Physique 1 : Synthèse (v5.3)

BTIM1 UE03B Physique 1 : synthèse v5.3 1. Prérequis mathématiques Algèbre de base Priorité des opérations PEMDAS : Parenthèses, Exposants, Multiplications, Divisions, Additions, Soustrations. Ex. 6  3  2 = 6  3  2 = 2  2 = 4...

BTIM1 UE03B Physique 1 : synthèse v5.3 1. Prérequis mathématiques Algèbre de base Priorité des opérations PEMDAS : Parenthèses, Exposants, Multiplications, Divisions, Additions, Soustrations. Ex. 6  3  2 = 6  3  2 = 2  2 = 4 6  (3  2) = 6  (3  2) = 6  6 = 1 Fractions Somme ou différence de fractions : d’abord écrire les fractions équivalentes ayant toutes le même dénominateur, ensuite additionner ou soustraire les numérateurs. 4 5 4.4 5.3 16 15 16−15 1 Ex. − = − = − = = 9 12 9. 4 12.3 36 36 36 36 a c a. c ac Produit de fractions :. = = b d b.d bd Quotient de fractions : diviser = fois l’inverse. a a b a 1 a a c ac b a d ad =. = ; =a. = ; =. = c b c bc b b b c b c bc c d a b a (a÷b)÷c ≠a÷(b÷c) ⇔ ≠ c b c Puissances ⏟ Définition : ∀ n ∈ℕ 0 ,∀ a ∈ℝ : a n =a. a.…a ; a est la base et n est l’exposant. n facteurs 3 3 Ex. 2 =2. 2.2=8 et (−2) =(−2).(−2).(−2)=−8 n 1 0 Cas particuliers : 1 =1 ; a =a ; a =1 1 1 ⏟ et 10 = =0⏟ −n Puissances de 10 : 10n =1 000......0 n= ,00......0 1 n zéros 10 1000......0 n zéros Propriétés (a.b )n =a n.b n p ( a n ) =a n. p 1 −n =a n a ()a n an b = n b a = −11 a 1 n a n =√ a a n. a p =a n+ p 1 a −n = n p a n =√ a p n n a a =a n− p ap 1 1 2 3 Ex. a 2 = √ a = √ a ; a 3 = √ a ; a 3 = √ a 2 ; a 2 = √ a 3 2 3 3 HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 2 Préfixes SI préfixe symbole signification facteur tera T 1012 fois l’unité 1 000 000 000 000 giga G 109 fois l’unité 1 000 000 000 méga M 106 fois l’unité 1 000 000 kilo k 103 fois l’unité 1 000 hecto h 102 fois l’unité 100 déca da 10 fois l’unité 10 déci d 10–1 fois l’unité 0,1 centi c 10–2 fois l’unité 0,01 milli m 10–3 fois l’unité 0,001 micro µ 10–6 fois l’unité 0,000 001 nano n 10–9 fois l’unité 0,000 000 001 pico p 10–12 fois l’unité 0,000 000 000 001 Unités de mesure Longueurs km hm dam m dm cm mm µm nm pm Surfaces km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 ha a ca Volumes / capacités dam3 m3 dm3 cm³ (cc) mm3 kl hl dal l dl cl ml Masses T Q kg hg dag g dg cg mg µg Temps 1 millénaire=1 000 ans 1 mois≈30 jours 1 jour=24 h 1 siècle=100 ans 1 an≈52 semaines 1 h=60 min 1 an=365 jours 1 semaine=7 jours 1 min=60 s 1 an=12 mois Convertir 3 h 10 min 13 s en secondes : 3 h 10 min13 s=3.3 600+10.60+13=11 413 s. Convertir 10 000 secondes en heures, minutes, secondes. 10000÷3 600=2,777777... → 2 h 0,777 777...×60=46,666 666... → 46 min 0,666 666...×60=40 → 40 s ⇒ 10 000 s=2 h 46 min 40 s HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 3 Conversions d’unités Vitesse : km/h  m/s : ÷ 3,6 Vitesse : m/s  km/h : × 3,6 Vitesse angulaire : tours/min  rad/s : × 2π / 60 Vitesse angulaire : rad/s  tours/min : × 60 / 2π Masses volumiques : g/cm3  kg/m3 : × 1 000 Masses volumiques : kg/m3  g/cm3 : ÷ 1 000 Débits : ℓ/min  m3/s : ÷ 60 000 Débits : m3/s  ℓ/min : × 60 000 Proportions / règle de trois a c = ⇔a.d =b.c b d Ex. 250 μCi = ??? GBq sachant que 1 mCi = 37 MBq D’abord convertir les µCi en mCi et les GBq en MBq puis règle des proportions : 1 mCi 37 MBq 1 mCi 0,037 GBq = ⇔ = ⇔ 1. x=0 ,25.0,037=0,00925 GBq 250µCi x GBq 0 ,25 mCi xGBq ou bien règle de trois 1 mCi ↔ 37 MBq x 250 x 250 250 mCi ↔ 9 250 MBq ÷ 1 000 ÷ 1 000 250 µCi ↔ 9,25 MBq Calcul littéral Suppression des parenthèses a +(b +c )=a +b +c a−(b+c)=a−b−c a +(b−c)=a +b−c a−(b−c)=a −b+c a +(−b +c )=a−b +c a−(−b+c)=a +b−c Simple et double distributivité a.(b +c )=ab+ac (a+ b).(c +d )=ac+ad +bc+bd (a+ b).c =ac+bc (a+ b).(c −d )=ac−ad +bc−bd a.(b−c)=ab−ac (a−b).(c−d )=ac−ad −bc+bd (a−b). c=ac−bc Mise en évidence 12a +18 b=6. 2 a +6. 3 b=6.(2 a +3 b ) 5 a +5=5. a+ 5. 1=5.(a +1) −4 a−8=−4.a +(−4). 2=−4.(a + 2) 18ab−12 ac=6 a. 3b−6 a. 2 c=6 a.(3 b−2 c) 8 a 3 −2 a 2 =2 a 2. 4 a−2 a 2.1=2 a 2.(4 a−1) Produits remarquables (a+b)2 =a 2 +2 ab+b2 2 2 /!\ (a + b) ≠a + b 2 (a−b)2 =a 2 −2 ab+b 2 (a − b)2 ≠ a 2 −b 2 (a+b)(a −b)=a 2 −b 2 3 3 (a + b) ≠ a +b 3 (a − b)3 ≠ a 3 − b3 etc. HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 4 Équations du premier degré ax + b = 0 (où a ≠ 0) Principe de la balance à plateaux : toute manipulation sur le plateau de gauche doit être effectuée également sur le plateau de droite afin de conserver l’équilibre ⇔ Toute opération algébrique effectuée sur le membre de gauche doit également être effectuée sur le membre de droite afin de conserver l’égalité. Ex. w −5 =38 3 c =18 2 t +1 = 9 ⇔ w −5 + 5 =38 + 5 3 c 18 ⇔ 2 t +1 −1 =9 −1 ⇔ = ⇔ w = 43 3 3 ⇔ 2 t =8 ⇔ c= 6 2t 8 ⇔ = 2 2 ⇔ t=4 Vérifier une solution : remplacer l’inconnue par la valeur trouvée et vérifier la véracité. Ex. Pour l’équation 2 t + 1 = 9, on trouve t = 4. On calcule : 2. 4 + 1 = 9 ⇒ vrai ⇒ solution correcte. Équations du second degré ax2 + bx + c = 0 (où a ≠ 0) Méthode générale : delta (Δ) ◦ Calculer Δ = b2 – 4ac −b−√ Δ −b +√ Δ ◦ Si Δ > 0 : deux solutions x 1 = et x 2 = 2a 2a b Si Δ = 0 : une solution double x 1 =− (cas particulier de la formule précédente) 2a Si Δ < 0 : pas de solution réelle 2 2 −2±√ 36 ▪ Ex. x +2 x−8=0 ⇒ Δ=2 −4.1.(−8)=36 ⇒ x= =−4 ou 2 2.1 2 2 −2± √ 0 x +2 x+1=0 ⇒ Δ=2 −4.1.1=0 ⇒ x = =−1 2.1 x 2 +2 x+8=0 ⇒ Δ=2 2−4.1.8=−28 BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 5 Méthode 2 : combinaisons linéaires. Il s’agit de supprimer une inconnue par combinaison linéaire des équations. Cette méthode ne fonctionne que pour des systèmes linéaires. ◦ Ex. {12 xx +3− y=5 y=6 ×2 ×(−1) {−22 x+x +6 y=−5 y=12 (+) ⇒ 7 y =7 ⇒ y =1 {12 xx +3−1yy=5 =6 ×1 ×3 {61x−3 x +3 y =6 y=15 (+) ⇒ 7 x =21 ⇒ x=3 ▪ Ou bien on peut trouver x en remplaçant y par sa valeur dans une des équations initiales : x + 3y = 6 ⇒ x + 3. 1 = 6 ⇔ x = 3 (méthode plus rapide) Rem. Ces méthodes se généralisent aussi à des systèmes 3x3, 4x4,… mais il n’y en pas dans les exercices du cours de Physique. Systèmes non linéaires /!\ En général la méthode des combinaisons linéaires ne fonctionne pas ici. Géométriquement, les solutions sont les points d’intersection des courbes ou droites représentées par les équations du système. Méthode générale : substitution. { 2 ◦ Ex. x + y =6 (1) x +2 y =3 (2) À partir de l’éqn (2) : x = 3 – 2y (3). Dans l’éqn (1), on remplace x par (3 – 2y) : −(−2)±√ 16 2±4 3 – 2y + y2 = 6 ⇔ y2 – 2y – 3 = 0 ⇔ Δ = 16 et y= = =−1 ou 3 2.1 2 Enfin, on remplace y par ses valeurs dans l’éqn (3) : x = 3 – 2. (–1) = 5 et x = 3 – 2. 3 = –3. Solutions : (5 : –1) et (–3 ; 3). Propriété des inégalités 1 1 1 1 0< a≤b ⇔ ≥ Ex. 2 Physique 1 : synthèse v5.3 6 Géométrie Angles Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°. Dans un triangle rectangle, il y a un angle droit (90°) et la somme des deux autres angles vaut 90°. Deux angles sont égaux lorsque leurs côtés sont mutuellement perpendiculaires. Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal la somme 2 2 2 des carrés des deux autres côtés : c =a +b ou |AB| =|BC| +|AC| 2 2 2 Réciproque. Si dans un triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. ◦ Ex. le triangle de côtés 3 ; 4 ; 5 est rectangle car 32 + 42 = 52. Figures semblables Définition. figures dont les angles homologues ont la même amplitude et dont les côtés homologues sont de longueurs proportionnelles. Le rapport de similitude de deux figures semblables est le rapport des longueurs de deux côtés homologues. |A' B '| |B ' C '| |A' C '| 8 6 10 ◦ Ex. k = = = = = = =2. |AB| |BC| |AC| 4 3 5 l' S' 2 V' 3 Théorème : =k ⇔ =k ⇔ =k l S V Si les longueurs de deux figures sont dans un rapport k, alors leurs surfaces sont dans un rapport k2 et leurs volumes dans un rapport k3, et réciproquement. S ◦ Ex. ci-dessus : |A ' B '|=2 ⇔ A ' B' C ' =2 2 =4 ⇒ S A' B' C ' =4 S ABC. |AB| S ABC S' l' ◦ /!\ =K ⇒ =√ K S l HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 7 Formes géométriques HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 8 Trigonométrie du triangle rectangle B SOHCAHTOA : sinus = côté opposé β hypoténuse c a côté adjacent cosinus = hypoténuse tangente = côté opposé A α C b côté adjacent ◦ L’hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle (opposé à l’angle droit). ◦ Côtés opposé et adjacent : cela dépend de l’angle aigu du triangle ! ▪ Sur le dessin, par rapport à l’angle α, le côté a est opposé et le côté b est adjacent. Par rapport à l’angle β, le côté a est adjacent et le côté b est opposé. a b b a a b ◦ Ex. sin α= ; sin β= ; cos α= ; cos β= ; tan α= ; tan β= c c c c b a 10 10 Pente d’une droite : signifie α ⇒ =10% 100 100 10 10 tan α = ⇒ α =arctan =5 ,7 ° 100 100 Δy ◦ De manière générale, la pente vaut : m= =tan α. Δx Trigonométrie du cercle A Unités de mesures d’angle B O Un arc de cercle est une partie d'un cercle comprise entre deux points distincts de ce cercle, noté AB. A Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du B cercle, noté ^ AOB et qui intercepte l’arc AB. O Le degré (°) est l’amplitude d’un angle au centre d’un cercle qui intercepte un arc O B A de longueur égale à la 360e partie du cercle : |^ AOB|=1 °. Le radian (rad) est l’amplitude d'un angle au centre d'un cercle qui B intercepte un arc de longueur égale au rayon : |^ AOB|=1 rad. r ◦ Conversion : 2 π rad=360 ° ⇔ π rad=180° 1 rad A 180 ° O r ⇒ 1 rad= π ≈57,3 ° ⇒ 1 °= π rad 180 ou bien cette formule de proportions : 180 = π d r ou les fonctions de conversion degré/radian présentes sur la calculatrice. ◦ /!\ À retenir : un tour = 360° = 2 π radians. HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 9 Cercle trigonométrique et sens trigonométrique y Le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine du repère 1 P orthonormé, dont le rayon vaut 1 et qui est orienté positivement dans le sens + contraire des aiguilles d’une montre (sens trigonométrique). α x O 1 Le cercle trigonométrique est divisé en quatre quadrants, séparés par les valeurs particulières 0°, 90°, 180°, 270°, 360° = 0°. y 90° 1 + II I 180° 0° = 360° x O 1 III IV 270° Mesure principale d’un angle Le problème est : 50° = 50° + 360° = 410° = 770° = … et 50° = 50° – 360° = –310° = –670° = … 50° = –310° ⇒ Il faut définir une convention pour que tout le monde parle du même arc 50° angle. La mesure principale d’un angle est la mesure comprise entre –180° et 0° O 180° (ou –π et π rad). ◦ Elle correspond à l’arc le plus court. ◦ Ex. ci-dessus : α = 50° ← mesure principale. arc –310° Vecteurs Définition Un vecteur ⃗d ou ⃗ AB représente un déplacement d’un point A à un point B, caractérisé par : une direction (inclinaison) un sens une norme (ou longueur ou intensité ou module), notée ‖⃗v‖ ou v. Cas particulier : le vecteur nul est le vecteur de norme 0, noté ⃗0. Composantes y Les composantes d’un vecteur sont les projections orthogonales de ce vecteur sur les axes du repère : ‖⃗ a x‖=‖⃗a‖.cosθ et ‖⃗ a y‖=‖⃗a‖.sin θ. À quoi ça sert ? Pour les additions et soustractions algébriques de ⃗ ay ⃗ a vecteurs. θ x ay O ⃗ ax L’angle d’inclinaison θ vaut : θ=arctan. ax HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 10 Opérations Opération Point de vue vectoriel Point de vue algébrique Addition : a + ⃗b ⃗c =⃗ ⃗b a‖+‖⃗ ‖⃗c ‖=‖⃗ b‖ vecteurs ⃗ a ⃗b ⃗ a  parallèles ⃗c Addition : Règle du triangle : a‖+‖⃗ ‖⃗c ‖≠‖⃗ b‖ ! vecteurs ⃗ ‖⃗c ‖=√ c x +c y où a 2 2 ⃗c quelconques ⃗b ⃗b a + ⃗b ⃗c =⃗  ⃗ a ⃗c = ()( ) cx cy a +b = x x a y +b y Règle du parallélogramme : ⃗ a ⃗c ( = a cos α+b cosβ a sin α+b sin β ) ⃗b ⃗b c⃗ =a⃗ + ⃗b y  ⃗ a ⃗ by ⃗c ⃗b ⃗ cy β ⃗ ay ⃗ a α ⃗ ax ⃗ x O bx ⃗ cx Addition : a⃗ + ⃗b=⃗b + ⃗ a propriétés (⃗a + ⃗b ) +⃗c =⃗a + ( ⃗b+⃗c ) principales ⃗ a + ( −⃗ a )= ⃗0 k. (⃗a + ⃗b )=k. ⃗a +k. ⃗b Vecteur ⃗b −⃗b : même norme que ⃗b , opposé −⃗b même direction et sens opposé Soustraction : a −⃗b ⃗c =⃗ ⃗ a a‖−‖⃗ ‖⃗c ‖=‖⃗ b‖ vecteurs ⃗ a  parallèles ⃗b ⃗c ⃗b Soustraction : ⃗ a a − ⃗b ⃗c =⃗ ⃗ a a‖−‖⃗ ‖⃗c ‖≠‖⃗ b‖ ! vecteurs ⃗b a + (− ⃗b ) ‖⃗c ‖=√ c x +c y où 2 2 ⃗c =⃗ ⃗c quelconques  −⃗b ⃗c = ()( cx cy a −b = x x a y−b y ) ( = a cos α−b cosβ a sin α−b sin β ) Multiplication 2 ⃗a a : ‖⃗b‖=|k|.‖⃗ ⃗b=k. ⃗ a‖ , par un réel même direction que ⃗ a , même ⃗ a −1 ,5 ⃗ a sens que ⃗a si k > 0 et sens opposé si k < 0 HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 11 Produit ⃗ ⃗ F F⋅⃗ d =F d cos θ scalaire ⃗ θ d Le produit scalaire de deux ⃗Fp vecteurs est un nombre réel. ⃗ F⋅⃗ d =F p. d où FP est la longueur de la projection orthogonale de ⃗ F sur d⃗. Ou bien on projette ⃗ d sur ⃗ F :⃗ F⋅⃗ d =F.d P Produit ⃗ F⋅⃗ d =F d ⏟ cos 90 ° =0 scalaire : ⃗ F 90° ⃗ 0 ⃗ F ⊥⃗d d Produit a⋅⃗b=⃗b⋅⃗ ⃗ a scalaire : propriétés a⋅( b+⃗c )=⃗a⋅⃗b +⃗a⋅⃗c ⃗ ⃗ principales a )⋅⃗b=k. ( ⃗ (k.⃗ a⋅⃗b ) 2. Constantes à connaître π = 3,1416 ← touche calculatrice ρeau pure = 1 000 kg/m3 = 1 g/cm3 g = 9,81 m/s2 (ou –9,81 suivant le repère) 3. Cinématique { { ω=Δ θ =cste Δx MRU : v=Δ t =cste MCU : Δt x (t )=vt + x 0 θ(t )=ωt +θ0 v =ω.r=cste 2 v2 a c =ω. r= =v. ω=cste r { { Δv a= =cste α=Δ ω =cste Δt Δt MRUA : v (t )=at +v 0 MCUA : ω(t )=α t+ω0 at 2 αt2 x (t )= +v 0 t + x 0 θ(t )= +ω0 t +θ0 2 2 v 2=v 20 +2 a Δ x (temps) ω 2=ω 20 +2 α Δ θ (temps) Δx Ne pas utiliser la fml du MCU ici : ω≠ Δ θ ! Ne pas utiliser la fml du MRU ici : v ≠ ! Δt Δt v (t )=ω(t). r 2 v 2 (t) a c (t )=ω (t ).r= =v (t). ω(t ) r a : accélération, en m/s² α : accélération angulaire, en rad/s² t : temps, en s t : temps, en s v0 : vitesse initiale, en m/s θ0 : angle initial, en rad v (t) : vitesse, en m/s θ(t) : angle parcouru au temps t, en rad x0 : position initiale, en m ω0 : vitesse angulaire initiale, en rad/s x(t) : position au temps t, en m ω(t) : vitesse angulaire, en rad/s Δx = x1 – x0 = distance (m) v (t) : vitesse linéaire, en m/s Δt = t1 – t0 = variation du temps (s) Δt = t1 – t0 = variation du temps (s) HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 12 Δv = v1 – v0 = variation de vitesse (m/s) Δθ = θ1 – θ0 = variation d’angle (rad) Δω = ω1 – ω0 = var. de vitesse angulaire (rad/s) Passer des km/h aux m/s : ÷ 3,6 Passer des tours/min aux rad/s : × 2π / 60 Passer des m/s aux km/h : × 3,6 Passer des rad/s aux tours/min : × 60 / (2π) Chute libre : MRUA où a = ± g (le signe dépend 1 tour = 2π rad = 360 ° Nombre de tours : N = Δ θ du repère) 2π y ⃗v a⃗c P x o À tout moment, la vitesse linéaire est tangentielle à la trajectoire et l'accélération est radiale, c.-à-d. dirigée vers le centre du cercle. Comment résoudre un problème de cinématique 1. Choisir un repère. ◦ Souvent, repère situé au sol vertical vers le haut ⇒ g = –9,81 m/s2. 2. Écrire les conditions initiales (CI) en fonction de ce repère. 3. Écrire la condition situationnelle (CS). Exemples : ◦ le mobile s’arrête ⇒ CS : v(t) = 0 ◦ hauteur maximale d’une balle lancée en l’air ⇒ CS : v(t) = 0 ◦ la balle atteint le sol ⇒ CS : x(t) = 0 si repère situé au sol ◦ le mouvement circulaire s’arrête ⇒ CS : ω(t) = 0. 4. Injecter les CI et CS dans les équations du mouvement. 5. Prier pour que cela suffise et résoudre les équations. 6. Vérifier qu’on a bien répondu à la question (cahier des charges). 4. Dynamique Nous considérons ici des corps solides indéformables, dont tous les points subissent le même mouvement. C’est le concept du mobile ponctuel : le mobile est modélisé comme un seul point, son centre de gravité. Le centre de gravité d’un objet est un point tel que l’objet se comporte vis-à-vis de la gravité comme si toute sa masse y est concentrée. Lois de Newton Un référentiel d’inertie (ou galiléen) est un référentiel en MRU ou statique. Principe de relativité galiléenne : les lois de la physique sont identiques dans tous les référentiels d’inertie. Première loi ou principe d’inertie : dans un référentiel d'inertie, si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle, alors ce solide conserve indéfiniment son état de repos ou de MRU. Deuxième loi : ∑ ⃗ a où ∑ ⃗ Fi = m ⃗ F i est la somme des forces agissant sur l’objet (N), i i a l’accélération de l’objet (m/s²) et m la masse de l’objet (kg). ⃗ ◦ Qui dit force dit accélération, qui dit accélération dit force ! ◦ La masse est une mesure d’inertie d’un corps (plus elle est grande, plus faible est l’acc.). HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 13 Troisième loi ou principe d’action-réaction ou principe d’actions réciproques : Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force ⃗ F N =−⃗ FP d’intensité égale et de sens opposé, exercée par le corps B. ◦ Ex. Un corps sur sol plat exerce une force verticale vers le bas (son poids). En réaction, le sol exerce sur le corps une force de même intensité, verticale et vers le haut. ⃗ FP ◦ Ex. La Terre attire la Lune avec une force égale et opposée à celle que la Lune exerce sur la Terre. Terre Lune ⃗ FLT ⃗ F T L=−⃗ F LT Forces fondamentales La force gravitationnelle est une force attractive s'exerçant entre les particules massives. ◦ ⃗ F P =m ⃗ g : la force poids ▪ s’applique au centre de gravité du corps ▪ a une direction verticale, sens vers le bas ▪ est d’intensité F P =mg , où m est la masse du corps et où g = 9,81 m/s2 est l’accélération due à la pesanteur. La force électromagnétique est une force attractive ou répulsive s'exerçant entre corps chargés électriquement (voir cours Physique 2). L'interaction forte est responsable de la cohésion des particules composées de quarks, et indirectement de la cohésion des noyaux atomiques. L'interaction faible est responsable de la radioactivité β. Forces de frottement Les forces de frottement sont des interactions électromagnétiques entre l’objet et son milieu s’opposant à son mouvement ou à sa mise en mouvement. ◦ F f =μ F N où FN est la réaction du sol et μ le coefficient de frottement statique (μ s) ou cinétique (μc) (aussi appelé coefficient de frottement dynamique, μd). ◦ Il est plus difficile de mettre un objet en mouvement que de le maintenir ⇒ μ s > μc. /!\ Un pneu qui roule ⇒ frottement statique μs. Un pneu qui dérape ⇒ frottement cinétique μc. Force centripète Selon la première loi de Newton, tout corps se déplace en ligne droite s’il n’est soumis à aucune force (ou plutôt si la résultante des forces est nulle). Ainsi, si on veut donner une trajectoire circulaire à un mobile, il faut lui appliquer en permanence une force radiale (c.-à-d. dirigée vers le centre du cercle). Formule : ⃗ F c =m ⃗ac ◦ Ex. La fronde : faire tourner à la main une pierre attachée à une ficelle. Si on ne tient pas fermement la ficelle (force centripète), la pierre partira en ligne droite. Plus on fait tourner la pierre rapidement, plus la tension dans la ficelle augmente. ◦ Ex. Une voiture qui effectue un virage subit l'effet d'une force centripète sinon elle irait en ligne droite. Cette force correspond à la force de frottement des pneus sur la route (frottement statique tant que les pneus ne glissent pas). HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 14 Comment résoudre un problème de dynamique 1. Réaliser un schéma de l’objet et ajouter un repère (en général au centre de gravité de l’objet). 2. Représenter toutes les forces agissant sur l’objet. 3. Réaliser un bilan des forces par composantes (selon x et selon y) : ∑ F i = ma 4. Se ramener à de la cinématique. 5. Résoudre les équations. 6. Vérifier qu’on a bien répondu à la question (cahier des charges). Forces fictives (pas dans les exercices) Problème : les lois de Newton ne sont valables que dans les référentiels galiléens (donc pas les référentiels en MRUA, MCU, MCUA,...). Solution : en général, il suffit d’ajouter une pseudo- force (ou force fictive) et les lois de Newton deviennent valables. Une force fictive est une force perçue comme telle par un observateur situé dans un référentiel accéléré, mais qui en réalité n'existe pas. ◦ Ex. La voiture accélère. Le passager se sent alors poussé vers l’arrière. Ce n’est pas une force mais une propension du passager à rester dans son état de MRU initial. ◦ Ex. La voiture freine brusquement. Le passager se sent alors poussé vers l’avant. Ce n’est pas une force mais une propension du passager à rester dans son état de MRU initial. La force centrifuge une force perçue comme telle par un observateur situé dans un référentiel en mouvement circulaire, mais qui en réalité n'existe pas. ◦ Ex. Dans une voiture qui prend un virage à grande vitesse, on se sent poussé vers l'extérieur. ◦ Ex. Pour éjecter les particules d'eau dans le textile, on fait tourner le linge dans un cylindre à grande vitesse percé de trous (le tambour de la lessiveuse). L'eau est alors expulsée par les trous du tambour, non pas à cause d'une force centrifuge fictive mais à cause de la tendance à se déplacer en ligne droite. ◦ Ex. Pour éjecter les particules d'eau de la salade, on la fait tourner une grille cylindrique (une essoreuse à salade). L'eau est alors expulsée par les ouvertures de l'essoreuse, non pas à cause d'une force centrifuge fictive mais à cause de la tendance à se déplacer en ligne droite. ◦ Ex. Lors d'un don de plasma, le sang récolté passe dans une centrifugeuse. Les cellules sont plaquées contre la paroi, non pas à cause d’une force centrifuge fictive mais à cause de la tendance à se déplacer en ligne droite. HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 15 5. Grandeurs conservées Grandeurs Impulsion ou quantité de mouvement : ⃗p=m ⃗v (kg m/s). ◦ Rem. v peut être négative selon le repère, donc p peut être négative. 1 Énergie cinétique : E c = mv 2 (en joules, J) Ec ≥ 0 toujours 2 Énergie potentielle de pesanteur : E p =mgh (J) Énergie mécanique : E m = E c + E p (J) Travail : W =⃗F.⃗d =F d cosα (J) Le travail est une forme d’énergie. ◦ /!\ Le point (.) représente un produit scalaire ! La formule avec cos α est toujours valable. Travail moteur Travail nul Travail résistant ⃗ F α ⃗ d ⃗ F ⃗ F α ⃗ α ⃗ d d 0 ≤ α < 90° α = 90° 90 < α ≤ 180° La force favorise le La force n’a pas d’effet sur le La force s’oppose au déplacement déplacement déplacement E Puissance : P = (en watts, W) La puissance est l’énergie par unité de temps. Δt Lois de conservation p⃗1 ⃗p ' 1 Loi de conservation de l’impulsion : ⃗ p 2 =⃗ p1 + ⃗ p ' 1 +⃗ p '2 p⃗2 ⃗p ' 2 ◦ Cas particulier : impulsion nulle P. ex. désintégration atomique (1) choc (2) p= 0 p ' =m1 v 1 ' +m2 v 2 ' =0 m2 ⇒ v 1 ' =−. v ' BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 16 6. Mécanique des fluides Notions préalables Fluide : corps de forme indéfinie, donc tous les liquides et tous les gaz. Deux types d’écoulements : laminaire (lignes de flux régulières, « lames ») et turbulent (tourbillons et fluctuations dans le temps) laminaire turbulent Problème : impossible de « cerner » la masse d’un liquide en écoulement dans une canalisation, et difficile de « cerner » la masse d’un gaz ⇒ on travaille ici avec la masse volumique : m ρ= (kg/m3) V ◦ Conversion : g/cm³ ⇒ kg/m³ : × 1 000 kg/m³ ⇒ g/cm³ : ÷ 1 000 ◦ Valeurs particulières : ρeau pure = 1 000 kg/m³ = 1 g/cm³ à savoir ρeau de mer = 1 025 kg/m³ à la surface ρglace = 917 kg/m³ glace pure à 0°C et patm standard (101 325 Pa) ρair = 1,292 kg/m³ à 0°C et patm standard ρair = 1,204 kg/m³ à 20°C et patm standard ρsang = 1 059,5 kg/m³ V Débit volumique : D= (m³/s) Δt F Pression : p= (N/m² = Pa) Force par unité de surface S ◦ La pression atmosphérique standard vaut 1 atm = 101 325 Pa ⇒ équivalente à la pression d’une colonne de mercure de 760 mm ou d’une colonne d’eau de 10,33 m. ◦ Autres unités : 1 bar = 100 000 Pa = 105 Pa ; 1 atm = 1,01325 bars millimètre de mercure : 1 mm Hg = 133,322 Pa ; 1 atm = 760 mm Hg torr (vient de Torricelli) : 1 Torr = 1 mm Hg ◦ Dans le corps humain : pression sanguine au cœur 13 kPa ; couché 13 kPa partout ; debout (taille 1m80) : tête 8 kPa, pieds 26 kPa. ◦ Origine de la pression : les molécules de fluide rebondissent constamment sur les parois. Viscosité d’un fluide (en Pa s ou Pl, Poiseuille): mesure des frottements entre les molécules de ce fluide ; plus elle augmente, plus la capacité du fluide à s'écouler facilement diminue. ◦ Valeurs (en Pl) : eau 0,001 ; sang 0,004 ; huile d’olive 0,084 ; glycérine 1,5 ; miel 10. Équation de continuité Le débit volumique est une grandeur conservée : D1 = D 2 ⇔ S 1 v1 = S 2 v 2 où Si est la surface de section de la canalisation au point i, en m² (en général, surface de section = disque ⇒ S = π r2 = π d2/4). et vi la vitesse d'écoulement du fluide au point i, en m/s ◦ Si la surface est divisée par un facteur k, alors la vitesse est multipliée par un facteur k, et inversement. HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 17 Équation de Bernoulli C’est l’équivalent de la loi de conservation de l’énergie mécanique pour les fluides : 1 2 1 2 p 1 +ρ gh1 + ρ v 1 = p 2 +ρ gh2 + ρ v 2 2 2 pi : pression interne du fluide, c.-à-d. densité d’énergie de pression dues aux forces internes du fluide en mouvement (elle ressemble à celle emmagasinée dans un ressort comprimé) 1 ρ v 2i : pression dynamique, analogue à l’énergie cinétique 2 ρghi : pression hydrostatique, analogue à l’énergie potentielle. Principe de Bernoulli : v  ⇒ p  : si les particules de fluide ont une direction privilégiée, alors elles cognent moins souvent les parois, donc la pression exercée par le fluide diminue. ◦ Ex. Pourquoi la porte se ferme-t-elle toute seule ? ⃗v Une différence de température entre l'air extérieur et l'air intérieur d'une maison crée une différence de pression, qui ve pext pint nt elle-même crée un courant d'air. La vitesse de l’air augmente p ext du côté intérieur de la porte, donc la pression diminue. Le ve décalage de pression pousse la porte à se fermer. nt ◦ Ex. Pourquoi la fumée s’élève dans une cheminée ? D'une part, l'air chaud est plus léger que l'air froid, donc il monte. D'autre part, le vent extérieur fait diminuer la pression de l’air près de la cheminée. Il y a donc un décalage de pression avec l’air à l’intérieur : la couche d'air intérieure pousse donc la fumée vers l'extérieur. ◦ Ex. Pourquoi le toit de la maison s’envole-t-il en cas de tempête ? Comment l’empêcher ? Ce n’est pas dû à du vent qui s’infiltre sous les tuiles ou ardoises et soulèverait le toit. La grande vitesse du vent près du toit diminue fortement la pression de l’air sur le toit. Il y a donc un décalage de pression avec l’air à l’intérieur : la couche d'air intérieure pousse donc le toit vers l’extérieur. Pour empêcher cela, il faut ouvrir les portes et/ou fenêtres afin d’établir la même pression d’air dans la maison qu’à l’extérieur (mieux vaut bien ranger tous les objets fragiles auparavant !). ◦ Ex. Comment les avions volent-ils ? Les ailes des avions ont un profil conçu de manière que les particules d'air passant au-dessus avancent plus vite que celles passant en-dessous. Alors, la zone d'air au-dessus de l'aile exerce moins de pression sur l'aile que la zone d'air en dessous. L'aile subit donc une force vers le haut, proportionnelle à la vitesse de l'avion. Pour une vitesse suffisante, cette force compense le poids de l'avion. Hydrostatique p= p atm +ρ g h ◦ /!\ Si la colonne de fluide est fermée par un couvercle sans air à l’intérieur : p = ρgh. ◦ La pression hydrostatique ne dépend que de la hauteur de la colonne de fluide au-dessus de l’objet ! ▪ Donc tous les points situés à la même hauteur subissent la même pression. HELHa Gilly > BTIM1 > Physique 1 : synthèse v5.3 18 Poussée d’Archimède Principe : Tout corps plongé dans un fluide subit de la part de celui-ci une p1=ρ g h1 force verticale vers le haut égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps. Origine : les différences de pression hydrostatique en haut et en bas du corps (voir schéma ci-contre). Formule : F A =ρfl g V i où ρfl est la masse volumique du fluide et Vi le volume du corps immergé. p2 =ρ g h2 ◦ Poids réel du corps : F P =ρ g V ◦ Poids apparent du corps : F P ' =F P −F A Condition de flottaison d’un corps : FA > FP : la poussée d’Archimède doit être supérieure au poids du corps pour que celui-ci remonte et flotte. ◦ /!\ Une fois que le corps flotte, une partie de son volume n’est plus immergé, donc la poussée d’Archimède diminue jusqu’à l’équilibre où FA = FP. Tout est une question de masses volumiques du corps et du fluide : Situation Forces Masses volumiques Vol. immergé Le corps coule FP > FA ρcorps > ρfluide Vi = V Le corps reste en suspension dans le fluide FP = FA ρcorps = ρfluide Vi = V Le corps remonte FP < FA ρcorps < ρfluide Vi = V Le corps flotte FP = FA ρcorps < ρfluide Vi < V Licence © Denis J. G. Doumont, 2024 – [email protected] Cette œuvre, création, site ou texte est sous licence Creative Commons Attribution – Pas d’Utilisation Commerciale – Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International. Pour accéder à une copie de cette licence, merci de vous rendre à l'adresse suivante http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0 Physique 1 : synthèse by Denis J. G. Doumont is licensed under CC BY-NC-SA 4.0. To view a copy of this license, visit https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0 En bref, vous êtes autorisé à diffuser et à modifier cette œuvre ; vous n’êtes pas autorisé à vous en attribuer la paternité ni à en faire un usage commercial ; vous êtes obligé de la partager dans les mêmes conditions.