Systèmes de Coordonnées en Mathématiques

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Questions and Answers

Quelles sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace?

  • $OM = r i_r + r \theta j$
  • $OM = s i_s$
  • $OM = \rho i_\rho + z k$
  • $OM = x i + y j + z k$ (correct)

Dans un système de coordonnées sphériques, comment s'exprime le vecteur de position?

  • *OM = r^2\cos\theta k + r \phi i*
  • *OM = r i + r j + r k*
  • *OM = r i_r + r \theta j + r \phi k* (correct)
  • *OM = r^2\sin\theta j + z k*

Quelle est la formule de la vitesse absolue dans un référentiel fixe?

  • *V = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}*
  • *V_a = x i + y j + z k* (correct)
  • *V_a = \gamma i + w n*
  • *V_a = \frac{ds}{dt}*

Comment se décompose l'accélération relative 'r' dans un mouvement relatif?

<p><em>r = \gamma i_s + w i_n</em> (D)</p> Signup and view all the answers

Dans le changement de référentiel, qu'est-ce qu'un mouvement d'entraînement?

<p>Un mouvement où l'on considère <em>V_e</em> et <em>r_e</em> (A)</p> Signup and view all the answers

La relation entre les coordonnées cartésiennes et polaires pour x est:

<p><em>x = r \cos(\theta)</em> (D)</p> Signup and view all the answers

Comment est exprimée l'accélération absolue dans un système de coordonnées curvilignes?

<p><em>S_a = \frac{d^2s}{dt^2}</em> (D)</p> Signup and view all the answers

Quelles variables sont liées aux coordonnées cylindriques selon les relations avec les coordonnées cartésiennes?

<p><em>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, z = z</em> (C)</p> Signup and view all the answers

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Study Notes

Définitions des Systèmes de Coordonnées

  • Coordonnées Cartésiennes:

    • Utilisent trois axes perpendiculaires (x, y, z) pour définir la position d’un point dans l'espace.
    • Vecteur position: OM = x * i + y * j + z * k
    • Vecteur vitesse: V(M/R) = x * i + y * j + z * k
    • Vecteur accélération: δ(M/R) = x * i² + y * j² + z * k²
  • Coordonnées Cylindriques:

    • Utilisent un axe vertical (z) et un cercle dans le plan horizontal (ρ, θ) pour définir la position d'un point.
    • Vecteur position: OM = ρ * iρ + z * k
    • Vecteur vitesse: V(M/R) = ρ * iρ + z * k
    • Vecteur accélération: δ(M/R) = ( ρ * iρ + z * k ) + ( ρ * θ² + ρ * θ² ) * ρ * iρ + ρ * θ² * z * k²
  • Coordonnées Sphériques:

    • Utilisent une distance radiale (r), un angle de longitude (θ) et un angle de latitude (φ) pour définir la position d'un point.
    • Vecteur position: OM = r * ir + r * θ * j + r * φ * k
    • Vecteur vitesse: V(M/R) = r * ir + r * θ * j + r * φ * k
    • Vecteur accélération: δ(M/R) = ( r * ir - r * e² * sin *θ * j + 2 * r * θ * r * ir - r * θ² * sin *θ * j ) + ( r * θ² * r * φ * iφ + r * φ² * cos *θ * k² + r * φ * sin *θ * j )
  • Coordonnées Curvilignes (Repère Frenet):

    • Définissent la position d'un point le long d'une courbe à l'aide de la longueur d'arc (s), du vecteur tangent (i), du vecteur normal (n) et du vecteur binormal (b).
    • Vecteur position: OM = s * is
    • Vecteur vitesse: V = ds = V = s * is
    • Vecteur accélération: δ = γ * is + ω * in
    • Norme de l'accélération: ||δ|| = √γ² + ω² = x² + y² + z²

Relations Entre les Différents Systèmes de Coordonnées

  • Cartésiennes et Polaires:

    • x = r * cos *θ, y = r * sin *θ
    • Avec r = √x² + y²
    • θ = arctan(y/x)
  • Cartésiennes et Cylindriques:

    • x = ρ * cos *θ, y = ρ * sin *θ, z = z
    • ρ = √x² + y²
    • θ = arctan(y/x)
  • Cartésiennes et Sphériques:

    • x = r * sin *θ * cos *φ, y = r * sin *θ * cos *φ, z = r * cos *θ
    • r = √x² + y² + z²
    • θ = arccos(z/r)
    • φ = arctan(y/x)

Changement de Référentiels

  • Référentiel Fixe (R):

    • Repère absolu, considéré comme immobile.
    • Vecteur position: OM
    • Vecteur vitesse: Va
    • Vecteur accélération: Sa
  • Référentiel Mobile (R'):

    • Repère en mouvement par rapport à R.
    • Vecteur position: om
    • Vecteur vitesse: Vr
    • Vecteur accélération: ar
  • Mouvement d'Entrainement:

    • Le mouvement de R' par rapport à R.
    • Vecteur vitesse: Ve
    • Vecteur accélération: re

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