Matemáticas - Unidad 1 PDF

Matemáticas Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas. UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas ÍNDICE 1. Contextu...

Matemáticas Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas. UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas ÍNDICE 1. Contextualización: las matemáticas en la sociedad............................................. 2 2. Perspectiva educativa de las matemáticas......................................................... 3 2.1. Teoría conductista................................................................................................. 4 2.2. Teoría cognitiva..................................................................................................... 6 3. Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas..................................................... 8 3.1. Competencia y comprensión matemática.......................................................... 10 4. Historia de las matemáticas............................................................................. 11 BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................ 16 1 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas 1. Contextualización: las matemáticas en la sociedad Las matemáticas se pueden definir como la ciencia deductiva que estudia las propiedades y las relaciones existentes entre entes abstractos, tales como números, figuras geométricas y símbolos. Tomando como punto de partida esta definición formal, las matemáticas se han desarrollado en diferentes ramas: aritmética, álgebra, geometría, estadística… Sin embargo, un enfoque más amplio nos permite afirmar que las matemáticas van mucho más allá de estas ramas teóricas bien establecidas. Sin ir más lejos, nuestra vida se encuentra circunscrita en un entorno puramente matemático, teniendo en cuenta que necesitamos magnitudes tan fundamentales como el espacio y el tiempo para entender nuestra propia existencia. Asimismo, durante nuestra vida cotidiana, nos enfrentamos constantemente a situaciones donde ponemos en práctica, de una forma u otra, un pensamiento matemático. Operaciones tan sencillas como la enumeración, la cuantificación y la clasificación se repiten diariamente en nuestra vida cotidiana y están directamente relacionadas con una lógica matemática. Algunos ejemplos triviales de estas situaciones son cuando estimamos el tiempo que falta para desarrollar una acción o la duración de una labor determinada o cuando pesamos y medimos unas cantidades exactas a la hora de seguir una receta en la cocina. Del mismo modo, el entorno que nos rodea está constituido por infinidad de objetos con formas y relaciones geométricas bien definidas, y cuando jugamos a la lotería hacemos uso de los conceptos de estadística y probabilidad más básicos. Una reflexión menos obvia, pero interesante al mismo tiempo, está relacionada con la tendencia natural que el ser humano ha desarrollado para ordenar, clasificar y categorizar tanto cuestiones de origen material como propiedades más abstractas. La acción de clasificar algo siguiendo un cierto criterio es, de algún modo, una extensión de la teoría de conjuntos desarrollada dentro de la lógica matemática. De esta forma, incluso en aspectos tan abstractos y subjetivos como la ideología política y las creencias religiosas es posible buscar unos criterios que permitan establecer diferentes perfiles ideológicos. Como consecuencia de todo lo mencionado anteriormente, queda patente que el ser humano está rodeado de matemáticas. Es por ello que resulta vital adquirir una cierta cultura matemática básica y una capacidad de razonamiento lógico que nos permita interpretar, evaluar y gestionar desde un punto de vista crítico la información matemática que recibimos. En este sentido, la etapa escolar juega un papel fundamental a la hora de desarrollar las habilidades relacionadas con la deducción lógica y el razonamiento matemático. En este contexto, indudablemente la labor del profesor en la enseñanza de las matemáticas adquiere 2 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas una trascendencia indiscutible, y la didáctica de las matemáticas ocupa un espacio muy relevante dentro del campo de la educación matemática. 2. Perspectiva educativa de las matemáticas. Durante el desarrollo de la labor docente, el profesor debe enfrentarse muy a menudo al diseño de una estrategia didáctica y la toma de decisiones con el fin de optimizar la efectividad de su labor. Este conjunto de actuaciones tiene un efecto directo sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje e influye notablemente en el rendimiento de sus alumnos. Habitualmente, las decisiones que toma el profesor están condicionadas por sus creencias y su experiencia previa en la materia que imparte. Sin embargo, la enseñanza del conocimiento matemático ocupa un papel central, especialmente durante las primeras etapas escolares, y no debería ser algo improvisado cuyo enfoque se sustente fundamentalmente en la percepción personal y la experiencia previa del profesor. La estrategia didáctica elegida por el profesor tendrá mayor probabilidad de acierto y será más eficiente si se construye sobre las ideas y los conceptos desarrollados en las diferentes teorías que estudian el proceso de enseñanza- aprendizaje. Durante el siglo XX, y gracias a las numerosas investigaciones desarrolladas en los campos de la didáctica y la psicología, se han propuesto distintas teorías cuyo fin es explicar los mecanismos cognitivos que ocurren durante la adquisición del conocimiento y el proceso de aprendizaje, así como los factores condicionantes de dicho proceso. En este sentido, resulta interesante destacar que, en definitiva, estas teorías buscan aportar soluciones a las siguientes cuestiones fundamentales sobre el proceso de aprendizaje:  Naturaleza del conocimiento: las características propias de cada materia condicionan la forma de enseñanza de la misma y la transmisión del conocimiento.  Forma de adquisición del conocimiento: la metodología educativa está condicionada en este caso por las creencias sobre cómo ocurre el aprendizaje. El profesor diseña la estrategia educativa de acuerdo a sus creencias previas, y propone una metodología de adquisición del conocimiento: por repetición, por asociación de conceptos, mediante aplicación práctica, etc.  Significado de “saber”: los distintos modelos teóricos proponen descripciones diferentes del significado de “saber” o haber adquirido un cierto conocimiento, dependiendo de la metodología didáctica seguida. De este modo, por ejemplo “saber” puede estar relacionado con la capacidad para haber memorizado una serie de 3 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas conceptos, o bien puede estar asociado a la capacidad para buscar relaciones entre dichos conceptos que le permitan aplicarlos en un contexto práctico. De forma muy general, podemos considerar las teorías del aprendizaje agrupadas en dos grandes bloques: teorías conductistas y teorías cognitivas. 2.1. Teoría conductista. Desde la óptica conductista se considera que el alumno es incapaz de construir conocimiento desde su origen, por lo que el conocimiento adquirido consiste básicamente en un conjunto de datos y conceptos que el alumno memoriza. Las características fundamentales de la teoría conductista se encuentran resumidas en la Tabla 1. Tabla 1. Características de la teoría conductista. NATURALEZA DEL FORMA DE ADQUISICIÓN DEL SIGNIFICADO DE “SABER” CONOCIMIENTO MATEMÁTICO CONOCIMIENTO MATEMÁTICO MATEMÁTICAS Técnicas, algoritmos y fórmulas Repetición y memorización de Recordar las técnicas, que carecen de una relación forma sistemática y mecánica algoritmos y fórmulas directa con la realidad De acuerdo con las características principales de la teoría conductista, la enseñanza de las matemáticas se convierte en un proceso de entrenamiento del alumno dentro del contexto de la relación estímulo-respuesta. Por lo tanto, durante la etapa de aprendizaje, el alumno se sitúa en una posición pasiva, de tal manera que únicamente desarrolla una labor de mimetización. El alumno memoriza y aprende aquello que el profesor explica a través de una metodología docente tradicional basada en la clase magistral y discursiva, y como consecuencia, no aprende nada de cualquier otro concepto no explicado. Por otra parte, este modelo teórico no tiene en consideración las diferentes habilidades y capacidades de los alumnos a nivel individual, lo cual deriva en una situación en la que los alumnos se convierten en los principales responsables de su fracaso. Una consecuencia derivada del modelo teórico conductista es la posible aparición de un fenómeno ostensivo durante el periodo de aprendizaje. La introducción ostensiva (Ratsimba- Rajohn, 1977) hace referencia a un conjunto de procedimientos didácticos empleados para establecer la definición de un determinado concepto basándose en el único apoyo de una 4 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas representación particular y prototípica de dicho concepto. En ocasiones, aunque la introducción ostensiva también pasa por presentar varios ejemplos, éstos suelen estar acompañados por una fórmula o un simbolismo sistemático que aporta generalidad al enunciado que define el concepto en cuestión. El problema de la introducción ostensiva reside en que tras la definición prototípica del nuevo concepto que el profesor enseña, sobre el alumno recae de forma inmediata la responsabilidad de establecer las relaciones entre los conceptos definidos y las posibles variaciones que existen de las representaciones con las que estos objetos se asocian. A menudo, esto ocasiona numerosos errores en el alumno, pues no se le han proporcionado las herramientas suficientes para establecer relaciones más concretas con las posibles variaciones sobre la representación del concepto enseñado. Para entender mejor el fenómeno ostensivo, presentaremos a continuación un ejemplo muy sencillo, asociado a la identificación de figuras geométricas simples. Supongamos que el profesor quiere introducir el concepto de una forma geométrica nueva para sus alumnos: el cuadrado. Para ello, hace uso de una imagen prototípica, que presenta a los alumnos tal y como se muestra en la Figura 1. Figura 1. Representación prototípica de un cuadrado elegida por el profesor para enseñar el concepto de un cuadrado. Sin embargo, cuando el profesor pide a sus alumnos que identifiquen los diferentes cuadrados de otra imagen más compleja, tal y como se presenta en la Figura 2, el resultado mayoritario de los estudiantes es fallido. Figura 2. Representación de varios ejemplares de cuadrado, en diferentes tamaños, orientaciones y colores. 5 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas En este ejemplo concreto, la definición ostensiva proporcionada por el profesor se ha basado tan solo en una única representación prototípica del concepto de cuadrado. La ausencia de cualquier explicación sobre las características más significativas que permitan identificar con sencillez el nuevo concepto (por ejemplo, el hecho de reconocer un cuadrado por la presencia de cuatro lados idénticos), genera en los alumnos una importante confusión al mostrarles otras representaciones modificadas del mismo concepto. La definición ostensiva es un recurso didáctico muy útil y necesario para introducir ciertos conceptos nuevos sobre algunos conceptos matemáticos. No obstante, es imprescindible complementar esta metodología con otro tipo de estrategias didácticas. A modo de resumen sobre la teoría conductista, cabe destacar que este modelo considera la memorización y mimetización como herramientas principales del alumno en el proceso de aprendizaje, por lo que la comprensión y asimilación conceptual pasan a un segundo plano. Sin duda, este modelo teórico no es plenamente satisfactorio ni suficiente para alcanzar un aprendizaje verdadero de los conocimientos. 2.2. Teoría cognitiva. Al contrario de lo que sucede en la teoría conductista, la teoría cognitiva plantea un enfoque mucho más práctico, donde el aprendizaje se lleva a cabo mediante la reformulación y reestructuración de algunos conceptos previos. Los conceptos ya aprendidos se adaptan a nuevos contextos y situaciones de mayor dificultad, lo cual genera un conocimiento nuevo. Las características principales de la teoría cognitiva se presentan en la Tabla 2. Tabla 2. 6 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas Características de la teoría cognitiva. NATURALEZA DEL FORMA DE ADQUISICIÓN DEL SIGNIFICADO DE “SABER” CONOCIMIENTO MATEMÁTICO CONOCIMIENTO MATEMÁTICO MATEMÁTICAS Conjunto de ideas y conceptos que Adaptación, reformulación y Establecer relaciones entre presentan una relación entre sí y reestructuración de los conceptos conceptos y aplicación en con la realidad previos situaciones problemáticas Una característica especialmente relevante de la teoría cognitiva es que el conocimiento se adquiere mediante el establecimiento de relaciones. La creación de estas nuevas relaciones puede seguir dos patrones diferentes, atendiendo al tipo de conceptos relacionados:  Asimilación: las relaciones se establecen entre conceptos nuevos y los ya existentes en el alumno. Esto supone la implantación directa de nuevos conceptos y la creación de nuevos tejidos de conocimiento en el alumno.  Integración: en este caso las relaciones se forman entre conceptos o parcelas de conocimiento ya existentes en el alumno. Este mecanismo supone la conexión entre porciones de información que permanecían aisladas. Directamente relacionado con la idea anterior, es interesante señalar que, dentro del contexto de la teoría cognitiva, la estimulación y aprovechamiento de las matemáticas inventadas previamente por los alumnos es una estrategia fundamental. Para entender esta idea, es importante mencionar que dentro del contexto del aprendizaje cognitivo, los alumnos no presentan un perfil pasivo con imitación de los mayores, sino que son creativos e inventan y desarrollan sus propias matemáticas. A diferencia de lo que ocurre con el modelo conductista, en este caso el alumno ocupa una posición mucho más activa, y, por tanto, el aprendizaje de los conocimientos es una actividad inherente al propio alumno, lo cual requiere un tiempo suficiente para alcanzar un grado de afianzamiento y consolidación adecuados. En este sentido, resulta imprescindible considerar las diferentes capacidades y destrezas de cada alumno, así como las distintas escalas temporales en las que se produce el desarrollo cognitivo, pues no es posible afianzar un aprendizaje significativo si previamente no existen unos conocimientos suficientes que sustenten la construcción de los nuevos. Esta perspectiva teórica subyace en un enfoque constructivista, basado esencialmente en cuatro hipótesis que se desarrollan en los trabajos de Piaget (1975, 1980) y Vygotsky (1930), tal y como resumimos a continuación: 1. Aprendizaje basado en la acción. 7 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas En las primeras etapas escolares, los alumnos desarrollarán el nuevo conocimiento matemático tocando, manipulando y jugando con recursos y materiales que les permitirán entender, construir y asimilar conceptos propios del pensamiento lógico-matemático mediante la acción concreta sobre objetos reales y la utilización de los sentidos. 2. Estados de equilibrio y desequilibrio. La adquisición y afianzamiento del nuevo conocimiento atraviesa estados de equilibrio y desequilibrio en los cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda. El aprendizaje no consiste en este caso en un proceso de memorización y acumulación de conocimientos a partir de la nada, sino que mediante la adaptación y reorganización de las nociones previas que se poseen, se forman e integran los nuevos conocimientos. 3. Aprendizaje en contra de los conocimientos anteriores. La teoría cognitiva supone que el aprendizaje no solo ocurre a través de la reformulación de conceptos previamente adquiridos, sino también a partir de una ruptura radical con respecto a lo que creíamos saber, de modo que en este caso también aprendemos en contra de lo que ya sabíamos. 4. Los conflictos cognitivos entre miembros del mismo grupo social. Tal y como propuso Vygotsky (1930), el debate, resolución de conflictos e interacción entre alumnos, favorece la asimilación de conceptos y facilita el aprendizaje. 3. Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Tal y como ya hemos mencionado con anterioridad, resulta evidente que todo estudio en didáctica, y particularmente, en didáctica de las matemáticas, requiere un modelo teórico de referencia que permita analizar y estudiar el proceso de adquisición de conocimientos por parte del estudiante. Del mismo modo, el proceso de enseñanza-aprendizaje de cualquier disciplina presenta una contribución fundamental asociada a las interacciones e intervenciones que existen entre los tres principales actores que participan:  El alumno: la misión principal del alumno es aprender todo aquello que ha sido programado y establecido por la comunidad educativa, atendiendo a criterios de edad, nivel y desarrollo madurativo y cognitivo.  El saber o conjunto de conocimientos: transmitidos por el profesor y adquiridos por los alumnos para su posterior aplicación. 8 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas  El profesor: es el encargado de transmitir el conocimiento y garantizar el proyecto educativo de la manera más adecuada y efectiva. Existen algunos diagramas gráficos que pueden resultar interesantes de cara a facilitar la compresión del lector respecto a las interacciones que ocurren en el escenario educativo. Houssaye (1988) definió un triángulo pedagógico, tal y como se representa en la Figura 3, que proporciona sentido a la relación existente entre los términos enseñanza-formación- aprendizaje. Por otra parte, Saint-Onge (1997) estableció el triángulo de las relaciones de enseñanza. Este diagrama está diseñado desde una perspectiva más constructivista, pues incluye los términos de interacción entre todos los actores del panorama educativo, como se aprecia en la Figura 4. Al inicio del proceso de enseñanza, el profesor parte de una situación de ventaja respecto al alumno en términos de conocimiento y saber. Aunque el alumno ya ha tenido alguna toma de contacto con el conocimiento de forma previa a la enseñanza, es muy frecuente que dicho conocimiento pudiera ser limitado o incluso poco apropiado. No obstante, al finalizar el transcurso del proceso de enseñanza, el alumno es ciertamente capaz de sostener una relación adecuada con el conocimiento, pudiéndose incluso prescindir de la figura del profesor. Figura 3. Triángulo pedagógico de Houssaye. Figura 4. Triángulo de interacciones de Saint-Onge. 9 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas 3.1. Competencia y comprensión matemática. A la hora de diseñar un documento curricular y evaluar el aprendizaje, es muy frecuente emplear palabras como competencia matemática y comprensión matemática. La competencia hace referencia a la cualidad que presenta una persona que es conocedora o incluso experta en cierta materia. Por tanto, parece evidente que la competencia es una característica cognitiva, inherente y disposicional de la persona en cuestión. Ciertamente, también existe una cierta dependencia según el campo profesional, el objeto de saber, la edad, etc. El término competencia está, sin duda, referido a un saber hacer específico, y al mismo tiempo, tener competencia sobre algo es poseer un cierto conocimiento práctico sobre dicha materia. En cuanto a la comprensión, esta se define como entendimiento o facultad de comprender. Dicho esto, es necesario recalcar que competencia y comprensión se complementan mutuamente. Resulta interesante hacer una breve reflexión sobre la complementariedad de estos dos conceptos: mientras que la competencia está referida al componente práctico y pone en juego conocimientos de tipo procedimental, la comprensión está asociado a un componente teórico del conocimiento y requiere conocimiento conceptual. Richard Skemp (1980) (psicólogo y matemático) profundizó en el estudio de la comprensión, analizando con detalle las diferencias entre dos tipos de comprensión: comprensión relacional (saber qué) y comprensión instrumental (saber hacer). Estos dos tipos de comprensión no siempre van unidos. Por definición, el conocimiento instrumental requiere de la aplicación de múltiples reglas muy concretas en lugar de unos pocos principios de aplicación general. Como consecuencia, este tipo de comprensión puede conducir a fallos fácilmente: basta con que la tarea exigida no se ajuste perfectamente al patrón metodológico establecido. En cuanto a las matemáticas basadas en una comprensión relacional, podemos destacar las siguientes conclusiones extraídas por Skemp: 10 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas 1. Poseen un carácter mucho más adaptable, y son, por tanto, fácilmente aplicables a nuevas tareas. Al saber no sólo qué método funciona sino también por qué, el alumno puede adaptar perfectamente los métodos ya establecidos a los nuevos problemas. Por el contrario, la comprensión instrumental necesita de un método diferente para cada nuevo tipo de problema. 2. Las matemáticas relacionales resultan más complejas a la hora de ser aprendidas, aunque se recuerdan con mayor facilidad. A modo de ejemplo, resulta más sencillo que los alumnos aprendan a calcular el área de un triángulo como “(1/2) base x altura” que aprender y entender el origen de esa expresión. Sin embargo, cada polígono y figura geométrica presenta una ecuación diferente para el cálculo del área, lo cual exige un esfuerzo adicional para memorizar todas las expresiones particulares. En ese caso, la comprensión relacional simplifica enormemente el problema al definir, en parte, todas las ecuaciones con relación al área del rectángulo. Obviamente, si se conoce cómo están interrelacionadas todas las ecuaciones, es mucho más fácil recordarlas que cuando son consideradas como fórmulas completamente inconexas. 4. Historia de las matemáticas. Las matemáticas pueden considerarse como la rama más antigua de las ciencias. Desde la Prehistoria, se han hallado pruebas de la utilización de los números por los primeros homínidos. Algunos restos arqueológicos de más de 30.000 años de antigüedad muestran cómo los hombres contaban y utilizaban figuras geométricas en sus objetos de ornamentación. Mucho más adelante, en la civilización egipcia, se encuentra la numeración jeroglífica, con más de 5000 años de antigüedad. El sistema de numeración empleado por los egipcios era una escala decimal que alcanzaba cifras elevadas. Tanto en la Piedra Roseta como en los papiros de Ahmes se muestra una gran cantidad de datos referentes a la cultura egipcia. Gracias al estudio de estos dos documentos se ha podido llegar a la conclusión de que los egipcios trabajaban con fracciones sencillas, planteaban problemas convencionales para la docencia, resolvían ecuaciones y estudiaban geometría y trigonometría aplicadas a la astronomía. Todo este conocimiento estaba en manos de los escribas y los sacerdotes egipcios. Sin duda, gran parte del progreso de esta civilización se debe al uso de herramientas matemáticas en cuestiones de infraestructuras civiles y agrarias. En cuanto a geometría, sus conocimientos eran similares a los de los egipcios, con la excepción del conocimiento por parte de los babilónicos del Teorema de Pitágoras, desconocido para los egipcios. 11 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas En la civilización griega, en torno al siglo I a.C., las matemáticas sufrieron un cambio drástico con la llegada de los sabios griegos. El filósofo Tales de Mileto (Figura 5), fue el primer matemático griego, un filósofo empirista. Gracias a sus amplios conocimientos matemáticos y astronómicos, fue capaz de predecir un eclipse de Sol que tuvo lugar en el año 585 a.C. Tales es considerado el primer científico de la historia, capaz de alcanzar un conocimiento a partir de la observación gracias a la elaboración de hipótesis y comprobación de las mismas. Asimismo, también se le atribuye el conocido como Teorema de Tales para el cálculo de triángulos semejantes y proporcionalidad. Figura 5. Tales de Mileto. Nota: Tales de Mileto. [Imagen] Recuperada de https://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tales.htm En el s. VI a.C. vivió Pitágoras, quien fundó su propia escuela del saber. Pitágoras logró conectar las matemáticas con lo místico a través de las relaciones de la armonía musical con las matemáticas (orfismo). Los pitagóricos consideraban a los números como los formadores de todo el universo. La relación entre la longitud de las cuerdas de una lira y las notas que producían condujo a los pitagóricos a establecer una serie de triángulos proporcionales que conducirían, finalmente, al conocido Teorema de Pitágoras. A pesar de la falta de sistematización de las matemáticas griegas, ya en el siglo V a.C. se plantearon los tres problemas clásicos de la geometría: la trisección de un ángulo, la cuadratura del círculo y la duplicidad del cubo. Gracias a la geometría, las matemáticas avanzaron enormemente, debido en gran parte a la escuela platónica (s. IV a.C.). Estos consideraban a las matemáticas como una herramienta para conocer el resto de las ciencias. En el pórtico de la Academia se podía leer la frase “prohibida la entrada a quien no sepa geometría”. A lo largo de los siglos IV, III y II a.C., destacaron tres grandes matemáticos de la Antigua Grecia. Euclides, autor de la obra Elementos (300 a.C.), que instauró el método científico tal y como se conoce en la actualidad. En ella se tratan temas sobre geometría plana y espacial, 12 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas proporcionalidad, la teoría aritmética, la inconmensurabilidad y los segmentos no racionales. Arquímedes, precursor del cálculo infinitesimal y estudioso también de la física, y Apolonio, gran estudioso de las figuras y secciones cónicas. En los primeros siglos del cristianismo, no se aportaron hechos novedosos en el estudio de las matemáticas, sino que los trabajos seguían la línea ya impuesta por los griegos. Los romanos utilizaban las matemáticas únicamente como una herramienta para la vida cotidiana. Los símbolos romanos para los números aminoraban la velocidad de los cálculos. Durante la Edad Media, las ciencias fueron apartadas del conocimiento, para dar paso a la religión. No obstante, es posible encontrar aportaciones notables en las culturas orientales. Los árabes tomaron las obras científicas hindúes y griegas y las tradujeron a su lengua, gracias a lo cual se conservan en la actualidad. Entre otras cosas, debemos a los árabes la definición del número cero y el sistema de numeración que empleamos en la actualidad. En España, en el s. XII, la cultura musulmana alcanza su apogeo (mientras en Oriente se encuentra en decadencia). Gracias a la Escuela de Traductores de Toledo, se transmitieron las grandes obras matemáticas griegas y árabes, conduciendo a un renacimiento del conocimiento matemático en el s. XIII. En esta época, se destinan los esfuerzos al perfeccionamiento de los conocimientos ya adquiridos en álgebra, aritmética y geometría. De esta época es importante destacar a Fibonacci, que señala la hegemonía del sistema numeral hindú frente al romano y del cálculo decimal frente al ábaco. Gracias a la llegada de la imprenta en el s. XV, se extienden los textos griegos traducidos al latín. En el s. XVI se desestima el uso del ábaco a favor de las normas aritméticas de cálculo hindúes. Derivados de este sistema de cálculo, nacieron los logaritmos, con el fin de simplificar las operaciones aritméticas. Se puede atribuir la autoría de estos a Neper y Bürgi. En esta misma época, se estudiaron las ecuaciones cúbicas y cuadráticas, así como la trigonometría de un modo definitivo. En los comienzos del s. XVII, tuvo lugar una revolución científica en Occidente. De la mano de Galileo nace la física moderna, donde las matemáticas jugaron un papel protagonista como herramienta indispensable. Descartes manifestó una nueva concepción sobre la filosofía y la ciencia a través del empleo de métodos de investigación analíticos, el uso de la duda metódica, las evidencias y el encadenamiento deductivo. De la misma época es Fermat, a quien debemos agradecer la teoría de números moderna y la probabilidad (unida a los juegos de azar). También en este mismo siglo nació el cálculo infinitesimal. Muchos más avances matemáticos acompañan esta época donde se sacrifica el rigor a costa de una gran producción. No es hasta mediados de siglo cuando Newton y Leibniz instauraron el cálculo infinitesimal como una nueva rama de las matemáticas, conocida hoy en día como análisis matemático. 13 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas Esta rama se divide en cálculo diferencial, integral y algoritmos infinitos. A Newton también debemos la teoría de las curvas algebraicas, la teoría general de las ecuaciones, la resolución por medio del álgebra de problemas geométricos y el uso de raíces positivas, negativas e imaginarias. Llegados al siglo de la Ilustración (s. XVIII) las ecuaciones diferenciales permitieron explicar la Ley de Gravitación Universal y la Mecánica newtoniana. En este mismo siglo, Taylor desarrolló la serie que lleva su mismo nombre y Euler produjo todas sus notables obras. Este último es considerado un venerable docente en el campo de las matemáticas, autor de los grandes libros de texto de los que proceden los actuales. Su producción matemática se centra en las teorías trigonométricas, de ecuaciones y de álgebra que se imparten hoy en día en los cursos elementales, así como en cálculo diferencial e integral, la resolución del famoso problema de los puentes de Königsberg (ver Figura 6) y la creación de símbolos matemáticos. En el mismo siglo en Francia, la producción matemática fue brillante, de la mano de Lagrange, Laplace y Fourier entre muchos otros. Figura 6. Problema de los puentes de Königsberg. “Un ciudadano se propone dar un paseo cruzando cada uno de estos siete puentes una vez solamente. ¿Es posible realizar esta excursión?” A finales del s. XVIII y principios del XIX fue Gauss quien devolvió el rigor a los tratados matemáticos. Este gran matemático fue un niño prodigio en el campo de las matemáticas. Fue el creador del teorema fundamental del álgebra y uno de los que discreparon de la geometría euclidiana. En esta misma época, Bolzano definió el concepto de función continua. En el s. XIX también tuvo lugar el estudio de los fundamentos del análisis matemático con la aparición de los límites como principal conclusión. En esta época destacan los matemáticos Poincaré y 14 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas Hilbert. Este último ha dejado como legado 23 problemas aún sin resolver. También nació la teoría de grupos que derivó en los estudios de Ruffini para la resolución de ecuaciones de alto orden mediante radicales. A mediados de siglo se exploró el área de la lógica matemática gracias a Peacock, Babbage y Herchel, lo cual centró el foco durante las primeras décadas del s. XX. Tras la Segunda Guerra Mundial las matemáticas siguieron un camino diferente, gracias a la teoría de conjuntos, hacia la estadística. La gran influencia y desarrollo de las tecnologías permitió la resolución de problemas que antes no pudieron encontrar su solución. De forma general, los estudios se han centrado en este último siglo en los sistemas dinámicos, los fenómenos no lineales, topología, teoría de probabilidades, el proceso de axiomatización de Kolgomorov, series lógicas y algoritmos. 15 UNIDAD 1 Unidad 1. Introducción e historia de las Matemáticas BIBLIOGRAFÍA Arteaga Martínez, B., y Macías Sánchez, J. (2016). Didáctica de las matemáticas en educación infantil. Logroño: UNIR Editorial. Boyer, C. B. (2007). Historia de las matemáticas. Madrid: Alianza Editorial. Godino, J. D. (2004). Didáctica de las matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. ISBN: 84-933517-1-7. Houssaye, J. (1988). Le triangle pédagogique. Paris: Lang. Fernánez, Tomás y Tamaro, Elena. (2004). Biografía de Tales de Mileto. [Imagen]. En Biografías y Vidas. 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