Mathématiques - Mesures - EXERCICES PDF

Syllabus Mathématiques Mesures version 6.2, septembre 2024 Bachelier Bloc 1 Pr D. Doumont  Table des matières MESURES..........................................................................................................

Syllabus Mathématiques Mesures version 6.2, septembre 2024 Bachelier Bloc 1 Pr D. Doumont  Table des matières MESURES..................................................................................................................................... 1 1. Anciennes unités de mesure en France................................................................................. 3 2. Unités de mesure anglo-saxonnes.........................................................................................4 3. Système International (SI)....................................................................................................5 4. Notation scientifique.............................................................................................................9 5. Ordres de grandeur..............................................................................................................10 6. Analyse dimensionnelle......................................................................................................11 7. Conversions d’unités de mesure.........................................................................................13 8. Mesure et erreur de mesure.................................................................................................20 9. Chiffres significatifs............................................................................................................20 EXERCICES............................................................................................................................... 27 Notation scientifique...............................................................................................................27 Ordres de grandeur..................................................................................................................28 Analyse dimensionnelle.......................................................................................................... 29 Conversions d’unités de mesure.............................................................................................30 Chiffres significatifs................................................................................................................32 BIBLIOGRAPHIE......................................................................................................................35 Livres et cours.........................................................................................................................35 Sites internet........................................................................................................................... 36 ANNEXES...................................................................................................................................37 1. Alphabet grec...................................................................................................................... 37 2. Constantes physiques.......................................................................................................... 38 3. Grandeurs et unités en physique.........................................................................................39 4. Facteurs de conversion........................................................................................................43 Licence © Denis J. G. Doumont, 2024 – [email protected] Cette œuvre, création, site ou texte est sous licence Creative Commons Attribution – Pas d’Utilisation Commerciale – Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International. Pour accéder à une copie de cette licence, merci de vous rendre à l’adresse suivante http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0 This document by Denis J. G. Doumont is licensed under CC BY-NC-SA 4.0. To view a copy of this licence, visit https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0 En bref, vous êtes autorisé à diffuser et à modifier cette œuvre ; vous n’êtes pas autorisé à vous en attribuer la pater- nité ni à en faire un usage commercial ; vous êtes obligé de la partager dans les mêmes conditions. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 3 1. Anciennes unités de mesure en France Jusqu’au XIXe siècle, les définitions d’unités de mesure n’étaient pas précises, elles variaient selon les régions. Les subdivisions allaient par 2, 3, 4, 6, 8, 12 et chaque subdivision avait son propre nom. Passons en revue quelque-unes de ces unités. 1.1. Masse La prime vaut 2,213 mg ; le grain de Paris vaut 24 primes (0,053 g) ; le denier vaut 24 grains ou 576 primes (1,275 g) ; le gros ou la grosse vaut 3 deniers (3,824 g) ; l’once de Paris vaut 8 gros ou 24 deniers (30,5941 g) ; le demi-quarteton vaut deux onces (61,188 g) ; le quarteton vaut 4 onces (122,376 g) ; le marc ou demi-livre vaut 2 quartetons ou 8 onces (244,753 g) ; la livre des poids de marc vaut 2 marcs ou 16 onces (489,5 g) ; la pile de Charlemagne vaut 25 livres (12,2376 kg) ; le quintal vaut 4 piles de Charlemagne ou 100 livres (48,9506 kg) ; le tonneau vaut 20 quintaux ou 2 000 livres (979 kg). Il existait environ un millier d’unités de mesure de masse locales dans le royaume de France. Les unités les plus courantes étaient la livre et l’once. L’once est encore utilisée pour les métaux précieux tels que l’or. Poids standard en laiton, 1826 La somme est l’unité de transport des animaux portant des charges sur leur dos, d’où le nom « bête de somme », elle vaut 280 livres, soit 131 kg. 1.2. Longueur (après 1668) Les plus anciennes unités de mesure de longueur sont en rapport avec des parties du corps : pouce, pied, pas, coudée, brasse. Le point vaut 0,188 mm. La ligne vaut 12 points, soit 0,2256 cm. Le pouce vaut 12 lignes, soit 2,707 cm. Le pied-du-roi vaut 12 pouces, soit 32,5 cm. La toise vaut 6 pieds-du roi, soit 1,949 m. La perche-du-roi vaut 3 toises (5,847 m) ; la perche ordinaire vaut 10/9 perches-du-roi (6,497 m) ; la perche d’arpent vaut 11/9 perches-du-roi (7,146 m). La lieue ancienne vaut 500 perches ordinaires (3,266 km) ; la lieue de Paris vaut 600 perches ordinaires ou 2 000 toises ou 10 000 pieds-du-roi (3,898 km) ; la lieue des Postes vaut 660 perches ordinaires ou 2 200 toises ou 12 000 pieds-du-roi (4,288 km) ; la lieue tarifaire vaut 720 perches ordinaires ou 2 400 toises ou 14 400 pieds-du-roi (4,678 km). Pour les étoffes, l’aune de Paris vaut 3 pieds, 7 pouces et 8 lignes (1,1884 m), fixé officiellement par un édit royal de François Ier en 1540. Dans la marine, la brasse est la longueur de corde entre les bras étendus, soit 1,624 m ; l’encablure vaut 185,2 m ; la lieue marine vaut 5,556 km. 1.3. Surface Toutes les unités de longueur précédentes étaient utilisées au carré : la ligne carrée vaut 144 points carrés, le pouce carré vaut 144 lignes car- rées (7,33 cm²), le pied carré vaut 144 pouces carrés (0,1055 m²), la toise carrée vaut 36 pieds carrés (3,7987 m²), l perche carrée vaut 22 pieds carrés (51,072 m²), etc. L’arpent des eaux et forêts vaut 100 perches carrées (5 107,2 m²) L’acre mesurait ce qu’un équipage de bœufs pouvait labourer en un jour, soit 5 200 m². HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 4 1.4. Volume, capacité La pinte était la principale petite capacité de matières liquides. Le pouce cube vaut 1/48 pinte (1,9836 cℓ) ; la roquille vaut 1/32 pinte ou 1,5 pouce cube (2,9755 cℓ) ; le posson ou poisson vaut 1/8 pinte ou 6 pouces cubes ou 4 roquilles (11,9018 cℓ) ; le demiard vaut 1/4 pinte ou 2 poissons ou 8 roquilles ou 12 pouces cube (23,8036 cℓ) ; la chopine de Paris ou setier vaut 1/2 pinte ou 2 demiards ou 24 pouces cubes (47,6073 cℓ) ; la pinte vaut 2 chopines ou 48 pouces cubes (95,2146 cℓ) ; la quade Il y a bien deux fois le mot vaut 2 pintes (1,904 ℓ) ; la velte ou setier vaut 4 quades ou 8 pintes setier, comme synonyme de (7,617 ℓ) ; le pied cube vaut 36 pintes (34,277 ℓ) ; le quartaut vaut 2 chopine de Paris et de velte, pieds cube ou 72 pintes (68,555 ℓ) ; la feuillette vaut 2 quartauts ou 144 pour les matières liquides. pintes (137,11 ℓ) ; le muid vaut 2 feuillettes ou 288 pintes (274,2 ℓ) ; la Pour les matières sèches, le pipe vaut 3 feuillettes ou 432 pintes (411,3 ℓ). setier désigne encore d’autres capacités… Pour les matières sèches, le boisseau est la principale capacité. Le litron vaut 1/16 boisseau ou 40 pouces cubes (79,345 cℓ) ; le quart vaut 1/4 boisseau (3,174 ℓ) ; le boisseau vaut 640 pouces cubes ou 10/27 pieds cube (12,695 ℓ) ; le minot vaut 3 boisseaux (38,086 ℓ) ; la mine vaut 6 boisseaux ou 2 minots (76,172 ℓ) ; le setier vaut 2 mines ou 6 boisseaux (152,343 ℓ) ; le muid vaut 12 setiers ou 144 boisseaux (18,281 hℓ). Le pied cube vaut 27/10 boisseaux (34,277 ℓ) ; il y a exactement 27 boisseaux dans 10 pieds-du-roi cube ; la toise cube vaut 216 pieds cube (74,38 hℓ). 2. Unités de mesure anglo-saxonnes Les subdivisions vont par 3, 4, 8, 12, 16, 25,… 2.1. Masse Les unités principales sont la livre et l’once, standardisées en 1959. Nous mentionnons ici le système coutumier américain car ce sont les unités de mesure qui nous semblent le plus perdurer à l’heure actuelle. Le grain (gr) vaut 1/7000 livre (64,80 mg) ; le dram (dr) vaut 1/256 livre ou 1/16 once (1,772 g) ; l’once (oz) vaut 1/16 livre (28,35 g) ; la livre Entrée de l'ancien bureau des (pound) (lb) vaut 453,6 g ; le quart (qr) vaut 25 livres (11,34 kg) ; le poids et mesures dans le quintal court (cwt) vaut 4 quarts ou 100 livres (45,36 kg) ; la tonne (t) ou Middlesex tonne courte vaut 20 quintaux ou 2 000 livres (907,2 kg). 2.2. Longueur Le pouce (inch), pied (foot) et mile restent des unités de longueur d’usage courant. En particulier, la longueur de la diagonale des écrans est donnée en pouces. Le yard est encore utilisé au football américain. Inventé par les mar- chands pour mesurer les tissus, il désigne une longueur de tissu tendue entre le menton et le bout des doigts. L’histoire selon laquelle le yard re- présente la longueur du bras du roi d’Angleterre Henri I er (1100-1135) est une fausse croyance. La ligne (line) vaut 1/12 pouce (0,2116 cm) ; le pouce (inch) vaut 2,54 cm ; le chaînon (link) vaut 66/100 de pied (20,1168 cm) ; le pied (foot) vaut 12 pouces (30,48 cm) ; la verge (yard) vaut 3 pieds (91,44 cm) ; la perche (rod, pole ou perch) vaut 5,5 yards ou 16,5 pieds (5,029 m) ; la chaîne (chain) vaut 4 perches ou 66 pieds ou 100 chaînons (20,1168 m) ; le furlong vaut 10 chaînes ou 660 pieds (201,168 m) ; le mile vaut 8 fur- HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 5 longs ou 5 280 pieds (1,609 344 km) ; la lieue (league) vaut 3 miles ou 15 840 pieds (4,828 km). Le mille marin (nautical mile) vaut exactement 1 852 m. Il correspond à une minute d’arc terrestre. 2.3. Surface Le pied carré (square foot) vaut 929 cm² ; la verge carrée (square yard) vaut 9 pieds carrés (0,8361 m²) ; la perche carrée (square perch) vaut 30,25 verges carrées (25,29 m²) ; la vergée (rood) vaut 40 perches car- rées (10,117 dam²) ; l’acre vaut 4 vergées ou 160 perches carrées (40,47 dam²) ; l’oxgang vaut 15 acres ou 2 400 perches carrées (6,07 hm²) ; la grand-vergée (virgate) vaut 2 oxgangs (12,14 hm²) ; la charruée (caru- cate) vaut 4 grand-vergées ou 19 200 perches carrées (45,56 hm²) ; le mile carré (square mile) vaut 16/3 charruées ou 102 400 perches carrées (2,59 km²). 2.4. Volume, capacité Il y a des différences entre les unités impériales (anglaises) et celles utili- sées aux États-Unis (désignant des quantités inférieures) et au Canada. Nous mentionnons ici les unités des États-Unis car ce sont celles qui nous semblent le plus perdurer à l’heure actuelle. L’unité de référence est le gallon US, liquide (3,7854 ℓ) ou sec (4,4048 ℓ). La gille liquide vaut 1/32 gallon liquide (0,1183 ℓ) ; la pinte liquide vaut 4 gilles liquides ou 1/8 gallon liquide (0,4732 ℓ) ; le quart liquide vaut deux pintes liquides ou 1/4 gallon liquide (0,9464 ℓ) ; le Peck vaut 2 gal- lons liquides (8,81 ℓ) ; la barrique ou le baril vaut 31,5 gallons liquides (119,24 ℓ) ; la barrique de pétrole vaut 42 gallons liquides (158,98 ℓ). La pinte sèche vaut 1/8 gallon sec (0,5506 ℓ) ; le quart sec vaut 2 pintes sèches ou 1/4 gallon sec (1,1012 ℓ) ; le boisseau vaut 8 gallons secs (35,24 ℓ). 3. Système International (SI) Jusqu’il y a deux cents ans, les unités de mesures n’étaient pas uniformisées, ce qui compliquait considérablement les communications scientifiques. Le premier véritable étalon international fut le mètre (m), institué dans les an- nées 1790 par l’Académie des Sciences de France. Le mètre étalon équiva- Les mesures modernes de la lait à un dix millionième de la distance entre l’équateur et l’un des pôles. circonférence de la Terre Une règle en platine fut fabriquée comme référence, puis en 1889, une barre indiquent que la longueur en alliage de platine et irridium contenant deux points gravés à la distance établie à cette époque était inexacte de 0,000 2 %. d’un mètre. Vers la fin du XIXe siècle, le mètre fut redéfini en fonction de la longueur d’onde de la lumière. En 1960, il fut redéfini comme 1 650 763,73 longueurs d’onde de la lumière orange émise par l’isotope 86 du krypton ga- zeux. En 1983, il fut redéfini comme la longueur du trajet parcouru par la lu- mière dans le vide durant 1/299 792 458 de seconde. Cette dernière défini- tion est basée sur la vitesse de la lumière dans le vide dont la mesure la plus exacte est de 299 792 458 m/s (avec un degré d’incertitude de 1 m/s). C’est la définition la plus précise du mètre et elle ne sera pas remise en question. Les unités de longueur anglo-saxonnes sont désormais définies par rapport au mètre : un pouce (inch) vaut exactement 2,54 cm un pied (foot) vaut exactement 30,48 cm un yard (yard) vaut exactement 91,44 cm HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 6 un mile terrestre international vaut exactement 1 609,344 m un mile marin international vaut exactement 1 852 m. L’unité normalisée de temps est la seconde (s). La seconde fut longtemps dé- Au temps des dinosaures, il y finie car 1/86 400 d’une journée. Mais la rotation de la Terre ralentit très lé- a environ 70 millions gèrement et les jours deviennent plus longs. À présent, la seconde est définie d’années, une journée durait comme le temps requis pour 9 192 631 770 vibrations de l’atome de césium- 23h 30 minutes, et la Terre tournait sur elle-même 372 133, mesurées à l’aide d’une horloge à faisceau atomique. Il y a bien sûr 60 fois par an. secondes dans une minute (min) et 60 minutes dans une heure (h). L’unité normalisée de masse est le kilogramme (kg). En 1795, le kilo- gramme était défini comme la masse d’un litre d’eau pure à sa densité maxi- male et sous pression atmosphérique standard (à environ 4°C). En 1799, un kilogramme étalon en platine fut fabriqué, appelé kilogramme des Archives car conservé aux Archives Nationales de Paris. En 1889, il est remplacé par un cylindre en alliage platine-irridium d’environ 39 mm de diamètre et de hauteur, déposé au Bureau International des Poids à Mesures à Sèvres, en France. Il sera la norme d’unité de masse pendant 130 ans. En 2019, le kilo- Kilogramme étalon de 1889 gramme est défini par rapport à la constante de Planck : h = 6,626 070 15. 10–34 kg m²/s, le mètre et la seconde étant déjà définis. Le Système International (SI) est le système d’unités le plus important et le plus utilisé actuellement. C’est un système décimal, c’est-à-dire où l’on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10, sauf pour la mesure du temps et des angles. Ce système décimal simplifie considérablement les calculs. Ainsi, un centimètre est un centième de mètre, un kilomètre est mille mètres, etc. Ces préfixes s’emploient pour toutes les unités. Le SI comprend un système cohérent d’unités de mesure à partir de sept uni- tés de base, vingt-deux unités dérivées, vingt-quatre préfixes pour les mul- Seules exceptions, les unités tiples et sous-multiples. Les sept quantités fondamentales permettent de défi- d’angle plan (radian) et nir toutes les autres quantités. Par exemple, la vitesse est une distance divi- d’angle solide (stéradian). On sée par le temps mis pour la parcourir. En revanche, les quantités fondamen- ne s’accorde pas encore sur tales ne peuvent pas être définies à l’aide d’autres quantités, d’où leur nom. leur classement comme La distinction entre quantité fondamentale et dérivée est arbitraire. Par quantités fondamentales ou dérivées. exemple, dans le système britannique (impérial), la force est considérée comme une quantité fondamentale et la masse comme une quantité dérivée, alors que dans le SI, c’est le contraire. L’évolution du SI est décidée tous les quatre ans à Paris par la Conférence générale des poids et mesures. 3.1. Unités fondamentales Grandeur physique Unité Symbole Longueur (L) mètre m Masse (m) kilogramme kg Temps (t) seconde s Notez que le symbole pour seconde est bien « s » et non Intensité du courant électrique (I) ampère A « sec ». Quantité de matière mole mol Température (T) kelvin K Intensité lumineuse (I) candela cd Le kelvin est une mesure absolue de la température : un degré Celsius égale Le kelvin n’est jamais précédé un kelvin et 0 K = –273,15°C (zéro absolu, température la plus basse pos- du mot degré ni du symbole °. sible). L’échelle kelvin est donc l’échelle Celsius décalée « vers la gauche » Certaines formules de pour ne plus avoir de valeurs négatives de températures. physique requièrent que la Les conversions d’unité sont : K = °C + 273,15 et °C = K – 273,15. Par température soit exprimée en exemple, –10°C = 263,15 K ; 0°C = 273,15 K ; 25°C = 298,15 K. kelvins. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 7 Aux laboratoires, la température sera exprimée en degrés Celsius. 3.2. Unités dérivées les plus courantes Grandeur physique Unité SI Autres unités ou remarques hectare : 1 ha = 104 m2 2 Surface (S) m are : 1a = 100 m2 centiare : 1 ca = 1 m2 litre : 1 ℓ = 10–3 m3 Volume (V) m3 centimètre cube : 1 cc = 10–6 m3 stère : 1 st = 1 m3 de bois Angle ( α, β, γ, δ, θ) radian (rad) 2π rad = 360° ; 1 rad ≈ 57,30° ; 1° ≈ 0,017 453 rad Vitesse (v = Δx/Δt) m/s kilomètre par heure : 1 km/h = (1/3,6) m/s Accélération (a = Δv/Δt) m/s2 dyne : 1 dyn = 1 g cm/s2 = 10–5 N Newton Force (F = ma) kilogramme-force : 1 kgf = 9,81 N 1 N = 1 kg m/s2 Ex. Une masse de 10 kg a un poids de 10 kgf ou 98,1 N Poids (P ou FP = mg) 1 N = 1 kg m/s g = 9,81 m/s2 2 Moment de force (⃗M =⃗ F.⃗ d ) N.m Énergie (E) Joule calorie : 1 cal = 4,184 J Travail (⃗ W =⃗ F.⃗ d) 1 J = 1 Nm électron-volt : 1 eV = 1,602. 10–19 J Watt Puissance (P = ΔE/Δt) cheval-vapeur : 1 ch = 735,5 W = 75 kgm/s 1 W = 1 J/s Débit volumique (D = ΔV/Δt) m³/s litre par minute : 1 ℓ/min = (1/60 000) m3/s bar : 1 bar = 105 Pa millimètre de colonne de mercure : 1 mmHg = 101325/760 Pascal Pa Pression (P = F/S) 1 Pa = 1 N/m2 torr : 1 torr = 1 mmHg = 1 kg / (ms2) pression atmosphérique standard : 1 atm = 101 325 Pa = 1 013,25 bar = 760 mmHg = 760 torr Coulomb Charge électrique (q) 1 C = 1 As Volt Potentiel électrique (U, V) 1 V = J/C Ohm Résistance électrique (R) 1 Ω = 1 V/A Champ magnétique (B) Tesla (T) Hertz Fréquence (f, ν) 1 Hz = 1 s–1 Becquerel 1 Becquerel = 1 désintégration par seconde Activité radioactive 1 Bq = 1 s–1 Curie : 1 Ci = 37 GBq = 3,7. 1010 Bq Dose absorbée de rayonnement gray 1 gray représente l’énergie d’un rayonnement ionisant ap- ionisant 1 Gy = 1 J/kg portant une énergie d’un joule à une masse de 1 kg Unité utilisée pour évaluer l’impact de la radioactivité sur le Dose équivalente de rayonne- Sievert corps humain ; dérive du gray en pondérant l’effet des ment ionisant 1 Sv = 1 J/kg rayonnements selon leur dangerosité et les tissus affectés Voir en annexe un tableau complet des grandeurs et unités de mesure en phy- sique, ainsi qu’un tableau de facteurs de conversion. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 8 3.3. Préfixes SI préfixe symbole signification facteur quetta Q 1030 fois l’unité 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ronna R 1027 fois l’unité 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 yotta Y 1024 fois l’unité 1 000 000 000 000 000 000 000 000 zetta Z 1021 fois l’unité 1 000 000 000 000 000 000 000 exa E 1018 fois l’unité 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 fois l’unité 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 fois l’unité 1 000 000 000 000 giga G 109 fois l’unité 1 000 000 000 méga M 106 fois l’unité 1 000 000 kilo k 103 fois l’unité 1 000 hecto h 102 fois l’unité 100 déca da 10 fois l’unité 10 déci d 10–1 fois l’unité 0,1 centi c 10–2 fois l’unité 0,01 milli m 10–3 fois l’unité 0,001 micro µ 10–6 fois l’unité 0,000 001 nano n 10–9 fois l’unité 0,000 000 001 pico p 10–12 fois l’unité 0,000 000 000 001 femto f 10–15 fois l’unité 0,000 000 000 000 001 atto a 10–18 fois l’unité 0,000 000 000 000 000 001 zepto z 10–21 fois l’unité 0,000 000 000 000 000 000 001 yocto y 10–24 fois l’unité 0,000 000 000 000 000 000 000 001 ronto r 10–27 fois l’unité 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 quecto q 10–30 fois l’unité 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 Attention, ces préfixes varient par dix ou par mille : Vous devez connaître tous les T G M k h da u préfixes de tera (1012) à pico 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (10–12). Ceux au-delà et en- deçà sont rarement utilisés. 1 T = 1 000 G = 103 G = 1 000 000 M = 106 M = 1 000 000 000 k = 109 k = 10 000 000 000 h = 1010 h = 100 000 000 000 da = 1011 da = 1 000 000 000 000 u = 1012 u (unités) u d c m µ n p 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 u (unité) = 10 d = 101 d = 100 c = 102 c = 1 000 m = 103 m = 1 000 000 µ = 106 µ = 1 000 000 000 n = 109 n = 1 000 000 000 000 p = 1012 p HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 9 Dans le langage courant, ces préfixes ne sont pas forcément utilisés. Par exemple, on ne dira pas un méga euro mais un million d'euros. Les mots sui- En revanche, on peut vants sont utilisés pour les multiples suivants : dire une mégatonne. puissance facteur en langage courant 10⁹ 1 000 000 000 milliard 10⁶ 1 000 000 million 10³ 1 000 mille Il existe en fait des mots en langue française pour les autres facteurs, par Pour plus de détails sur exemple un billion représente 1012, un billiard 1015, un trillion 1018, un ce sujet, voir trilliard 1021, etc. Mais ces mots ne sont pas courants et peuvent porter à https://fr.wikipedia.org confusion avec la langue anglaise, pour laquelle par exemple one billion re- /wiki/%C3%89chelles _longue_et_courte présente 109 et one trillion 1012. Bref, on se limitera à des combinaisons des mots mille, million et milliard ; ainsi, 1012 est mille milliards, 1015 un million de milliards, 1018 un milliard de milliards, etc. Enfin, les préfixes SI sont fort utilisés en informatique, mais de manière un peu abusée. En effet, 1 kilo-octet (ko) par exemple ne représente pas mille octets mais 210 octets, soit 1 024 octets. C'est donc une approximation. Pa- reillement, un méga-octet (Mo) représente 1 024 ko, un giga-octet (Go), 1 024 Mo, etc. 4. Notation scientifique Un nombre en notation scientifique s’écrit sous la forme x = ± a. 10n, où a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu) et n un nombre entier. Le nombre a est appelé le significande de x (ou familièrement la mantisse de x) et n est appelé exposant de x. Par exemple, 675,0 s'écrira sous forme scientifique 6,75. 102 ; 675 000 000,0 s'écrira 6,75. 108. D'où l'on voit qu'un des avantages de cette notation est sa compacité. Remarquons que la valeur de l'exposant de la puissance 10 indique le nombre de déplacements vers la gauche que subit la virgule. De même, 0,00675 = 6,75. 10 –3 : ici, la valeur absolue de l'exposant indique le nombre de déplacements vers la droite que subit la virgule. Voici d'autres exemples. nom ou contexte notation décimale notation scientifique accélération due à la gravité (m/s²) 9,81 9,81. 100 point triple de l’eau (K) 273,16 2,731 6. 102 vitesse de la lumière dans le vide (m/s) 300 000 000 3. 108 nombre d’Avogadro 602 200 000 000 000 000 000 000 6,022. 1023 constante de gravité 0,000 000 000 066 7 6,67. 10–11 charge de l’électron (C) 0,000 000 000 000 000 000 16 1,6. 10–19 constante de Planck (Js) 0,000 000 000 000 000 000 000 6,626. 10–34 000 000 000 000 626 6 La notation scientifique facilite beaucoup les manipulations numériques. Par (2.1020).(3.10−15) 2.3 20−15−8 −3 −4 exemple : 8 =. 10 =0,75.10 =7,5.10 8.10 8 HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 10 5. Ordres de grandeur Recourir aux ordres de grandeur consiste à estimer la valeur cherchée d’un problème à un facteur 10 près. Cette faculté d’estimer les ordres de grandeur permet de voir par un calcul « grossier » si un résultat obtenu par les calculs exacts est raisonnable. Le bon réflexe est donc, à la fin d’un calcul, de se po- ser la question suivante : est-ce que le résultat est cohérent ? 5.1. Exemples 1) Un présentateur de télévision américain, qui ne connaissait pas encore bien le système métrique, a souhaité bonne chance aux participants d'une « course (à pied) de 10 000 km ». 2) Combien font 123 × 58 ? À peu près 7 200. Pourquoi ? Parce que ce calcul est proche de 120 × 60. Le résultat exact est 7 134. 3) Quel est l’ordre de grandeur du calcul suivant : 193 ,7 × 39 ,64 E= 8 ,71 200 × 40 8 000 E≈ = ≈ 1 000 9 9 La valeur exacte est E = 881,546… soit 882 avec trois chiffres significa- Pour la notion de chiffre tifs. significatif, voir plus loin. En général, on procède à une estimation rapide en arrondissant tous les nombres à un seul chiffre significatif et à sa puissance de 10. Une fois les calculs effectués, on ne garde qu’un seul chiffre significatif. On parle alors d’estimation de l’ordre de grandeur, précise à un facteur 10 près. 4) Volume d’un lac. Quelle volume d’eau y a-t-il dans un lac relativement rond, de diamètre proche de 1 km et de profondeur moyenne 10 m ? Voyons le lac comme un cylindre : V = Sh, où S est la surface du lac et h sa profondeur. S = π r² ≈ 3. (500 m)² = 3. (5. 100)² = 3. 5². 100² = 3. 25. 10 000 = 750 000 m² ≈ 800 000 m² (n’oublions pas que π > 3) V = Sh = 800 000. 10 = 8 000 000 m³ = 8. 106 m³ 5) Un ingénieur met au point un stimulateur pour les patients souffrant de troubles cardiaques. Dans le cas d’une femme de vingt ans, combien de battements devra effectuer le dispositif pour qu’elle ait une espérance de vie normale ? Considérez un facteur 2 de sécurité. À résoudre sans cal- culatrice. Considérons une espérance de vie de 80 ans. Le dispositif doit donc du- rer au moins 60 ans. La fréquence cardiaque normale d’un adulte est comprise entre 55 et 85 battements par minute. Pour simplifier, considérons 60 battements par minute, soit un battements par seconde. Combien y a-t-il de secondes dans 60 ans ? n = 60. 365. 24. 3 600 ≈ 60. 400. 20. 4000 ≈ 200. 107 = 2. 109 Cela fait donc 2. 109 battements. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 11 En tenant compte du facteur de sécurité : N = 2. 2. 10 9 = 4. 109 batte- ments, soit 4 milliards de battements. Résultat exact Durée de 60 ans Fréquence cardiaque moyenne = (55+85)/2 = 70 battements par minute Nombre de minutes dans 60 ans : 60. 365. 24. 60 = 31 536 000 Nombre de battements en 60 ans : 31 536 000. 70 = 2,207 52. 109 Ajout du facteur de sécurité : N = 2,207 52. 109. 2 = 4,415 04. 109 soit 4,415 milliards de battements. L’estimation était excellente ! 6) Nombre d’accordeurs de piano. Le physicien Enrico Fermi avait pro- posé un exercice d’ordre de grandeur devenu célèbre à ses étudiants : combien y a-t-il d’accords de piano à Chicago ? Considérez 3 millions d’habitants. Considérons que deux personnes vivent en moyenne dans un ménage. Il y a environ un piano dans un ménage sur vingt. Les pianos sont accordés en moyenne une fois par an. Le nombre de pianos à Chicago est donc : 3. 106. (1/2). (1/20) = 75 000 Il faut deux heures pour accorder un piano, en comptant le temps de dé- placement. Un accordeur de piano travaille huit heures par jour, cinq jours par semaine, quarante semaines par an. Le nombre de pianos accordés par an par un seul accordeur est donc : 4. 5. 40 = 800 Nombre d’accordeurs nécessaires pour tous les pianos à Chicago : 75 000 / 800 ≈ 80 000 / 800 = 100. 5.2. Recommandations Vous devez prendre l’habitude de connaître l’ordre de grandeur des valeurs souvent rencontrées, telles le rayon de la Terre et sa distance au Soleil, la vi- tesse de course de pointe d’un être humain, la vitesse d’une voiture en ville ou sur autoroute, la vitesse dans l’air du son et de la lumière, les dimensions d’un atome, la masse et la charge de l’électron,… Cela vous permettra de dé- velopper votre intuition et d’éviter les réponses aberrantes dans les exercices. Il arrive en effet assez souvent qu’à la suite d’une petite erreur de calcul, un étudiant trouve 105 m comme hauteur maximale atteinte par une balle. Il suf- fit pourtant de réfléchir un peu pour s’apercevoir que cette distance est plus de dix fois supérieure à la hauteur de l’Everest ! 6. Analyse dimensionnelle Les dimensions d’une quantité font référence au type d’unité de mesure de cette quantité. Par exemple, les dimensions d’une aire sont toujours la lon- gueur au carré ; ses unités de mesures peuvent être des mètres carrés, ares,… La formule d’une quantité peut varier selon les cas, mais ses dimensions res- tent toujours les mêmes. Par exemple, l’aire d’un triangle de base b et de hauteur h est A = ½ b h alors que l’aire d’un disque de rayon r est A = π r² : bien que ces formules diffèrent, on a toujours [A] = m² (les dimensions d’une grandeur sont notées entre crochets). On exprime généralement les dimensions par des unités fondamentales et non des unités dérivées. On peut aussi les exprimer par des quantités fonda- mentales. Dans ce cours, nous préférons utiliser les unités parce que cela nous semble plus explicite ; nous noterons par exemple [A] = m² plutôt que HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 12 [A] = L², où L est la Longueur. Il y a trois règles à propos des dimensions. Règle 1. Les dimensions peuvent être traitées comme des quantités algé- briques : on peut les additionner, soustraire, multiplier, diviser (et par exten- sion : les élever au carré, en extraire la racine carrée, etc.). Règle 2. Seules des quantités de mêmes dimensions peuvent être ajoutées ou soustraites. Règle 3. Les dimensions des deux membres d’une équation doivent être les mêmes. Les règles 2 et 3 signifient que toute équation doit être homogène en dimen- sions. Toutes les équations doivent obéir à ces règles. Par exemple, soit l’équation suivante : C = A + B. Pour que cette équation soit correcte, il est nécessaire que : A et B aient les mêmes dimensions (règle 2) C a les mêmes dimensions que A + B (règle 3). Attention, distinguez condition nécessaire et condition suffisante ! Une équa- tion qui obéit à ces règles peut être correcte. Une équation qui n’obéit pas à ces règles est fausse. L’analyse dimensionnelle est un procédé consistant à vérifier l’homogénéité dimensionnelle des équation. Soit par exemple l’équation 1 2 v = v0 + at 2 où v représente la vitesse d’un objet après une période de temps t, v0 la vi- tesse initiale de cet objet et a son accélération. Cette équation est vraie si tous les termes ont les dimensions d’une vitesse, à savoir [v] = m/s. L’équa- tion dimensionnelle est : [ ] [ ][ ][ m s ?= m s m + 2. s ] s 2 [ ] ?= m s +[ m ] On constate tout de suite que les dimensions du terme ½ at² ne correspondent pas à celles d’une vitesse. Cette équation est donc fausse. Notons qu’un facteur numérique tel que ½ ou π ou 2π est sans dimension. Dès lors, l’analyse dimensionnelle ne peut pas garantir qu’une équation est parfaitement exacte. Par exemple, est-ce que l’aire d’un disque vaut A = πr² ou A’ = 2πr² ? L’analyse dimensionnelle ne permet pas de trancher. En re- vanche, vous ne devriez pas hésiter entre A = πr² et A’ = 2πr, car la première expression a bien les dimensions d’une aire : [A] = m², alors que la deuxième a les dimensions d’une longueur : [A’] = m. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 13 7. Conversions d’unités de mesure 7.1. Motivation Lorsqu’on utilise des grandeurs physiques, il est important d’utiliser un en- semble cohérent d’unités de mesures. Voici deux exemples. 300 g de farine + 200 g de beurre + 3 kg d’eau ne font pas 505 g et en - core moins 505 kg ! Il est nécessaire de convertir toutes ces masses dans la même unité : 300 g + 200 g + 3 000 g = 3500 g = 3,5 kg. Quelle distance une voiture roulant à la vitesse constante de 90 km/h parcourt-elle en 40 minutes ? Dans ce cas, la distance Δx vaut Δx = v Δt. Ainsi, Δx = 90. 40 = 3 600 Notez encore ici l’importance km ?? Cette réponse est invraisemblable. Puisque la vitesse est donnée des ordres de grandeur ! par unité d’heure, le temps t doit être exprimé dans la même unité : Δt = 2/3 h. Dès lors, Δx = 90. (2/3) = 60 km. Il est donc indispensable d’apprendre à convertir les unités de mesures. 7.2. Abaques 7.2.1. Masses T Q kg hg dag g dg cg mg µg Les unités de longueurs vont par multiples (ou diviseurs) de 10. Un quintal (Q) représente cent kg, une tonne (T) mille kg. Exemple. Additionnez les masses suivantes (réponse en grammes) : 2,5 g 4,5 kg 16 mg 8,182 hg. T Q kg hg dag g dg cg mg µg 2, 5 4 5 0 0 0, 0 1 6 8 1 8, 2 5 3 2 0, 7 1 6 soit 5 320,716 g 7.2.2. Longueurs km hm dam m dm cm mm µm Les unités de longueurs vont par multiples (ou diviseurs) de 10. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 14 Exemple : additionnez les longueurs suivantes (réponse en mètres) : 123 m 3,2 km 76 mm 25 cm. km hm dam m dm cm mm µm 1 2 3 3 2 0 0 0, 0 7 6 0, 2 5 3 3 2 3, 3 2 6 soit 3 323,326 m 7.2.3. Aires km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 ha a ca Les unités d’aires vont par multiples (ou diviseurs) de 100. Un are (a) repré- sente 100 m², un centiare (ca) représente un centième d’are, soit 1 m², un hectare (ha) représente cent ares, soit 10 000 m². Exemple. Additionnez les aires suivantes (réponse en m2) : 4,5 a 48 cm² 2,48 ha 768,9 dm². km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 ha a ca 4 5 0 0, 0 0 4 8 2 4 8 0 0 7, 6 8 9 2 5 2 5 7, 6 9 3 8 soit 25 257,6938 m² 7.2.4. Volumes dam3 m3 dm3 cm³ (cc) mm3 kℓ hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ mℓ Les unités de volumes vont par multiples (ou diviseurs) de 1 000. Le centi- mètre cube est parfois noté « cc ». Pour de l’eau pure à 4°C (température où elle est la plus lourde), un volume d’un litre représente une masse de 1 kg, et un volume d’un cm³ (soit un mil- lilitre) représente une masse de 1g. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 15 Exemple. Additionnez les volumes suivants (réponse en dm³) : 4,2 m³ 756 mm³ 24,5 cm³. m3 dm3 cm³ (cc) mm3 4 2 0 0 0, 0 0 0 7 5 6 0, 0 2 4 5 4 2 0 0, 0 2 5 2 5 6 soit 4 200,025256 dm³ 7.2.5. Capacités kℓ hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ mℓ L’unité du litre est « l ». Le rendu typographique ressemble fort au Les unités de capacités vont par multiples (ou diviseurs) de 10. chiffre « 1 » voir au « I » majuscule. On écrit donc ici une Exemple. Additionnez les capacités suivantes (réponse en litres) : lettre « ℓ » cursive ou 3,2 hℓ 7 ℓ 1 432 cℓ 186 mℓ. un « L » majuscule. kℓ hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ mℓ 3 2 0 7 1 4, 3 2 0, 1 8 6 3 4 1, 5 0 6 soit 341,506 litres 7.2.6. Temps Le temps est exprimé en unité sexagésimales, c’est-à-dire en base 60 : une La base 60 est une tradition heure représente 60 minutes, une minute représente 60 secondes. Les se- héritée de la civilisation condes sont divisées en dixièmes, centièmes ou millièmes de secondes. mésopotamienne. Les Mésopotamiens comptaient 1 millénaire=1 000 ans 1 mois≈30 jours 1 jour=24 h jusqu’à 12 avec une main et 1 siècle=100 ans 1 an≈52 semaines 1 h=60 min jusqu’à 60 avec deux mains. 1 an=365 jours 1 semaine=7 jours 1 min=60 s Leur méthode ? Avec le pouce d’une main, ils comptaient les 1 an=12 mois phalanges des 4 autres doigts ; avec l’autre main, ils comptaient Une heure correspond donc à : 1 h=60.60 s=3 600 s. sur chaque doigt combien de fois Un jour correspond à une rotation complète de la Terre sur elle-même. ils avaient déjà atteint 12. De ce système antique, nous avons Les mois varient de 28 à 31 jours. aussi gardé la division d’un Une année correspond à une révolution complète de la Terre autour du cercle en 360° et des traces telles Soleil et dure en fait 365,2425 jours. Pour ajuster cette durée, on ajoute que douze œufs, une douzaine un jour tous les quatre ans (le 29 février) : les années divisibles par d’huîtres,… quatre sont celles comportant un 29 février et sont appelées années bis- sextiles. En fait, l’ajustement demande également de retrancher un jour tous les cent ans, mais d’en ajouter un tous les quatre cents ans. Une année bissextile est donc une année divisible par 4 mais pas par 100, sauf si elle est divisible par 400. Par exemple, 2000 était bien une année bissextile. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 16 Conversions Convertir 3 h 10 min 13 s en secondes. 3 h 10 min13 s=3.3 600+10.60+13=11 413 s. Convertir 10 000 secondes en heures, minutes, secondes. 10000÷3 600=2,777777... → 2 h Retranchez 2 avec la calculatrice : « Ans – 2 » 0,777 777...×60=46,666 666... → 46 min Retranchez 46 avec la calculatrice : « Ans – 46 » 0,666 666...×60=40 → 40 s En conclusion : 10000 s=2 h 46 min 40 s 7.3. Conversions d'unités Toute grandeur mesurable s’exprime dans des unités particulières. Selon les cas, il peut être judicieux d’effectuer un changement d’unités. Les propriétés élémentaires des fractions permettent d’envisager assez directement les conversions. 7.3.1. Premier exemple Le becquerel (Bq) est l'unité du Système International pour mesurer l'activité d'une quantité de matière radioactive : un becquerel représente une désinté- gration par seconde. On utilise plus souvent des multiples de cette unité, comme le mégabecquerel (MBq) et le gigabecquerel (GBq). L'ancienne unité de radioactivité était le Curie (Ci) : 1 mCi vaut 37 MBq. Complétez : 925 MBq = ………… mCi. Première méthode : règle de trois 37 MBq = 1 mCi ÷ 37 ÷ 37 1 MBq = 1/37 mCi × 925 × 925 925 MBq = 25 mCi Deuxième méthode : règle de la 3e ou 4e proportionnelle Propriété fondamentale des proportions : dans toute proportion, le produit des extrêmes est égale au produit des moyens. a c = ⇔a.d =b.c b d où a et d sont les extrêmes, b et c sont les moyens. 2 6 Exemple : = ⇔ 2. 21=6. 7 7 21 Cette règle des proportions permet de réaliser des conversions d'unités. 37 MBq 1 mCi 925 = ⇔ 37. x=925.1 ⇔ x= =25 925 MBq x mCi 37 37 MBq sont à 1 mCi ce que 925 MBq sont à x mCi, x étant l’inconnue à trouver par un produit croisé. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 17 7.3.2. Second exemple Complétez : 250 µCi = ………… GBq. Première méthode : règle de trois 1 mCi = 37 MBq × 250 × 250 250 mCi = 9 250 MBq ÷ 1 000 ÷ 1 000 250 µCi = 9,25 MBq Et on convertit les MBq en GBq en divisant le nombre obtenu par mille : 9,25 MBq = 0,00925 GBq. Deuxième méthode : règle de la 3e ou 4e proportionnelle 1 mCi 37 MBq 1 mCi 0,037 GBq = ⇔ = ⇔ 1. x=0 ,25.0,037=0,00925 250µCi x GBq 0 ,25 mCi x GBq 1 mCi est à 37 MBq ce que 250 µCi sont à x GBq. Attention, avant de réali- ser le produit croisé, il faut que les unités soient les mêmes au numérateur et au dénominateur de chaque fraction ! Dès lors, on convertit préalablement les µCi en mCi et les MBq en GBq. On aurait tout aussi bien pu convertir les mCi en µCi et les GBq en MBq, au choix : 1 mCi 37 MBq 1 000 µCi 37 MBq = ⇔ = 250 µCi x GBq 250µCi x.1 000 MBq 250.37 ⇔ 1 000.1 000. x =250.37 ⇔ x= =0,00925 1 000.1 000 7.3.3. Troisième exemple : unités multiples La masse volumique de l’eau à 4°C vaut 1 000 kg/m3. Que vaut-elle en g/cm3 ? Première méthode : règle de trois 1 000 = 103 kg ↔ 1 m3 ÷ 106 ÷ 106 10–3 kg ↔ 1 cm3 1g ↔ 1 cm3 Deuxième méthode : règle de la 3e ou 4e proportionnelle 103 kg 1 m 3 103.103 g 106 cm3 6 6 = 3 ⇔ = 3 ⇔ x.10 =10 ⇔ x =1 xg 1 cm x g 1 cm Troisième méthode : unités de mesure 1 000 kg 1 000000 g 106 g g 3 = 6 3 = 6 3 =1 3 1m 10 cm 10 cm cm HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 18 7.3.4. Quatrième exemple Vitesse angulaire : 100 °/s = ………… tours/min. Première méthode : règle de trois 100° ↔ 1s 1 tour = 360° donc on divise le nombre de × 60 × 60 degrés par 360° pour avoir le nombre de tours. 6 000° ↔ 1 min ÷ 360 16,67 tours ↔ 1 min Deuxième méthode : règle de la 3e ou 4e proportionnelle 100 ° 1s 100 ° 1s 6 000 = ⇔ = ⇔ x.360=100.60 ⇔ x= =16 ,67 x tours 1 min x.360 ° 60 s 360 Troisième méthode : unités de mesure 1 360° = 1 tour 100. tour 1° = 1/360e tour 100 ° 360 100 60 tours tours = =. =16,67 1s 1 360 1 min min 60 s = 1 min min 60 1 s = 1/60e min Cet exemple nécessite ici l’écriture de fractions de fractions. 7.3.5. Cinquième exemple 12 dm–2 ………… m–2. Première méthode : règle de la proportionnelle 1 1 12 x 12 x 12. 2 =x. 2 ⇔ 2= 2 ⇔ 2= 2 dm m 1 dm 1 m 1 dm 100 dm ⇔ x.1=12.100=1 200 Deuxième méthode : unités de mesure 12 12 100 1 −2 2= =12. =1 200 m 1 dm 1 2 1 m2 m 100 HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 19 Troisième méthode : raisonnement géométrique Supposons qu’un petit carré d’1 dm² contienne 12 points. Combien de points y a-t-il sur un carré d’1 m² ? 1 dm 12 points 1m Ce genre d’exercice n’est pas si détaché que ça de la réalité ! Par exemple, s’il y a 12 sauterelles par m², combien par hectare ? 1m Réponse : 12. 10. 10 = 1 200. 7.3.6. Remarque sur les préfixes SI Exemple à résoudre par la règle de la proportionnelle : 50 cg/mℓ = ………… µg/mm3 50 cg 1 ml = ⇔ … x µg 1 mm 3 Comparer des cg et des µg n’est pas courant. La méthode la plus simple consiste à utiliser une abaque. g dg cg mg µg 5 0 0 0 0 0 50 cg 500 000 µg = ⇔ … x µg x µg Mais on peut aussi utiliser les préfixes SI : 50 cg 50.10− 2 g 50.10− 2.106 50.104 = −6 = = x µg x.10 g x x Ceci est pratique et résout le problème, mais il faut être attentif à ne pas utili- ser ces conversions préfixes-puissances de 10 n’importe comment ! 1 cm 3≠1. 10−2 m 3=0 ,01 m 3 3 1 cm 3=1(cm)3=1. ( 10−2 m ) =1. 10−6 m 3 En fait, il y a un abus d’écriture : on écrit « cm3 » mais il faudrait écrire « (cm)3 », le préfixe centi est lui aussi concerné par la puissance 3. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 20 8. Mesure et erreur de mesure Mesurer une grandeur signifie comparer cette grandeur avec une référence. Les mesures sont faites avec une certaine précision, liée à la précision des instruments disponibles : la mesure exacte n’existe pas ! La figure ci-dessous montre une tige dont on mesure la longueur à l’aide d’une règle graduée. Nous supposons que la tige et la règle sont parfaitement parallèles et que leurs extrémités gauches sont parfaitement alignées. On estime alors que l’indication donnée par la règle est comprise entre 4,1 et 4,2 cm. En l’ab- sence de fractions de millimètres sur la règle, il faut les estimer « à l’œil » : on trouve alors la valeur de 4,15 cm, mais ce n’est pas une valeur exacte. Ce résultat peut s’écrire sous la forme suivante : 4,1 cm ≤ L ≤ 4,2 cm ou bien L = 4,15 ± 0,05 cm. Toutefois, les inévitables erreurs de mesure font qu’on ne peut pas accepter une précision égale à 0,5 mm pour un appareil gradué au millimètre. Comme la mesure est plus proche de 4,1 cm que de 4,2 cm, on écrit donc : L = 4,1 ± 0,1 cm. La valeur 0,1 cm est appelée incertitude absolue et notée ΔL. Nous y revien- drons plus loin. 9. Chiffres significatifs Noter le résultat d’une mesure avec l’erreur de mesure alourdit l’écriture, par exemple « L = 4,1 ± 0,1 cm ». Cette écriture peut être simplifiée en introdui- sant une convention : noter simplement « L = 4,1 cm » signifie que l’incerti- tude absolue est de l’ordre de grandeur du dixième de centimètre, soit ΔL = 0,1 cm. On dit alors que la mesure 4,1 contient deux chiffres significatifs, l’incertitude absolue indiquant le rang du dernier chiffre significatif. Définition. Un chiffre est dit significatif s’il est connu avec une fiabilité suffisante. Par exemple, la mesure L = 4,10 cm sous-entend que l’incertitude absolue est de l’ordre de 0,01 cm. Cette mesure contient trois chiffres significatifs. 9.1. Valeurs exacte, approchées, arrondie La valeur exacte d’un nombre est sa valeur précise. Si le nombre contient une infinité de décimales, sa valeur exacte peut être impossible à écrire sous forme décimale. Par exemple, toutes les fractions sont des nombres déci- maux périodiques ; on peut donc les écrire avec un nombre suffisant de déci- males et ajouter des points de suspension, de sorte que le lecteur comprendra que le nombre contient encore d’autres décimales prévisibles ; Un nombre irrationnel est un 1/3 = 0,333 333 333… nombre qui ne peut pas être écrit sous forme de fraction. 1/7 = 0,142 857 142 857… Aristote et Eudoxe ont prouvé Mais les radicaux sont des nombres décimaux irrationnels illimités non pé- par l’absurde que √2 est un riodiques ; on s’en tiendra donc à les écrire avec un nombre suffisant de dé- nombre irrationnel. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 21 cimales : √ 2 = 1,414 213 562 373... √3 2 = 1,259 921 049 894... Il en va de même pour certains nombres irrationnels tels que π et e : π = 3,141 592 653 589… e = 2,718 281 828 459… Il n’est pas nécessaire dans les calculs d’avoir une précision extrême. Le nombre π est connu avec plus de 62 mille milliards de décimales, mais même la NASA n’en utilise que quinze pour ses calculs. Néanmoins, que faire de la « dernière » décimale voulue ? On peut tronquer ou arrondir le nombre. Tronquer un nombre signifie couper au rang indiqué et supprimer les chiffres à droite de la coupure. Lorsqu’on donne une valeur approchée du nombre qui lui est inférieure, on parle de valeur approchée par défaut. Lorsqu’on donne une valeur approchée du nombre qui lui est supérieure, on parle de valeur approchée par excès. Arrondir un nombre signifie couper au rang indiqué puis augmenter d’une unité le dernier chiffre si le chiffre suivant est égal ou supérieur à 5, ou conserver le dernier chiffre si le chiffre suivant est strictement inférieur à 5. Voici quelques exemples. 3 000 π 5 √ 11 − 17 Valeur exacte 55 19 3 157,894 736 8… 0,057 119 866… –0,138 958 682… Troncature à trois décimales 157,894 0,057 –0,138 –3 Valeurs approchées à 10 près par défaut 157,894 0,057 –0,139 par excès 157,895 0,058 –0,138 Valeurs arrondies à 10–3 près 157,895 0,057 –0,139 à cinq chiffres significatifs 157,89 0,057 120 –0,138 96 Notation scientifique 1,578 947 368. 102 5,744 986 6. 10–2 –1,389 586 82. 10–1 200 0,06 –0,1 Ordre de grandeur deux centaines 6 centièmes –1 dixième Pour les valeurs approchées, soyez attentif aux nombres négatifs. Par exemple, quelles sont les valeurs approchées de 5,427 ? Par défaut : 5,42 ; par excès : 5,43. Quelles sont les valeurs approchées de –5,427 ? Par défaut : –5,43 ; par excès : -5,42. En effet, –5,43 < –5,427. Les calculatrices affichent les nombres arrondis à dix chiffres, mais calculent avec 13 (Texas Instruments) ou 15 décimales (Casio). Pour récupérer le der- nier nombre de la calculatrice, utilisez la touche « Ans » (Answer, réponse). 9.2. Règles pour les zéros La mesure L = 4,1 cm peut s’écrire : 41 mm ou 0,041 m ou 0,000 041 km. Toutes ces écritures sont équivalentes et ont deux chiffres significatifs. Dé- placer la virgule et changer l’unité n’a aucun effet sur la précision du HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 22 nombre. Les zéros à gauche indiquent seulement la position de la virgule ; ils ne peuvent pas être considérés comme des chiffres significatifs. Règle 1. Les zéros situés au début du nombre ne sont pas des chiffres significatifs. Supposons qu’on mesure la longueur de la tige avec un micromètre précis et qu’on obtient 4,100 cm : cette mesure a quatre chiffres significatifs. Dans ce cas, les deux zéros sont bien des chiffres significatif. Règle 2. Les zéros situés à la fin du nombre sont des chiffres significatifs. Remarquons que le nombre 100,0 a aussi quatre chiffres significatifs. Les zé- ros à gauche de la virgule sont aussi significatifs que les autres chiffres. Règle 3. Les zéros à gauche de la virgule sont des chiffres significatifs (sauf si le nombre commence par 0,…). Attention, si nous savons que la distance Terre-Soleil vaut en moyenne 149 millions de km, écrire cette distance 149 000 000 km n’est pas adapté car ce nombre contient neuf chiffres significatifs. Seuls les chiffres significa- tifs doivent être écrits. On écrira donc pour la distance Terre-Soleil : 149. 106 km ou 149. 109 m ou 1,49. 1011 m, etc. De même, soit la mesure d = 2 528 m ± 10 m. Cette mesure ne contient en réalité que trois chiffres significatifs, selon l’ordre de grandeur de l’incerti- tude absolue. Il faut donc écrire : d = 2,53. 103 m avec la notation scientifique. Convention 1. Une mesure ne peut pas être plus précise que son incertitude absolue. 9.3. Détermination des chiffres significatifs dans les calculs Il est important de contrôler rigoureusement ces erreurs lorsqu’on manipule des quantités déterminées par l’expérience. Les règles concernant la détermi- nation et l'écriture des chiffres significatifs permettent, dans une certaine me- sure d'exprimer les incertitudes à chaque étape d'un calcul. 9.3.1. Additions et soustractions Supposons qu’une tige de 140 mm est ajoutée à une tige de 2,0 m et qu’on veuille connaître la longueur totale. On calcule : 0,140 + 2,0 = 2,140 m, mais ce résultat n’est pas valable car nous ne connaissons pas les second et troi- sième chiffre du nombre 2,0** m. Donc, nous ne pouvons pas connaître la somme avec trois décimales. Il est clair que la somme doit être arrondie au même nombre de décimales que le terme de l’addition qui en a le moins. Ainsi, la longueur totale est 2,1 m avec une décimale. Règle 4. Le résultat d’une addition ou d’une soustraction doit être arrondi de façon à contenir autant de décimales que le terme en présentant le moins. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 23 Soit par exemple la somme : 45,76 + 0,123 45,883 Ici, le chiffre « 6 » du premier terme est incertain, et le chiffre suivant est complètement inconnu. De fait, le chiffre « 3 » du résultat est sans aucune si- gnification, et le résultat doit être arrondi à 45,88. On peut remarquer que c'est bien 45,76 qui doit être considéré comme le moins précis des deux nombres, alors qu'il présente quatre chiffres significatifs et que 0,123 n'en présente que trois. Voici un exemple pour la soustraction : 35,179 ─ 35,17813 0,001 Ce résultat n'a en réalité aucune précision, du fait qu'il présente une incerti- tude sur son seul chiffre significatif. Un nouvel ensemble de mesures qui changerait très peu ces deux nombres pourrait amener la soustraction à des valeurs aussi disparates que 0,002 et –0,001. Soit la somme S à calculer : S = 6 ,4. 103 + 3,142. 10 4 Avec la calculatrice, on obtient : S = 37 820 = 3,782. 104. Cependant, ce n’est pas la bonne réponse. Peut-être penserez-vous que la bonne réponse est 3,8. 104, qui contient une décimale comme le terme 6,4. 10 3. Mais ce n’est pas non plus la bonne réponse. En effet, en convertissant préalablement les termes à la même puissance de 10, on obtient : S = 0⏟ ⏟. 104 = 3,782. 104 ⇒ 3⏟ ,64. 10 4 + 3,142 ,78. 10 4 2 décimales 4 décimales 2 décimales qui est la bonne réponse. Il est donc plus prudent de convertir les termes à la même puissance de 10 avant d’appliquer la règle 4. Et si on convertit les termes à la puissance 103 ? S = 6⏟ ⏟ ,4. 103 + 31 ⏟,8. 103 = 3 ,78. 104 ,42. 103 = 37 ,82. 103 ⇒ 37 1 décimale 2 décimales 1 décimale On obtient la même réponse. Voici un autre exemple. Soit la somme S’ à calculer : S ' = 2 ,61. 106 + 6 ,4. 108 En convertissant les termes à la puissance la plus haute, on obtient : S '=⏟ 0,0261. 108 + 6⏟ ,4. 108 = 6,4261. 108 ⇒ 6⏟ ,4. 108 4 décimales 1 décimale 1 décimale En convertissant les termes à la puissance la plus basse, on obtient : S '= ⏟ ⏟. 106 = 642 ,61. 106 ⇒ 2 ,61. 106 + 640 ⏟. 106 = 6 ,43. 108 643 2 décimales 0 décimale 0 décimale Cette fois-ci, les réponses diffèrent ! Quelle est bonne réponse ? C’est la première. Pourquoi ? Parce qu’écrire le terme 6,4. 10 8 sous la forme 640. 106 n’est pas correct, ces deux nombres n’ayant pas la même précision. Il faut donc préalablement convertir les termes à la même puissance de 10 la plus élevée afin d’éviter d’ajouter des zéros en fin de nombre qui ne sont en fait pas significatifs. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 24 Voici un autre exemple avec des exposants négatifs. Soit la somme S’’ à cal- culer : −4 –5 S ' ' = 5 ,17. 10 − 8. 10. Avec la calculatrice, on obtient : S’’ = 0,000 437 = 4,37. 10–4. Pourtant, ce n’est pas la bonne réponse. De même, si on ne garde aucune décimale à ce résultat, comme pour le second terme, on obtient 4. 10 –4, qui n’est pas non plus la bonne réponse. Avec l’écriture décimale, on obtient : S ' ' =⏟ 0,000 517 − ⏟ 0,000 08 = 0,000 437 ⇒ ⏟ 0,000 44 = 4 ,4. 10 – 4 6 décimales 5 décimales 5 décimales qui est la bonne réponse. Évidemment, il est fastidieux d’écrire ces nombres avec tous les zéros. Nous préconisons de convertir préalablement les nombres à la même puissance de 10 : S ' ' = 5⏟ ,17. 10− 4 − 0⏟ ,8. 10− 4 = 4 ,37. 10− 4 ⇒ ⏟ 4 ,4. 10− 4 2 décimales 1 décimale 1 décimale –5 Convertir les nombres à la puissance 10 donne le même résultat : ⏟,7. 10− 5 − S ' ' = 51 8⏟. 10− 5 = 43 ,7. 10− 5 1 décimale 0 décimale ⇒ ⏟ 44 −5. 10 = 4 ,4. 10 −4 0 décimale Est-il possible que cela ne soit pas toujours le cas ? Soit la somme S’’’ à calculer : S ' ' ' = 5. 10− 4 − 8 ,3. 10 – 5. Avec l’écriture décimale, on obtient : S ' ' ' =⏟ 0,000 5 − ⏟ 0,000 083 = 0,000 417 ⇒ ⏟ 0,000 4 = 4. 10 – 4 4 décimales 6 décimales 4 décimales qui est la bonne réponse. En convertissant les termes à la puissance la plus haute, on obtient : S ' ' '= 5⏟. 10− 4 − 0⏟ ,83. 10− 4 = 4 ,17. 10− 4 ⇒ 4⏟. 10− 4 0 décimale 2 décimales 0 décimale En convertissant les termes à la puissance la plus basse, on obtient : ⏟ S ' ' ' = 50. 10− 5 − 8⏟ ,3. 10− 5 = 41 ,7. 10− 5 0 décimale 1 décimale ⇒ ⏟ 42 −5. 10 = 4 ,2. 10 −5 0 décimale qui ne donne pas la bonne réponse. Pour les puissances de 10 à exposants né- gatifs, il est donc nécessaire également de convertir les termes à la puissance la plus élevée. Nous pouvons enfin énoncer la règle. Règle 5. Additionner ou soustraire des nombres exprimés à l'aide de la no- tation scientifique requiert qu'ils soient convertis à la même puissance de 10 la plus élevée. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 25 9.3.2. Multiplications et divisions Soit la situation suivante : calculer l'aire A d'une feuille de papier rectangu- laire dont les côtés ont été mesurés à l'aide d'un dispositif précis au dixième de millimètre. Nous avons trouvé les mesures suivantes : 8,43 cm et 6,77 cm. L'aire vaut : A=8 ,43.6 ,77=57,0711 cm 2. En réalité, l'aire calculée ne peut pas être plus précise que les mesures dont elle dépend. Chaque facteur du produit ne possède que trois chiffres signifi- catifs. Le résultat ne peut dès lors présenter lui aussi que trois chiffres signi- ficatifs : A=8 ,43.6 ,77=57,1 cm2. Notez que le résultat 57,07 a été arrondi à 57,1 ; un nombre inférieur à 57,05 aurait été arrondi à 57,0 (et il est important dans ce cas de noter ce zéro). Pour mieux comprendre cette idée d'incertitude, supposez qu'une mesure plus précise du premier côté donne 8,42 cm. On obtient alors A=8 ,42.6 ,77=57,0034 cm 2. Ce résultat diffère du résultat précédent au-delà des trois premiers chiffres 57,0. Règle 6. Le résultat d’une multiplication ou division doit être arrondi de fa- çon à contenir autant de chiffres significatifs que le facteur en présentant le moins. Par exemple, dans le calcul suivant : Cette règle n’est pas la même 8,2239. 2 ,7.98 ,35. π2 que celle des additions et =7,797899... , soustractions, car 2764 multiplications et divisions les trois premiers facteurs du numérateur ont respectivement cinq, deux et font « gonfler » le résultat en quatre chiffres significatifs ; π2 = 3,1415926…2 est connu avec une précision passant à des dizaines aussi grande que l'on veut. Le résultat de ce calcul a donc deux chiffres si- supplémentaires. gnificatifs et doit être écrit 7,8. Voilà pourquoi il ne faut pas Cette règle équivaut à dire que : garder autant de décimales que le nombre en ayant le moins, mais autant de chiffres Aucun calcul ne peut améliorer la mesure. significatifs que le nombre en ayant le moins. Cette règle peut parfois diminuer la précision ! Par exemple, on mesure les côtés d’une plaque avec le même instrument et on obtient 0,91 et 1,51 m (respectivement deux et trois chiffres significatifs). L’aire vaut alors 0,91. 1,51 = 1,3741 m 2. D’après la règle 6, nous devons écrire 1,4 m2. Bien que l’incertitude soit contenue dans le chiffre 7, écrire 1,37 m2 est cependant une meilleure réponse. Néanmoins, nous utiliserons toujours cette règle sans nous soucier de ces ex- ceptions. Un calcul peut nécessiter d’utiliser à la fois les règles 5 et 6. Voici un exemple. Calculez la somme suivante : 310. 106 F= + 7,4212 2,4126. 108 HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 26 3 ,10. 108 F= + 7,4212 = 1,284 920 + 7,4212 = 1⏟,28 + 7,4212 2,4126. 108 3 CS = 1⏟ ⏟ = 8,7012 = 8⏟ ,28 + 7,4212 ,70 2 décimales 4 décimales 2 décimales 9.3.3. Fonctions On utilise souvent avec les calculatrices scientifiques des fonctions telles que sinus, cosinus, tangente, logarithme, exponentielle,… Par exemple, sin 35,1° = 0,575 005 252 où 35,1° est appelé argument et 0,575 005 252 valeur de la fonction. En fait, la calculatrice fournit trop de chiffres significatifs. Cette valeur correspond au calcul de sin 35,100 000 0°. La valeur de la fonction ne doit pas avoir plus de chiffres significatifs que l’argument : sin 35,1° = 0,575. Règle 7. La valeur d’une fonction doit avoir le même nombre de chiffres si- gnificatifs que son argument. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 27 Exercices Notation scientifique 1* Écrivez les nombres suivants en notation scientifique, sans calculatrice. a) 2,7631. 104 a) 27 631 c) 0,000 000 034 b) 1,5. 104 c) 3,4. 10–8 b) 15 000 d) 0,003 902 d) 3,902. 10–3 S1* Écrivez les nombres suivants en notation scientifique, sans calculatrice. a) 2,7631. 106 a) 2 763 100 c) 4 329,76 b) 1,6. 103 c) 4,32976. 103 b) 1 600 d) 0,080 02 d) 8,002. 10–2 2* Écrivez les nombres suivants en notation usuelle, sans calculatrice. a) 1 760 000 a) 1,76. 106 c) 0,067 × 104 b) 0,000 057 99 b) 5,799. 10–5 d) 27,2. 105 c) 670 d) 2 720 000 S2* Écrivez les nombres suivants en notation usuelle, sans calculatrice. a) 0,002 34 a) 2,34. 10–3 c) 0,0272. 108 b) 45 000 000 b) 4,5. 107 d) 3,1416. 100 c) 2 720 000 d) 3,1416 3* Littérature combinatoire. L’écrivain français Raymond Queneau a pu- blié en 1961 un livre de poésie combinatoire intitulé « cent mille milliards de poèmes ». a) 1014 a) Écrivez ce nombre en notation scientifique. b) 100 tera-poèmes b) Exprimez ce nombre à l’aide d’un préfixe approprié. S3* Le cerveau humain a environ cent milliards de cellules nerveuses, plus étroitement serrées que dans tout autre tissu. Exprimez ce nombre a) 100 000 000 000 a) en notation décimale b) 1010 b) en notation scientifique c) 100 giga-cellules c) à l’aide d’un préfixe approprié. 4* Charge des électrons. La charge électrique d’un électron vaut 1,6. 10–19 coulomb. Que vaut (en mC) la charge électrique d’un million de milliards 0,16 mC d’électrons ? S4* Charge des électrons. La charge électrique d’un électron vaut : 1,6. 10–19 coulomb. Que vaut (en mC) la charge électrique de deux cent mil- 32 mC lions de milliards d’électrons ? 5* Vitesse-lumière. Une année-lumière représente la distance parcourue par un photon de lumière durant une année. La lumière se déplace environ à 300 000 km/s. a) Déterminez en km la valeur d’une année-lumière. Exprimez-la en a) 9,46. 1012 km, soit 9460 milliards de km français. b) 3,78. 1013 km, soit b) À quelle distance en km se trouve Proxima du Centaure, l’étoile la plus 37 800 milliards de km proche du Soleil (quatre années-lumière) ? HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 28 Ordres de grandeur N.B. Exercices à réaliser sans calculatrice ! 6* Presque l’heure. Achèteriez-vous une montre dont la publicité annonce Non car 14,4 min de retard qu’elle est exacte à 99 % ? Pourquoi ? par jour S6* Cinéma. Si un film dure deux heures, combien d’images défilent-elles ? ~175 000 7* Épaisseur du papier. Quelle est l’épaisseur en mm d’une feuille de pa- 0,1 mm pier normale ? Si nécessaire, mesurez la hauteur d’une rame de papier. S7a* Battements de cœur. Durant une vie moyenne, combien de battements ~2. 109 de cœur se sont-ils produits ? S7b* Nombre de cheveux. Combien de cheveux avez-vous sur votre tête ? Cuir chevelu : 600-700 cm² Considérez qu’il y en a maximum 200 par cm² de cuir chevelu. Entre 105 et 1,5. 105 cheveux 8* Volume du corps. Quel est le volume de votre corps ? Comment pour- ~75 dm³ riez-vous vérifier expérimentalement votre estimation ? S8a* Vie moyenne. Durant une vie moyenne, combien de kilomètres par- ~50 000 km court une personne habitant en ville ? S8b* Vie moyenne (2). Durant une vie moyenne, combien de kg de nourri- ~50 000 kg ture et boissons une personne consomme-t-elle ? 9* À l’observatoire Keck, chacun des télescopes est constitué d’un grand nombre de petits segments hexagonaux dont la position est finement ajustée 6,25. 106 par ordinateur. L’ensemble possède un diamètre de 10 m. Combien de fois plus de lumière ce miroir reçoit-il par rapport à la pupille de votre œil ? S9* Un pot de peinture de 3,97 litres couvre 44 m². Estimez l’épaisseur 0,9 mm moyenne de la couche de peinture. 10* À l’équateur. À quelle vitesse se déplace une personne située à l’équa- 1 667 km/h teur par rapport au pôle nord ? S10* Chaîne humaine. On forme une chaîne de personnes adultes, les bras étendus en se touchant à peine du bout des doigts, tout le long de l’équateur 2,5. 107 terrestre. Estimez le nombre de personnes nécessaires. 11* Globe terrestre. Le rayon moyen de la Terre vaut 6 371 km. c) Estimez l’aire du globe terrestre en km², réponse en français courant. a) 500. 106 km² 500 millions de km² L’aire d’une sphère de rayon r vaut S = 4 π r². b) 1. 1012 km³ d) Estimez le volume du globe terrestre en km³, réponse en français cou- mille milliards de km³ rant. Le volume d’une sphère de rayon r vaut V = (4/3) π r³. S11* Globe lunaire. Le rayon moyen de la Lune vaut 1 737 km. e) Estimez l’aire du globe lunaire en km², réponse en français courant. a) 36. 106 km² 36 millions de km² L’aire d’une sphère de rayon r vaut S = 4 π r². b) 20. 109 km³ f) Estimez le volume du globe lunaire en km³, réponse en français courant. 20 milliards de km³ Le volume d’une sphère de rayon r vaut V = (4/3) π r³. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 29 Analyse dimensionnelle 12* Laquelle des deux formules suivantes représente l’aire d’une sphère de rayon r ? Laquelle représente son volume ? Justifiez. X : volume 4 Y : aire X = π r 3 et Y = 4 π r 2 3 S12a* Laquelle des deux formules suivantes représente l’aire latérale d’un cylindre droit de rayon r et de hauteur h ? Laquelle représente son volume ? X : aire Justifiez. Y : volume 2 X = 2 π rh et Y = π r h S12b* Laquelle des deux formules suivantes représente l’aire latérale d’un cône droit de rayon r et de hauteur h ? Laquelle représente son volume ? Jus- tifiez. X : volume 1 X= π r 2 h et Y = π r √ r 2 + h 2 Y : aire 3 13* Vérifiez si les formules suivantes sont homogènes en dimensions, sa- chant que Δx désigne la distance parcourue pendant un temps t, v la vitesse, a l’accélération et l’indice 0 une quantité au temps initial t = 0. a) non a) Δ x = vt 2 + 2 at √ 1 2 2Δ x b) oui b) Δ x = v 0 t + at c) t = 2 a c) oui S13* Vérifiez si les formules suivantes sont homogènes en dimensions, sa- chant que Δx désigne la distance parcourue pendant un temps t, v la vitesse, a l’accélération et l’indice 0 une quantité au temps initial t = 0. 2 a) oui v2 c) Δ x = v 0 t + 2 at b) non a) Δ x= 2a c) oui d) v = √ v0 + 2 a Δ x d) oui 1 e) non b) Δ x = v 0 t + at ( ) 2 2 v e) a= Δx 14** D’après la deuxième loi de Newton, la force F agissant sur un objet est fonction de sa masse m et de son accélération a : F = ma. D’après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force d’attraction entre deux masses m1 et m2 séparées par une distance d vaut : m1 m 2 [G] = m³ kg–1 s–2 F =G 2 d où G est la constante gravitationnelle, de valeur 6,674 30. 10–11. Quelles sont les unités de G ? S14** Vous avez quelque peu oublié la formule de la période T d’un pendule de longueur L. Vous hésitez entre ces deux formules : T =2 π √ g L et T = 2 π √ L g T =2 π √ L g où g représente l’accélération gravitationnelle. Réalisez une analyse dimen- sionnelle pour établir laquelle des deux formules est correcte. HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 30 Conversions d’unités de mesure 15* Convertissez : a) 1 500 mg en grammes c) 250 000 μg en milligrammes. a) 1,5 g b) 230 mg en grammes b) 0,230 g c) 250 mg 16* Vous disposez de flacons A contenant 1 µg de produit actif, de flacons B contenant 0,1 mg de produit actif, de flacons C contenant 100 g de produit actif. Vous mélangez trois flacons A avec cinq flacons B et un demi flacon C. Quelle est la quantité totale en grammes de produit actif présent dans votre 50,000 503 g mélange ? (réponse donnée avec toutes les décimales) S16a* Calculez la masse totale, exprimée en grammes, du mélange composé de : 3 dag de produit A, 250 g de produit B, 4.105 μg de produit C et 62 mg 280,462 g de produit D. S16b* Calculez la masse totale, exprimée en grammes, du mélange composé 3 260,2 g de : 3 kg de produit A, 250 g de produit B, 4.106 μg de produit C et 62 dg de produit D. 17* Calculez la longueur totale, exprimée en mètres, des longueurs suivantes additionnées : 2,5 m 75 mm 100 dm 1,5 km. 1 512,575 m S17* Calculez la longueur totale, exprimée en décamètres, des longueurs suivantes additionnées : 15 hm 3m 4,5 cm 10 dm. 150,4045 dam 18* Calculez la surface totale, exprimée en mètres carrés, des surfaces sui- vantes additionnées : 2,5 m2 75 cm2 100 dm2. 3,5075 m² S18* Calculez la surface totale, exprimée en kilomètres carrés, des surfaces suivantes additionnées : 15 dam2 50 hm2 12 m2. 0,501512 km² 19* Convertissez en centimètres cube les volumes suivants : (a) 30 000 (b) 1,5 a) 30 dm3 c) 1 m3 e) 30 mℓ g) 1 daℓ (c) 1 000 000 (d) 3 500 b) 1500 mm 3 d) 3,5 dm³ f) 1 500 cℓ (e) 30 (f) 15 000 (g) 10 000 20* Calculez la somme, exprimée en décimètres cubes, des volumes suivants : 0,02578 dm³ 30 mm3 10 cm3 250 mm3 15,5 cm3. S20* Calculez la somme, exprimée en millimètres cubes, des volumes sui- vants : 1 560 025 mm³ 25 cm3 35 cm3 25 mm3 1,5 dm3. 21* Calculez la somme, exprimée en centilitres, des capacités suivantes : 4,5 mℓ 2,5 ℓ 250 mℓ 0,15 ℓ. 290,45 cℓ S21* Calculez la somme, exprimée en litres, des capacités suivantes : 3 hℓ 5 dℓ 2ℓ 250 mℓ. 302,75 ℓ 22* Convertissez : a) 1 j 3 h 25 min 45 s en secondes ; a) 98 745 s b) 90075 s en jours, heures, minutes et secondes ; b) 1 j 1 h 1 min 15 s c) 9,876543 jours en jours, heures, minutes et secondes. c) 9 j 21 h 2 min 13,35 s HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 31 23* Je veux visionner les six épisodes d’une série, qui durent chacun 48 mi- nutes, en m’octroyant chaque fois une pause de 7 minutes entre deux épi- 5 h 23 min sodes. Combien de temps dois-je prévoir ? Réponse en heures et minutes. S23* Un sportif a couru un marathon en 3 h 13 min 27 s. Il est arrivé 57 min 2 h 15 min 38 s 49 s après le vainqueur. Quel est le temps du vainqueur ? 24* Sachant que 1 mCi vaut 37 MBq, complétez : a) 444 MBq = ………… mCi b) 0,4 Ci = ………… GBq (a) 12 (b) 14,8 S24* Sachant que 1 mCi = 37 MBq, complétez : a) 740 MBq = ………… mCi d) 1,11 GBq = ………… mCi (a) 20 mCi (b) 18,5 GBq b) 500 mCi = ………… GBq e) 9,25 MBq = ………… μCi c) 0,00925 GBq (d) 30 mCi (e) 250 µCi c) 250 µCi = ………… GBq 25* Complétez : a) masse volumique du sang humain : 1,060 g/cm3 = ………… kg/m3 b) vitesse angulaire : 100 tours/min = ………… rad/s a) 1 060 c) débit volumique : 5 000 ℓ/min = ………… m3/s b) 10,47 c) 0,083 S25* Complétez : a) vitesse : 15 m/s = ………… km/h 2π a) 54 b) vitesse angulaire : rad/s=............ tours/min b) 20 3 c) 3 517 c) masse volumique du diamant : 3,517 g/cm3 = ………… kg/m3 d) 14 160 d) débit volumique : 0,236 m3/s = ………… ℓ/min e) 120 e) émission de CO2 de la Peugeot 2007 : 120 g/km = ………… mg/m f) 0,1454 f) prix de l'essence : 1,454 €/ℓ = ………… centimes/mℓ 26* Un flacon de 300 mℓ peut contenir 237 g d'alcool. Quelle est la masse 790 kg/m3 volumique de l'alcool (en kg/m³) ? S26* La masse volumique du mercure Hg est de 13,6 kg/dm³. Que vaut (en 680 g grammes) la masse de 50 mℓ de mercure ? 27* Le taux de glucose dans le sang se mesure en mg/dℓ. À jeun, il est infé- rieur à 100. Pour une femme enceinte, sa valeur maximale tolérée est 140. a) Que valent 100 mg/dℓ en g/ℓ ? a) 1 g/ℓ b) Élaborez la règle de conversion pour passer des mg/dℓ aux g/ℓ. b) ÷ 100 28* Complétez : a) 30 mm–2 = ………… cm–2 c) 25 mg/mm3 = ………… kg/ℓ (a) 3 000 (b) 500 (c) 25 b) 50 cg/mℓ = ………… μg/mm3 S28* Complétez : a) 2 mm/kg = ………… cm/g j) 200 000 vers/ha = …… vers/m2 (a) 0,0002 = 2. 10–4 b) 6 cm/dag = ………… m/g k) 32 mm–2 = ………… m–2 (b) 0,006 = 6. 10–3 (c) 180 c) 18 kg/m = ………… g/cm l) 25 cm–2 = ………… km–2 (d) 1,8 (e) 2 (f) 0,125 d) 18 kg/m2 = ………… g/cm2 m) 25 m–3 = ………… km–3 (g) 125 (h) 25. 10–6 e) 0,2 g/mm2 = ………… kg/dm2 n) 150 mg/mℓ = ………… μg/mm3 (i) 100 000 (j) 20 f) 125 µg/cm3 = ………… kg/m3 o) 15 μg/mm³ = ………… mg/cℓ (k) 32. 106 (l) 25. 1010 (m) 25. 109 (n) 150 (p) 150 g) 125 µg/mm3 = ………… kg/m3 p) 32 dg/cℓ = ………… g/mℓ (p) 0,32 (q) 43 (r) 20 h) 25 µg/mm3 = ………… kg/cm3 q) 4 300 mg/cm³ = ………… g/cℓ i) 10 sauterelles/m² = ………… r) 20 g/ℓ = ………… mg/cm3 sauterelles/ha HELHa > Bloc1 > Mathématiques > Mesures v6.2 32 29* Il tombe 15 cm de pluie par m² en une demi-heure. Quel débit par m² ce- 5 ℓ/min la fait-il en litres par minute ? S29* À quelle quantité d’eau par centiare et par hectare correspond 1 mm de 1 ℓ/ca ; 1 000 ℓ/ha pluie dans un pluviomètre ? Chiffres significatifs 30* Déterminez le nombre de chiffres significatifs de chacune des quantités suivantes. a) 0,002 d) 1,754 ± 0,02 g) 4,44. 104 (a) un (b) deux (c) quatre b) 0,99 e) 25,58 ± 1 h) 0,01. 1034 (d) trois (e) deux (f) un (g) trois (h) un c) 1,001 f) 0,0044 ± 0,002 S30* a) 23,001 s e) 4,995 ± 0,3 i) 0,500. 102 m (a) cinq (b) quatre (c) quatre b) 0,002 030 kg f) 0,4995 ± 0,3 j) 500. 102 m (d) trois (e) deux (f) un c) 2 700 kg/s g) 1,2345 ± 0,023 k) 500,0. 102 m (g) quatre (h) trois (i) trois d) 49,95 ± 0,3 h) 0,2345 ± 0,020 l) 6,626. 10–34 Js (j) trois (k) quatre (l) quatre 31* Écrivez la valeur de π = 3,14159265… avec un, trois, quatre et cinq 3 ; 3,14 ; 3,142 ; 3,1416 chiffres significatifs. S31* a) Écrivez la vitesse de la lumière dans le vide (c = 299 792 458 m/s) avec a) 3. 108 ; 3,00. 108 ; un, trois,