1) ( x  2‬‬ ‫)‪( x  3) ( x  4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫وبالتالي ي و مجان الدالة هو‬ ‫[ ‪]   ,  3[  [1, 2 ]  ] 4 , ‬‬ ‫أو لإ ال ور ‪:‬‬ ‫‪D f   x x   3 or 1  x  2 or x  4 ‬‬ ‫الدوال الصريحة والدوال الضمنية ‪:‬‬ ‫ـ ‪5‬ـ‬ ‫الدالة ال ريحة هي الدالة التي تعةري المتريرر التراب ‪ y‬ب رفة ارريحة‬ ‫بداللة المترير المستة ‪ ، x‬أأ التي ت و لإ ال ور )‪ y = f(x‬وبخال لك‬ ‫ت و الدالة ضم ية‬ ‫فمثالد الدوان ‪y  2 x 2  log x ، y   x 2  3 sin x‬‬ ‫كلها دوان اريحة‬ ‫أما إ ا ا تبرنا العال ات اآلتية ‪:‬‬ ‫‪2 x2  5 x y 3 y2 0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪log x  y sin x  sin y‬‬ ‫‪sin x  5 x y  x y  0‬‬ ‫فهي تتضمن ‪ y‬كدالة من ‪ x‬ألنره لرو أ ةي را يمرة ‪ x‬أم را ولرو نظريرا د أ نوجرد‬ ‫الةيمة الم ا ر للمترير ‪ y‬ولذلك يةان في هذه الحالة أ ‪ y‬دالرة ضرم ية للمتريرر‬ ‫‪x‬‬ ‫بر ن ‪ y‬اراحة بداللة ‪ x‬في ك من العال ات اآلتية ‪:‬‬ ‫مثلل‬ ‫)‪(i‬‬ ‫‪x y 5 x 7 y 3  0‬‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫‪log10 x  log10 y  3‬‬ ‫الحل‬ ‫)‪(i‬‬ ‫‪x y  5 x  7 3 0‬‬ ‫‪y ( x - 7) = 3 - 5 x‬‬ ‫‪35 x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x 7‬‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫‪log10 x  log10 y  3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ log10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10 3 1000‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪y  (0.001) x‬‬ ‫ـ ‪6‬ـ‬  ‫الدوال الزوجية والفردية ‪:‬‬ ‫يةان للدالة )‪ f(x‬أنها دالة زوجية إ ا كانت‬ ‫)‪f(-x) = f(x‬‬ ‫وأنها دالة فردية إ ا كانت‬ ‫)‪f(-x) = - f(x‬‬ ‫وفرري يررر هررذه األحرروان الدالررة ال ت ررو زوجيررة أو فرديررة ومررن المالحررظ أ‬ ‫م ح إ الدالة الهوجية متماث حون محور ‪ y‬وأ م ح إ الدالرة الفرديرة متماثر‬ ‫حون نةةة األا‬ ‫ومن بين الدوان الهوجية الشهير الدوان اآلتية ‪:‬‬ ‫‪x 2 , x 4 ,..., cos x , sec x‬‬ ‫ومن بين الدوان الفردية الشهير الدوان اآلتية ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x , x , sin x , tan x , cotan x , cosec x‬‬ ‫وه اك كثير من الدوان ليست هي بالدوان الهوجية وال بالدوان الفردية مث‬ ‫‪x 2  x , 5 x , x  cos x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ f ( x)   x  1 ‬دالة زوجية‬ ‫مثلل بين أ الدالة‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الحل‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫) ‪f (  x )    x    ( ) 6  x    f ( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫وم ها ت و )‪ f(x‬دالة زوجية‬ ‫مثلل بين أ الدالة ‪  ( x)  sin 3 x‬دالة فردية‬ ‫الحل‬ ‫)‪ ( x)  sin ( x)  sin ( x)    sin x    ( x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وم ها ت و )‪  (x‬دالة فردية‬ ‫ـ ‪7‬ـ‬  ‫تمـلرين‬ ‫ين مجان ومد ك من الدوان اآلتية ‪:‬‬ ‫(‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪g ( x) ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f ( x)  x 2  2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪f ( x)  x  3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪F ( x) ‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ( x)   2  3 x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪g ( x) ‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫) ‪H ( x)  x (1 x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f ( x ) 1  1  x 2‬‬ ‫ين مجان ك من الدوان المعةا التالية ‪:‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫)‪f ( x)  ( x  1) (2  x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪x2  5 x  6‬‬ ‫)‪( x  2) ( x  1‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪x 2 16‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫)‪(4  x) ( x  1‬‬ ‫أوجد ‪ y‬اراحة بداللة ‪ x‬من المعادالت اآلتية ‪:‬‬ ‫(‪3‬‬ ‫‪y 5‬‬ ‫)‪(i‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 y 3‬‬ ‫ـ ‪8‬ـ‬ (ii) log y  log x  log A 1  1n (iii) yn  y 2 x ‫ابحث نوع الدوان اآلتية من حيث كونها دوان زوجية أو دوان فردية أو‬ 4( ‫ير لك‬ (i) y  x4  x2  6 (ii) y  x 2 sin 2 x  sin x  5 (iii) y  2x (iv) y x (v) yx x cos(2 x ) y   (vi) 1 sin 2 ( x) ‫إ ا كانت‬ 8( 5 x3 y  f ( x)  4 x 5 x = f(y) ‫فبرهن أ‬ ‫ـ‬9 ‫ـ‬  ‫الدوال الخطي‬ ‫‪Linear Functions‬‬ ‫ب فة امة الدالة الخةيرة دالرة رسرمها البيراني أرط مسرتةيم‪ ،‬د را اآل‬ ‫نةرررا السررؤان اآلترري ‪ :‬مررا هرري المعلومررات الواجررب توافرهررا لرردي ا حتررإ ي ررو‬ ‫بمةدورنا أ نرسم أرط مسرتةيم معرينح إحرد الةررا التري يم رن بهرا أ نحردد‬ ‫تماما د أط مسرتةيم هرو أ نعةري نةةترين مختلفترين تةعرا ليره وه راك طريةرة‬ ‫أأر يتحدد بها الخط المستةيم تماما د هري ب ةران نةةرة ت تمري للخرط المسرتةيم‬ ‫و يمه ميله وهدف ا اآل هو الح ون لإ معدلره الخرط المسرتةيم المعلروم ميلره‬ ‫(ولي ن ‪ m‬والمار ب ةةرة معلومرة (ولرت ن ‪  x1 , y1 ‬نفررض أ )‪ (x , y‬نةةرة‬ ‫من نةط الخط المستةيم‪ ،‬مختلفة رن ال ةةرة المعةرا ‪  x1 , y1 ‬كمرا هرو موضرح‬ ‫بش (‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(x , y‬‬ ‫‪ x1 , y1 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫شكل (‪)5‬‬ ‫مرررن المعلررروم أ الميررر ‪ m‬للخرررط المسرررتةيم الوااررر برررين ال ةةترررين )‪ (x, y‬و‬ ‫‪  x1 , y1 ‬يعةإ بالعال ة ‪:‬‬ ‫‪y  y1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪x  x1‬‬ ‫من هذا ي تج أ ‪:‬‬ ‫ـ ‪10‬ـ‬  ‫‪y  y1  m  x  x1 ‬‬ ‫وال يرة السابةة تمث وتسمإ ايرة نةةة ـ مي الخط المسرتةيم د را نفررض‬ ‫اآل أ ‪  x1 , y1 ‬هي ال ةةة )‪ (a, b‬كما هو موضح بشر (‪ 6‬فري هرذه الحالرة‬ ‫تؤون المعادلة السابةة إلإ‬ ‫)‪y - b = m (x - 0‬‬ ‫أو لإ ال ور ‪:‬‬ ‫‪y=mx +b‬‬ ‫المةدار ‪ b‬يسمإ المةةوع ال ادأ للخط المستةيم الساب من هذه ال تيجة ي تج‬ ‫أ بيرا أأ دالرة لرإ ال رور ‪ f(x) = m x + b‬ي رو أةرا د مسرتةيما د ميلره ‪m‬‬ ‫ومةةو ه ال ادأ ‪b‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫)‪(0, b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫شكل (‪)6‬‬ ‫مثلل أوجد معادلة الخط المستةيم المار بال ةةة )‪ (5, -3‬وميله يساوأ ‪-2‬‬ ‫الحل‬ ‫باستخدام ال يرة‬ ‫‪y  y1  m  x  x1 ‬‬ ‫مر ‪ m = - 2‬و )‪  x1 , y1   (5 ,  3‬نجرد أ المعادلرة المةلوبرة للخرط المسرتةيم‬ ‫هي‬ ‫)‪y - (- 3) = - 2 (x - 5‬‬ ‫أو لإ ال ور ‪:‬‬ ‫‪y=-2x+7‬‬ ‫ـ ‪11‬ـ‬  ‫مثلل أوجد معادلة الخط المستةيم المار بال ةةتين )‪(5, 6) , (1, -2‬‬ ‫الحل‬ ‫مي الخط المستةيم المار بال ةةتين )‪(5, 6), (1, -2‬‬ ‫)‪6  (2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫هي‬ ‫‪5 1‬‬ ‫وبالتالي ت و معادلة الخط المستةيم المار بال ةةة )‪ (1, -2‬وميله ‪ 2‬هي‬ ‫‪y=2x- 4‬‬ ‫تمـلرين‬ ‫أوجررد معادلررة ك ر أررط مررن الخةرروط المسررتةيمة الررذأ يحة ر الشررروط‬ ‫(‪1‬‬ ‫المعةا فيما يلي ثم ارسم ك المستةيم في ك حالة‬ ‫أ ـ المستةيم المار ب ةةة األا وميله ‪m = 3‬‬ ‫ب ـ المستةيم المار بال ةةة )‪ (3, 4‬وميله افر‬ ‫جـ ـ المستةيم المار بال ةةتين )‪(4, 5), (2, - 3‬‬ ‫د ـ المستةيم الذأ ميله ‪ m = 3‬ومةةو ه ال ادأ ‪b = - 2‬‬ ‫دوال القوا‬ ‫‪Power Functions‬‬ ‫الدالة التي لإ ال ور‬ ‫ـ ‪12‬ـ‬  ‫‪f ( x)  a x n‬‬ ‫حيث ‪ n ،a‬ددا ثابتا ير افريا تسمإ دالة و‬ ‫س عتبر اآل بعض الحاالت الخااة لدوان هذا ال وع‬ ‫عندمل ‪n = 2‬‬ ‫ف نه ‪ f ( x)  a x‬هذه الدالة حالة أااة من الدالة التربيعيرة كر هرذه‬ ‫‪2‬‬ ‫الدالة ‪ y  a x 2‬ة م اف رأسه نةةة األا ومفتوا إلإ أ لإ إ ا كا > ‪a‬‬ ‫‪ 0‬ومفتوا إلإ أسف إ ا كا ‪a < 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫عندمل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫فر ‪ f ( x)  a x 2‬كر هررذه الدالررة ي ررو ال ررف مررن الةةر الم رراف‬ ‫المفتوا إلإ اليمين إ ا كا ‪ a > 0‬ي و الش هرو ال رف العلروأ مرن الةةر‬ ‫الم اف ‪ a < 0‬أأ أ الش يرتف أو يهبط إلإ اليمين حسبما كا‬ ‫‪ a > 0‬أو ‪a < 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(a 0‬‬ ‫مجان الدالة ‪ f‬هو مجمو ة جمي األ رداد الحةيةيرة يرر السرالبة ومرد الدالرة ‪f‬‬ ‫هو مجمو ة جمي األ داد الحةيةية ير السالبة أو ير الموجبة حسبما كا ‪a‬‬ ‫‪ > 0‬أو ‪ a < 0‬لإ الترتيب‬ ‫عندمل ‪n = - 1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ f ( x) ‬يسررمإ كر مثر هررذه الدالررة ةر زائررد ررائم كر هررذا‬ ‫فر‬ ‫‪x‬‬ ‫الةة له فر ا يةعرا فري الربر األون والثالرث مرن المسرتو إ ا كرا ‪a > 0‬‬ ‫ويةعا فري الرربعين الثراني والرابر إ ا كرا ‪ ،a < 0‬ترهداد ‪ x‬ردديا د (أأ الةيمرة‬ ‫المةلةررة للعرردد ‪ x‬ف ر )‪ f(x‬تةترررب أكثررر فررذكثر مررن ال ررفر ول هررا ال تسرراوأ‬ ‫ـ ‪13‬ـ‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫ردما تةتررب ‪ x‬أكثرر فرذكثر مرن ال رفر فر‬ ‫ال فر لإ اإلطالا بالمث‬ ‫تهداد ردديا د أكثرر فرذكثر فري هرذه الحالرة ي رو محرورأ اإلحرداثيات تةراربيين‬ ‫‪ asymptotes‬للةة الهائد الةائم ك من مجان ومد الدالة )‪ f(x‬هو مجمو رة‬ ‫جمي األ داد الحةيةية دا ال فر‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(a0‬‬ ‫عندمل ‪n = 3‬‬ ‫الدالررة )‪ f(x‬فرري هررذه الحالررة يسررمإ ة ر م رراف‬ ‫ف ر ‪ f ( x)  a x‬ك ر‬ ‫‪3‬‬ ‫اآلتي‪ ،‬ك من مجان ومرد الدالرة )‪ f(x‬هرو فةرة‬ ‫ت عيبي كما هو موضح بالش‬ ‫جمي األ داد الحةيةية‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(a0‬‬ ‫دوال القيمة المطلقة ‪Absolute Value Functions‬‬ ‫ـ ‪14‬ـ‬  ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫مررن الواضررح أ ‪ x  0‬أأ أ الةيمررة المةلةررة لعرردد حةيةرري ت ررو دائم را د رردد‬ ‫حةيةي ير سالب‪ ،‬الش اآلتي يوضح دالة الةيمة المةلةة‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x)  x  2‬‬ ‫مثلل ا تبر الدالة‬ ‫مجررران الدالرررة )‪ f(x‬هرررو مجمو رررة جميررر األ رررداد الحةيةيرررة ومرررداها هرررو‬ ‫مجمو ة جمي األ داد الحةيةية ير السالبة‬ ‫د ا نرسم ك الدالة )‪ f(x‬بوض‬ ‫)‪y = f(x‬‬ ‫‪y x2‬‬ ‫نجد أ‬ ‫وباستخدام التعريف المذكور للةيمة المةلةة نجد أ ‪:‬‬ ‫‪ x2 ,‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2 x ,‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫حيررث أ مررد ‪ f‬هررو مجمو ررة جميرر األ ررداد الحةيةيررة يررر السررالبة (أأ أ‬ ‫‪ y  0‬ف ك الدالة )‪ f(x‬يت و من جهئي الخةين المستةيمين‬ ‫‪y=x-2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y=2-x‬‬ ‫)‪ f(x‬كما هو موضح كاآلتي ‪:‬‬ ‫بحيث ‪ y  0‬بهذا ي و ك‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ـ ‪15‬ـ‬  ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مثلل ا تبرر الدالرة ‪ f ( x)  x  2‬مجران الدالرة ‪ f‬هرو مجمو رة جمير األ رداد‬ ‫الحةيةيررة ومررد الدالررة ‪ f‬هررو مجمرروع جميرر األ ررداد الحةيةيررة بحيررث ‪y   2‬‬ ‫بوض )‪ y = f(x‬نجد أ ‪y  x  2‬‬ ‫أو لإ ال ور‬ ‫‪ x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪  x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫اآلتي يوضح ك الدالة )‪f(x‬‬ ‫والش‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫مثلل ا تبر الدالة‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫مرن الواضرح أ هرذه الدالرة ليسرت معرفرة ردما ‪ x = 0‬وبالترالي ي رو مجران‬ ‫الدالة ‪ f‬هو فةة جمي األ داد الحةيةية دا ال فر الحظ أ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪f ( x)  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫هذه الدالة يت و فةط من ددين هما ‪1, -1‬‬ ‫أأ أ مد‬ ‫ـ ‪16‬ـ‬  ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫تمـلرين‬ ‫ك م ها‬ ‫ين مجان ومد ك من الدوان اآلتية وارسم ك‬ ‫(‪1‬‬ ‫هـ ـ ‪f ( x) 1 x 2‬‬ ‫أ ـ ‪f ( x)  4  x 2‬‬ ‫‪f ( x)  2  x‬‬ ‫وـ‬ ‫‪g ( x)  2  9  x 2‬‬ ‫بـ‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪g ( x) ‬‬ ‫زـ‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫جـ ـ‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪g ( x)  x  2‬‬ ‫نـ‬ ‫د ـ ‪f ( x)  3  x‬‬ ‫ـ ‪17‬ـ‬  ‫دراسة إضافية للدوال‬ ‫‪More on Functions‬‬ ‫بفرض أن )‪ g(t) ،f(t‬تمثالن تعدادي شعبين متجاورين من نفس الجنسس‬ ‫كدالتين في الزمن ‪ t‬قد نرغب في ظل ظروف معيسة أن نعتبر التعداد اإلجمالي‬ ‫لهذين الشعبين هما بالطبع التعداد اإلجمالي يساوي )‪f(t) + g(t‬‬ ‫بهذه الطريقة نكون إذن قد حصلسا من الدالتين ‪ f, g‬على دالة ثالثة جديدة تسمى‬ ‫مجموع الدالتين ‪.f, g‬‬ ‫مثل هذا المثال يعطيسا التعريف المجرد التالي ‪:‬‬ ‫إذا أعطيسنا دالتنين ‪ f, g‬فننن دالنة المجمنوع ‪ f + g‬ودالنة الفنر ‪ f - g‬تعرفنان‬ ‫بالمعادلتين ‪:‬‬ ‫)‪(f + g) (x) = f(x) + g(x‬‬ ‫)‪(f - g) (x) = f(x) - g(x‬‬ ‫ويجننب مالح ننة أن مجننال كننل مننن دالننة المجمننوع ودالننة الفننر هننو الجننز‬ ‫المشترك من مجال ‪.f, g‬‬ ‫ويمكن أيضا ً تعريف دالة الضرب ‪ f g‬ودالة القسمة ‪ f‬كما يلي ‪:‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‪( f g ) ( x)  f ( x) g ( x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪( x) ‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫مرة أخرى نجد أن مجال الدالنة ‪ f g‬هنو الجنز المشنترك منن مجنال ‪ f, g‬ولكنن‬ ‫لدالة القسمة البد أن نستبعد الجز المشترك من مجالي ‪ f, g‬وجميع قني ‪ x‬التني‬ ‫تجعل ‪ g(x) = 0‬وذلك من أجل الحصول على المجال‪.‬‬ ‫كتوضيح لمفهوم دالة القسمة نعطي المثال التالي ‪:‬‬ ‫بفننرض أن )‪ g(t‬تمثننل تعننداد شننعب مننا عسنند لح ننة معيسننة مسيننة ‪ t‬وأن )‪ f(t‬هنني‬ ‫إجمالي الغذا المتاح لهذا الشعب بأكمله‪ ،‬من هنذا يسنتأ أن الغنذا المتناح للفنرد‬ ‫عسد اللح ة الزمسية ‪ t‬يساوي خارج قيمة ) ‪. f (t‬‬ ‫) ‪g (t‬‬ ‫‪- 22 -‬‬  ‫‪1‬‬ ‫‪g ( x)  x ، f ( x ) ‬‬ ‫مثال ‪ :‬بفرض أن‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫أوجد ‪،f g ، f - g ، f + g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫عين مجال كل من هذه الدوال الجديدة‪.‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( f  g ) ( x)  f ( x)  g ( x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( f  g ) ( x)  f ( x)  g ( x) ‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪( f g ) ( x)  f ( x) g ( x) ‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫)‪x ( x  1‬‬ ‫واضح أن مجال الدالة ‪ f‬هو مجموعة جميع األعداد الحقيقية عدا ‪ ،x = 1‬مجال‬ ‫)‪ g(x‬هو ‪x  5‬‬ ‫‪ D f   x x 1  , Dg   x x  0 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الجز المشترك للمجموعتين ‪ D f , Dg‬هو ‪x  0 , x 1 ‬‬ ‫هذه المجموعة األخيرة هي مجال كل من ‪f + g , f - g , f g‬‬ ‫حين إن ‪ g ( x)  x‬تسناوي فنفر عسندما ‪ x = 0‬فنننه البند منن اعنتبعاد هنذه‬ ‫السقطة من مجال ‪ f‬أي أن مجال ‪ f‬هو المجموعة‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪ x x  5 , x 1 ‬‬ ‫هساك طريقة أخرى نحصل بواعطتها على دالة ثالثة من دالتنين معلنومتين هني‬ ‫ما يعرف بتركيب (أو تحصيل) الدوال‪ ،‬لتوضيح ذلك تأمل الموقف التالي ‪:‬‬ ‫خننالل تعامننل كيمينناقي يتوقنننف المعنندل ‪ R‬لتكننوين مركنننب معننين علننى درجنننة‬ ‫الحرارة ‪ T‬للمواد الداخلة في التفاعل‪.‬بصفة عامة يمكسسا كتابة )‪ R = f(T‬ولكنن‬ ‫‪- 23 -‬‬ ‫دعسنا نعتبننر كمثننال أن ‪. R  2T 3  3T‬أفننرض ا ن أن درجننة الحننرارة تتغيننر‬ ‫تبعا ً للزمن بحي )‪ T = g(t‬لدالة معيسة ‪ g‬ودعسا نأخذ مرة أخرى فورة محددة‬ ‫للدالة ‪ g‬ولتكن ‪ T = 4 t -1‬حي أن ‪ R‬دالة في ‪ T‬وحي إن ‪ T‬تتغير مع الزمن‪،‬‬ ‫فنن ‪ R‬البد وأن تتغير أيضا ً مع الزمن ‪ t‬ويمكسسا أن نكتب ا ن ‪:‬‬ ‫)‪R  2 T 3  3T  2 (4 t 1) 3  3 ( 4 t 1‬‬ ‫معبرين بذلك فراحة عن ‪ R‬كدالة في ‪.t‬‬ ‫بصفةة اامفة ‪ :‬إذا كنان )‪ R = f(t) , T = g(t‬وبننحالل ‪ T‬بالدالنة )‪ g(t‬نحصنل‬ ‫على ‪ R   g (t ) ‬معبرين بذلك عن ‪ R‬كدالة في الزمن ‪.t‬‬ ‫تعريف ‪ :‬بفرض أن ‪ f, g‬دالتين‪ ،‬افرض أن ‪ x‬تستمي لمجال الدالة ‪ g‬بحي )‪g(t‬‬ ‫تستمني لمجننال الدالننة ‪ f‬الدالنة المحصننلة (أو الدالننة المركبنة) ‪ f  g‬تعننرف كمننا‬ ‫يلي ‪:‬‬ ‫‪( f  g ) ( x)  f  g ( x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D f  g  x x  D g , g ( x ) D f‬‬ ‫مجال الدالة ‪ f  g‬هو ‪‬‬ ‫‪f ( x )  x , g ( x)  x 2‬‬ ‫مثال ‪ :‬إذا أعطيسا‬ ‫فعين )‪( g  f ) ( x) ، ( f  g ) ( x‬‬ ‫أوجد كذلك مجال كل من الدالتين ‪f  g , g  f‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪( f  g ) ( x)  f  g ( x)   f x 2 ‬‬ ‫‪x2  x‬‬ ‫مجال الدالة ‪ f  g‬هو مجموعة جميع األعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫‪( g  f ) ( x)  g  f ( x)   g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مجال ‪ g  f‬معطى كالتالي ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D g  f  x x  D f , f ( x ) D g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  x x  0 , f ( x)R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x x  0 ‬‬ ‫مثال ‪ :‬أثسا تفاعل كيميناقي وجند أن المعندل ‪ R‬لتكنوين مركنب كيميناقي معنين‬ ‫يكون دالة لدرجة الحرارة ‪ T‬للمواد المتفاعلة‪.‬وقد لوحظ كذلك أن كل من ‪R, T‬‬ ‫دالة في الزمن على الصورة ‪:‬‬ ‫‪- 24 -‬‬  ‫‪2t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1 t‬‬ ‫‪(1  t ) 2‬‬ ‫كيف تتوقف ‪ R‬على ‪T‬؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫إذا كانت )‪ R = f(T) , T = g(t‬فنن ‪ R‬تعطى كدالنة محصنلة فني النزمن‬ ‫‪ T‬كالتالي ‪:‬‬ ‫) ‪R  ( f  g ) (t‬‬ ‫من المعلومات المعطاة نرى أن ‪:‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( f  g ) (t ) ‬‬ ‫‪, T  g (t ) ‬‬ ‫‪1 t‬‬ ‫‪(1  t ) 2‬‬ ‫من المعطيات نجد أن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1  t )  T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪ 1 t  T‬‬ ‫‪ t T‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪2  t 2 T 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R 1 T 2‬‬ ‫هذه الستيجة األخيرة هي الستيجة المطلوبنة التني تعبنر عنن معندل التفاعنل كدالنة‬ ‫في درجة الحرارة‪.‬‬ ‫تمـارين‬ ‫أوجنند مجمننوع‪ ،‬الفننر بننين‪ ،‬ضننرب‪ ،‬قسننمة النندالتين ‪ f, g‬فنني كننل مننن‬ ‫(‪)1‬‬ ‫التمارين ا تية‪ ،‬ث عين مجال كل من الدوال الساتجة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ( x )  x 1 , g ( x ) ‬‬ ‫أـ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2 x 1‬‬ ‫‪f ( x ) 1 ‬‬ ‫‪x , g ( x) ‬‬ ‫بـ‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪- 25 -‬‬  1 f ( x)  ( x  1) 2 , g ( x)  ‫جـ ـ‬ x 1 2 ‫ فأوجد قيمة‬g ( x)  x 1 ، f ( x)  x 2 ‫إذا أعطيت‬ )2( ( f  g ) (2) , ( g  f )  43  , ( f  g ) 12  ‫ فني كنل حالنة عنين‬،‫ ( في الحناالت ا تينة‬g  f ) ( x) ‫ ( و‬f  g ) ( x) ‫) عين‬3( g  f ، f  g ‫مجال كل من الدالتين‬ f ( x)  x 1 , g ( x)  x 2 ‫أ ـ‬ f ( x)  2  x , g ( x)  ( x  2) 2 ‫ب ـ‬ ‫ إذا كان‬g(x) ‫في كل حالة أوجد‬ )4( f ( x)  x 1 , ( f  g ) ( x)  x 2 ‫أ ـ‬ x 1 3 f ( x)  , ( g  f ) ( x)  ‫بـ‬ x2 x2 f ( x)  x , ( f  g ) ( x)  x ‫جـ ـ‬ - 26 -  ‫النهايات‬ ‫‪Limits‬‬ ‫غالبا ً ما يسصب اهتمامسا عسد تطبين الرياضنيات فني العلنوم البيولوجينة‬ ‫على اعتخدام معادالت رياضية لوفف تفاعالت وعملينات تتطنور منع النزمن‪.‬‬ ‫فمثالً‪ ،‬قد يكون اهتمامسا مسصبا ً على إجرا تجربة العتقصنا التغينر فني كمينة‬ ‫السكر بدم شخص ما أو إجرا تجربة لقياس معدل نمو مزرعة لكاقسات دقيقة‪.‬‬ ‫في الحالة األولى يمكسسا اعتخدام مستوى السكر بالندم معبنراً عسنه كدالنة‬ ‫فنني الننزمن مننن أجننل وفننف الحالننة‪ ،‬وفنني الحالننة الثانيننة يمكسسننا اعننتخدام حجن‬ ‫المزرعة معبراً عسنه كدالنة فني النزمن‪.‬كتوضنيح لنذلك‪ ،‬اعتبنر مزرعنة بكترينا‬ ‫مهيأة لها ال روف لتسمو معملياً‪.‬حج المزرعة (ولسقنل منثالً مقيسنا ً بو نهنا ‪)w‬‬ ‫يكنون دالننة فنني النزمن ‪ ،t‬قنند يكننون و ن المزرعننة غينر مقينند أي أن الننو ن قنند‬ ‫يستمر في الزيادة النهاقيا ً مع الزمن‪.‬‬ ‫ولكن إذا كنان معندل إمنداد المزرعنة بالغنذا محندود فننن معندل نمنو المزرعنة‬ ‫عنيأخذ فني اإلبطنا ‪.‬لقنني ‪ t‬الكبينرة عنسجد أن ‪ w‬تقتننرب منن قيمنة( ‪ ،) wm‬التنني‬ ‫تمثنننل الحننند األقصنننى لنننو ن المزرعنننة النننذي يمكنننن إعاشنننته بنننالم ن الغذاقينننة‬ ‫المتوفرة‪.‬في هذه الحالنة يكنون السنلوك التقناربي لهنذا الس نام هنو أن‪ w‬تقتنرب‬ ‫من القيمة الثانية ‪ ، wm‬تسمى ‪ wm‬عادة القيمة السهاقينة للنو ن‪ w‬عسندما تقتنرب ‪t‬‬ ‫من الالنهاية ونعبر عن ذلك كتابة‬ ‫‪lim w wm‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫تعريف ‪ :‬نفرض أن ‪ y‬دالة للمتغير ‪ x‬أي )‪ y = f(x‬ونفرض من أنه عسدما ت ول‬ ‫‪ x‬إلى القيمنة ‪ a‬فننن ‪ y‬تن ول إلنى القيمنة ‪ b‬فيقنال أن نهاينة ‪ y‬تسناوي ‪ b‬عسندما ‪x‬‬ ‫ت ول إلى ‪ ،a‬وتكتب‬ ‫‪lim f ( x)  b‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫ويمكن أن تكون ‪ a‬تسناوي منا النهاينة ففني هنذه الحالنة نقنول أن )‪ f(x‬تسناوي ‪b‬‬ ‫عسدما ت ول ‪ x‬إلى ما النهاية وتكتب‬ ‫‪lim f ( x)  b‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫بعض نظريات النهايات ‪:‬‬ ‫‪- 27 -‬‬  f(x) = c ‫إذا كان‬ )1( : ‫ مقدار ثابت فنن‬c ‫حي‬ lim f ( x)  c x  lim g ( x)  B ، lim f ( x)  A ‫إذا كان‬ )2( xa x a : ‫فنن‬ (i) lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x)  A  B x a x a x a (ii) lim  f ( x). g ( x)   lim f ( x). lim g ( x)  A. B x a x a x a lim f ( x) f ( x) x a A (iii) lim   x a g ( x) lim g ( x) B xa.‫ ال تساوي ففر‬B ‫بشرط أن‬ (iv) lim k f ( x)   k A x a.‫ مقدار ثابت‬k ‫حي‬ (v) lim n f ( x)  n lim f ( x) x a xa n A.‫ عدد حقيقي‬n A ‫بفرض أن‬ xn  an lim  n a n1 )3( x a xa.‫ عدد حقيقي‬n ‫حي‬ sin  lim 1 : )4( ‫نظرية‬  0 .‫ مقيسة بالتقدير الداقري‬ ‫حي‬ : ‫البرهان‬ A r - 28 -  ‫‪‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫نفننرض أن ‪ AOB‬قطنناع مننن داقننرة نصننف قطرهننا ‪ r‬ويحصننر اويننة ‪ ‬عسنند‬ ‫المركز‪ ،‬أيضا ً في الشكل ‪ AD‬هو المماس للداقرة عسد ‪ AC ،A‬هو العمودي من‬ ‫‪ A‬إلى ‪.OB‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫مساحة القطاع ‪ OAB‬تساوي ‪r ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪ OAB‬تساوي ‪r sin ‬‬ ‫مساحة المثل‬ ‫‪2‬‬ ‫واضح أن مساحة المثل أفغر من مساحة القطاع وبالتالي ‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r sin   r 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وبالقسمة على ‪ r 2‬نحصل على‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ا ن اعتبر المثل ‪ OAD‬حي أن هذا المثل قاق الزاوية عسند ‪ A‬فننن مسناحته‬ ‫‪1 2‬‬ ‫ولكننن مننن الواضننح أن مسنناحة المثلنن ‪ OAD‬أكبننر مننن‬ ‫تسنناوي ‪r tan ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r tan   r 2 ‬‬ ‫مساحة القطاع ‪ OAB‬وبالتالي يكون‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫نحصل على‬ ‫وبالقسمة على ‪r ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪tan ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫بضرب الطرفين في ‪ cos ‬نحصل على‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪ cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪- 29 -‬‬  ‫ومسه نحصل على‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪cos ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫وا ن دع ‪ ‬تقترب منن الصنفر‪ ،‬عسدقنذ تقتنرب ‪ cos‬أكثنر فنأكثر منن الواحند‬ ‫الصحيح‪ ،‬وبالتالي فنن ‪ sin ‬تكون محصورة بين ‪ cos , 1‬مع مالح نة أن‬ ‫‪‬‬ ‫‪ cos‬تقترب من ‪ 1‬عسدما ‪.  0‬من هذا يستأ ‪ sin ‬يجب أن تقتنرب أيضنا ً‬ ‫‪‬‬ ‫من ‪ 1‬عسدما ‪.  0‬‬ ‫وبالتالي نكون قد برهسا على أن ‪:‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  1 1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫مثال ‪ :‬أوجد قيمة‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫لو عوضسا عن ‪ x = 0‬حصلسا على المقدار غير المعين ‪ 0‬ولذلك نضرب بسطا ً‬ ‫‪0‬‬ ‫ومقاما ً في مراف البسط نجد أن ‪:‬‬ ‫‪x  1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1 1‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 1 1 2‬‬ ‫‪x 5 / 2  25 / 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫مثال ‪ :‬أوجد قيمة‬ ‫‪x 2 x 3 / 2  23 / 2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫بالقسمة بسطا ً ومقاما ً على ‪ x - 2‬فيكون ‪:‬‬ ‫‪- 30 -‬‬  x 5 / 2  25 / 2 lim x 5 / 2  25 / 2 x2 x2 lim 3 / 2 3 / 2  x2 x 2 x 3 / 2  23 / 2 lim x2 x2  5  5 / 2 1  2   2 10   3  3 / 2 1 3  2 2 : ‫ أوجد قي السهايات ا تية‬: ‫مثال‬ sin 3 sin 2 (i) lim (ii) lim  0   0 sin 5 sin 7 x sin 2 y (iii) lim (iv) lim x 0 tan 3 x y 0 y2 3 sin 1 x (v) lim (vi) lim  0 tan 3 5 x0 x   (vii) lim   x  tan x x  /2 2  : ‫الحل‬ sin 3 3 sin 3 (i) lim = lim  0   0 3 sin 3 = 3 lim  0 3 : ‫ نجد أن‬3  ‫بفرض أن‬ sin 3 sin  lim = 3 lim 3  0   0  - 31 -  sin 2 sin 2  (ii) lim = lim  0 sin 5  0 sin 5  sin 2 2 sin 2 lim lim  0   0 2   sin 5 sin 5 lim lim  0   0 5 5   , 2  ‫بفرض أن‬ sin  2 lim sin 2  0  2  lim    0 sin 5 sin  5 lim  0    =  lim cos3 x   lim sin 7 x sin 7 x (iii) lim  x0 tan 3 x x0   x 0 sin 3 x  sin 7 x lim 7 =  lim cos3 x  x0 7x 7   x0  lim 3 sin 3 x 3 x0 3x 2 sin 2 y  sin y  (iv) lim =  lim  y0 y  1 y 0 y2   3 3    (v) lim =  lim   0 tan 5   0 tan 3 5   3 1  5  =  lim. lim cos5  125   0 sin 5  0  : ‫ نجد أن‬  5 ‫بفرض أن‬ - 32 -  3 3 1    1 lim =  lim    0 tan 3 5 125   0 sin   125 sin 1 x (vi) lim x0 x sin 1 x  y ‫بفرض أن‬  x  sin y ‫ كذلك‬y 0 ‫ فنن‬x 0 ‫وعسدما‬ sin 1 x y 1  lim = lim  1 x0 x y 0 sin y sin y lim y 0 y   (vii) lim   x  tan x x  /2 2   y   x ‫بفرض أن‬ 2  y 0 ‫ فنن‬x ‫وعسدما‬ 2      lim   x  tan x = lim y tan   y  x  /2 2  y 0 2  = lim y cotan y y0 y cos y = lim y 0 sin y y = lim lim cos y 1 y 0 sin y y 0 - 33 -  ‫تمـارين‬ ‫ بالعالقة‬t ‫) يعطى و ن مزرعة بكتريا كدالة في الزمن‬1( t 3  3t 2 w(t )  3 t 5  2t lim w(t ) ‫أوجد‬ t  : ‫) أوجد قيمة كل من السهايات ا تية‬2( 2 x3 x2 (i) lim (ii) lim x 9 x 2 1 x  x2 x  x2 (iii) lim x  x : ‫) أوجد قي السهايات ا تية‬3( 2x 4  x  1 2 x (i) lim (ii) lim x 0 4 x  4 x x 1 x 1 (iii) lim x   x2  2 x  6  x  (iv) lim  0  tan 1  4 x 1 sin 3 x (v) lim (vi) lim x 1 x 1 x 0 tan 1 5 x 1 cos3 x (vii) lim x 0 1  cos 6 x : ‫) أوجد قي السهايات ا تية‬4( tan 3 x 1 (i) lim (ii) lim x sin x 0 sin 8 x x  x x sin 2 2 cos x 1 (iii) lim 2 (iv) lim x 0 x x 0 x - 34 -  sin 2 x sin 6 x tan 2 x tan 3 x (v) lim (vi) lim x 0 x 2 sin 2 5 x x 0 x sec x tan 3 x cotan x (vii) lim (viii) lim x 0 x sec 6 x x  / 2  x 2 x cos sin (sin x ) 2 (ix) lim (x) lim x 0 x x 1 1 x - 35 -  ‫الدوال المتصلة‬ ‫‪Continuous Functions‬‬ ‫لقددع فنا دد رددت ا للددا لأ ه د لد ل ه د للعلل د ف ددع لق د ر د‬ ‫هس وي ب لضدنو ي ةد للعللد ف دع اأدق لل ق د ن لود لرد و ا للد ر د‬ ‫ل ه د للعلل د ف ددع لق د ر د وفةيا د بق ة د للعلل د ا د اأددق لل ق د ول بددعل‬ ‫با نهف ل اص لعلل ا اان ا ل ي‬ ‫تعريف ‪ :‬هق لعلل )‪ y = f(x‬لل راصدأ الدة اادن رردعوا الالدق ل ي د إذل‬ ‫ك لت راصأ ف ع كق لق ا هذه للفان‬ ‫تعريف ‪ :‬هق لعلل )‪ y = f(x‬لل راصدأ ف دع لق د ‪ x = a‬إذل ارققدت لل دنوط‬ ‫للثةث للا ل رجاة ‪:‬‬ ‫(‪ f(x) )1‬ر نا ف ع ‪ x = a‬لي لد )‪ f(a‬ر ج ا‬ ‫(‪ lim f ( x) )2‬ر ج ا‬ ‫‪x a‬‬ ‫)‪lim f ( x)  f (a‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫لد للعلل غ ن راصأ ف دع ‪x‬‬ ‫إذل لم هارقق لي رت هذه لل نوط للثةث اإله هق‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪ f ( x)  x‬راصددأ ف ددع ‪ x = 0‬لةحددأ لو أ لد ‪f (0)  0  0‬‬ ‫مث ا ل ‪ :‬للعلل د‬ ‫وب لا ل هك د لل نط لألو رارقق أن كدذلق )‪ lim f ( x‬ر جد ا وذلدق ح دن للده‬ ‫‪x 0‬‬ ‫ف ددعر اقاددن ‪ x‬رددت للصددفن اددإد ‪ x‬اقاددن رددت لل هد خددفنن لال ددنل أ لل ددنط‬ ‫للث لددن رارقددقن وذلددق ألد )‪ lim f ( x‬و )‪ f(0‬راسدد وه د (وكددق ر ةدد هسدد وي‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪- 38 -‬‬  ‫للصفن)‬ ‫ح ب ل كق لوا ‪:‬‬ ‫شكق للعلل ‪ y  x‬ر‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫مث ل ‪ :‬إذل لف ت لد‬ ‫‪ x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f ( x)   x  2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫للعلل )‪ f(x‬ف ع ‪x = 2‬‬ ‫ا برن لاص‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫(ل) للعلل ر نا ف ع ‪ x = 2‬ن ‪f(2) = 1‬‬ ‫( ) بددد لنغم ردددت للددده هبدددعو هنهددد أ لد )‪ f(x‬ر ناددد بددد فغ للصددد‬ ‫للجبنه د لق د م ‪ x > 2‬ولق د م ‪x < 2‬ن إ لد هددذل ل د غ خددر ر أ ا د‬ ‫حق ق لألرن‬ ‫ف عر ‪ x > 2‬هك د ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫وف عر ‪ x < 2‬هك د‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪( x  2‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ lim f ( x) 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ lim f ( x)   1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪- 39 -‬‬ ‫هكد د‬ ‫هد ردت لفأد ادإد )‪lim f ( x‬‬ ‫اسد وي لل‬ ‫ح ن لد لل ه ردت للدفق‬ ‫‪x2‬‬ ‫ل وج ا‬ ‫وب لا ل اإد )‪ f(x‬اك د راصأ ف ع ‪x = 2‬‬ ‫شكق للعلل )‪ f(x‬ا هذل للةث هصد يفد ردت للق ةد ‪ -1‬إلد للق ةد ‪ +1‬ف دعر‬ ‫اةن ‪ x‬فبن للق ة ‪x = 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫مث ل ‪ :‬لبرن لاص للعلل‬ ‫‪ x 1 ,‬‬ ‫‪1 x 1‬‬ ‫‪f ( x)   2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x  1‬‬ ‫فع‪x=-1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪f(-1) = 0‬‬ ‫للعلل ر نا ف ع‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f ( x) = lim  ( x  1)  0‬‬ ‫‪( x 1) ‬‬ ‫)‪( x 1‬‬ ‫‪- 40 -‬‬  ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) = lim  x 2 1‬‬ ‫)‪( x 1‬‬ ‫)‪( x 1‬‬ ‫لةحأ لد لل ها ت غ ن راس وها ت وب لا ل اإد للعلل ر فصأ ف ع ‪x = -1‬‬ ‫مث ل ‪ :‬هق للعلل للة نا ب ل كق‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪f ( x)   2‬‬ ‫‪  x 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫ر فصأ ف ع ‪x = 0‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫للعلل ر نا ‪f(x = 0) = 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim  2  2‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim  f ( x) = lim   x 2  2  2‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim  f ( x) = 2‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪ ‬للعلل راصأ ف ع ‪x = 0‬‬ ‫تمرين للط لب ‪ :‬لوجع ي ة ‪ b‬حا اك د للعلل )‪ f(x‬للة نا ب ل ةي‬ ‫‪ x2 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x  1‬‬ ‫‪f ( x)  ‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x  1‬‬ ‫راصأ ف ع ‪x = - 1‬‬ ‫مث ل ‪ :‬إذل لف ت لد ‪:‬‬ ‫‪- 41 -‬‬  ‫‪ x2 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪f ( x)   x  3‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫للعلل )‪ f(x‬ف ع ‪x = 3‬‬ ‫ا برن لاص‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫(ل) رت لل ل ح لد )‪ f(x‬ر نا ف ع ‪x = 3‬ن ‪f(3) = 5‬‬ ‫‪x2 9‬‬ ‫‪lim f ( x)  lim‬‬ ‫( )‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪x 3 x  3‬‬ ‫‪ lim ( x  3)  6‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫(جد ) ‪f(x) = 5‬ن ‪ f(x) = 6‬لد غ راس د وه ت اد هددذه للر لد ن هارقددق‬ ‫لل ددنط د لألول د دن ولكددت هارقددق لل ددنط للث لددن وب لا د ل اك د د‬ ‫للعلل غ ن راصأ ف ع ‪x= 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(3, 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪- 42 -‬‬  ‫تمـ رين‬ ‫لا س لاص كدق اللد ردت للدعول لوا د ف دع ‪ x = 0‬ول لدم شدكق كدق‬ ‫(‪)1‬‬ ‫ر‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪f ( x)  ‬‬ ‫(ل)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪f ( x)  ‬‬ ‫( )‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫ول لم شكق كق ر‬ ‫(‪ )2‬لا س لاص للعول لوا ف ع لل قط للة‬ ‫‪2 x7‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫فع‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫(ل)‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪3 x 1‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫فع‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫( )‬ ‫‪x 1‬‬ ‫فع ‪x=1‬‬ ‫‪f(x) = x + 4 x‬‬ ‫(ج )‬ ‫‪ x 3‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪ f ( x)   x  3‬ف ع ‪x = 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫(ا)‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ x2  4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫فع‪x=2‬‬ ‫‪f ( x)   x  2‬‬ ‫(ه )‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫لوجع ي ة ‪ h‬للا اج ق )‪ f(x‬راصأ ف ع ‪x = 1‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫حن‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪f ( x )   x 1‬‬ ‫‪ h‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫المشتقة‬ ‫‪The Derivative‬‬ ‫‪- 43 -‬‬ ‫إد للا لهع ‪ x ‬لأةا ن ‪ x‬ه للا ن للذي ه نل فأد ‪ x‬ف دعر اا لهدع لو‬ ‫اا د يم رددت ي ةد رد رثددق ‪ x  xo‬إلد ي ةد لالددن رثددق ‪ x  x1‬ددةت رددع ‪x‬ن‬ ‫وفأ هذل اإد ‪:‬‬ ‫‪ x  x1  xo‬‬ ‫‪x1  xo   xo‬‬ ‫ور ه هك د‬ ‫للةا ن ‪ x‬ا لهدعل أ ‪ x ‬ردت ‪ x  xo‬ولدا فدت ذلدق لد للعللد )‪y = f(x‬‬ ‫اإذل لف‬ ‫حصأت فأ للا لهع‬ ‫‪ y  f  xo   x   f  xo ‬‬ ‫رت ‪ y  f  xo ‬اإل ل نف لوا ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ن ا‪‬‬‫للا ‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫را لط ر ع للا ن =‬ ‫‪x‬‬ ‫للا ن‪ x‬ا‪‬‬ ‫وذلق ا للفان ب ت ‪ x  xo‬ن ‪x  xo   x‬‬ ‫‪x  xo‬‬ ‫مشتقة الدالة )‪ y = f(x‬ب ل سب ل ‪ x‬ف ع لل ق‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪f  xo   x   f  xo ‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪d x  x 0  x  x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫شنه لد ا جع لل ه اسة هدذه لل هد لهضد أ بمعادل التيرار اللح ا اد ‪y‬‬ ‫ب ل سب ل ‪ x‬ف ع ‪x  xo‬‬ ‫بفدنن لد ورد للة فد‬ ‫مث ل ‪ :‬و د ت ر فد لأبكانهد اد ولدط غدذلر‬ ‫رق س أ ب لةأ جنلر ها ن اب أ لأ ةي ‪:‬‬ ‫‪100 t‬‬ ‫‪p(t )  50 ‬‬ ‫‪21  t 2‬‬ ‫ح ن ‪ t‬لل رت رق س أ ب لس ف لوجع را لدط ر دع لةد للة فد الدة اادن‬ ‫رر ط ل الةغ ل ف رق س لباعلء رت ‪t = 2 hr‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ه ‪t=2‬ن ‪t=5‬‬ ‫) ‪ p  p (t   t )  p(t‬‬ ‫‪- 44 -‬‬  ‫)‪ p(2  5)  p(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪700  ‬‬ ‫‪200 ‬‬ ‫‪  50 ‬‬ ‫‪   50 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21  49  ‬‬ ‫‪21  4 ‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫ف الة للفادن ردت ‪ t = 2‬إلد ‪ t = 7‬هكد د‬ ‫إذد را لط ر ع ا ن حجم للة‬ ‫‪:‬‬ ‫‪p 2‬‬ ‫‪  0.4 mg / hr.‬‬ ‫‪t 5‬‬ ‫‪Derivative of Power Functions‬‬ ‫مشتقات دوال القوى‬ ‫لق فت الل لل ي بأ لةشاق ق ف ع ‪ x  xo‬إذل كد د ل د ر داق ه د ن‬ ‫ولق فت الل لل ي بأ لةشاق ق ا اان ر إذل ك لت ي بأ لةشاق ق ف دع كدق‬ ‫لق رت لقط هذه للفان‬ ‫لفابن للعول )‪ u(x), v(x), w(x‬ا للص غ للا ل ي بأ لةشداق ق ب ل سدب‬ ‫لأةا ن ‪x‬‬ ‫ن رية (‪ : )1‬ر اق لي الل ث با اس وي للصفن ح ن ‪ c‬رقعل ث بت‬ ‫) ‪d (c‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ن رية (‪ : )2‬إلهج ا ر اق لي ي ث با لأةا ن ‪ x‬اإد ي ‪ x‬اقق بةقدعل ولحدع‬ ‫ولضن لل ا ا لألس لألخأ لأةا ن ‪x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪d xn‬‬ ‫‪ n x n1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪- 45 -‬‬  ‫ح ن ‪ n‬فعا حق ق‬ ‫ن ريااة (‪ : )3‬ر دداق ح خددق ددن رقددعل ث بددت واللد اد للةا ددن ‪ x‬هسد وي‬ ‫ح خق ن للةقعل للث بت ا ر اق للعلل‬ ‫‪d ( c u) d u‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ن رية (‪ : )4‬ر اق رجة اللا ت هس وي رجة ر اقا للعللا ت‬ ‫وهذه لل ظنه هةكت ا ة ة إل رجة لي فعا رت للعول‬ ‫‪d‬‬ ‫‪du dv dw‬‬ ‫‪( u  v  w) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx dx dx‬‬ ‫ن رية (‪ : )5‬ر اق ح خق ن اللاد ت هسد وي للعللد لألولد رضدنوب اد‬ ‫ر اق للعلل للث ل رلرع للعلل للث ل رضنوب ا ر اق للعلل لألول‬ ‫)‪d (u v‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx dx‬‬ ‫ن رياة (‪ : )6‬ر دداق ال د م يسددة اللا د ت هس د وي للةق د ش رضددنو ا د ر دداق‬ ‫للبسددط ل د يم للبسددط رضددنوب أ ا د ر دداق للةق د ش وللجة د رقس د ش فأ د رنب د‬ ‫للةق ش‬ ‫‪du‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪d u‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪d x v ‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫للعول للا ل ب ل سب لأةا ن للةساقق للةاضةت ‪:‬‬ ‫مث ل ‪ :‬لوجع ر اق‬ ‫)‪(i‬‬ ‫‪f ( x)  4 x 3  3 x 2  7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫‪h(t )  t ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(iii‬‬ ‫‪F ( y) ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪- 46 -‬‬   1 1 (iv) G(t )  1    5 t 2  2   t  t  (v) F ( x)  x 2 7 x  ( x  5) : ‫الحل‬ (