ریاضی جبرانی-ریاضی عمومی 1 (1403) PDF

‫ریاضی جبرانی‪-‬ریاضیعمومی ‪1‬‬ ‫مختص دانشجویان کارشناسی مهندسی (ورودی ‪)1403‬‬ ‫گردآورنده‪ :‬مریم عجمی‬ ‫دانشگاه سجاد‬ ...

‫ریاضی جبرانی‪-‬ریاضیعمومی ‪1‬‬ ‫مختص دانشجویان کارشناسی مهندسی (ورودی ‪)1403‬‬ ‫گردآورنده‪ :‬مریم عجمی‬ ‫دانشگاه سجاد‬  ‫فهرست مطالب‬ ‫ریاضی جبرانی ‪7.............................................................................................................‬‬ ‫فصل صفر‪ :‬عبارتهای جبری ‪7...........................................................................................‬‬ ‫توان ‪7........................................................................................................................................‬‬ ‫برخی خواص عبارات تواندار ‪7.................................................................................................................‬‬ ‫رادیکال ‪8....................................................................................................................................‬‬ ‫خواص رادیکال ‪8..................................................................................................................................‬‬ ‫جمع و تفریق یک جمله ای ها ‪9..........................................................................................................‬‬ ‫ضرب یک جملهای ها ‪9...................................................................................................................‬‬ ‫ضرب یک جملهای در چند جملهای ‪10.................................................................................................‬‬ ‫ضرب چند جملهای در چند جملهای ‪10................................................................................................‬‬ ‫تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای ‪10.................................................................................................‬‬ ‫تقسیم چند جمله ای بر یک جمله ای ‪10................................................................................................‬‬ ‫تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای ‪11...............................................................................................‬‬ ‫اتحادها ‪12...................................................................................................................................‬‬ ‫تجزیه ‪13....................................................................................................................................‬‬ ‫فاکتورگیری ‪13.....................................................................................................................................‬‬ ‫روش مربع کامل ‪14...............................................................................................................................‬‬ ‫معادله درجه اول ‪15........................................................................................................................‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪1‬‬ ‫معادله درجه دوم ‪16.......................................................................................................................‬‬ ‫تمرین تکمیلی‪18...........................................................................................................................‬‬ ‫فصل اول‪ :‬تابع ‪19...........................................................................................................‬‬ ‫تعریف تابع ‪19..............................................................................................................................‬‬ ‫تشخیص دامنه توابع ‪20....................................................................................................................‬‬ ‫تابع صعودی و نزولی ‪21..................................................................................................................‬‬ ‫معرفی تعدادی از توابع ‪21................................................................................................................‬‬ ‫‪.1‬تابع ثابت ‪21....................................................................................................................................‬‬ ‫‪.2‬خط ‪22............................................................................................................................................‬‬ ‫‪.3‬تابع چند ضابطه ای ‪22........................................................................................................................‬‬ ‫‪.4‬قدرمطلق ‪23.....................................................................................................................................‬‬ ‫‪.5‬جزء صحیح ‪25.................................................................................................................................‬‬ ‫‪.6‬تابع عالمت ‪26.................................................................................................................................‬‬ ‫‪.7‬تابع پله ای واحد ‪27...........................................................................................................................‬‬ ‫‪.8‬سهمی ‪27........................................................................................................................................‬‬ ‫تابع یک به یک ‪28.........................................................................................................................‬‬ ‫معکوس تابع ‪28............................................................................................................................‬‬ ‫‪.9‬تابع نمایی ‪29...................................................................................................................................‬‬ ‫‪.10‬تابع لگاریتمی ‪30.............................................................................................................................‬‬ ‫تابع زوج و فرد ‪31.........................................................................................................................‬‬ ‫‪.11‬توابع مثلثاتی‪32................................................................................................................................‬‬ ‫‪.12‬توابع معکوس مثلثاتی ‪33....................................................................................................................‬‬ ‫تمرین تکمیلی‪35...........................................................................................................................‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فصل دوم‪ :‬ماتریس ‪36......................................................................................................‬‬ ‫تعریف ماتریس ‪36.........................................................................................................................‬‬ ‫تساوی ماتریس ‪37.........................................................................................................................‬‬ ‫جمع و تفریق ماتریس ها ‪38..............................................................................................................‬‬ ‫ضرب اسکالر در ماتریس ‪39..............................................................................................................‬‬ ‫ضرب ماتریسی ‪39.........................................................................................................................‬‬ ‫دترمینان ‪41..................................................................................................................................‬‬ ‫دترمینان ماتریس ‪41....................................................................................................................... 2 × 2‬‬ ‫دترمینان ماتریس ‪41....................................................................................................................... 3 × 3‬‬ ‫خواص دترمینان ‪43...............................................................................................................................‬‬ ‫معکوس ماتریس ‪44........................................................................................................................‬‬ ‫دستگاه معادالت خطی ‪44.................................................................................................................‬‬ ‫ریاضی عمومی ‪47........................................................................................................ 1‬‬ ‫فصل سوم‪ :‬اعداد مختلط‪47................................................................................................‬‬ ‫تعبیر هندسی عدد مختلط ‪47..............................................................................................................‬‬ ‫تساوی اعداد مختلط‪47....................................................................................................................‬‬ ‫جمع و تفریق اعداد مختلط ‪47............................................................................................................‬‬ ‫اندازه عدد مختلط ‪48......................................................................................................................‬‬ ‫آرگومان عدد مختلط ‪48...................................................................................................................‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مزدوج عدد مختلط ‪49.....................................................................................................................‬‬ ‫ضرب اعداد مختلط ‪49....................................................................................................................‬‬ ‫معکوس عدد مختلط ‪50...................................................................................................................‬‬ ‫خواص مزدوج ‪51.................................................................................................................................‬‬ ‫نمایش قطبی عدد مختلط ‪52..............................................................................................................‬‬ ‫توان 𝐧 عدد مختلط ‪52....................................................................................................................‬‬ ‫ریشه 𝐧 عدد مختلط ‪53....................................................................................................................‬‬ ‫تمرین تکمیلی‪58...........................................................................................................................‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬مشتق و کاربردهای آن ‪59.................................................................................‬‬ ‫تعریف مشتق ‪59............................................................................................................................‬‬ ‫قضایای مشتق ‪59..................................................................................................................................‬‬ ‫کاربرد مشتق ‪66............................................................................................................................‬‬ ‫اکسترمم نسبی ‪66...........................................................................................................................‬‬ ‫آزمون مشتق مرتبه اول ‪67........................................................................................................................‬‬ ‫حد در بینهایت ‪68..........................................................................................................................‬‬ ‫قاعده هوپیتال ‪68..................................................................................................................................‬‬ ‫تمرین تکمیلی‪71...........................................................................................................................‬‬ ‫فصل پنجم‪ :‬انتگرال و کاربرد آن ‪73.....................................................................................‬‬ ‫تابع اولیه ‪73.................................................................................................................................‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪4‬‬ ‫فرمولهای انتگرال گیری ‪73................................................................................................................‬‬ ‫تکنیک های انتگرال گیری ‪76.............................................................................................................‬‬ ‫تغییر متغیر ‪76......................................................................................................................................‬‬ ‫حل انتگرال های توان های سینوس و کسینوس ‪79.........................................................................................‬‬ ‫حل انتگرال های 𝑥𝑛𝑠𝑜𝑐𝑥𝑚𝑛𝑖𝑠 ‪80............................................................................................................‬‬ ‫حل انتگرال های توان های تانژانت ‪81.........................................................................................................‬‬ ‫روش انتگرال گیری جزء به جزء ‪82............................................................................................................‬‬ ‫حل انتگرال توانهای سکانت ‪85................................................................................................................‬‬ ‫حل انتگرالهای 𝑥𝑚𝑛𝑎𝑡𝑥𝑛𝑐𝑒𝑠 ‪86.............................................................................................................‬‬ ‫جانشینی معکوس مثلثاتی ‪87....................................................................................................................‬‬ ‫روش تفکیک کسرها( عبارات گویا) ‪89........................................................................................................‬‬ ‫جایگذاری نصف قوس ‪93.......................................................................................................................‬‬ ‫انتگرال معین ‪94............................................................................................................................‬‬ ‫اولین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال ‪94..........................................................................................‬‬ ‫دومین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال ‪94.........................................................................................‬‬ ‫کاربرد انتگرال ‪96..........................................................................................................................‬‬ ‫‪.1‬مساحت‪96......................................................................................................................................‬‬ ‫‪.2‬حجم ‪97.........................................................................................................................................‬‬ ‫انتگرال ناسره ‪100...........................................................................................................................‬‬ ‫تمرین تکمیلی‪102..........................................................................................................................‬‬ ‫فصل ششم‪ :‬سریهای عددی ‪104........................................................................................‬‬ ‫دنباله ‪104....................................................................................................................................‬‬ ‫سری ‪104....................................................................................................................................‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪5‬‬ ‫آزمون واگرائی ‪105.........................................................................................................................‬‬ ‫سری هندسی ‪105...........................................................................................................................‬‬ ‫سری متناوب ‪106...........................................................................................................................‬‬ ‫سریتوانی ‪107..............................................................................................................................‬‬ ‫سری مکلورن ‪107..........................................................................................................................‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪6‬‬  ‫ریاضی جبرانی‬ ‫فصل صفر‪ :‬عبارتهای جبری‬ ‫هر یک جمله ای بر حسب متغیر 𝑥 را به صورت 𝑛 𝑥𝑎 تعریف میکنیم که 𝑛 عددی طبیعی است‪.‬عباراتی مانند‬ ‫… ‪ 2𝑥, 3𝑥 2 , −6,‬یک جمله هستند‪.‬توان متغیر درجه یک جمله ای را نشان میدهد‪ 𝑎(.‬عددی حقیقی است)‬ ‫‪1‬‬ ‫یک جمله ای نیستند‪.‬‬ ‫ولی عباراتی مانند … ‪, √𝑥,‬‬ ‫𝑥‬ ‫توان‬ ‫𝑛𝑎 خوانده میشود 𝑎 به توان 𝑛 که در صورت طبیعی بودن عدد 𝑛 به این معناست که 𝑎 را 𝑛 بار در خودش‬ ‫ضرب کنیم‪.‬‬ ‫برخی خواص عبارات تواندار‬ ‫‪.1‬هر عدد مخالف صفر به توان صفر برابر با یک است‪.‬‬ ‫‪.2‬هر عدد به توان یک برابر با خودش است‪.‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫( در موارد ‪ 3‬و ‪ 4‬پایه دو عدد برابرست)‬ ‫‪= 𝑎𝑛−𝑚.4‬‬ ‫‪𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚.3‬‬ ‫𝑚𝑎‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛 𝑎‬ ‫‪ ( 𝑎 ÷ 𝑏 = ( ).6‬در موارد ‪ 5‬و ‪ 6‬توانها یکی هستند)‬ ‫‪𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 = (𝑎 × 𝑏)𝑛.5‬‬ ‫𝑏‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛𝑚.8‬‬ ‫‪= 𝑎−𝑛.7‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫تمرین ‪ )0-1‬حاصل هر یک از عبارت های زیر را به ساده ترین صورت ممکن بنویسید‪:‬‬ ‫) ‪1) ((𝑎2 )3 )4 × ((−𝑎)7 × (−𝑏)3‬‬ ‫‪2) (5𝑥 3 𝑦 4 𝑧 2 )7‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪7‬‬  ‫‪−3‬‬ ‫‪𝑥 2 𝑦 −3 𝑏3 𝑎−2‬‬ ‫) ‪3) ( −4 −2 2‬‬ ‫𝑏𝑦 𝑥 𝑎‬ ‫‪𝑎62 ÷ 𝑎42‬‬ ‫‪𝑏 22 ÷ 𝑏 10‬‬ ‫‪4) ( 42‬‬ ‫‪) × ( 21‬‬ ‫)‬ ‫‪𝑏 ÷ 𝑏 30‬‬ ‫𝑎÷ 𝑎‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫) ‪5) (− 𝑥 𝑦 ) ( 3 3 ) (−4 𝑥 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦 𝑥‬ ‫‪(𝑥 3 )2 ( 𝑥 2 𝑦 4 )3‬‬ ‫)‪6‬‬ ‫‪(𝑥 2 𝑦 5 )(𝑥𝑦 2 )3‬‬ ‫رادیکال‬ ‫𝑛‬ ‫به طور کلی عکس عمل توان رساندن را ریشه گرفتن نامیم و آن را با نماد 𝑎√ نمایش میدهیم و میخوانیم‬ ‫‪3‬‬ ‫رادیکال𝑎 با فرجه𝑛 ‪.‬به عنوان مثال اگر 𝑏 = ‪ 𝑎3‬آنگاه 𝑎 راریشه سوم 𝑏 نامیم و مینویسیم 𝑎 = 𝑏√‪.‬‬ ‫𝑚‬ ‫𝑛‬ ‫هر عبارت رادیکالی را میتوان به صورت عبارتی با توان کسری نوشت‪. √𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 :‬‬ ‫خواص رادیکال‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑝 √𝑎 × 𝑞 √𝑏 = 𝑝𝑞 √𝑎𝑏.2‬‬ ‫‪√𝑎 × √𝑏 = √𝑎𝑏.1‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛 𝑚‬ ‫𝑛𝑚‬ ‫𝑎√‬ ‫𝑛‬ ‫𝑎‬ ‫= 𝑎√ √‬ ‫‪√𝑎.4‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪= √.3‬‬ ‫𝑏√‬ ‫𝑏‬ ‫‪.4‬رادیکالها را فقط زمانی که فرجه و عدد داخل رادیکال با هم برابر باشند میتوان جمع کرد‪.‬در این حالت‬ ‫کافیست ضرایب رادیکال ها را با یکدیگر جمع یا تفریق کنیم‪.‬‬ ‫تمرین ‪ )0-2‬حاصل هر یک از عبارت های زیر را به ساده ترین صورت ممکن بنویسید‪:‬‬ ‫= ‪1) √49 𝑎5 ÷ √25 𝑎3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪√(𝑥 2 + 1)11‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪√(𝑥 2 + 1)2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪8‬‬  ‫‪5‬‬ ‫‪√𝑥 11‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫𝑥√ ‪𝑥 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪4) 13√11 − 6√5 − 4√11 + 9√5‬‬ ‫= ‪5) √48 − 2√27 − 5√12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪6)2√81 − 2√27 − √24 − 3√12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪7) √𝑎3 ÷ √𝑎5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪8) √8 × √16 × 2−5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫جمع و تفریق یک جمله ای ها‬ ‫دو‪ ،‬یک جملهای را متشابه گوییم هر گاه دارای متغیری یکسان با توان یکی باشند‪.‬به عنوان مثال 𝑥‪ 2‬با 𝑥‪−‬‬ ‫متشابه است ولی با ‪ 𝑥 2‬متشابه نیست‪.‬‬ ‫کافیست یکجملهایهای متشابه را مشخص کرده و سپس عمل جمع و تفریق را روی ضرایب آنها انجام دهیم‪.‬‬ ‫به عنوان مثال‬ ‫𝑥‪2𝑥 − 5𝑥 = −3‬‬ ‫‪6𝑥 2 + 7𝑥 2 = 13 𝑥 2‬‬ ‫‪2𝑥 − 2𝑥 2‬‬ ‫ضرب یک جملهای ها‬ ‫مشابه ضرب عبارت های توان دار است‪.‬‬ ‫به مثال زیر توجه کنید‪:‬‬ ‫‪(2𝑥)(−5𝑥 2 ) = −10 𝑥 3‬‬ ‫تمرین‪ )0-3‬حاصل هر یک از عبارت های زیر را بدست آورید‪:‬‬ ‫𝑧 ‪1)(−𝑥 2 𝑦𝑧)(2𝑥𝑦) = −2𝑥 3 𝑦 2‬‬ ‫‪2) (𝑥 2 𝑦 3 )(3𝑥𝑦 2 ) = 3 𝑥 3 𝑦 5‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3) (𝑎𝑏 2 𝑐)(3𝑎2 𝑏2 𝑐)(4 𝑎𝑏 5 𝑐) = 12 𝑎4 𝑏 9 𝑐 3‬‬ ‫‪4) (3𝑥 2 𝑦 5 𝑧)4 = 81 𝑥 8 𝑦 20 𝑧 4‬‬ ‫= )‪5) 2(5𝑥 2 − 2𝑥 + 8 − 2𝑥 3 ) + (2𝑥 4 − 5𝑥 + 𝑥 2 + 2‬‬ ‫= )‪6)( 3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 7𝑥 − 9) + 2( 2𝑥 2 − 3𝑥 + 8) − ( 8𝑥 − 3𝑥 2 − 2𝑥 3 + 9‬‬ ‫ضرب یک جملهای در چند جملهای 𝑐𝑎 ‪𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 +‬‬ ‫ضرب چند جملهای در چند جملهای 𝑑𝑏 ‪(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 +‬‬ ‫تمرین ‪ )0-4‬حاصل هر یک از عبارتهای زیر را بدست آورید‪:‬‬ ‫= )𝑥‪1) (𝑥 − 2)(2𝑥 2 − 4‬‬ ‫= ) ‪2) (3𝑥 + 2)( 9𝑥 2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦 2‬‬ ‫= )‪3) (2𝑥 − 1)(𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 3‬‬ ‫تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای‬ ‫این بخش دقیقا مشابه تقسیم عبارت های توان دار بر یکدیگر میباشد‪.‬به عنون مثال‪:‬‬ ‫‪2𝑥 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2𝑥 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥 10 𝑥 7‬‬ ‫‪− 3= −‬‬ ‫‪− 7= − 4‬‬ ‫=‬ ‫𝑥‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝑥‪5‬‬ ‫𝑥‪5‬‬ ‫‪6𝑥 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫تقسیم چند جمله ای بر یک جمله ای‬ ‫𝑏‪𝑎+‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝑏‬ ‫‪= +‬‬ ‫در این حالت کافیست کسر را تفکیک کنیم‪.‬به بیان ساده تر‬ ‫𝑐‬ ‫𝑐‬ ‫𝑐‬ ‫‪2𝑥 2 −3𝑥 5‬‬ ‫‪2𝑥 2‬‬ ‫‪3𝑥 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= − 3𝑥 2‬‬ ‫به عنوان مثال‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫𝑥‬ ‫تمرین ‪ )0-5‬هر یک از عبارت های زیر را ساده کنید‪:‬‬ ‫‪12𝑥 3 − 6𝑥 4 12𝑥 3 6𝑥 4‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 2 = 6𝑥 − 3𝑥 2‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪10‬‬  ‫‪25𝑦 17 − 5𝑦 13 − 5𝑦 12 + 45𝑦 4‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪5𝑦 3‬‬ ‫‪12𝑎4 − 3𝑎3 + 2𝑎2 12𝑎4 3𝑎3 2𝑎2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫𝑎‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝑎+1‬‬ ‫‪2𝑎2‬‬ ‫‪2𝑎2 2𝑎2 2𝑎2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25𝑎4 𝑏 3 𝑐 − 10𝑎2 𝑏 6 𝑐 5 − 5𝑎3 𝑏 2 𝑐 6‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫𝑐 ‪5𝑎𝑏 2‬‬ ‫𝑧 ‪8𝑥 2 𝑦 4 𝑧 7 − 12 𝑥 8 𝑦 2 𝑧 7 − 20𝑥 5 𝑦 2‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫𝑧𝑦 ‪2𝑥 2‬‬ ‫تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای‬ ‫در این نوع تقسیم‪ ،‬هر دو چند جمله ای را باید به صورت استاندارد بنویسیم و سپس بر هم تقسیم کنیم‪ (.‬در‬ ‫چندجملهای استاندارد عبارتهای جبری به ترتیب توان از بزرگ به کوچک نوشته میشود‪).‬‬ ‫به مثال زیر توجه کنید‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫‪𝑥 − 3𝑥 + 2‬‬ ‫‪𝑥−2‬‬ ‫𝑥=‬ ‫𝑥‪𝑥(𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 2𝑥 ⇒ −𝑥 2 + 2‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥‪−𝑥 2 + 2‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬ ‫‪− = −1 − 1(𝑥 − 2) = −𝑥 + 2 ⇒ 𝑥 − 2‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪−𝑥 + 2‬‬ ‫‪𝑥−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫تمرین ‪ )0-6‬خارج قسمت و باقی مانده تقسیم زیر را بدست آورید‪:‬‬ ‫)𝑥 ‪(−2𝑥 2 + 4𝑥 + 7 − 𝑥 3 ) ÷ (−2 +‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪11‬‬ ‫تمرین ‪ )0-7‬باقی مانده تقسیم عبارت 𝑎 ‪ 𝑥 2 − 𝑥 +‬بر 𝑎 ‪ 𝑥 −‬برابر 𝑎‪ 3‬و خارج قسمت آن ‪ 𝑥 + 2‬است‪.‬‬ ‫مقدار𝑎 را بدست آورید‪.‬‬ ‫اتحادها‬ ‫‪(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬ ‫اتحاد مربع دو جمله ای‬ ‫𝑐𝑏‪(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2‬‬ ‫اتحاد مربع سه جمله ای‬ ‫‪(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2‬‬ ‫اتحاد مزدوج‬ ‫𝑏𝑎 ‪(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 +‬‬ ‫اتحاد جمله مشترک‬ ‫‪(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 ± 𝑏 3‬‬ ‫اتحاد مکعب‬ ‫‪(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3‬‬ ‫مجموع مکعبات دو جمله‬ ‫‪(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 − 𝑏 3‬‬ ‫تفاضل مکعبات دو جمله‬ ‫تمرین ‪ )0-8‬حاصل هر یک از عبارتهای زیر را تعیین کنید‪:‬‬ ‫‪1) ( 𝑎2 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏 2 )2‬‬ ‫)‪2) (𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 1)(𝑎4 + 1‬‬ ‫‪3) (2𝑥𝑦 − 1)(2𝑥𝑦 + 2) − (𝑥 − 2𝑦)2‬‬ ‫) ‪4) ( 𝑎2 + 𝑎3 )(𝑎4 − 𝑎5 + 𝑎6‬‬ ‫)‪5) (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪12‬‬  ‫تجزیه‬ ‫هرگاه چندجملهای را به صورت حاصلضرب چندین چندجملهای نوشتیم‪ ،‬درواقع آن را تجزیه کردهایم‪.‬‬ ‫روشهای متداول تجزیه کردن چندجملهای ها عبارتست از‪.1 :‬فاکتورگیری و ‪.2‬با استفاده از اتحادها‬ ‫فاکتورگیری‬ ‫در این روش ابتدا بزرگترین مقسوم علیه مشترک همه یک جملهای های موجود را بدست آورده و سپس هر کدام‬ ‫را بر مقدار مشخص شده تقسیم میکنیم‪(.‬بزرگترین مقسوم علیه مشترک بین آنها عبارتست از حاصلضرب عوامل‬ ‫مشترک با توان کمتر) برای فهم بهتر این روش به مثال زیر توجه کنید‪:‬‬ ‫‪2𝑥 2‬‬ ‫𝑥‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒ 𝑥‪2𝑥 + 4‬‬ ‫‪(2𝑥 2‬‬ ‫⇒ 𝑥‪, 4𝑥) = 2‬‬ ‫𝑥=‬ ‫)‪= 2 ⇒ 2𝑥 2 + 4𝑥 = 2𝑥(𝑥 + 2‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫در فاکتورگیری گاهی از شیوه دستهبندی استفاده میشود‪.‬به این ترتیب که برای تجزیه کل عبارت نمیتوانیم‬ ‫عامل مشترکی را در تمام جمالت پیدا کنیم‪ ،‬اما با دسته بندی آنها این عمل انجام پذیر است‪.‬به عنوان مثال در‬ ‫تجزیه عبارت 𝑦 ‪ 𝑥 − 1 + 𝑥𝑦 −‬دو جمله آخر دارای عامل مشترک 𝑦 برای تجزیه هستند و میتوان آن را‬ ‫فاکتور گرفت؛ پس خواهیم داشت )‪.(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑥 − 1‬‬ ‫با کمی دقت مالحظه میشود عبارت ‪ 𝑥 − 1‬را میتوان به عنوان عاملی در تجزیه در نظر گرفت پس آن را‬ ‫فاکتور میگیریم و خواهیم داشت‪.(𝑥 − 1)(1 + 𝑦) :‬‬ ‫تمرین ‪ )0-9‬هر یک از عبارت های زیر را تا حد ممکن تجزیه کنید‪:‬‬ ‫= ‪1)9𝑥 3 𝑦𝑧 − 6𝑥 2 𝑦𝑧 4‬‬ ‫= ‪2) 5𝑥 2 − 2𝑥 + 10𝑥 − 4‬‬ ‫= 𝑦𝑧 ‪3) 3𝑥 + 𝑥𝑦 + 3𝑧 +‬‬ ‫= 𝑏‪4) 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 2𝑎 + 2‬‬ ‫= ‪5) 25𝑥 2 + 10𝑥 + 1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪13‬‬ ‫= ‪6) − 𝑥 2 + 4𝑥 − 4‬‬ ‫= ‪7) 81𝑥 4 − 16𝑦 4‬‬ ‫= ‪8) 𝑥 2 + 8𝑥 − 20‬‬ ‫= 𝑦‪9) 𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 + 2‬‬ ‫تمرین ‪ )0-10‬هر یک از عبارتهای زیر را تجزیه کنید‪:‬‬ ‫= ‪1) 𝑥 2 + 10𝑥 + 25‬‬ ‫= ‪2) 81𝑎2 − 18𝑎 + 1‬‬ ‫= 𝑦‪3) 2𝑥 2 𝑦 − 12𝑥𝑦 + 18‬‬ ‫= ‪4) 𝑥 4 − 𝑦 4‬‬ ‫= ‪5) 4𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3‬‬ ‫)‪6) 4) 9𝑥 2 + 18𝑥 + 8 = (3𝑥)2 + 6(3𝑥) + 8 = (3𝑥 + 4)(3𝑥 + 2‬‬ ‫= ‪5) 5𝑥 2 + 35𝑥 + 50‬‬ ‫= ‪6) 25𝑥 2 + 25𝑥 + 6‬‬ ‫= ‪7) 8𝑦 3 + 64‬‬ ‫= 𝑥 ‪8) 3𝑎𝑥 4 − 3𝑎4‬‬ ‫روش مربع کامل‬ ‫همانطور که میدانیم اتحاد مربع دوجملهای دارای سه جمله ‪ (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2‬است‪.‬فرض‬ ‫کنید دو جمله اول آن یعنی 𝑥𝑎‪ 𝑥 2 + 2‬را دارید‪ ،‬با انجام مراحل زیر میتوانید اتحاد مربع را تشکیل داد‪:‬‬ ‫الف) اولین جمله به توان دو رسیده است و در این عبارت مشخص است که برابر با 𝑥 است‪.‬‬ ‫ب) از آنجاییکه در اتحاد مربع در جمله بعدی دو برابر اولی در دومی نوشته میشود بنابراین با کنار گذاشتن‬ ‫عامل اول از جمله دوم درواقع دو برابر دومی را داریم‪.‬پس 𝑎‪ 2‬دو برابر دومی است‪.‬آن را بر دو تقسیم میکنیم‬ ‫تا دومی بدست آید‪.‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪14‬‬ ‫پ) در اتحاد مربع نیاز به توان دوی دومی داریم‪.‬پس عامل دومی را که در مرحله قبل بدست آوردیم را به توان‬ ‫دو میرسانیم و به عبارت اضافه میکنیم‪.‬‬ ‫ت) همان عبارتی که به جمالت اضافه کردیم را برای برقراری تساوی مجدد کم میکنیم‪.‬به مثالهای زیر توجه‬ ‫کنید‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪𝑥 2 + 4𝑥 = (𝑥 2 + 4𝑥 + 4) − 4 = (𝑥 + 2)2 − 4‬‬ ‫‪ → 22 = 4‬عامل دوم ‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3 2 9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 2 9‬‬ ‫‪𝑥 − 3𝑥 = (𝑥 − 3𝑥 + ) − = (𝑥 − ) −‬‬ ‫= ) ‪ → (−‬عامل دوم ‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫معادله درجه اول‬ ‫𝑏‬ ‫‪𝑎𝑥 = −𝑏 ⇒ 𝑥 = −‬‬ ‫هر معادله درجه اول به فرم کلی ‪ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0‬میباشد که برای حل آن داریم‪:‬‬ ‫𝑎‬ ‫توجه کنید در حل این دسته از معادالت همواره جمالت شامل مجهول را یک طرف و معلوم ها را در طرف دیگر‬ ‫تساوی قرار دهید و دقت کنید که جمله ای که جابجا میشود تغییر عالمت نیز میدهد‪.‬‬ ‫تمرین ‪ )0-11‬هر یک از معادله های زیر را حل کنید‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫= 𝑥 ⇒ ‪1) 4𝑥 + 8 = 28 ⇒ 4𝑥 = 28 − 8 = 20‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫= 𝑥‪2) 3‬‬ ‫‪− 7 ⇒ 3𝑥 − = −7 ⇒ 𝑥 = −7 ⇒ 𝑥 = − 5 = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥 + 2 2𝑥 − 1 𝑥 − 5‬‬ ‫‪𝑥+2‬‬ ‫‪2𝑥 − 1‬‬ ‫‪𝑥−5‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫( ‪⇒ 42‬‬ ‫( ‪) − 42‬‬ ‫( ‪) = 42‬‬ ‫⇒)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14(𝑥 + 2) − 6(2𝑥 − 1) = 21(𝑥 − 5) ⇒ 14𝑥 + 28 − 12𝑥 + 6 = 21𝑥 − 105‬‬ ‫‪−139 139‬‬ ‫= 𝑥 ⇒ ‪⇒ 2𝑥 − 21𝑥 = −105 − 34 ⇒ −19 𝑥 = −139‬‬ ‫=‬ ‫‪−19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪15‬‬  ‫معادله درجه دوم‬ ‫هر معادله درجه دوم در حالت کلی به فرم ‪ 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0‬میباشد که در آن ‪.𝑎 ≠ 0‬‬ ‫معادله هایی نظیر ‪.𝑥 2 − 1 = 0 , 2𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0, 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0‬‬ ‫برای حل معادله های درجه دوم گاهی میتوان از اتحادها استفاده کرد‪.‬به عنوان مثال‪:‬‬ ‫‪𝑥−3=0 ⇒𝑥 =3‬‬ ‫{ ⇒ ‪𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 ⇒ (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0‬‬ ‫‪𝑥−2=0 ⇒𝑥 =2‬‬ ‫‪𝑥 2 − 9 = 0 ⇒ 𝑥 2 = 9 ⇒ 𝑥 = ±3‬‬ ‫اما در حالت کلی میتوان از روشی دلتا معادله را حل کرد‪.‬به این ترتیب که ابتدا دلتا را با توجه به معادله به‬ ‫صورت زیر محاسبه میکنیم‪:‬‬ ‫∆√ ‪−𝑏 ±‬‬ ‫= 𝑥 ⇒ 𝑐𝑎‪𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⇒ ∆ = 𝑏 2 − 4‬‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫از آنجاییکه دلتا در داخل رادیکال قرار دارد و فقط عبارت مثبت میتواند داخل رادیکال تعریف شود‪ ،‬حاالت زیر‬ ‫را خواهیم داشت‪:‬‬ ‫حالت اول) ‪.∆> 0‬در این حالت‪ ،‬معادله دارای دو ریشه متمایز می باشد‪.‬به عنوان مثال‪:‬‬ ‫‪𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑎 = 1 , 𝑏 = −5, 𝑐 = 6 ⇒ ∆= 25 − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1‬‬ ‫‪5+1‬‬ ‫‪5±1‬‬ ‫𝑥‬ ‫=‬ ‫‪=3‬‬ ‫=𝑥‬ ‫{ ⇒‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5−1‬‬ ‫=𝑥‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حالت دوم) ‪.∆= 0‬در این مورد معادله دارای یک ریشه مضاعف( دو بار تکرار شده) میباشد‪.‬که مقدار آن‬ ‫𝑏‬ ‫‪.𝑥 = −‬به عنوان مثال‬ ‫برابرست با‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0 ⇒ 𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = 4 ⇒ ∆= 16 − 16 = 0 ⇒ 𝑥 = = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪16‬‬  ‫حالت سوم) ‪.∆< 0‬در این حالت معادله جواب حقیقی ندارد‪.‬به عنوان مثال‪:‬‬ ‫‪𝑥 2 + 𝑥 + 1 = ⇒ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 1 ⇒ ∆= 1 − 4 = −3 < 0‬‬ ‫تمرین ‪ )0-12‬جواب هر یک از معادله های زیر را بدست آورید‪:‬‬ ‫‪1) 3𝑥 2 − 5𝑥 + 4 = 0 ⇒ 𝑎 = 3 , 𝑏 = −5, 𝑐 = 4‬‬ ‫‪⇒ ∆= 25 − 4(3)(4) = 25 − 48 = −23 < 0‬‬ ‫‪2) 9 𝑥 2 + 6𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑎 = 9 , 𝑏 = 6 , 𝑐 = 1 ⇒ ∆= 36 − 36 = 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⇒𝑥= −‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3) 𝑥 2 − 5𝑥 = −6𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 2 − 5𝑥 + 6𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0‬‬ ‫‪⇒ 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = −1 ⇒ ∆= 1 − 4(1)(−1) = 1 + 4 = 5‬‬ ‫‪−1 ± √5‬‬ ‫‪−1 + √5 −1 − √5‬‬ ‫=𝑥‬ ‫=𝑥⇒‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4) 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 3 = 0‬‬ ‫‪5) 𝑥 2 − 3𝑥 = 0‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪6) 5𝑥 2 + 15 = 0 ⇒ 5𝑥 2 = −15 ⇒ 𝑥 2 = −‬‬ ‫‪= −3‬‬ ‫غیر ممکن‬ ‫‪5‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪17‬‬  ‫تمرین تکمیلی‬ ‫حاصل هر یک از عبارت های زیر را به ساده ترین صورت ممکن بدست آورید‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1) 2√81 − 4√27 − √24 + 5√12‬‬ ‫‪2) √625 + 3√40 − √25 − √135‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑎‪3) 2√27𝑎3 − 2√144 𝑎2 + 3√12𝑎 − √27‬‬ ‫‪4)2 √8 + 5√72 − √18 − √50‬‬ ‫‪√75 − √27 + √12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝑥 √ ‪√𝑥 3‬‬ ‫‪5√32‬‬ ‫√)‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫× 𝑥√𝑥 )‪6‬‬ ‫‪√𝑥 2‬‬ ‫)‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫𝑥 √ 𝑥√‬ ‫‪√20‬‬ ‫حاصل عبارتهای زیر را بدست آورید‪:‬‬ ‫)𝑥‪9) ( 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 1)( 𝑥 2 − 5𝑥 − 2) 10) (𝑥 − 2)(2𝑥 2 − 4‬‬ ‫)‪11) (2𝑥 − 1)( 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 3‬‬ ‫خارج قسمت و باقیمانده تقسیم را مشخص کنید‪:‬‬ ‫‪8𝑥 3 − 12𝑥 2 + 24𝑥 + 1‬‬ ‫𝑥 ‪12) ( −2𝑥 + 4𝑥 + 7 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫)𝑥 ‪÷ (−2 +‬‬ ‫)‪13‬‬ ‫‪4𝑥 − 1‬‬ ‫هریک از عبارتهای زیر را تجزیه کنید‪:‬‬ ‫𝑧‪14) 7𝑧 5 − 7‬‬ ‫‪15) 𝑎6 𝑥 2 − 729 𝑥 8‬‬ ‫‪16) 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪18‬‬  ‫فصل اول‪ :‬تابع‬ ‫دو مجموعه 𝐴 و 𝐵 را در نظر بگیرید‪.‬حاصلضرب دکارتی این دو مجموعه را با نماد 𝐵 × 𝐴 نمایش میدهیم‬ ‫که برابرست با‪:‬‬ ‫}𝐵 ∈ 𝑏 ‪𝐴 × 𝐵 = { (𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴,‬‬ ‫𝑎 را مولفه اول و 𝑏 را مولفه دوم در زوج مرتب)𝑏 ‪ (𝑎,‬گوییم‪.‬‬ ‫به عنوان مثال اگر }‪ 𝐴 = {1,2,3‬و }‪.𝐵 = {4,5‬آنگاه‪:‬‬ ‫})‪𝐴 × 𝐵 = { (1,4)(1,5)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5‬‬ ‫هر زیر مجموعه ای از𝐵 × 𝐴 را رابطه گوییم و با نماد 𝑅 نمایش میدهیم‪.‬به عنوان مثال‪:‬‬ ‫})‪𝑅 = { (1,4)(2,4)(2,5‬‬ ‫})‪𝑆 = { (1,4)(2,4)(3,5‬‬ ‫تعریف تابع‬ ‫یک تابع از𝐴 به𝐵 ‪ ،‬رابطهای است که تمام مولفههای اول آن متمایز باشد‪.‬به عنوان مثال𝑆 تابع است ولی𝑅‬ ‫تابع نمیباشد‪.‬توابع را اکثرا با حروفی مانند 𝑔 ‪ 𝑓,‬نمایش میدهیم‪.‬‬ ‫𝐵 → 𝐴 ‪𝑓:‬‬ ‫𝑦→𝑥‬ ‫اگر 𝑓 ∈ )𝑦 ‪ ،(𝑥,‬مینویسیم 𝑦 = )𝑥(𝑓‬ ‫اینطور نیست که همواره توابع را با اعضایشان مشخص کنیم‪.‬از این به بعد توابع را با ضابطه مشخص میکنیم‪.‬‬ ‫ضوابطی مانند ‪.𝑔(𝑥) = √𝑥 ،𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2‬‬ ‫تابع بودن را میتوان از روی نمودار نیز مشخص کرد‪.‬نمودار 𝑓 تابعی بر حسب𝑥 است‪ ،‬اگر هر خطی موازی محور‬ ‫𝑦ها‪ ،‬نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند‪.‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪19‬‬ ‫تمام مولفههای اول(مجموعه𝑥 ها) هر تابع)𝑥(𝑓 را دامنه تابع گوییم و با نماد 𝑓𝐷 نمایش میدهیم‪.‬همچنین تمام‬ ‫مولفههای دوم (مجموعه 𝑦ها) هر تابع را با نماد 𝑓𝑅 نمایش میدهیم که برد تابع نامیده میشود‪.‬‬ ‫𝐴 ⊆ 𝑓𝐷‬ ‫𝐵 ⊆ 𝑓𝑅‬ ‫توابعی که در ادامه بررسی میکنیم ‪ ، ℝ → ℝ‬مگر اینکه غیر آن گفته شود‪.‬‬ ‫تشخیص دامنه توابع‬ ‫برای فهم بهتر این قسمت سه تابع زیر را در نظر بگیرید‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥 = )𝑥(𝑓‬ ‫= )𝑥(𝑔‬ ‫𝑥√ = )𝑥(‪ℎ‬‬ ‫𝑥‬ ‫در تابع 𝑓 واضح است که میتوان به ازای هر 𝑥 ای‪ ،‬مقدار آن را محاسبه کرد‪.‬بنابراین‪. 𝐷𝑓 = ℝ‬اما در تابع𝑔 ‪ ،‬از‬ ‫آنجاییکه مخرج کسر نباید صفر شود بنابراین }‪.𝐷𝑔 = ℝ − {0‬در مورد تابع‪ ، ℎ‬از آنجاییکه عبارت زیر‬ ‫رادیکال با فرجه زوج نباید منفی باشد پس‪. 𝐷ℎ = 𝑥 ≥ 0‬‬ ‫در تعیین دامنه‪ ،‬توابع را به سه دسته چندجمله ایها‪ ،‬عبارت گویا و رادیکالی تقسیم میکنیم که دامنه آنها به صورت‬ ‫زیر بدست میآید‪:‬‬ ‫الف) چندجمله ایها‪ :‬دامنه این دسته از توابع کل اعداد حقیقی است‪.‬‬ ‫به عنوان مثال‪:‬‬ ‫‪𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 3‬‬ ‫‪⇒ 𝐷𝑓 = ℝ‬‬ ‫⇒ ‪𝑔(𝑥) = 6𝑥 + 1‬‬ ‫‪𝐷𝑔 = ℝ‬‬ ‫ب) توابع کسری(عبارت گویا)‪ :‬در این دست از توابع ابتدا ریشههای مخرج را بدست آورید( مخرج را مساوی‬ ‫با صفر قرار دهید و جواب معادله را بدست آورید)‪ ،‬سپس‪:‬‬ ‫}ریشه های مخرج { ‪𝐷𝑓 = ℝ −‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪20‬‬  ‫به عنوان مثال‪:‬‬ ‫𝑥‬ ‫= )𝑥(𝑓‬ ‫}‪⇒ 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒ 𝐷𝑓 = ℝ − {2‬‬ ‫‪𝑥−2‬‬ ‫پ) توابع رادیکالی‪ :‬اگر فرجه رادیکال فرد باشد‪ ،‬رادیکال تاثیری در تعیین دامنه ندارد‪.‬اما اگر زوج باشد‪ ،‬دامنه‬ ‫تابع مجموعهای از نقاط خواهد بود که به ازای آنها داخل رادیکال بزرگتر یا مساوی صفر باشد‪(.‬مثبت باشد) به‬ ‫عنوان مثال‪:‬‬ ‫)∞‪𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 ⇒ 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 2 ⇒ 𝐷𝑓 = [2, +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2 ⇒ 𝐷𝑔 = ℝ‬‬ ‫نکته) روش کلی در مشخص کردن برد تابع از طریق نمودار تابع است‪.‬که در اکثر موارد حل شده این روش را‬ ‫استفاده میکنیم‪.‬اما ممکن است رسم نمودار مشکل باشد‪ ،‬در این موارد میتوان با استفاده از مقادیر بدست آمده‬ ‫در دامنه تابع‪ ،‬محدوده تعریف شده 𝑦 را مشخص کرد‪.‬به عنوان مثال‪:‬‬ ‫‪𝑦 = 𝑥2‬‬ ‫)∞‪𝑥 ∈ (−∞, +∞) ⇒ 𝑥 2 ≥ 0 ⇒ 𝑅𝑓 = [0, +‬‬ ‫تابع صعودی و نزولی‬ ‫تابع )𝑥(𝑓 = 𝑦 را روی دامنهاش صعودی گوییم اگر و فقط اگر به ازای ‪ 𝑥1 , 𝑥2‬متعلق به دامنه‪ ،‬اگر‪:‬‬ ‫) ‪𝑥1 ≤ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2‬‬ ‫و نزولی گوییم هر گاه‪𝑥1 ≤ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 ) :‬‬ ‫معرفی تعدادی از توابع‬ ‫‪.1‬تابع ثابت‬ ‫هر تابع ثابت با ضابطه 𝑐 = )𝑥(𝑓 تعریف میشود که در آن 𝑐 عددی ثابت است‪.‬دامنه آن کل اعداد حقیقی و‬ ‫برد آن}𝑐{ = 𝑓𝑅 است‪.‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪21‬‬  ‫‪.2‬خط‬ ‫معادله هر خط در حالت کلی به صورت 𝑏 ‪ 𝑦 = 𝑎𝑥 +‬نمایش داده میشود‪.‬خطوطی مانند ‪𝑦 = 2𝑥 + 1‬‬ ‫𝑥‪ , 𝑦 = 𝑥 − 3, 𝑦 = 6 − 3‬که دامنه و برد آنها کل اعداد حقیقی است‪.‬‬ ‫برای رسم خط کافیست مختصات دو یا سه نقطه از آن را به دلخواه بدست آورده و در دستگاه مختصات مشخص‬ ‫کنیم‪.‬با متصل کردن این نقاط به یکدیگر خط مورد نظر رسم خواهد شد‪.‬‬ ‫‪.3‬تابع چند ضابطه ای‬ ‫)𝑥( ‪𝑓1‬‬ ‫‪𝑥 ∈ 𝐷1‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑓2‬‬ ‫‪𝑥 ∈ 𝐷2‬‬ ‫{ = )𝑥(𝑓‬ ‫⋮‬ ‫)𝑥( 𝑛𝑓‬ ‫𝑛𝐷 ∈ 𝑥‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪22‬‬  ‫در رسم این توابع‪ ،‬هر یک از ضابطهها بر اساس دامنه مشخص شدهاش رسم میکنیم‪.‬به موارد زیر توجه کنید‪:‬‬ ‫مثال ‪ )1-1‬ابتدا توابع زیر را رسم و سپس برد آنها را مشخص کنید‪:‬‬ ‫‪𝑥−5‬‬ ‫‪𝑥