Systèmes de Coordonnées en Mathématiques
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Questions and Answers

Quelles sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace?

  • $OM = r i_r + r \theta j$
  • $OM = s i_s$
  • $OM = \rho i_\rho + z k$
  • $OM = x i + y j + z k$ (correct)

    • Dans un système de coordonnées sphériques, comment s'exprime le vecteur de position?

  • *OM = r^2\cos\theta k + r \phi i*
  • *OM = r i + r j + r k*
  • *OM = r i_r + r \theta j + r \phi k* (correct)
  • *OM = r^2\sin\theta j + z k*

    • Quelle est la formule de la vitesse absolue dans un référentiel fixe?

  • *V = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}*
  • *V_a = x i + y j + z k* (correct)
  • *V_a = \gamma i + w n*
  • *V_a = \frac{ds}{dt}*

    • Comment se décompose l'accélération relative 'r' dans un mouvement relatif?

    <p><em>r = \gamma i_s + w i_n</em></p> Signup and view all the answers

    Dans le changement de référentiel, qu'est-ce qu'un mouvement d'entraînement?

    <p>Un mouvement où l'on considère <em>V_e</em> et <em>r_e</em></p> Signup and view all the answers

    La relation entre les coordonnées cartésiennes et polaires pour x est:

    <p><em>x = r \cos(\theta)</em></p> Signup and view all the answers

    Comment est exprimée l'accélération absolue dans un système de coordonnées curvilignes?

    <p><em>S_a = \frac{d^2s}{dt^2}</em></p> Signup and view all the answers

    Quelles variables sont liées aux coordonnées cylindriques selon les relations avec les coordonnées cartésiennes?

    <p><em>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, z = z</em></p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Définitions des Systèmes de Coordonnées

    • Coordonnées Cartésiennes:

      • Utilisent trois axes perpendiculaires (x, y, z) pour définir la position d’un point dans l'espace.
      • Vecteur position: OM = x * i + y * j + z * k
      • Vecteur vitesse: V(M/R) = x * i + y * j + z * k
      • Vecteur accélération: δ(M/R) = x * i² + y * j² + z * k²

    • Coordonnées Cylindriques:

      • Utilisent un axe vertical (z) et un cercle dans le plan horizontal (ρ, θ) pour définir la position d'un point.
      • Vecteur position: OM = ρ * iρ + z * k
      • Vecteur vitesse: V(M/R) = ρ * iρ + z * k
      • Vecteur accélération: δ(M/R) = ( ρ * iρ + z * k ) + ( ρ * θ² + ρ * θ² ) * ρ * iρ + ρ * θ² * z * k²

    • Coordonnées Sphériques:

      • Utilisent une distance radiale (r), un angle de longitude (θ) et un angle de latitude (φ) pour définir la position d'un point.
      • Vecteur position: OM = r * ir + r * θ * j + r * φ * k
      • Vecteur vitesse: V(M/R) = r * ir + r * θ * j + r * φ * k
      • Vecteur accélération: δ(M/R) = ( r * ir - r * e² * sin *θ * j + 2 * r * θ * r * ir - r * θ² * sin *θ * j ) + ( r * θ² * r * φ * iφ + r * φ² * cos *θ * k² + r * φ * sin *θ * j )

    • Coordonnées Curvilignes (Repère Frenet):

      • Définissent la position d'un point le long d'une courbe à l'aide de la longueur d'arc (s), du vecteur tangent (i), du vecteur normal (n) et du vecteur binormal (b).
      • Vecteur position: OM = s * is
      • Vecteur vitesse: V = ds = V = s * is
      • Vecteur accélération: δ = γ * is + ω * in
      • Norme de l'accélération: ||δ|| = √γ² + ω² = x² + y² + z²

    Relations Entre les Différents Systèmes de Coordonnées

    • Cartésiennes et Polaires:

      • x = r * cos *θ, y = r * sin *θ
      • Avec r = √x² + y²
      • θ = arctan(y/x)

    • Cartésiennes et Cylindriques:

      • x = ρ * cos *θ, y = ρ * sin *θ, z = z
      • ρ = √x² + y²
      • θ = arctan(y/x)

    • Cartésiennes et Sphériques:

      • x = r * sin *θ * cos *φ, y = r * sin *θ * cos *φ, z = r * cos *θ
      • r = √x² + y² + z²
      • θ = arccos(z/r)
      • φ = arctan(y/x)

    Changement de Référentiels

    • Référentiel Fixe (R):

      • Repère absolu, considéré comme immobile.
      • Vecteur position: OM
      • Vecteur vitesse: Va
      • Vecteur accélération: Sa

    • Référentiel Mobile (R'):

      • Repère en mouvement par rapport à R.
      • Vecteur position: om
      • Vecteur vitesse: Vr
      • Vecteur accélération: ar

    • Mouvement d'Entrainement:

      • Le mouvement de R' par rapport à R.
      • Vecteur vitesse: Ve
      • Vecteur accélération: re

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    Résumé Vecteurs positions, Vitesses, Accélérations (PDF)

    Description

    Ce quiz explore les différents systèmes de coordonnées, y compris les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Chaque type est défini par ses vecteurs de position, de vitesse et d'accélération. Testez vos connaissances sur ces concepts clés en mathématiques et en physique.

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