Induzione Elettromagnetica PDF

# Fisica, appunti Circuitatione ## Equationi di MAXWELL (Caso statico) - Si considerano campi elettrici e magnetici costanti nel tempo - Sintesi del magnetismo - Riguardano 2 proprietà dei campi: - CAMPO ELETTRICO (€) - CAMPO MAGNETICO (B) ## 4 equazioni - FLUSSO - CIRCUITAIZONE ### 2 CAM...

# Fisica, appunti Circuitatione ## Equationi di MAXWELL (Caso statico) - Si considerano campi elettrici e magnetici costanti nel tempo - Sintesi del magnetismo - Riguardano 2 proprietà dei campi: - CAMPO ELETTRICO (€) - CAMPO MAGNETICO (B) ## 4 equazioni - FLUSSO - CIRCUITAIZONE ### 2 CAMPO ELETTRICO (€) 1. $\int_S \epsilon \cdot dS = Q_{int} $ T. di Gauss - $\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}$ - S chiusa 2. $\int_l \epsilon \cdot dl = 0$ -sempre chiuse - Il flusso uscente è compensato dal flusso entrante - somma algebrica delle correnti concatenante ### 2 CAMPO MAGNETICO (B) 3. $\int_S B \cdot dS = 0$ - S chiusa - La circuitazione lungo una linea chiusa è uguale alla somma algebrica di tutte le correnti che la attraversano 4. $\int_l B \cdot dl = \mu_0\cdot i_c$ - L è una linea chiusa ### Spiegazione 3° eq di Maxwell : $$ \int_l B \cdot dl = \sum B_i \cdot \Delta l_i \cdot cos \alpha_i$$ $$ \sum B_i \cdot \Delta l_i \cdot cos \alpha_i = \sum F_i \cdot \Delta l_i \cdot cos \alpha_i$$ $$ F_i = (F = q \cdot E)$$ $$ q\cdot\int_l E \cdot dl = \sum E_i \cdot \Delta l_i \cdot cos \alpha_i \cdot \Delta l_i \cdot cos \alpha_i$$ - Moltiplico a destra e a sinistra dell'uguaglianza per q - Immagino di spostare q lungo la linea e di calcolare il lavoro fatto dalla forza elettrica per questo spostamento. $$ q \cdot \int_l E \cdot dl = W_{F_E}^{(B)} - W_{F_E}^{(A)} = 0$$ - Il lavoro compiuto dalla forza elettrica per portare q da A a B non dipende dal percorso ma solamente dalla posizione di A e B ## 4° equazione di Maxwell : **1° applicazione del teorema di Ampere** filo rettilineo indefinito percorso da i $$ \int_l B\cdot dl = \mu_0 \cdot i_c$$ $$ \int_l B\cdot dl = \int_l B \cdot \Delta l \rightarrow \int_l (B) = B \pi r$$ $$ B = \frac{\mu_0\cdot i}{2\pi r}$$ **2° applicazione del teorema di Ampere** solenoide percorso da i $$ \int_l B \cdot dl = \int_l B \cdot \Delta l \cdot cos\alpha + \int_l B_2 \cdot \Delta l \cdot cos\theta_2 + ...$$ $$ \int_l B \cdot dl = B \cdot l$$ $$ \int_l B \cdot dl = \mu_0 \cdot i_c \rightarrow B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot i}{l}$$ $$ i_c = N\cdot i$$ - N numero di spire # DERIVATE IN FISICA $$ x(t) = x_0+v_0t + 1/2at^2$$ $$v(t) = \frac{dx}{dt} = 0 + v_0 + \frac{a2t}{2}$$ - legge oraria del moto uniformemente accelerato $$ V = \frac{x(t)-x(t_0)}{t_s-t_0}$$ - V media tra to e t $$V= \lim_{t_s\to t_0} \frac{x(t_s)-x(t_0)}{t_s-t_0} = \frac{d(x(t))}{dt} $$ - V istantanea in t_0 ## Induzione elettromagnetica - Legge: legata alla derivata rispetto al tempo del campo magnetico N-S -> movimento del magnete rispetto al solenoide -> diff. di potenziale indotta dal solenoide -> il valore della Av indotta è legato alla rapidità del movimento del magnete - MAGNETE FERMO => Av ind = 0 ## LEGGE DI FARADAY - NEWMANN - Permette di calcolare la differenza di potenziale indotta in un circuito (f. elettromotrice) - $$Av_{ind}(media) = \frac{\Delta\Phi(B)}{\Delta t}$$ -> diff. di flusso di B attraverso la superficie del circuito nel tempo - $$V = \tau_m^2 N/c$$ - $$Av_{ind}(istantanea) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\Phi(B)}{\Delta t} = \frac{d\Phi(B)}{dt}$$ - N.B: in caso di B costante la formula è coerente dal punto di vista dimensionale - es. y = 4 cos(2x) ## POTENZA ELETTRICA SU UNA RESISTENZA - $$P=\Delta V \cdot i = R\cdot i^2 = \frac{\Delta V^2}{R}$$ - $$P(t) = W^2B^2S^2/R * sin^2(wt)$$ - Se valore efficace della Av ind è quel valore che genera la potenza media che assorbe la resistenza ## LEGGE DI LENZ - Serve a determinare il verso della corrente indotta in un circuito - La corrente indotta scorre in modo da generare flusso di B che si oppone alla variazione di Is (B) che l'ha generata - se B costante non ci sarebbe dIs (B) e quindi non ci sarebbe la Av ind - Supponiamo che B AUMENTI: la corrente circola in senso ORARIO in modo da generare un B entrante - Supponiamo che B DIMINUISCA: diminuisce il Is (B) uscente, la corrente i circola in senso ANTIORARIO in modo da generale un Is USCENTE ## CIRCUITO CON SBARRETTA MOBILE - Finché la sbarretta è in movimento nel circuito scorre una corrente indotta - I diminuisce -> Sd diminuisce (B costante) -> i circola in senso antiorario la sbarretta subisce la F = B. l. i. che tende a rallentarla $$ F = B\cdot l\cdot i$$ $$ i_{max} = \frac{B \cdot l\cdot z\cdot w}{2\cdot p}$$ $$ i = \frac{B \cdot l\cdot z\cdot w}{2\cdot p} \cdot sin(wt)$$ $$ \Phi = (B_o + B_1 \cdot cos(wt)) \cdot \pi r^2$$ $$ \Delta V_{ind} = B_1 \cdot \pi r^2 \cdot w \cdot [- sin(wt)]$$ $$a = Fr/s - mg$$ $$a = \frac{B^2 \cdot l^2\cdot z^2 \cdot w}{2\cdot p\cdot R} \cdot sin(wt)^2 - \frac{mg}{R}$$ - istante t=0, a = g - la v aumenta, a diminuisce fino a che a != 0 - dopo ret. uniforme - raggiunge v di regime - V = mgR/B^2l^2z^2 - fino a che la v non è un valore di regime - a = g - B^2l^2z^2w/MR - Voglio determinare v(t), equazione differenziale del 1° ordine $$ \frac{dv}{dt} = a = g - \frac{B^2l^2z^2w}{MR}$$ $$ \frac{dv}{dt} = y' = g - \frac{B^2l^2z^2w}{MR} \cdot v$$ $$ \frac{dv}{dt} = y' = y$$ $$ \frac{dv}{dt} = g \cdot e^{-\frac{B^2l^2z^2wt}{MR}} - \frac{B^2l^2z^2w}{MR} \cdot v$$ $$ \frac{dv}{dt} = \frac{B^2l^2z^2w}{MR} \cdot (g \cdot e^{-\frac{B^2l^2z^2wt}{MR}} - v)$$ $$ \frac{dv}{dt} = 8 - e $$ $$8 = \frac{B^2l^2z^2w}{MR}$$ $$v(t) = w\cdot g\cdot R \cdot (1 - e^{-\frac{B^2l^2z^2wt}{MR}}) $$ - prendo la V e la sostituisco nell'equazione differenziale $$v(t) = 10 \cdot (4 - e^{-t})$$ - t grande e più siamo vicino alla v (dovrei avere un asintoto) ## R - es. OB - SBARRETTA MOBILE - IN UN PIANO VERTICALE - (ebe puo scomere seliter attrito su 2 Binari) - Appena la sbarretta inizia a cadere inizierà a scorrere corrente che vorrà $$ \Delta\Phi = B \cdot \Delta S $$ $$ \Delta\Phi = B \cdot l \cdot \Delta x$$ $$ \Delta V_{ind} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{B \cdot l \cdot \Delta x}{\Delta t}$$ $$ \Delta V_{ind} = B \cdot l \cdot v$$ - $$F_L = B\cdot l \cdot i$$ - $$F_p = w\cdot g$$ - $$F_c = \frac{B^2 \cdot l^2 \cdot z^2}{r}$$ ## Legge di Faraday - Newman - Lenz - ALTERNATORE (B costante) - $$Av_{ind} = \frac{\Delta\Phi_{s}(B)}{\Delta t}$$ -> il campo magnetico viene meno in rotazione rispetto al circuito - Centrale elettriche - $$Av_{ind} (t) = \frac{d\Phi_{S}(B)}{dt}$$ -> ho Avind all'interno del circuito - $$\Phi _s(B) = B \cdot s \cdot cos(\omega t)$$ - $$\frac{d\Phi _s(B)}{dt} = B \cdot S \cdot (-sin(\omega t) \cdot \omega $$ - $$\Delta V_{ind}(t) = \omega B S \cdot sin(\omega t)$$ - $$\Delta V_{ind}(t) = \omega B S \cdot sin(\omega t)$$ - $$\Delta V_{ind} = \omega B S \cdot sin(\omega t)$$ - WBS -> diff. di potenziale alternata ## TRASFORMATORE - Primario (N1 spire) - Secondario (N2 spire) - $$\Delta V_{ind media} tra 0 e 1/2 = \Delta V_{ind media} = \frac{\Delta\Phi(t)}{\Delta t} = \frac{\Phi(t)- \Phi(0)}{t-0}$$ - $$\Delta V_{ind} = 3,87\cdot 10^{-2}t + 1,97 \cdot 10^{-1}$$ - t= 0,5 -> $\Delta V_{ind} = 1,87 \cdot 10^{6}\cdot0,5 = 9,87 \cdot 10^{-7}$ - FERRO -> si genera una corrente indotta nel circuito 2 dovuta alla presenza del B prodotto dal primo