Análisis de Sistemas de Control PDF

Análisis de sis,temas / de control Juírndm:dóu 1 Un paso previo antes de entl'(lr en el estudio de los controladores, los cuales per...

Análisis de sis,temas / de control Juírndm:dóu 1 Un paso previo antes de entl'(lr en el estudio de los controladores, los cuales permi- ten realizar un sistema realimentado de control, es el de conocer el comportamiento temporal de los procesos para poder elegir el controlador adecuado. En este capítulo nos acercamos al análisis matemático de los sistemas lineales, intro- duciendo el concepto de lo que son las ecuaciones diferenciales y la Tl'(lnsfomuula de Laplace como método de análisis. Se estudian los sistemas de primer y según orden principalmente, insistiendo en la curva de respuesta tempol'(lf sobre la que se definen los parámetros fundamentales que permiten cal'(lcterizarlos. El análisis detallado de los sistemas lineales requiere unos conocimientos matemá- ticos que están por encima del nivel que pueden tener a quienes va dirigido este texto. Por ello, sin ltuir por completo de la herramienta matemática, se !tan planteado nume- rosos ejemplos de sistemas reales que permitan aclarar conceptos que son difíciles de adquirir si sólo se !tace uso de die/to análisis matemático. 4.1. Introducción. 4.2. Sistema de primer orden. 4.3. Ejemplos de sistemas de primer orden. 4.4. Sistema de segundo orden. 4.5. Otros tipos de sistemas. 4.6. Ejercicios resueltos. 4. 7. Resumen comandos CC. Cuestiones y problemas. Actividades. !dent(ftcar sistemas lineales por su re5puesta temporal. Obtener la fúnción de transferencia de sencillos sistemas reales y prever su compor- tamiento a partir de la misma.  como Tramformada de Laplace y algunas de sus propiedades 4.1. Introducción son las siguientes: La forma habitual de controlar un proceso es med iante un 1. La transformada de una función del tiempo f(t) se con- lazo cerrado (Fig. 4.1 ). vierte en una función de la variables, F(s). 2. La transformada de la suma o resta de varias funcion es Perturbaciones del tiempo es la suma o resta de las transformadas: fl(t) ± f2 (t) ~ Fl (s) ± F2 (s) 4. La transformada del producto de una constante por una y REGULADOR PROCESO función de t es el producto de dicha constante por la transformada: M K · f (t) ~ K · F (s) 4. La transformada de la derivada enésima de una función f(t) es s" veces la transformada de f(t): MEDIDA d11 f(t) ~ s" · F (s) dt 5. La transformada de la integra l de la función f(t) es 1/s Figura 4.1. Sistema de control en lazo cerrado. veces la transformada de f(t): ~- El elemento de med ida mide la variable controlada y en el 1 comparador se compara con el punto de consigna para obte- J f (t) · dt F (s) s ner la señal de error. Esta señal se aplica al regulador que la procesa para conseguir la variable regulada que, actuando 6. Transformadas de funcion es f(t) más usuales: sobre el elemento final de control, hará que el proceso evo lu- 1. Impul so unidad: cione hasta alcanzar la consigna. F(s) = 1 Para poder utiliza r el regulador adecuado neces itamos saber cómo se comporta el proceso a lo largo del tiempo cuan- 2. Escalón unidad: do se produce una perturbación o un cambio en la consigna. 1 F (s) = - Cualquier proceso se puede identificar matemáticarnente s mediante una o varias ecuaciones diferenciales. Estas ecua- ciones expresan las relaciones que se dan entre las diferentes 4. Rampa: variables del sistema en un pequeño intervalo de tiempo (dt). l f (t) = t ~ F (s) =- Podemos considerar un sencillo ejemplo para aclarar el s2 concepto. En el movimiento rectilíneo de un móvil intervie- 4. Parabólica: nen las magnitudes físicas velocidad (v), espacio (e) y tiempo (t). Para expresar la velocidad media con la que se ha movido 1 en un tramo e determinado, en el que ha empleado un tiempo f (t) = Y, t2 ~ F (s) =- SJ t, utilizamos la ecuación: 5. Exponencial decreciente: e v=-- 1 1 f (t) = e-al ~ F (s) = - s+a Sin embargo, para conocer qué velocidad lleva el móvil en un punto determinado del recoITido, no podemos utilizar la 6. Exponencial creciente: ecuación anterior. Para calcularla debemos considerar un a pequeño incremento de espacio (de) recorrido en un pequeño f(t) = 1-e-ª1 ~ F (s) = - - s (s+a) intervalo de tiempo (dt), obteniendo: 7. Senoidal: de v=-- (O dt f(t) = sen(cot) ~ F (s) = - - s2+w2 Ésta es la ecuación diferencial que relaciona las variables del sistema. 8. Senoidal decreciendo exponencialmente: Una vez se ha identificado matemáticamente el proceso es s posible obtener su.función de tramferencia. Esta es la rela- f (t) = e-"1 sen(cot) ~ F (s) = - - - - (s+a)2 + w2 ción que existe entre la entrada y la salida al mismo: General- mente será una ecuación diferencial , más o menos compleja. 7. Teorema del valor final: el límite de la función f(t) cuan- do el tiempo tiende a infinito es igual al límite del pro- Existe un proceso matemático por el cual es posible con- ducto des por F(s) cuando s tiende a cero. vertir dichas ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebrai- cas, que son más fáciles de manejar. Este proceso se conoce lim f (t\_.= = lim (s · F (s)\_. 0 © /TES-PARA NINFO  Una vez obtenida la función de transferencia del proceso es pos ibl e eva luarl a para conocer finalmente el comportamiento 4.2. Sistema de ~rimer orden de l mismo a lo largo del tiempo. Para ello se sue len emp lear dos métodos: Decimos que un sistema (Figura 4.4) es de primer orden cuando la ecuación diferencial que describe e l comportamien- a) Respuesta indicia!: to dinámico del mi smo es una ecuación de primer orden. Cómo evo luciona la sa lida cuando aplicamos a la entrada una seí'íal en esca lón (Fig. 4.2) Entrada Salida SISTEMA PROCESO G Entrada Salida Figura 4.4. Sistema de primer orden. Es decir, la relación que se estab lece entre la entrada y sa li- ce da a lo largo del tiempo viene dada por una ecuación cuya SALIDA expresión genera l es (1 ): d82(t) RESPUESTA DEL SISTEMA a. dt + b. 82(t) = c. e1(t) donde a, by c son constantes, 8 l (t) es una función matemáti- ca que describe cómo va ría la seña l de entrada en el tiempo y 82(t) es la expres ión matemática de cómo varía la señal de sa lida en el tiempo. Si tomamos transformadas en uno y otro miembro de la igualdad obtenemos (2): ESCALÓN DE ENTRADA a·s ·82(s) + b·82(s) = c·81 (s) siendo 8l(s) y 82(s) las funciones transformadas de 8l(t) y 12 15 TIEMPO 82(t) respectivamente. Figura 4.2. Señal escalón. Si sacamos factor común 82(s) en (2) obtenemos lo sigui ente (3): Con este sistema es posible analizar e l régimen transitorio, comprobando si ex iste rapidez de respuesta, sobrepasamiento, (a·s + b) · 82(s) = c · 8l(s) etc.; y e l régimen permanece donde se obtiene e l error entre e l La función de transferenci a del sistema es la relación entre valor esperado y el real. sa lida y entrada, por lo que partiendo de (3) obtenemos (4): b) Resp uesta frecuencial: 82(s) c G(s) = - - - - - - Qué valores toma G cuando se suponen ap li cadas seiia les 81(s) as+b senoida les de distintas frecuencias a la entrada (Fig. 4.3). Si en (4) dividimos numerador y denominador por b obte- nemos (5): GANANC IA !Ole-------------,-----------, c b G(s) = - - - a - s+ l b Si ll amamos Ka c / by 'ta a / b nos queda finalmente (6): K 10- 1 b - -- - - -- -----11--- - -- - -----"-i G(s)=-- -rs+ 1 K es la ganancia del sistema y representa e l factor de amplificación entre sal ida y entrada. 't es la constante de tiempo. Nos da una idea de lo rápido o lento que es el sistema en responder a los cambios producidos a la entrada. Figura 4.3. Respuesta frecuencial. Para conocer la respuesta indicia! del sistema, debemos Con este procedimiento es posible ana li zar la estab ilidad, obtener 82(t) cuando a la entrada ap licamos un escalón. La frecu encia de corte, etc. transformada de un esca lón es (7): © /TES-PARANINFO  81 Para obtenerlo en la práctica trazaríamos una recta parale- 8l(s) = - la al eje de tiempos por el valor 0,632 K81 hasta cortar a la s curva 82(t). Por este punto trazamos una vertical hasta cortar Despejando 82(s) de la ecuación (6) tenemos lo siguiente (8) : al eje de tiempo. El punto de corte nos da el valor de 't. K 82(s) = · 8l(s) 'tS +1 Sustituyendo (7) en (8) nos queda (9): 4.3. Ejemplos de sistemas K 81 de primer orden 82(s) = - - - ~~-- 'ts + 1 s Para conocer la variación de la salida a lo largo del tiempo 4.3.1. Sistema Hidráulico debemos obtener la antitransformada de la ecuación (9). Para ello consultaríamos la tabla de transformadas y tendríamos finalmente ( 1O): ~qe 82(t) = K · 81 · (1-e-ll') La Fig. 4.5 muestra de qué forma evoluciona la sa lida. 10, -- ,--.-----===l'=-r- --...-----, /V--- h I 63% dela A qs 6 / ···-···· T······· ··················· ········· ········- ··················· ··················· ··máxima ~~ 1 I Figura 4.6. Depósito con entrada y salida. Sea el sistema de la Fig. 4.6, donde : qe caudal de entrada. º ~--+-~---~--+-~---~--~ qs caudal de salida. o / m ~ g 10~ h altura del nivel de líquido. Constante RÉGIMEN RÉGIMEN A capacidad hidráulica (área de la base del depósito). de tiempo TRANSITORIO PERMANENTE R restricción a la salida. Figura 4.5. Evolución exponencial. En un intervalo de tiempo dt podemos considerar cons'tan- tes qc y q5 , por lo que el caudal resultante será ( qe - q5 ) y el Ésta tiende a su valor de régimen permanente K. 81 de líquido acumulado en este tiempo (qe - q5). dt. forma exponencial y podemos considerar que lo ha alcanzado en un tiempo igual a 5't. Al periodo comprendido entre t = O La acumulación de este líquido provocará un pequeño y t = 5't se le denomina régimen transitorio , y para t > 5't régi- incremento en la altura (dh). El líquido acumulado se puede men permanente. obtener también multiplicando el incremento de la altura por el área A, por lo que (l ): A partir de la curva de la Fig. 4.5 es posible obtener el valor de 't. Podríamos emplear dos procedimientos: (qe-qs) · dt =A· dh a) Si hallamos la derivada de 82(t) en el origen (cuando t = Dividiendo por dt (2): O) obtenemos la pendiente de la curva 82(t) en este dh punto (11) dt d82(t) 1 =k81 - Por otro lado, qs dependerá de la altura h que tenga el depó- dt (t=O) 't sito en un momento dado y de la restricción R a la salida del depósito (3): En un tiempo t = 't, esta recta alcanzaría el valor final k. 81. h El procedimiento práctico consistiría en trazar una recta qs= R tangente a la curva de 82(t) en su punto de origen, hasta cortar la línea del valor permanente. Por este punto de Sustituyendo (3) en (2) tenemos (4): cmte trazamos una perpendicular al eje de tiempos y h dh donde coite a este eje tendríamos el valor de 't. q - - = A·- e R dt b) Aplicando la ecuación (1 O). Se trata de calcular qué valor tendrá 82(t) cuando haya transcurrido el tiempo t Multiplicando los dos miembros de la igualdad por R (5): = 't (12): dh q ·R-h = A · R - 82 = K81 (l-e-ll1) = K81 (l-e- 1) = 0,632K81 e dt 76 © !TES-PARANINFO  Pasando h al otro miembro (6): T (s) R ------ dh qe (s) l+R·C·s q ·R=A·R·-+h e dt Podernos observar que las características capacidad y resis- Si aplicamos la transformada de Laplace a los dos miem- tencia térmicas son las que determinan la mayor o menor rapi- bros de la igualdad (7): dez en la evolución del sistema. R · qe (s) = R ·A · s · h (s) Sacando factor común h(s) (8): 4.3.3. Circuito R·C serie Rqc (s) = (RAs +l) h (s) La función de transferencia del proceso será (9): R G=~= R _r-=:;f-wvro V-=- cr ve VS qe(s) l+RAs T -o La constante de tiempo depende de la restricción R y del área del depósito (1: =R. A). Cuanto mayores sean estos valo- Figura 4.8. Circuito R-C. res, más lentamente evolucionará el sistema. Sea el circuito de la Fig. 4.8 y en el instante t =O cerramos el interruptor, estando el condensador descargado. 4.3.2. Sistema térmico La corriente i al circular por C en un intervalo dt produce una pequeña acumulación de carga dq que da lugar a un lige- ro incremento de tensión dVc. Su valor es (6): Aporte de calor HORNO dVc=~= i·dt e e La corriente que en un instante determinado circula por el condensador podemos despejarla de (6) y obtenemos (7): dVc Oe i=C·-- Ta dt La tensión aplicada a la entrada se reparte en todo momen- to entre R y C, por los que circula la misma corriente al estar Th en serie. Se cumplirá (8): Ve= R·i +Ve Sustituyendo (7) en (8) obtenemos (9): Figura 4.7. lntercambiador de calor. dVc Ve=R · C--+Vc dt Sea el sistema de la Fig. 4.7, donde: Aplicando transformadas (10): qc es el flujo de energía calorífica de entrada (parte se emplea en calentar el horno (q11 ) y parte se pierde (q5 )) ( 1): Ve(s) = R·C·s·Vc(s) + Vc(s) qe = qh + qs La función de transferencia será ( 11 ): R es la resistencia térmica entre horno y ambiente. Es la Vc(s) mayor o menor dificultad para ser evacuado el calor del horno Ve(s) R·C·s+l al exterior (2): , La constante de tiempo será 1: = R · C Th-Ta T R=--- qs qs C es la capacidad térmica del horno. Refleja la propiedad 4.3.4. Motor con carga elevada de almacenamiento de calor del horno. El aporte de energía q11 durante un intervalo dt provoca un incremento dT en la tem- acoplada a su eje peratura del mismo, cumpliéndose (3): R L q11 dt = C · dT Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenernos (4): dT T qe=C·dt+R Aplicando la transformada de Laplace y despejando térmi- nos obtenernos finalmente la función de transferencia (5): Figura 4.9. Motor de CC con carga. ©!TES-PARANINFO  La Fig. 4.9 representa esquemáticamente el circuito eléc- Dividiendo numerador y denominador por (R. f + K l.K2) trico y sistema mecánico de un motor de corriente continua. tenemos (22): Los parámetros característicos del sistema son: K2 R, L: Resistencia y coeficiente de autoinducción del CD(s) (R·f+ KI ·K2) inducido. -- - -------- v(s) R ·J J: Momento de inercia de la carga acoplada al eje - - - - - · s+ I (N.m.sec 2/rad) R·f+ Kl-K2 f: Coeficiente de fricción viscosa (N.m.sec/rad) Podernos observar que responde a un sistema de primer orden en el que la velocidad que alcance el motor para una Las magnitudes que intervienen son: tensión dada evolucionará de forma exponencial a lo largo del r., Ir:Corrientes de armadura y de excitación respecti- tiempo, con una constante de tiempo que depende de J, f, R y vamente. constantes del motor KI y K2. V: Tensión aplicada. E: Tensión inducida. 4.4. Sistema de segundo orden 8: Ángulo girado. CD: Velocidad angular. Decimos que un sistema es de segundo orden cuando la ecuación diferencial que relaciona la entrada y la sa lida es de T: Par motor. segundo orden. Es decir, entre la entrada 81 (t) y salida 82(t) se cumple lo siguiente (23): La ecuación mecánica que relaciona par y velocidad es ( 12): dCD d2 d T = J · - - + f·CD a -82(t) + b - 82(t)+ c·82(t) = e·8 I (t) dt dt dt Si la carga mecánica es lo suficientemente elevada, pode- siendo a, b, c y e constantes del sistema. mos despreciar el efecto de L y obtener aproximadamente el Aplicando transformadas y despejando 82(s) obtenemos la valor de Ta (13): función de transferencia siguiente (24): v-E I =- 82(s) e ª R G(s)= - - = 2 81(s) a·s +b·s+c La tensión inducida depende de la velocidad del motor ( 14): La ecuación (24) se puede expresar de la siguiente forma E= KI ·CD (25): Si Ir se mantiene constante, el par motor producido depen- K·CD~ de de la corriente de armadura ( 15): G(s) = s +2·¡:.~ · CD11 · s + CD 112 2 T = K2·I a ~ es el coeficiente de amortiguamiento y físicamente es un Sustituyendo (13) y (14) en (15) obtenemos (16): elemento disipador de energía: v-E v-Kl·CD b T=K2·-- =K2· - - - - R R ~= - 2·a·c Sustituyendo ( 16) en (12) nos queda (17): CD 11 es la pulsación natural del sistema. Si no ex1st1era v-Kl ·CD dCD amo1tiguamiento el sistema oscilaría con esta pulsación: K2. = J- - - +f· CD R dt Multiplicando por R , tenemos ( 18): CD 11 = ~ : dCD K es la ganancia del sistema: K2 · (v-Kl·CD) = R-J· - - + R·f· CD dt e K=- Agrupando términos de CD ( 19): c dCD dCD La respuesta del sistema a un escalón unidad dependerá del K2 ·v=R·J·- - +R·fCD+Kl ·K2·CD= R·J·-- +(R·f+Kl-K2)·CD dt dt valor del am01tiguamiento ~· Podemos considerar los siguien- tes casos: Aplicando la transformada de Laplace (20): K2·v (s) = R·J·s·CD (s) + (R·f+Kl ·K2) CD (s) a) Amortiguamiento cero: La función de transferencia será (21 ): La salida 82(t) obedece a la ecuación (26): w(s) K2 82(t) = K· ( 1-cos( CD11 ·t)) -- - ------- v(s) R·J·s+(R·f+K l ·K2) Su representación temporal es la de la Fig. 4.1 O. © /TES-PARA NINFO  La Fig. 4.12 indica de qué manera evoluciona esta salida en función del tiempo. K 10 - L----------- ~ // // / V 11 zo TIEMPO zs o o I_/ 6.67 13.3 zo Figura 4.10. Respuesta para amortiguamiento cero. TIEMPO Figura 4.12. Respuesta para S > 1. Podemos observar que es oscilante y co 11 es la pulsación natural. En este caso decimos que el sistema es no amorti- Lo hace exponencialmente, pero más lentamente que en el guado y tiene poca utilidad desde el punto de vista del con- caso anterior, sobre todo a medida que el amortiguamiendo crece. trol, por ser muy inestable. Decimos que el sistema es sobreamortiguado. b) Amortiguamiento unidad. d) Amortiguamiento menor que la unidad. Resolviendo la ecuación para este caso obtendríamos la La expresión de 82(t) es de la forma (29): expresión de 82(t) siguiente (27): 82(t) K·(l-e-co,;t) · ( l+co11 ·t) 82(T)=k·( I-e-sm,t.( cos( co '11-sl.t)+-S- ·sen( co -/ J-s2.t))) 11 ~ 11 Su representación temporal se muestra en la Fig. 4.11. y su representación se da en la Fig. 4.13. Se produce un sobrepasamiento por encima del valor final K 10 que se alcanza en régimen permanente, que es tanto mayor ~ cuanto menor sea S· No obstante, existe un amortiguamiento / exponencial cuyo factor es s.con y que tiende a situar la salida / en un valor final estable. / / K --------~-------~---- o o 1/ TIEMPO 10 Figura 4.11. Respuesta para amortiguamiento unidad. Vemos que evoluciona exponencialmente, de forma similar 6.67 13.3 TIEMPO 20 al sistema de primer orden. Decimos que el sistema es críti- Figura 4.13. Respuesta para S < 1. camente amortiguado. c) Amo1iiguamiento mayor que la unidad. Se puede apreciar también que tiene una mayor velocidad de crecimiento hasta alcanzar por primera vez el valor final en La respuesta temporal responde a la siguiente ecuación (28): comparación con el resto de sistemas. 82(t) = K·(l-A-e-úl,;B·t+ ce-co,;D·t) En este caso decimos que el sistema es subamortiguado. siendo: 2 A = _s_+_-1_s_-_1 s 2-1 2 - 1 4.4.1. Características de un sistema s= s--Vs2 - 1 subamortiguado e= s--Vs 2 - 1 Los sistemas subammiiguados se suelen caracterizar por 2-v s2- 1 una serie de parámetros que permiten estudiar la rapidez de su respuesta y sobreoscilaciones. En la Fig. 4.14 se señalan los D= s+-Vs2 - 1 mismos. ©!TES-PARANINFO  ------- ------ ------- ------- ------ -1~~-- 4.4.2. Ejemplo de sistema de segundo orden 12 1 - - -.,__+--+--- + - - - - + - - -- + - - - - +- - - - - - l ------- -- ---- Un ejemplo de sistema de segundo orden es el del motor de continua. Sobre e l esquema representado en la Fig. 4.9 podemos hacer las siguientes consideraciones : Siendo Ir constante, el par sólo depende de Iª (36) : T = KI · Ja te : ~; ¡.. p. 6.67 13. 3 TIEMPO 20 La ecuación mecánica del sistema es (37): Figura 4.14. Respuesta de sistema subamortiguado. d1 dee T = KH = J- - + f· - - ª dt dt Sus definiciones son las siguientes: La tensión inducida depende de la velocidad de giro (38) : Tiempo de crecim iento (te): es el tiempo que transcurre hasta que se alcanza por primera vez el valor final del de régimen permanente. Aplicando esta definición a la E = K2·w = K2 · - ecuación (29) se obtiene (30): dt 1..¡ l- ~ 2 La ecuación eléctrica del circuito de inducido es (39): t = · arctg ( - - - - e ú\,~ ~ diª V = R·I + L· - - +E Tiempo de pico (tP): es e l tiempo transcurrido hasta que ª dt se produce el primer sobreimpulso. Aplicando en (29) esta definición obtenemos (3 1): Las transformadas de Laplace de estas ecuacion es son (40, 41y42): 1t t = ---- T(s) = Kl ·Ia (s) = J-s 2 ·8 (s) + fs·e (s) = s (J-s + f} 8 (s) p Ú)n~ E(s) = K2 · w (s) = K2·s·8 (s) Sobreimpulso máx imo (S ): es el valor porcentual de sobrepasamiento con resp:cto al valor del régimen per- v(s) = R·Ia (s) + L·s·Ia (s) +E (s) manente. De (29) obtenernos (32): En la Fig. 4.15 se representa mediante bloques de qué s·n forma se relacionan todas las magnitudes: ~ Sp = K·e 2 3 5 Tiempo de establecimiento (te): es el tiempo transcurri- la 1/f e do hasta que la salida se encuentra dentro de la banda K1 1 + (J/f) s 1/S de ± 2% al ± 5% del valor final permanente. Su valor E aproximado, obtenido de la ecuación (29) , es (33) : 4 K2 Si disponemos de la respuesta indicia! del sistema y Figura 4.15. Diagrama a bloques del motor. sobre ella realizamos las medidas de los parámetros característicos señalados anteriormente, podemos calcu- El bloque l se caracteriza por la función de transferencia lar el amortiguamiento, pulsación natural y ganancia obtenida de la ecuación ( 42). El bloque 2 tiene como fun- aplicando las siguientes expresiones (34 y 35): ción de transferencia la constante propi a del motor K 1. El 1t par T obtenido co mo salida de este bloque se aplica al 3, que represen ta el efecto mecá nico dado por la ecuación (40). La velocidad angular obtenida a la salida (w) da lugar a la tensión inducida E, que se realimenta hacia la entrada (bloque 4 con ganancia K2). El bloque 5 representa el efec- to integrador que permite obtener la posición angular e a partir de w. Podemos observar que, al aparecer en la misma cadena los bloques 1 y 3, con términos en s los dos, la función de trans- ferencia total tendrá el término s 2 en el denominador. © /TES-PARANINFO  Una forma aproximada de identificar un sistema de 4.4.3. Parámetros característicos de grado mayor o igual a dos es considerar que está formado un proceso sobreamortiguado por varios sistemas de primer orden en serie, tantos corno sea n. De la curva de respuesta se obtienen Tu y T g y se En la práctica, los procesos que se desea controlar respon- puede aplicar la siguiente tabla para obtener el grado y la den en el tiempo a un escalón de entrada de forma parecida a constante de tiempo. como lo hace el sistema de segundo orden , aunque realmente sean de orden superior. Por ello interesa conocer, a pa11ir de la curva de respuesta, cuáles son las magnitudes dinámicas Ti/Tu T/t T/t n características de un proceso de este tipo. En la Fig. 4. 16 se 9.61 2.72 0.28 2 señalan los mismos. 4.448 4.69 0.80 3 4.13 4.46 1.42 4 2.44 5. 12 2. 10 5 2.03 5.70 2.81 6 1 1.75 6.23 4.55 7 02 ------------- ---------··· -------------··-·····----... ~r- - ----- - -------------- 1.56 6.71 4.30 8..... i 1.41 7.16 5.08 9 0 2' ---------- -- -------- -------------------;/.......:........................ 1.29 7.59 5.87 10 " Escalón Tabla4.1. de entrada Una vez obtenida 't, la función de transferencia aproxima- da es (43):.. / 13. 3 20 33.3 'º 1 Tu TA Tg ·, G(s) = ( - - ) " l+'t·s ,.; Figura 4.16. Respuesta de proceso sobreamortiguado. Si el sistema tiene un tiempo de retraso Tu muy grande y un tiempo de arranque muy pequeño será difícilmente regula- A partir de la curva, se traza una tangente para obtener la ble. Al variar la entrada , durante Tu no se produce casi ningu- pendiente máxima de la gráfica. La máxima pendiente es R = na variación de la salida, por lo que el regulador no actúa. Una 82 / T ,. Al tiempo que transcurre entre el instante en que apli- vez transcurrido Tu' la salida deseada se alcanzará en un tiem- camosg8 I (t) y el punto en el que dicha tangente corta al eje de po T A muy pequeño y será rebasado, porque el regulador no tiempos se le denomina tiempo de retraso (Tu). El tiempo T g responde lo suficientemente rápido. El resultado es una mala se denomina tiempo de regulación intrínseca o constante de regulación. tiempo de restitución y viene a seiialar el retraso del sistema por el efecto de almacenamiento (tiempo de capacidad). A partir de la relación entre Tu y TA se puede establecer el grado de dificultad que tiene un proceso para poder ser regu- Por último, si 82' es el valor que se desea que alcance la lado. Hasta 0,2 se puede considerar que tiene buena regulabi- salida cuando se está efectuando una regulación de este pro- lidad. En 0,4 estaría el límite a partir del que consideramos ceso, al tiempo que tardaría el proceso en alcanzar dicbo valor, que es malo para regularlo. suponiendo en todo momento un crecimiento lineal con máxi- ma pendiente R, se le denomina tiempo de arranque TA> siem- Puesto que TA depende del valor de ajuste que se desea pre que a la entrada apliquemos el máximo escalón posible. obtener a la salida, es posible que un proceso que sea mal Según sea el grado del sistema , así será la curva de res- regulable para dicho valor tenga buena regulabilidad para otro puesta. La Fig. 4.17 muestra una familia de estas curvas para valor distinto de ajuste. grados entre n=2 y n=7. ' 4.5. Otros tipos de sistemas Aparte de los sistemas de primer y segundo orden y orden superior ya comentados, con un comportamiento claramente exponencial , nos encontramos con procesos que responden a un escalón de forma diferente. Podemos destacar los siguien- tes casos: 1.- Comportamiento proporcional: Existe proporcionalidad entre la entrada y la salida, sin que Figura 4.17. Respuesta según el grado. exista retraso de ningún tipo (Fig. 4.18). © !TES-PARANINFO  Entrada y sa lid a a l s iste m a Entrad a y salida al sistem a r------1------+-------- 02(t ) t - - - - - - + - - - - - - - + - - - - - - - 0 1 (t ) TIEM PO TIE M PO Figura 4.18. Respuesta proporcional. Figura 4.20. Respuesta integral. La característi ca fu nda mental es la pendi ente de la rec ta de La característica fund ame ntal es la gananc ia (K). Ej empl os sa li da por cada unid ad de entrada (tiempo de integración). de s iste mas de este tipo son los procesos de caud al de líqui- dos, gases y vapores. U na dinamo tacométrica tambié n ti e ne Procesos de este tipo son los de ni ve l de líquido, pos icio- un comporta mi ento pro porc io nal. na mie nto ang ul ar o linea l, etc. La fu nción de transferencia es de la fo rm a (44): Este tipo de procesos no tienen regulación intrínseca, por lo que es imprescindible hacer uso de un regulador dentro de un bucle G(s) = K cerrado para que puedan fun cionar correctamente en la práctica. 2.- Com porta mi ento proporc io nal con tie mpo muerto: La fun c ió n de transferenc ia es de la fo rm a (46): K1 Es s imil ar al anteri o r, pero la sa lida respo nde a l cabo de un G(s) = - tiempo T 1, ta l como se muestra en la F ig. 4. 19. s 4.- Co mportami ento cuadrático: Entra d a y sa lid a al sist em a La sa lida crece con aceleración con stante (F ig. 4.2 1), es deci r, de pende de l tie mpo a l c uad rado. Entrada y salida al sistema 92(t) _ _....,._ _ _ _ _¡......_ _ _......¡ 02(t) l - - - - + - ---+-- - - - - f - -- - ---1ª ' (t) Tt TIEMPO Figura 4.19. Respuesta con tiempo muerto. TIEMPO Las características de su respuesta son la ganancia ( K) y e l Figura 4.21. Respuesta cuadrática. tiempo (T¡). Un proceso de este tipo, po r ej emplo, es una cinta transpo rtado ra. La medida se toma al fin al de la c inta mie ntras El contro l de rumbo y pos ición en av io nes, ve hícul os, bar- que el e le me nto fin al de control se encue ntra a l princ ipi o. cos, etc., es eje mpl o de s iste mas de este tipo. ' Durante el ti e mpo muerto T 1 e l regulado r no puede inte rve nir, A l ig ua l que los anteriores, n'? ti enen regul ac ión intrínseca. puesto que só lo después de este ti empo se mide la magnitud de sa lida. La fun ció n de tra nsferencia de un sistema de este tipo es de la fo rma (47): Los procesos que responden de la fo rma indicada en la Fig. 4.1 9 no se pueden regul a r, ya q ue TA = O y res ulta un grado de K G(s) = - difi cultad T/T A infi nito. s2 La fun ció n de transferenc ia es de la fo rma (45): G(s) = K ·e-s T, 4.6. Ejercicios resueltos 3.- Comporta mi ento integra l: 1. Para controlar la velocidad de un motor de corriente con- La salid a crece linea lm e nte co n e l tie mpo a pa rtir de l tinua con imán permanente se utiliza un amplificador a in stante e n que se apli ca la e ntrada, co mo se mu estra e n la cuya entrada aplicamos la seí'íal de error obtenida como Fig. 4.20. diferencia entre consigna y medida (Fig. 4.22). © /TES-PARANINFO  El efecto de la realimentación negativa es el de una pérdi- y Velocidad da de ganancia a cambio de ganar en precisión y estabilidad. AMPLIFICADOR 1 - - - - + I MOTOR M 2. Para medir la temperatura de un horno se utiliza un ter- Transductor y mopar cuya tensión de salida se incrementa en 0,(J4 111 V acondicionador por ºC. Debido a la inercia térmica de la vaina metáli- ca que lo pmtege, el régimen permanente tarda 25 s en alcanzarse. Si el termopar se intmdujera de repente en Figura 4.22. Control de velocidad. el hamo con una temperatura estable de 300 ºC. ¿cómo evolucionaría la tensión de salida del termopar? El conjunto a111plificador/111otor tiene una fi111ció11 de transferencia pmporcional, de valor: K = 600 rpm/v Solución: El sistema de medida también responde de forma pm- Un sistema térmico se puede aproximar a uno de primer porcional y sufimción de transferencia es: orden. La ganancia viene dada por la proporción entre salida H = 3 mv / rpm y entrada (K = 0,04 mV / ºC) y la constante de tiempo deter- mina la rapidez en su evolución temporal, de forma que al Obtener la fimción de transferencia del sistema reali- cabo de 25 s alcanza el régimen permanente, por lo que 1: = 5 s. mentado. La expresión de G(s) será: 0,004 G(s) = Solución: 1+5·s Al aplicarle al termopar un escalón de temperatura de La función de transferencia del sistema es (48): aproximadamente 300ºC, la salida evolucionará según V expresa la ecuación ( 1O) del apartado 4.2, siendo K = 0,04, G=- PC 81 =300y-r=5: Se cumplen las siguientes relaciones (49, 50 y 51 ): v = K·8 l ·(l-e-t11 ) = 0,04· 300·( l -et15 ) = 12 ( 1-e-t15 )m V M La curva de variación viene dada en la Fig. 4.23. H=- v V K=- e v(mV) 12¡-----------¡------====:::¡:::========~==¡ e= PC - M De (50) despejamos e y sustituimos en (51) con lo que tenemos (52): V -=PC-M """" ---------~1¡------------ """""" K De (49) despejamos M y sustituimos en (42) con lo que lle- 6 / gamos a (53): V -=PC-H·v K Multiplicando los dos mi«mbros de la igualdad por k y 01-------+-----'---------'------______, agrupando términos de v tenemos (54): o 10 20 30 T=5S Tiempo(s) V = K. PC - K. H. V v + K · H · v = K · PC Figura 4.23. Respuesta del termopar. v (l+K:H) = K · PC La función de transferencia del sistema será la siguiente (55): K G=-- l+K·H 3. La Fig. 4.24 muestra la respuesta indicia! de un sistema. Sustituyendo los valores de cada bloque, tenemos: Obtener lafúnción de transferencia, la e.\p¡·esión de 82(t) y qué tiempo se emplea en alcanzar el 10% de la salida en 600 rpm/V régimen permanente. G= = 214 rpm/V 1+600·0,03 ©!TES-PARANINFO  Salida 0,8 8 - - = l-e-t1120 6 / V - i--- 8 e-t1 120= l-0,1=0,9 s / t - - - = ln0,9 V 120 I t = -120· In 0,9 = 12,6 s 3 / Es decir, a los l 2,6 s desde que se aplica el escalón a la 2 / entrada, la salida alcanza el valor 0,8. 1 / o / 4. En el sistema de la Figura 3.26 la válvula de entrada pro- o 100 zoo JOO 400 500 600 Tiempo(s) duce una variación de 40 lis por cada voltio aplicado (vJ. Figura 4.24. Respuesta indicia!. ve vh Solución: Según vimos en el apartado 4.2, Fig. 4.5, la constante de tiempo 't es el tiempo transcurrido para que la salida alcance el 63% de su valor final. qe 8. ----8 ---- Salida K=8 h / --- / A 63% :/ -----~ I v¡ 3 / Figura 4.26. Control de nivel. / El área del depósito es A = 2m 2 y la resistencia hidráu- / lica de evaluación es R = 20 ml(m 3/s). El transmisor junto con el indicador de nivel dan lugar a una tensión o / de salida de 0,4 V por cada metro de altura. Se pide: o 100 !~' 200 JOO 400 500 Tiempo(s) 600 ' Y\ 't=l20s a) Diagrama a bloques del sistema con los parámetros característicos de cada bloque y fimción de transfe- Figura 4.25. Obtención de 1. rencia G=v/vc. b) Dibt!iar la respuesta temporal indicando valores, Por el punto 5,04 (63% de 8) trazamos una línea y por para una entrada en escalón de 5 V donde c01ia a la curva trazamos una perpendicular al eje de tiempos, obteniendo 't 120 s. Para realizar un control del nivel se decide utilizar un regulador proporcional con ganancia KR = JO, Suponiendo que se ha aplicado un escalón unitario a la montando el sistema en lazo cerrado. Se pide: entrada, la ganancia será de k = 8. c) La constante de tiempo y la ganancia del sistema. La función de transferencia será: d) La cw11a de variación de v¡,(t) si se aplica un escalón K 8 G(s) = - - = - - - de tensión de JO V 1+1·s l+l20·s e) Si una vez alcanzada la altura de 5 m se produce un La expresión de 82(t) según la ecuación (10) del apartado corte en la conexión entre la salida del regulador y la 4.2 es: válvula de control, ¿de qué forma variará v¡,(t)? 82(t) = 8 · (1-e-t1 12º) El 10% del valor en régimen permanente corresponde a 0,8. Sustituyendo este valor en la ecuación anterior podemos Solución: despejar t: a) El sistema podemos representarlo de la forma indicada 0,8 = 8 · (l-e-t1 12º) en la Fig. 4.27. ©!TES-PARANINFO  vh(t) Decir de qué tipo es, cuáles son sus parámetros carac- 6 terísticos y dibujar la respuesta indicia/. // / -- --- Solución: 5 11 Se trata de un s istema de segundo orden porque aparece un término de s 2. Podemos poner G de la forma indicada en la / expresión (23): / 100 / 100 G = ---- IOOs 2 + 1 l 00 1 100 1 o / - - s2+ - - s2+ - o 7º 1:=9.5s 20 30 10 Tiempo(s) 5o lOO 100 identificando los términos de dicha expresión tenemos que: lOO 2·)'.:·(ú '? 11 =o Figura 4.31. Evolución temporal. 1 (0 2= - - La variación de v11 (t) será de la forma indicada en la Fig. 4.32. 11 100 K · co,~ = 1 Por lo tanto es un sistema con amortiguamientos= O, pul- sación natural co 11 = O, l rad/s y K = l/co 11 2 = 1OO. 63% La salida 82(t) para una entrada en escalón es la que se indica en la Fig. 4.1 O. 6. Un sistema responde ante un escalón como indica la Fig. 4.16, siendo T11 = 4, 6 s y Tg = 13,8 s. Obtener la fun ción de transferencia aproximada. ?'º T=4ÜS 160 Tiempo(s) 200 Solución: Figura 4.32. Evolución temporal. El cociente entre Tg y Tu nos da aproximadamente el grado del mismo: Se trata de una variación exponencial cuya expresión mate mática es de la forma: Tg = ~= 3 v11 (t) = 2 · e -t14 o Tu 4,6 NOTA: La respuesta indicia! de un sistema de primer orden n =4 siempre es exponencial y obedece a la ecuación genérica: De la tabla l dentro del apartado 4.4.3 obtenemos 't: y = VF + (V 1 -VF) · e -t!T Tº - º =4,46 donde: 't y = salida del sistema. T 13 ,8 0 't =- - "' = - - = 3 l s V F = valor final que se alcanza en el régimen perma- 4 ,6 4 ,46 , nente. La función de transferencia será: V 1 = valor inicial de partida de y en el momento en que se produce el escalón a la entrada. 1 G(s)=( )4 Para el caso anterior V F = O, V 1 = 2, por lo que: 1+3, ls vh (t) = O + (2-0)·e-t/40 = 2 · e-t/40 Corresponde a cuatro sistemas de primer orden conectados en sene. 5. la fúnción de transferencia de 11n sistema es de la.forma: G = 100 7, El sistema de control de temperatura de la Fig. 4.33 se lOOs 2 + 1 emplea para calentar el c11e1po e dentro de un molde ¡\1. © !TES-PARANINFO  i -- - - ~- -- - -- --!:~ La función de transferencia de este bloque será: G = KM 50 M l+ M·s l+ l Os [;J Cuerpo C: se trata también de un sistema térmico de '" ffi-G_i primer orden en el que la ganancia vale kc = O, 7 y la constante de tiempo podemos obtenerla sabiendo que 5't.c es aproximadamente 15 s, por lo que =3 s y la e función de transferencia completa: 0,7 ¡Consigna l+3s Figura 4.33. Control de temperatura. Medida: H = 5 · l0- 3V/ºC La temperatura Te aumenta en O, 7 ºC por cada ºC de aumento de ~11, registrándose este cambio al cabo de 15 s. El sistema realimentado tiene una ganancia directa: La temperatura del molde TMcambia en 0,5 ºC por cada 50 0,7 280 1O m V aplicados a la válvula de control. Este cambio se K=KR·GM·Gc= 8 · l+lüs. l+3s (l+l0s)(l+3s) registra con una variación inicial de 5ºC / s por voltio aplicado. La función de transferencia del sistema realimentado será: 280 El elemento de medida tiene un comportamiento propor- (l+l0s)(l+3s) cional y entrega una tensión de 5mv /ºC. El controlador también es proporcional y su ganancia es de valor 8: 280 3 l+ (1+10s)(l+3s). 5 ·I0- Se pide: 280 280 a) Función de tramferencia. ( 1+1Os)(1+3s)+280·5· 1o- 3 (1+1 Os)(l +3s)+ 1,4 b) Pulsación natural, coeficiente de amortiguamiento y 280 280 9,3 ganancia. 1+3s+10s+30s2+ 1,4 30s2+13s+2,4 s2+0,4s+8· I0-2 c) ¿De qué forma varía la temperatura Te cuando apli- b) A partir de la expresión (23) obtenemos las siguientes camos 4 V por la entrada de consigna? igualdades: oY,. = 8· 10-2 2-~-co =O ' 4 Solución: ':> n K·co; = 9,3 a) El diagrama a bloques del sistema es el de la Fig. 4.34. Operando con estas expresiones obtenemos finalmente: con= 0,28rad/s s= 0,71 CONTRO- CUERPO K= 116 LADOR c b) Se trata de un sistema subamortiguado y responde a la vM ecuación (29) por cada voltio aplicado a la entrada. Haciendo uso de un programa de simulación, tal como el ce, podríamos '--~~~~~~~¡MEDIDA¡+-~~~~~~~ obtener fácilmente el trazado de la respuesta Tc(t). La Fig. 4.35 muestra esta curva. Figura 4.34. Diagrama a bloques. CURVA DE RESPUESTA Las funciones de transferencia de cada bloque son: ºC Controlador: KR = 8... Sobreimpulso ------~~? ----------------------------t_;;;y···------------------ -··r······-- Válvula-molde: se trata de un sistema térmico de pri- ~ i i mer orden en el que la ganancia es KM= 0,5 ºC / l O m V 90 / = 50 ºC / V; y la constante de tiempo, según la expre- sión (l l) del apartado 4.2, podemos obtenerla a partir del valor de la pendiente inicial, es decir: 30 / 1 K · v · - - = 5ºC/s e 't M ºo,.../ ______,, ,..,_______,l____ 20 : _,,.TIEMPO(s) Tiempo e Tiempo de 50ºC/V·lV crecimiento establecimiento 'tM = = lOs 5 Figura 4.35. Curva de respuesta. ©!TES-PARANINFO  En esta curva apreciamos que el reg1men permanente S ing le, Gi: Aparece la función en forma de coc iente de alcanzado es de unos 115 ºC, que se alcanza por primera vez polinomios. a los 11 ,3 s y que se estab lece definitivamente a los 21 ,4 s Unitary, Gi: Lo mismo de antes, pero haciendo que los aproximadamente. coeficientes del término de mayor grado de s sean uni- tarios. 4.7. Resumen de comandos CC 3. Análisis temporal Vamos a comentar brevemente los coma ndos del programa ce para el análisis tempora l de sistemas. Los comandos para e l anál isis temporal son los sigu ientes: El CC es un paquete de análisis de sistemas de control asis- ILT, Gi: Permite obtener la transformada inversa de Gi. tido por computador (CACSD). El paquete se compone de La Gi debe incluil· la transformada de la entrada al s is- una seri e de programas, cada uno de los cua les sirve para tema (si la entrada es un escalón unitario, deberemos resolver una determinada tarea. Existen cuatro niveles que multiplicar la función de tra nsferencia del s istema por agrupan a los diversos comandos: CC, STATE, DATA y 1/s). MACRO. TIME, Gi , tipo, auto: Nos dibuja en pantalla la res- De momento, nos centramos en el nivel CC. Dentro de este puesta temporal del sistema cuya función de transfe- nivel existen dos modos, el analógico y el digital. E l presen- rencia es Gi. El parámetro " auto" permite dibujar las te resumen hace referencia al modo continuo o ana lógico, en esca las ,