Didaktik der Analysis & Stochastik (Mat450) Wintersemester 2024/2025 PDF

Didaktik der Analysis & Stochastik mat450 – Vertiefung Mathematikdidaktik II Dr. Carolin Danzer Wintersemester 2024/2025  Aus einem Intelligenztest … Bestimmen Sie jeweils die nächste Zahl: 2, 5, 10, 17, 26… 2, 8, 7, 28, 27, 108, 107, 428, …...

Didaktik der Analysis & Stochastik mat450 – Vertiefung Mathematikdidaktik II Dr. Carolin Danzer Wintersemester 2024/2025  Aus einem Intelligenztest … Bestimmen Sie jeweils die nächste Zahl: 2, 5, 10, 17, 26… 2, 8, 7, 28, 27, 108, 107, 428, … 1, 2, 6, 24, 120, 720, … Problem: Hier wird kein Bildungsgesetz vorgeschrieben! Seite 2 05.11.24  Besser … Finden Sie ein Bildungsgesetz/eine Regelmäßigkeit, mit welcher Sie die nächste Zahl bestimmen können. 2, 5, 10, 17, … 2, 8, 7, 28, 27, 108, 107, 428, … 1, 2, 6, 24, 120, 720, … Seite 3 05.11.24  Folgen Definition (Folge) Eine Folge ist eine Funktion von ℕ → ℝ, 𝑛 ↦ 𝑎!. Folgen werden mit 𝑎! !∈ℕ bezeichnet oder kurz mit (𝑎! ). Eine Folge ist also eine reelle Funktion, deren Definitionsbereich aus den natürlichen Zahlen besteht. Folgen können dargestellt werden als Verbale Beschreibung Rekursive Vorschrift Explizite Formel Im Mathematikunterricht werden häufig auch geometrische Musterfolgen betrachtet. Mathewerkstatt 6 Seite 4 05.11.24 Das Zahlenbuch 2  Unterrichtliche Zugänge zu Folgen Figurierte Zahlen: Klasse von Zahlen, die sich als geometrische Figuren gleicher Art darstellen bzw. mit Plättchen legen lassen. Geometrische Muster Fraktale: Objekte, bei denen das Ganze seinen Bestandteilen ähnelt. Seite 5 05.11.24  Reihen als besondere Folgen Definition (Reihe) Eine Reihe entsteht durch die Summation der ersten 𝑛 Glieder einer Folge. Eine Reihe ist also die Folge der Partialsummen. Das Zahlenbuch 2 Wie lautet die zugrundeliegende Folge der Reihe der Dreieckszahlen? Seite 6 05.11.24  Arithmetische Reihen – Polygonalzahlen Was ist 𝑫𝒏 ? Wir betrachten die arithmetische Reihe 𝑆! !∈ℕ über 𝑎! !∈ℕ 2(234) 𝐷2 = 5 mit 𝑆! = 𝑎# + 𝑎$ + … + 𝑎! , wobei 𝑎%&# = 𝑎% + 𝑑 und 𝑎# = 1. 𝒅 = 𝟏 (Dreieckszahlen 𝑫𝒏 ) 1+2+3+4+5+6+⋯ 𝑫𝟏 𝑫𝟐 𝑫𝟑 𝑫𝟒 𝑫𝟓 Seite 7 05.11.24  Was ist 𝑸𝒏 ? Arithmetische Reihen – Polygonalzahlen 𝑄! = 𝐷! + 𝐷!(# Wir betrachten die arithmetische Reihe 𝑆! !∈ℕ über 𝑎! !∈ℕ 𝑄! = 2 1 𝐷!(# + 𝑛 mit 𝑆! = 𝑎# + 𝑎$ + … + 𝑎! , wobei 𝑎%&# = 𝑎% + 𝑑 und 𝑎# = 1. 𝒅 = 𝟐 (Quadratzahlen 𝑸𝒏 ) 1+3+5+7+9+⋯ 𝑸𝟏 𝑸𝟐 𝑸𝟑 𝑸𝟒 𝑸𝟓 Seite 8 05.11.24  Was ist 𝑷𝒏 ? Arithmetische Reihen – Polygonalzahlen 𝑃! = 𝐷! + 2 1 𝐷!(# Wir betrachten die arithmetische Reihe 𝑆! !∈ℕ über 𝑎! !∈ℕ 𝑃! = 3 1 𝐷!(# + 𝑛 mit 𝑆! = 𝑎# + 𝑎$ + … + 𝑎! , wobei 𝑎%&# = 𝑎% + 𝑑 und 𝑎# = 1. 𝒅 = 𝟑 (Pentagonalzahlen 𝑷𝒏 ) 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ⋯ Seite 9 𝑷𝟏 𝑷𝟐 𝑷𝟑 𝑷𝟒 05.11.24  Was ist 𝑸𝒏 ? Arithmetische Reihen – Polygonalzahlen 𝑄! = 𝐷! + 𝐷!(# Wir betrachten die arithmetische Reihe 𝑆! !∈ℕ über 𝑎! !∈ℕ 𝑄! = 2 1 𝐷!(# + 𝑛 mit 𝑆! = 𝑎# + 𝑎$ + … + 𝑎! , wobei 𝑎%&# = 𝑎% + 𝑑 und 𝑎# = 1. Was ist 𝑷𝒏 ? 𝒅 = 𝟒 (Hexagonalzahlen 𝑯𝒏 ) 𝑃! = 𝐷! + 2 1 𝐷!(# 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + ⋯ 𝑃! = 3 1 𝐷!(# + 𝑛 Vermutung: Was ist 𝐻! ? 𝐻! = 𝐷! + 3 C 𝐷!)* 𝐻! = 4 C 𝐷!)* + 𝑛 Seite 10 05.11.24 𝑯𝟒  Grundvorstellungen zum Folgenbegriff Welche (Alltags-)Erfahrungen bringen Lernende (vor der Thematisierung des Folgenbegriffs) zum Folgenbegriff sowohl inner- als auch außermathematisch mit? Reihenfolgenvorstellung Eine Folge wird als Aneinanderreihung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge angesehen. Zuordnungsvorstellung Eine Folge ordnet jeder natürlichen Zahl ein Folgenglied zu. Kovariationsvorstellung Eine Folge erfasst, wie sich Werte von einem Folgenglied zum nächsten ändern. Zuordnungsvorstellung Kovariationsvorstellung Seite 11 05.11.24 Reihenfolgenvorstellung  Beispiel – Quadratfolgen Aufgabe: Lösen Sie die Aufgabe auf der linken Seite, indem Sie jeweils eine allgemeine Lösung für jede beliebige Figur der Folge angeben. Seite 12 05.11.24  Quadratfolgen - Lernendenbearbeitungen Aufgabe: Beurteilen Sie die folgenden beiden Ansätze im Hinblick auf die zugrundeliegenden Grundvorstellungen zum Folgenbegriff. Seite 13 05.11.24  Untersuchungen von Folgen 1. Betrachten Sie die folgende geometrische Musterfolge. Wie groß ist die schwarze Fläche der 𝑛 -ten Figur, wenn die Seitenlänge des Quadrats in Figur 0 1 ist? # # # 2. Was ist die Summe der (unendlichen) Reihe 1 + + + + … ? Wie kann das $ ) * geometrisch veranschaulicht werden? Stichwort: Grenzwertbegriff Vervollständigen Sie bitte den folgenden Satz: Seite 14 Unter dem Grenzwert einer Folge stelle ich mir vor … 05.11.24  Zwei Sichtweisen auf das Unendliche (Aristoteles) Dynamische Das potentiell Unendliche Vorstellung ist die in der Vorstellung vorhandene Möglichkeit einer fortwährenden, nicht endenden Wiederholung einer Handlung oder eines Prozesses. Das aktual Unendliche bei dem bereits das Ergebnis eines unendlichen Prozesses vorliegt. Statische Vorstellung Seite 15 05.11.24  Lernendenvorstellungen vom Unendlichen Studie in Klassenstufe 5, 7, 9, 11 und 13 (Gymnasium): Häufigste Antworten: Aus wie vielen Punkten besteht eine Gerade? 2, 0 und unendlich viele Häufigkeiten (in Prozent) der jeweiligen Antworten im Hinblick auf die Klassenstufen Seite 16 05.11.24 Eisenmann, P. (2002). Die Vorstellungen der Schüler vom Unendlichen. Mathematica didactica 25(2). S. 52-64.  Lernendenvorstellungen vom Unendlichen Interview mit Pauline (Klasse 7): Seite 17 05.11.24 Eisenmann, P. (2002). Die Vorstellungen der Schüler vom Unendlichen. Mathematica didactica 25(2). S. 52-64.  Lernendenvorstellungen vom Unendlichen Studie in Klassenstufe 5, 7, 9, 11 und 13 (Gymnasium): Häufigste Antworten: Aus wie vielen Punkten besteht eine 10 cm lange Strecke? 2 und unendlich viele Häufigkeiten (in Prozent) der jeweiligen Antworten im Hinblick auf die Klassenstufen Seite 18 05.11.24 Eisenmann, P. (2002). Die Vorstellungen der Schüler vom Unendlichen. Mathematica didactica 25(2). S. 52-64.  Lernendenvorstellungen vom Unendlichen Interview mit Hans (Klasse 9): Seite 19 05.11.24 Eisenmann, P. (2002). Die Vorstellungen der Schüler vom Unendlichen. Mathematica didactica 25(2). S. 52-64.  Der Grenzwertbegriff Definition (Konvergenz von Folgen) Die Folge 𝑎! !∈ℕ konvergiert gegen die reelle Zahl 𝑎 für 𝑛 gegen Unendlich, geschrieben 𝑎! → 𝑎 für 𝑛 ↦ ∞, wenn für jede noch so kleine reelle Zahl 𝜀 > 0 ein 𝑛+ existiert, sodass 𝑎! − 𝑎 < 𝜀 für alle 𝑛 ≥ 𝑛+ gilt. Die Zahl 𝑎 wird dann Grenzwert der Folge 𝑎! !∈ℕ genannt. ∀𝜀 > 0∃𝑛+ ∈ ℕ∀𝑛 ∈ ℕ mit 𝑛 > 𝑛+ : 𝑎! − 𝑎 < 𝜀 Seite 20 05.11.24  Kerncurriculum Gymnasium Klassenstufe 5-10 „Die Grundidee des Approximierens wird […] beispielsweise bei Wurzeln, Kreisfläche und - umfang zunächst anschaulich verfolgt, um zu Zahlen oder Formeln zu gelangen, mit denen gerechnet werden kann. Im Schuljahrgang 10 werden diese Grenzprozesse schließlich verglichen, um zu einem anschaulichen Verständnis des Grenzwertes zu gelangen. […]“ „Ziel ist ein verständiger und nachhaltiger Umgang mit Grenzprozessen, der sich auf die Anschauung gründet. Aus diesem Grund sollte auch die Limes-Schreibweise möglichst spät eingeführt werden. […]“ Oberstufe „Die Schülerinnen und Schüler nutzen Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen propädeutisch: einführend, Grenzwertbegriffs bei der Bestimmung von Ableitungen.“ vorbildend „ […] Dabei ist die Verwendung von Grenzwerten notwendig. Sie werden auf der Grundlage Seite 21 05.11.24 eines propädeutischen Grenzwertbegriffs, der sich auf die Anschauung gründet, ermittelt.“  Der propädeutische Grenzwertbegriff im Analysisunterricht … meint: Verzicht auf eine mathematische Definition zugunsten intuitiver Argumentationen. Sekundarstufe I: Zugänge auf numerischer und graphischer Ebene Kritische Überlegungen zum (intuitiven) Grenzwertverständnis Explizit definierte Folgen siehe Übungsblatt -!&# Rekursiv definierte Folgen Beispiel: Folge 𝑎! !∈ℕ mit 𝑎! = !&. Sekundarstufe II: Annäherung an die formale Definition des Grenzwertes Seite 22 05.11.24  % Fallstudie zu Lernendenvorstellungen zu 0, 9 1 An der Studie nahmen 256 Schüler*innen der Klassenstufen 7-12 (Gymnasium) teil. Wie könnte die Studie ausgefallen sein? ca. 70% ca. 30% 0% „… es fehlt immer noch ein Stückchen.“ „… es ist so.“ „… nähert sich 1, erreicht es aber nicht.“ „… das haben wir mal gelernt.“ , „… Null Komma ist immer kleiner als 1.“ J = = 1“ „0, 9 , „… wird erst durch Runden zu 1.“ „… der Unterschied ist so klein, dass es Seite 23 05.11.24 eigentlich gleich ist.“ https://eldorado.tu-dortmund.de/server/api/core/bitstreams/c72973f7-220c-4457-accf-af4d44be439d/content  Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff Annäherungsvorstellung Das Zustreben oder Annähern der Werte der Folgenglieder an einen festen Wert oder ein Objekt. Umgebungsvorstellung Zu jeder noch so kleinen Umgebung um den Grenzwert liegen ab einem bestimmten Folgenglied alle weiteren Glieder in dieser Umgebung. Objektvorstellung Grenzwerte werden als mathematische Objekte angesehen, die durch eine Folge konstruiert oder definiert werden. Seite 24 05.11.24  Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff Welche Vorstellung(en) zum Vervollständigen Sie bitte den folgenden Satz: Grenzwertbegriff stecken in Unter dem Grenzwert einer Folge stelle ich mir vor … Ihrer eigenen Vervollständigung dieses Satzes? Seite 25 05.11.24  Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff Ableitinger et al. (2021): Studie zu Grundvorstellungen von Lehramtsstudierenden nach fachlicher Ausbildung in knapp 80% aller Äußerungen tritt die Annäherungsvorstellung auf (und nicht die Umgebungsvorstellung, auf der die Standarddefinition der Analysis beruht) etwa 1/3 der Äußerungen deuten auf nicht tragfähige Vorstellungen hin, die denen von Lernenden ähneln Seite 26 05.11.24 Ableitinger, C., Götz, S., Steinbauer R. (2021): (Grund-)Vorstellungen von Lehramtsstudierenden zum Grenzwertbegriff.  Unter dem Grenzwert einer Folge stelle ich mir vor … Beurteilen Sie die folgenden Äußerungen von Lernenden im Hinblick auf das Verständnis des Grenzwertbegriffs. Problematisch: Vorstellung, dass der GW einer Folge immer erreicht wird. Problematisch: Vorstellung, dass der GW einer Folge nicht erreicht werden darf. Eine weitere gängige ungeeignete Vorstellung (Davis & Vinner, 1986): Vorstellung des Seite 27 05.11.24 Grenzwertes als Schranke, die nicht über- oder unterschritten werden kann.