Meccanica del Continuo - Tensioni PDF

MECCANICA DEL CONTINUO - TENSIONI Si consideri un corpo continuo in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze esterne (P1, P2, …, PN). Per studiare l’effetto di queste sollecitazioni in un generico punto O, immaginiamo il corpo diviso in due parti A e B, mediante una superficie piana mm pas...

MECCANICA DEL CONTINUO - TENSIONI Si consideri un corpo continuo in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze esterne (P1, P2, …, PN). Per studiare l’effetto di queste sollecitazioni in un generico punto O, immaginiamo il corpo diviso in due parti A e B, mediante una superficie piana mm passante per O. Rimuovendo la parte B, quella A rimane in equilibrio se sulla superficie mm si fanno agire le sollecitazioni che esercitava la parte rimossa (B). In particolare, sull’areola elementare S agirà una sollecitazione F. F Si definisce tensione il vettore t n:tn  lim S 0 S Considerando la normale n all’area S, le componenti di t secondo n e nel piano mm prendono il nome di: n - tensione normale n - tensione tangenziale P2 P1 n m F=tnS B P7 nS nS P3 O S P6 A m P4 P5 Geotecnica fascicolo 3/1  z y zy x zx xz x yx xy yz z y Note le componenti speciali di tensione nel generico riferimento x, y, z, è possibile ottenere le componenti di tensione agenti sul generico piano di normale n, attraverso le relazioni: pnx   x cos(n, x)   xy cos(n, y)   xz cos(n, z) pny   yx cos(n, x)   y cos(n, y)   yz cos(n, z) pnz  zx cos(n, x)   zy cos(n, y)   z cos(n, z) p p p Geotecnica fascicolo 3/2 Le equazioni indefinite dell’equilibrio statico in un punto qualsiasi di un semispazio soggetto al peso proprio sono descritte dalle ben note relazioni:  x  yx zx   0 y x y z  xy  y zy x   0  x y z 0 z  xz  yz z    x y z Queste individuano un sistema di 3 equazioni in 6 incognite (3 e 3: da sole, non permettono di risolvere il problema della definizione dello stato tensionale. Geotecnica fascicolo 3/3 È sempre possibile individuare una terna d’assi rispetto alla quale le tensioni tangenziali ij sono tutte nulle e le tensioni normali attingono i valori estremi. Le direzioni di questi assi si chiamano direzioni principali di tensione, i corrispondenti piani coordinati piani principali di tensione e le tensioni agenti normalmente ad essi sono dette tensioni principali. Le tensioni principali vengono indicate con i simboli: 1 - la massima 2 - l’intermedia 3 - la minima 1 3 2 2 3 1 Geotecnica fascicolo 3/4 In alcuni casi, la particolare geometria del problema semplifica la ricerca delle direzioni principali di tensione. ESEMPIO 1: “caso piano” La direzione normale al “piano” è principale. Geotecnica fascicolo 3/5 In alcuni casi, la particolare geometria del problema semplifica la ricerca delle direzioni principali di tensione. ESEMPIO 2: in corrispondenza di un asse di simmetria La direzione dell’asse è principale. Geotecnica fascicolo 3/6 Noti i valori delle tensioni principali 1 e 3 può essere tracciato il cerchio di Mohr corrispondente, di centro (1 +3)/2 e raggio (1 -3)/2. n 1 3 (1-3)/2 n (1+3)/2 Viceversa, se sono noti i valori delle tensioni normali e tangen-ziali secondo due assi ortogonali (x, z) del piano 1-3, il cerchio di Mohr può essere tracciato tra i punti (x, xz) e (z, zx), con centro (x+ z)/2. n (z,zx) (x+z)/2 n (x,xz) Geotecnica fascicolo 3/7  Tracciato il cerchio di Mohr ed individuato il polo delle giaciture è possibile ricavare i valori delle tensioni agenti su un qualsiasi piano normale al piano 1-3. z n Giaciture di (z,zx) riferimento per il POLO K polo xz x x xz n zx z (x+z)/2 (x,xz) Il polo (K) è il punto del cerchio di Mohr che gode della seguente proprietà: qualsiasi retta passante per esso interseca il cerchio in un punto le cui coordinate ( n, n) sono rappresen-tative dello stato tensionale agente su quella giacitura. Nella convenzione di Mohr sono positive le n che danno luogo ad una coppia antioraria rispetto al centro del cubetto.n > 0, dà luogo ad una coppia antioraria zx n < 0, dà luogo ad una coppia xz oraria Geotecnica fascicolo 3/8  RICERCA TENSIONI PRINCIPALI z xz x x xz zx z n (z,zx) K 3 1 n 1 3 (x,xz) 3 1 1 3 Geotecnica fascicolo 3/9  RICERCA TENSIONI SU x, z  z xz x x xz zx z n (z,zx) K x n z (x,xz)  z  x  x z  x  z x  z Geotecnica fascicolo 3/10 I cerchi di Mohr sono invarianti di tensione, ossia non cambiano al cambiare del sistema di riferimento. Altri parametri invarianti e comunemente utilizzati in geotecnica sono: 1 p  (1   2  3 ) 3 tensione totale media, o sferico 1 q (1   2 )2  ( 2  3 )2  (1  3 )2 2 tensione deviatorica, o deviatore Geotecnica fascicolo 3/11 Gli invarianti p e q possono essere usati per rappresentare in modo sintetico le variazioni di stato tensionale (percorso di tensione) che subisce un elemento di volume appartenente ad un corpo continuo soggetto a variazioni delle sollecitazioni esterne. q B A p Geotecnica fascicolo 3/12  MECCANICA DEL CONTINUO - DEFORMAZIONI Le componenti di deformazione lineare secondo gli assi x e y sono definite come:  x L / L x u / x  y L / L y v / y e sono assunte positive in geotecnica se corrispondono ad un accorciamento. La componente di deformazione di taglio secondo gli assi x e y è definita come : u v xy      y x e rappresenta la variazione dell’angolo A’O’B’. Geotecnica fascicolo 3/13 Sfruttando le equazioni di congruenza è possibile scrivere altre 3 equazioni indipendenti, che si aggiungono alle equazioni indefinite dell’equilibrio ma introducono 6 ulteriori incognite (3 ε e 3 ): 2 2 2 x   y  xy 2  2  y x xy 2 y 2 2 z  yz   z2 y 2 yz 2 x 2 z 2xz 2  2  z x xz Il pareggio tra incognite ed equazioni si ottiene introducendo altre 6 equazioni che definiscono il legame costitutivo del materiale e che permettono di esprimere le deformazioni in funzione delle tensioni (o viceversa). Geotecnica fascicolo 3/14 Per esempio, facendo riferimento alla teoria dell’elasticità, ossia ad un mezzo continuo, omogeneo ed isotropo a comportamento elastico lineare, il legame costitutivo si scrive mediante le ben note relazioni di Navier: 1 x  E  x   y  z  1  y   y   x   z  E 1  z   z   x   y  E 21   xy   xy E 21   yz   yz E 21   zx   zx E con E modulo di Young e coefficiente di Poisson. Geotecnica fascicolo 3/15 Utilizzando le condizioni di equilibrio, di congruenza e un legame costitutivo è possibile determinare tensioni e deformazioni indotte da sollecitazioni esterne. Nel 1885 il matematico Boussinesq trova la soluzione analitica per un caso di particolare rilievo: forza verticale concentrata P sulla superficie (orizzontale) di un semispazio costituito da un materiale linearmente elastico, omogeneo ed isotropo. P 3P z3 r z   2 R5 P  3r2z (1  2) R  r      2R2  R 3 Rz  (1  2) P  z R  z R      R R  z 2R2   3P z2r rz   2 R5  con R2  r2  z2 r z Geotecnica fascicolo 3/16 Nei mezzi granulari non è possibile definire  e all’interno deldominio di interesse come funzioni continue. F1 F2 F3 F5 F4 S Si definiscono le grandezze medie: N i '  S T '  i S Geotecnica fascicolo 3/17 I terreni naturali sono tipicamente costituiti da granuli di dimensioni variabili entro un campo molto ampio (μm – cm) e di forme molto diverse. Il meccanismo di trasmissione degli sforzi è intermedio tra quello di un insieme di sferette tutte uguali e quello di particelle appiattite tutte parallele tra loro. Lo studio dei dettagli della trasmissione degli sforzi sarebbe estremamente complesso. Conviene invece pensare a un modello che da un lato schematizzi il terreno come un mezzo ideale continuo e che dall’altro tenga conto dell’esistenza dei pori e quindi delle pressioni dell’aria e/o dell’acqua. Geotecnica fascicolo 3/18  PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI  A T  N i  u (A T  A C ) Fi = forza agente sull’area i-esima di contatto intergranulare Ni = componente normale a x-x delle Fi u = pressione interstiziale  = tensione totale AC