B.S.A. - 7 Exam Notes PDF

B.S.A. – 7 19.11.2020 Problematica proiectării S.R.A. Etape: Analiza de proces Alegerea, dimensionarea și poziționarea traductoarelor și elementelor de execuție Construcția modelului matematic prin:...

B.S.A. – 7 19.11.2020 Problematica proiectării S.R.A. Etape: Analiza de proces Alegerea, dimensionarea și poziționarea traductoarelor și elementelor de execuție Construcția modelului matematic prin: - modelare - identificare experimentală Stabilirea cerințelor de performanță – Criterii – Indicatori Alegerea metodei de proiectare: - alegerea și acordarea regulatoarelor convenționale, pentru structuri de reglare cu unul sau/și cu două grade de libertate - sinteza exactă, bazată pe model matematic → strategia de conducere / structura S.R.A. Verificarea și validarea în mediu simulat a strategiei de conducere Implementarea strategiei de conducere pe un suport hardware Validarea soluției pe proces Proiectarea S.R.A. → un proces iterativ și interactiv Criterii de performanță 𝜎 ≤ 𝜎0 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑜 𝑡𝑐 ≤ 𝑡𝑐𝑜 ⇒ criterii locale → comportament în raport cu semnale exogene bine definite 𝜀𝑠 𝑡 ≤ 0 {𝜀𝑣 ≤ 𝜀𝑣𝑜 Criterii integrale ∞ ∞ ∞ 𝐼1 = ∫0 𝜀 2 (𝑡) 𝑑𝑡 , 𝐼2 = ∫0 |𝜀(𝑡)| 𝑑𝑡 , 𝐼3 = ∫0 𝑡 |𝜀(𝑡)| 𝑑𝑡 ‖ ∞ ∞ 𝐼4 = ∫0 [𝜀 2 (𝑡) + 𝜚𝑢2 (𝑡)] 𝑑𝑡 ; 𝐼5 = ∫0 (𝑥 2 𝑄𝑥 + 𝑢𝑇 𝑅𝑢) 𝑑𝑡 ; ∞ sau 𝐼 = 𝐼𝑓 (𝑥𝑓 ) + ∫0 𝐿(𝑥, 𝑢, 𝑡) 𝑑𝑡 Structuri de reglare a) V(s) ℇ(𝑠) u(s) 𝐻𝑅 (𝑠) 𝐻𝑝 (𝑠) Y(𝑠) R(𝑠) - 1 ℇ(𝑠) = 𝑆(𝑠) ∙ 𝑅(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) 1+𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 𝐻𝑅 (𝑠) 𝐻𝑝 (𝑠) ∙ 𝐻𝑅 (𝑠) 𝑈(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) − ∙ 𝑉(𝑠) 1 + 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 1 + 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 𝐻𝑝 (𝑠) 𝑌(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) + ∙ 𝑉(𝑠) 1 + 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 1 + 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 1 𝐻𝑝 (𝑠) ℇ(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) − ∙ 𝑉(𝑠) { 1 + 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 1 + 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 1 𝐻𝑑 (𝑠) 𝑆(𝑠) = ; 𝑇(𝑠) = 1+𝐻𝑑 (𝑠) 1+𝐻𝑑 (𝑠) 𝑯𝒅 (𝒔) = 𝑯𝑹 (𝒔) ∙ 𝑯𝒑 (𝒔) Obiective: - urmărirea referinței - rejecția perturbației  Un singur grad de libertate → dificil de realizat ambele obiective   𝑆(𝑠) joacă un rol esențial pentru obținerea performanțelor dorite ∞ ∞ 1 𝐼 = ∫ 𝜀 2 𝑑𝑡 = ∫ |𝐸(𝑗𝜔)|2 𝑑𝜔 2𝜋 0 −∞ 𝑟′ r 𝑊1 (𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝑆(𝑠) ∙ 𝑅(𝑠) → Pentru ‖𝑟 ′ ‖∞ ≤ 1 → 𝑅(𝑠) = 𝑊1 (𝑠) 𝑅′ (𝑠) → 𝐸(𝑠) = 𝑆(𝑠) ∙ 𝑊1 (𝑠) 𝑅′ (𝑠) 1 ∞ 𝐼= ∫ | 𝑆(𝑗𝜔) ∙ 𝑊1 (𝑗𝜔) 𝑅′ (𝑗𝜔) |2 𝑑𝜔 → ‖𝑺𝑾𝟏 ‖∞ < 𝟏 2𝜋 −∞ 𝑊1 (𝑠) – caracterizează clasa mărimilor exogene b) Structură de reglare cu 2 grade de libertate V(s) U(s) Y(𝑠) 𝐻𝑅2 (𝑠) 𝐻𝑅1 (𝑠) 𝑃 𝐻𝑝 (𝑠) R(𝑠) - sau V(s) U(s) 𝐻𝑝 (𝑠) Y(𝑠) 𝐻𝑅1 (𝑠) + R(𝑠) + 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠 - 𝐻𝑅2 (𝑠) ‖𝑈(𝑠) = 𝐻𝑅1 (𝑠) ∙ 𝑅(𝑠) - 𝐻𝑅2 (𝑠) ∙ 𝑌(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐻𝑝 (𝑠) ∙ [ 𝑣(𝑠) + 𝑈(𝑠)] = 𝐻𝑝 (𝑠)[ 𝑣(𝑠) + 𝐻𝑅1 (𝑠) 𝑅1 (𝑠) − 𝐻𝑅2 (𝑠) 𝑌(𝑠) ] sau 𝑌(𝑠) [ 1 + 𝐻𝑝 (𝑠) ∙ 𝐻𝑅2 (𝑠) ] = 𝐻𝑝 (𝑠) ∙ 𝑣(𝑠) + 𝐻𝑅1 (𝑠) 𝐻𝑝 (𝑠) ∙ 𝑅(𝑠)  𝑯𝑹𝟏 (𝒔) 𝑯𝒑 (𝒔) 𝑯𝒑 (𝒔) ‖𝒀(𝒔) = ∙ 𝑹(𝒔) + ∙ 𝑽(𝒔) 𝟏+𝑯𝒑 (𝒔)∙ 𝑯𝑹𝟐 (𝒔) 𝟏+𝑯𝑹𝟐 (𝒔) ∙ 𝑯𝒑 (𝒔) Urmărirea referinței se poate controla prin blocul de reglare 𝐻𝑅1 (𝑠) Rejecția perturbației se poate controla cu ajutorul blocului de reglare 𝐻𝑅2 (𝑠) Se realizează prelucrarea diferențiată a referinței și a ieșirii prin intermediul celor două blocuri de reglare 𝐻𝑅1 (𝑠) și 𝐻𝑅2 (𝑠) 𝐻𝑅1 𝐻𝑝 𝐻𝑝 𝜀(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝑌(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝑅- 𝑉 1+ 𝐻𝑝 𝐻𝑅2 1+ 𝐻𝑅2 𝐻𝑝 sau 1 +(𝐻𝑅2 − 𝐻𝑅1 ) 𝐻𝑝 𝐻𝑝 ‖ 𝜀(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) − ∙ 𝑉 1+ 𝐻𝑝 𝐻𝑅2 1+𝐻𝑅2 𝐻𝑝 c) Reglarea în cascadă 𝑣1 𝑣2 R(𝑠) ℇ 𝑈2 𝑈1 𝐻𝑅2 𝐻𝑅1 𝐻𝑃1 𝐻𝑃2 Y(𝑠) - - Proces decompozabil Variabile intermediare măsurabile Perturbații dominante compensate prin bucla interioară Dinamica buclei interioare mai mare de (3-4) ori decât bucla principală Viteza de răspuns superioară Precizie mai bună Grad de stabilitate mai mare  d) Reglarea combinată – (Feedforward Control + Feedback Control) Perturbație dominantă măsurabilă Bloc pentru compensarea perturbației înainte de a modifica ieșirea măsurată V(s) 𝐻𝑅𝑣 + Y(𝑠) - 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠 𝐻𝑅 (𝑠) 𝐻𝑃1 (𝑠) 𝐻𝑃2 (𝑠) R(𝑠) - 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑃1 (𝑠) 𝐻𝑃2 (𝑠) 𝐻𝑃2 (𝑠)− 𝐻𝑅𝑣 (𝑠) 𝐻𝑃1 (𝑠)𝐻𝑃2 (𝑠) 𝑌(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) + 𝑉(𝑠) [ ] 1+𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑃1 (𝑠) 𝐻𝑃2 (𝑠) 1+𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 𝐻𝑃2 (𝑠)− 𝐻𝑅𝑣 (𝑠) 𝐻𝑃1 (𝑠) 𝑌(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) + [ ] ∙ 𝑉(𝑠) 1 + 𝐻𝑅 (𝑠) + 𝐻𝑝 (𝑠) 1+𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) Pentru a anula efectul perturbației la ieșire se poate alege: 1 𝐻𝑅𝑣 (𝑠) = 𝐻𝑃1 (𝑠) În cadrul acestor structuri convenționale de reglare selectate în funcție de particularitățile procesului condus, identificate în faza de analiză a procesului, pot fi alese strategii de reglare convenționale de tip PID.  Alegerea și acordarea regulatoarelor convenționale Procese pot fi lente sau rapide, caracterizate prin modele matematice care evidențiază poli în semiplanul stâng (procese stabile) poziționați mai aproape sau mai departe de axa imaginară. Cu cât polii sunt mai depărtați de axa imaginară (de origine în cazul polilor reali) constantele de timp ale procesului sunt mai mici, dinamica procesului este ridicată (viteză de răspuns mare).  𝑘𝑝 a) 𝐻𝑝 (𝑠) = 𝑛 ; 𝑇𝑘 – constante de timp dominante ∏1 (𝑇𝑘 𝑠+1) (𝑇Σ 𝑠+1) 𝑇Σ – suma tuturor constantelor de timp Model pentru procese rapide parazite (foarte mici) 𝑻𝚺 ≪ min (𝑻𝒌 ) 𝑘𝑝 𝑒 −𝜏𝑠 𝑘𝑝 𝑒 −𝜏𝑠 b) 𝐻𝑝 (𝑠) = sau 𝐻𝑝 (𝑠) = 𝑇p 𝑠+1 𝑠 (𝑇p 𝑠+1) 𝑇𝑝 ≥ 10 𝑠𝑒𝑐. ; 𝜏 − timp mort 𝑘𝑝 Model aproximativ Răspuns supraamortizat cu 1 întârziere Model de fază neminimă 𝜁 𝑇𝑝 𝑡 𝑘𝑝 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝐾𝑝 𝐻𝑝 (𝑗𝜔) = → |𝐻𝑝 (𝑗𝜔) | = = 𝐴(𝜔) 𝑇p 𝑗𝜔+1 √1+𝑇𝑝2 𝜔2 𝜑(𝜔) = − 𝜔𝜏 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝜔𝑇𝑝 ‖ 𝜑(𝜔) → −∞ , 𝑖𝑎𝑟 𝜔 → ∞ Criteriul modulului – Varianta Kessler 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) 𝑇(𝑗𝜔) ≡ 𝐻𝑜 (𝑗𝜔) = 1+𝐻𝑑 (𝑗𝜔) 𝐻𝑜 (𝑗𝜔) = |𝐻𝑜 (𝑗𝜔) | ⋅ 𝑒 𝑗𝜓(𝜔) = 𝑀(𝜔) ⋅ 𝑒 𝑗𝜓(𝜔) 𝑀(0) = 1 → 𝜀𝑠 𝑡 = 0 𝑀(𝜔) 𝑀(𝜔) 𝑀(𝑜) 𝑢 𝜔 𝑀′′ (𝜔) 𝑀(𝜔) = 𝑀(𝑜) + 𝑀′ (𝜔)|𝜔=0 ⋅ 𝜔 + | ⋅ 𝜔2 +...... 𝑧! 𝜔=0 𝑀(𝑜) = 1 𝑀̇(𝑜) = 𝑀̈(𝑜) = ….. 𝑀(𝑛) (𝑜) = 0 V(s) ℇ u 𝐻𝑅 (𝑠) 𝐻𝑝 (𝑠) Y R - 𝑘𝑝 𝐻𝑝 (𝑠)= ∏𝑛(𝑇 1 𝑘 𝑠+1) (𝑇Σ 𝑠+1) ∏𝑛 1 (𝜃𝑖 𝑠+1) 𝐻𝑅 (𝑠) = → 𝐻𝑑 (𝑠) = 𝐻𝑅 (𝑠) ⋅ 𝐻𝑝 (𝑠) 𝜃𝑠 𝑘𝑝 ∏𝑛 1 (𝜃𝑖 𝑠+1) 𝐻𝑑 (𝑠) = ⋅ ∏𝑛 𝜃𝑠 1 (𝑇𝑘 𝑠+1)⋅(𝑇Σ 𝑠+1) 𝜃𝑖 = 𝑇𝑘 , 𝜃 = 2𝐾𝑝 𝑇Σ 1 𝐻𝑑 (𝑠) = 2𝑇Σ 𝑠 (𝑇Σ 𝑠+1) 1 𝜔𝑛 2 𝐻o (𝑠) = ≡ 2𝑇Σ 2 𝑠 2 + 2𝑇Σ 𝑠+1 𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2 1 1 √𝟐 unde : 𝜔𝑛 2 = 2 , 2𝜉𝜔𝑛 = →𝝃= 2𝑇Σ 𝑇Σ 𝟐 Performanțele se calculează pe baza relațiilor: 𝜋 −𝜉 √1−𝜉2 4 𝜎=𝑒 , 𝑡𝑡 ≅ 𝜉𝜔𝑛 𝜎 = 4.3% , 𝑡𝑡 = 8𝑇Σ 1 Ex. 𝐻p (𝑠) = (8𝑠+1)(0.1𝑠+1) ← V n 1 10 Y(s) 𝑠 8𝑠 + 1 - 10 𝐻1 (𝑠) 𝐻2 (𝑠) 𝑌s 1 0.1 𝐻1 (𝑠) = 1 = = 1+ ∙10 𝑠+10 0.1𝑠+1 𝑠 10 𝐻2 (𝑠) = 8𝑠+1 Se cere algoritmul de reglare a.î. răspunsul indicial să fie caracterizat prin: 𝜎 ≤ 5% 𝑡t ≤ 1𝑠 𝜀𝑠 𝑡 = 0 Soluție: Se alege un algoritm 𝑃𝐼 𝜃1 𝑠+1 𝐻R (𝑠) = → 𝜃1 = 8s , 𝜃 = 2𝑘𝑝 ⋅ 𝑇Σ = 0.2 𝜃𝑠 8𝑠+1 1 1 𝐻d (𝑠) = 𝐻R (𝑠) 𝐻p (𝑠) = ⋅ (8𝑠+1)(0.1𝑠+1) = 0.2𝑠 0.2𝑠 (0.1𝑠+1)  1 𝜔𝑛 2 𝐻o (𝑠) = ≡ 0.02𝑠 2 +0.2𝑠+1 𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2 𝜔𝑛 2 = 50 10 √2 2𝜉𝜔𝑛 = 10 → 𝜉 = = 2√50 2 𝜎 = 4.3% ‖ 𝑡𝑡 = 8𝑇Σ = 0.8𝑠 Pentru procese descrise de modele de forma : 𝐾p 𝐾p 𝐻p (𝑠) = sau 𝐻p (𝑠) = ∏𝑛 𝑠(𝑇Σ 𝑠+1) 1 𝑇𝑘 𝑠⋅(𝑇Σ 𝑠+1) se recomandă algoritmi de reglare de forma : (𝜃𝑐 𝑠+1)𝑛 𝐻R (𝑠) = 𝜃𝑠 Dacă se aleg parametrii 𝜃𝑐 și 𝜃 astfel : 𝜃𝑐 = 4𝑛𝑇Σ | 𝜃𝑐 𝑛 𝜃 = 2𝐾p 𝑇Σ ⋅ 𝑛 ∏1 𝑇𝑘 se poate obține funcția de transfer a căii directe : 4𝑇Σ 𝑠+1 𝐻d (𝑠) = pentru 𝑛 = 1 ș𝑖 𝑇Σ = 1𝑠 8𝑇Σ 2 𝑠 2 (𝑇Σ 𝑠+1) și 4𝑇Σ 𝑠+1 4𝑇Σ 𝑠+1 𝐻o (𝑠) = ≡ 2 2 8𝑇Σ 𝑠 + 8𝑇Σ 2 𝑠 2 + 4𝑇Σ 𝑠+1 3 3 (4𝑇Σ 𝑠 +2𝑇Σ 𝑠+1) (2𝑇Σ 𝑠+1) sau 𝜔𝑛 2 4𝑇Σ 𝑠+1 𝐻o (𝑠) = ⋅ 𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 1 2𝑇Σ 𝑠+1 unde : 1 𝜔𝑛 2 = 4𝑇Σ 2 1 2𝜉𝜔𝑛 = → 𝜉 = 0.5 2𝑇Σ 𝜔𝑛 2 𝑝 𝑠+𝑍 𝐻o (𝑠) = ⋅ ⋅ 𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2 𝑍 𝑠+𝑝 1 1 𝑍=− , 𝑝=− 4𝑇Σ 2𝑇Σ Sistemul este de tip 2 → 𝜀𝑠 𝑡 = 0 ș𝑖 𝜀𝑣 = 0 pentru intrare de tip rampă. Alegerea și acordarea regulatoarelor pentru procese lente 𝐾𝑝 𝑒̅ 𝜏𝑠 𝐻p (𝑠) = 𝑇𝑝 𝑠+1 1 𝐻R (𝑠) = 𝐾R (1 + ) 𝑇𝑖 𝑠 Parametrii de acord se determină pe baza rezultatelor identificării experimentale 𝐾R = 𝑓1 (𝐾p , 𝑇p , 𝜏) 𝑇i = 𝑓2 (𝐾p , 𝑇p , 𝜏) sau pe baza unor mărimi caracteristice pentru care S.R.A. se află la limita de stabilitate. a) Criteriul Ziegler - Nichols 1.2 0.6 𝜏 𝐾R = 𝐾R 𝑇d = 𝐴 𝐴 𝐾R 0.6 = → amortizare în sfert de amplitudine 𝑇i 𝐴⋅𝜏  𝑦 𝑘𝑝 𝐴 𝜏 𝑇𝑝 𝑡 b) Metoda limitei de stabilitate 𝑇𝑖 → ∞ , 𝑇𝑑 → 0 Se crește 𝐾𝑅 până se atinge limita de stabilitate 𝐾𝑅 = 𝐾𝑅0 și 𝑇0 – perioada oscilațiilor Se determină 𝐾𝑅𝑜𝑝𝑧 , 𝐾𝑖𝑜𝑝𝑡 , 𝐾𝑑𝑜𝑝𝑡 𝐾𝑅𝑜𝑝𝑡 = 0.6 𝐾𝑅𝑜 𝐾𝑅 1.2 𝐾𝑅𝑜 𝐾𝑖 = = 𝑇𝑖 𝑇0 { 𝐾𝑑 = 0.75 ⋅ 𝐾𝑅𝑜 𝑇𝑜 Ex. Reglarea turației unui motor de curent continuu u ue (TG)Ω Ω I  𝑑𝑖 𝑢𝐴 − 𝐾𝑒 Ω = L + 𝑅𝑖 𝑑𝑡 𝑑Ω { 𝐽 = 𝑘𝑚 𝑖 + 𝐶𝑟 𝑑𝑡 𝐶𝑟 + I(s) + 1 𝐾𝑀 1 𝑢𝐴 𝐿𝑠 + 𝑅 + 𝐽𝑠 - 𝐾𝑒 Ω (s) 𝐼(𝑠) 𝐿 𝑘𝑒 𝑘𝑚 𝑇1 = 𝑅 𝑈𝐴 = 𝐼 [𝐿𝑠 + 𝑅 + ] ; { 𝐽𝑅 𝐽𝑠 𝑇𝑚 = 𝑘𝑒 𝑘𝑚 1 𝑈𝐴 = 𝐼 [𝑇1 𝑠 + 1 + ]R ; 𝑇𝑚 ≫ 𝑇1 𝑇𝑚 𝑠 𝑈𝐴 𝑈𝐴 ≃ 𝑹 𝑰(𝒔)(𝑇1 𝑠 + 1) → 𝐼(𝑠) = 𝑅(𝑇1 𝑠+1) 1 𝐼(𝑠)  𝐻1 (𝑠): ≃ 𝑅 ≡ 𝑇1 𝑠+1 𝑈𝐴 (𝑠) Ω(𝑠) 𝑘2 𝑅  𝐻2 (𝑠) = = ; 𝑘2 = 𝐼(𝑠) 𝑇𝑚 𝑠 𝐾𝑒 𝑐𝑛 𝑘1 𝑘2 𝐻𝑅Ω (𝑠) 𝐻𝑅𝐼 (𝑠) (𝑇1 𝑠 + 1)(𝑇Σ 𝑠 + 1) 𝑇𝑚 𝑠 - - Ω 𝐻𝑇𝑖 𝐻𝑇Ω  𝑘𝑖 𝑘𝑛 ‖𝐻𝑇𝑖 (𝑠) ≃ , 𝐻𝑇Ω (𝑠) = 𝜏𝑖 𝑠+1 𝜏𝑛 𝑠+1 𝑘1 𝑘𝑖 𝑘1′ 𝐻𝑝1 (𝑠) = ⋅ = (𝑇1 𝑠+1)(𝑇Σ1 𝑠+1) 𝜏𝑖 𝑠+1 (𝑇1 𝑠+1)(𝑇Σ𝑖 𝑠+1) 𝑘1′ = 𝑘1 ⋅ 𝑘𝑖 𝑇Σ𝑖 = 𝑇Σ1 + 𝜏𝑖 𝜏𝑖 𝑠 + 1 𝐻𝑃2 (𝑠) 𝐻𝑃1 (𝑠) Ι 𝑘𝑖 - 𝜎 = 4.3% 𝜃1 𝑠+1 𝐻𝑃1 (𝑠) = 𝜃𝑠 ; 𝜃1 = 𝑇1 ⟹ { 𝑡t = 8𝑇Σ𝑖 𝜀𝑠 𝑡 = 0 𝜃 = 2𝑘1′ ∙ 𝑇Σ𝑖 + 𝜁𝑛 𝑠 + 1 𝐻𝑅Ω (𝑠) 𝐻𝑃2 (𝑠) ΙI Ω 𝑘𝑛 - 𝑘𝑛 𝜏𝑖 𝑠+1 𝑘2 1 𝑘𝑛 𝜏𝑖 𝑠+1 𝐻𝑃2 (𝑠) = 𝐻2 (𝑠) ∙ 𝐻𝑜1 (𝑠) ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ 𝜏𝑛 𝑠+1 𝑘𝑖 𝑇𝑚 𝑠 2𝑇Σ𝑖 𝑠+1 𝜏𝑛 𝑠+1 𝑘𝑖 1 1 𝐻𝑜1 (𝑠) = ≃ ; 𝑇Σ ≪ 1 2𝑇Σ2 𝑠 2 +2𝑇Σ𝑖 𝑠+1 2𝑇Σ𝑖 𝑠+1 𝑖 𝐾𝑃2  |𝐻𝑝2 (𝑠) = 𝑇 𝑚 𝑠(𝑇Σ2 𝑠+1) 𝑘2 𝑘𝑛  𝐾𝑃2 = ; 𝑇Σ2 = 2𝑇Σ𝑖 + 𝜏𝑛 − 𝜏𝑖 𝑘𝑖 𝜃𝑐 𝑠+1 𝐻𝑅 (𝑠) = 𝜃𝑠  𝜃𝑐 = 4𝑇Σ { 4𝑇𝛴 → conform criteriului simetriei 𝜃 = 2𝐾𝑃2 𝑇Σ2 ∙ 2 𝑇𝑚 4𝑇Σ2 𝑠 +1 1 𝐻𝑜 (𝑠) = 2 ∙ 4𝑇Σ2 𝑠 2 +2𝑇Σ2 𝑠+1 2𝑇Σ2 𝑠+1 sau 4𝑇Σ2 𝑠 + 1 1 4𝑇Σ 𝑠 + 1 8𝑇Σ2 𝑠 2 (𝑇Σ2 𝑠 + 1) - 1 𝐻𝑜′ (𝑠) = (4𝑇Σ22 𝑠 2 + 2𝑇Σ2 𝑠 + 1)(2𝑇Σ2 𝑠 + 1) Se elimină efectul nedorit al zeroului Proiectarea pe baza modelului matematic 𝑯𝐩 (𝒔) 𝐵p (𝑠) Date: - modelul procesului 𝐻p (𝑠) = 𝐴p (𝑠) - cerințe de performanță - tipul mărimilor exogene - constrângeri asupra comenzii 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈𝑎 Se cere algoritmul de reglare (strategia de reglare) 𝑄𝑅 (𝑠) 𝐻𝑅 (𝑠) = ? 𝑃𝑅 (𝑠) 𝑅(𝑠) 𝜀(𝑠) U(s) + 𝑄𝑅 (𝑠) 𝐵𝑝 (𝑠) 𝑃𝑅 (𝑠) 𝐴𝑝 (𝑠) - + Y (s)  𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝐵𝑝 Y(𝑠) = (𝑅 − 𝑌) + ∙ 𝑉(𝑠) 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝐴𝑝 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝐵𝑝 Y(𝑠) [1 + ]= 𝑅+ ∙ 𝑉(𝑠) 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝐴𝑝 sau 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝑃𝑅 ∗ Y(𝑠) = R(𝑠) + V(𝑠) 𝑃𝑅 𝐴𝑃 +𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝑃𝑅 𝐴𝑃 +𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝜀(𝑠) = 𝑅 − 𝜀− 𝑉 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝐴𝑃 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝜀(𝑠) [1 + ]=𝑅− 𝑉 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝐴𝑃 sau 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝑃𝑅 ∗ 𝜀(𝑠) = R- V 𝑃𝑅 𝐴𝑃 +𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝑃𝑅 𝐴𝑃 +𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝑄𝑅 U(𝑠) = [𝑅 − 𝑈(𝑠)] - ∙ 𝑉 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝐴𝑃 𝑃𝑅 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝑄𝑅 U(𝑠) [1 + ]= 𝑅− 𝑉 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝑃𝑅 sau 𝑄𝑅 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝑄𝑅 ∗ U(𝑠) = R- V 𝑃𝑅 𝐴𝑃 +𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝑃𝑅 𝐴𝑃 +𝑄𝑅 𝐵𝑃 ∗ 𝛼𝑐 (𝑠) = 𝑃𝑅 (𝑠) ∙ 𝐴𝑃 (𝑠) + 𝑄𝑅 (𝑠) ∙ 𝐵𝑃 (𝑠) admitem că toate raționalele care definesc evoluția mărimilor de calitate au singularități numai în ℂ− și sunt în forma minimală.  𝑌 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝑃𝑅 − 𝐵𝑃 𝑃𝑅 ] ∙ [𝑅 ] 1 [ ℇ ] = 𝛼 (𝑠) [ 𝑃𝑅 𝐴𝑃 𝑐 𝑉 𝑈 𝑄𝑅 𝐴𝑃 − 𝐵𝑃 𝑃𝑅 ̃ (𝒔) = 𝑯𝒐𝟏 (𝒔) ∙ 𝒘(𝒔) 𝒀 Proiectarea S.R.A. prin metoda alocării polilor  𝛼𝑐 (𝑠) = 𝑃𝑅 (𝑠) ∙ 𝐴𝑃 (𝑠) + 𝑄𝑅 (𝑠) ∙ 𝐵𝑃 (𝑠) 𝐴𝑃 (𝑠) și 𝐵𝑃 (𝑠) - date se cere determinarea polinoamelor 𝑄𝑅 (𝑠) și 𝑃𝑅 (𝑠). În cazul utilizării unui regulator cu 2 grade de libertate 𝑇(𝑠) 𝑆(𝑠) U(𝑠) = ∙ 𝑟(𝑠) - ∙ 𝑦(𝑠) 𝑅(𝑠) 𝑅(𝑠) se poate scrie polinomul caracteristic în funcție de polinoamele 𝑅(𝑠) și 𝑆(𝑠) 𝐵𝑃 (𝑠) 𝐵𝑃 (𝑠) 𝑇(𝑠) 𝑆(𝑠) Y(𝑠) = ∙ 𝑈(𝑠) = [ ∙ 𝑟(𝑠) − ∙ 𝑦(𝑠)] 𝐴𝑃 (𝑠) 𝐴𝑃 (𝑠) 𝑅(𝑠) 𝑅(𝑠) 𝐵𝑃 𝑆 𝐵𝑃 𝑇 y(𝑠) [1 + ]= 𝑟(𝑠) 𝐴𝑃 𝑅 𝐴𝑃 𝑅 𝐵𝑃 (𝑠) ∙ 𝑇(𝑠) y(𝑠) = 𝑟(𝑠) 𝐴𝑃 (𝑠) ∙ 𝑅(𝑠) + 𝐵𝑃 (𝑠) ∙ 𝑆(𝑠) 𝐘(𝒔) = 𝑯𝒐 (𝒔) ∙ 𝑹(𝒔) 𝐵𝑃 (𝑠) ∙ 𝑇(𝑠) ∗ 𝐻𝑜 (𝑠)= 𝐴𝑃 (𝑠) ∙ 𝑅(𝑠) + 𝐵𝑃 (𝑠) ∙ 𝑆(𝑠) Polii S.R.A. sunt determinați prin structura polinoamelor 𝑅(𝑠) ș𝑖 𝑆(𝑠) respectiv de valorile parametrilor 𝑎𝑖 și 𝑏𝑗. 𝑖 = 1, ….. , 𝑛 ; 𝑗 = 1, ….. , 𝑚  Zerourile S.R.A. sunt determinate de zerourile polinoamelor 𝑇(𝑠) și 𝐵𝑃 (𝑠) V(s) R(𝑠) u(s) Y(𝑠) 1 𝐵𝑃 (𝑠) 𝑇(𝑠) 𝑅(𝑠) 𝐴𝑃 (𝑠) - 𝑆(𝑠) 𝐵𝑚 (𝑠) 𝐻𝑜 (𝑠) ≡ 𝑯𝒐𝒎 (𝒔) = 𝐴𝑚 (𝑠) 𝜎 ≤ 𝜎𝑜 (𝜉𝑜 , 𝜔𝑛𝑜 ) 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) {𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑜 ⟹ → 𝐻𝑜𝑑 (𝑠) = 1+𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑝 (𝑠) 𝜀𝑠 𝑡 = 0 (𝐻𝑜𝑑 (𝑠)) 𝐻𝑜𝑑 (𝑠) Performanța → 𝐻𝑜 (𝑠) → 𝐻𝑅 (𝑠) = 𝐻𝑝−1 (𝑠) ∙ [ ] 1−𝐻𝑜𝑑 (𝑠) 𝐻𝑝 (𝑠) Ideal : 𝐻𝑅 (𝑠) ≡ 𝐻𝑝−1 (𝑠) ∙ 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 → [𝑃𝑒𝑟𝑓 → 𝐻𝑜𝑑 (𝑠)] Cerințe : { ∙ 𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 → 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑓𝑖𝑧𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑚𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎𝑟𝑒 2 𝜔𝑛𝑜 (𝜉𝑜 , 𝜔𝑛𝑜 ) → 𝐻𝑑 (𝑠) = 𝑠(𝑠+2𝜉𝑜 𝜔𝑛𝑜 ) 2 𝜔𝑛𝑜 𝐻𝑜𝑑 (𝑠) = 2 𝑠 2 +2𝜉𝑜 𝜔𝑛𝑜 +𝜔𝑛𝑜 𝐵𝑝 (𝑠) 𝐻𝑝 (𝑠) = → 𝑒𝑝 = 𝑃𝑝 - 𝑍𝑝 𝐴𝑝 (𝑠) 𝑄𝑜 (𝑠) 𝐻𝑜 (𝑠) = → 𝑒𝑜 = 𝑃𝑜 - 𝑍𝑜 𝑃𝑜 (𝑠)  𝒆𝒐 ≥ 𝒆𝒑 → 𝒆𝑹 = 𝑷𝒓 - 𝒁𝒓 𝐻𝑑 (𝑠) → 𝐻𝑜 (𝑠) → același exces poli - zerouri 𝑒𝑜 ≥ 𝑒𝑝 → condiția de realizabilitate a algoritmului de reglare 𝐻𝑑 (𝑠) 𝟏 𝑯𝒐 𝐻𝑅 (𝑠) = (𝑠) = (𝒔) ∙ 𝐻𝑝 𝑯𝒑 𝟏−𝑯𝒐 𝜔𝑛𝑜 𝑝 a) 𝐻𝑜𝑐 (𝑠) = 2 2 ∙ → |𝑝| ≫ 𝜉𝑜 𝜔𝑛𝑜 𝑠 +2𝜉𝑜 𝜔𝑛𝑜 𝑠+𝜔𝑛𝑜 𝑠+𝑝 𝐻𝑜𝑑 (𝑠) se îndeplinește condiția structurală fără degradarea performanțelor 𝑝 𝑠+𝑍 b) 𝐻𝑜𝑐 (𝑠) = 𝐻𝑜𝑑 (𝑠) ∙ ∙ 𝑍 𝑠+𝑝 cerință suplimentară de performanță tranzitorie afectată condiție structurală c) ∏𝑛 𝑃𝑘 ∏𝑚(𝑠+𝑍𝑖 ) ∗ ⬚ 𝐻𝑜𝑐 (𝑠) = 𝐻𝑜𝑑 (𝑠) ∙ 𝑚1 ∙ ∏1𝑛 ∏ 𝑖=1 𝑍𝑖 1 (𝑠+𝑃𝑘 ) 𝐻𝑜𝑐 (𝑠) 𝑯𝑹 (𝒔) = 𝐻𝑝−1 (𝑠) ∙ [ ] 1−𝐻𝑜𝑐 (𝑠) ---------------------------------------------- 𝐻𝑅 (𝑠) 𝑈(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) = 𝑄(𝑠) ∙ 𝑅(𝑠) 1+𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑃 (𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐻𝑝 (𝑠) ∙ 𝑈(𝑠) = 𝐻𝑝 (𝑠) ∙ 𝑄(𝑠) ∙ 𝑅(𝑠) 𝑯𝒐 (𝒔) = 𝑯𝒑 (𝒔) ∙ 𝑸(𝒔) 𝐻𝑅 (𝑠) 𝑄(𝑠) 𝑄(𝑠) = → 𝐻𝑅 (𝑠) = 1+𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻𝑃 (𝑠) 1−𝑄(𝑠) ∙ 𝐻𝑃 (𝑠)  𝑄(𝑠) = 𝐻𝑝−1 (𝑠) ∙ 𝐻𝑜 (𝑠) ideal 𝑯𝒐 (𝒔) = 𝟏 𝑄(𝑠) = 𝐻𝑝−1 (𝑠) 𝑘𝑝 𝑇𝑝 𝑠+1 𝑻𝒑 𝒔+𝟏 𝟏 1) 𝐻𝑃 (𝑠) = → 𝑄(𝑠) = → 𝑄𝑓 (𝑠) = ∙ 𝑇𝑝 𝑠+1 𝑘𝑝 𝒌𝒑 𝝉𝒇 𝒔+𝟏 𝑇𝑝 𝑠 + 1 1 ∙ 𝑄𝑓 (𝑠) 𝑘𝑝 𝜏𝑓 𝑠 + 1 𝐻𝑅 (𝑠) = = 1−𝑄𝑓 (𝑠) ∙ 𝐻𝑃 (𝑠) 𝑇𝑝 𝑠 + 1 1 𝑘𝑝 1 − ∙ ∙ 𝑘𝑝 𝜏𝑓 𝑠 + 1 𝑇𝑝 𝑠 + 1 𝑇𝑝 𝑠+1 𝐻𝑅 (𝑠) = → 𝑷𝑰 𝑘𝑝 𝜏𝑓 𝑠 𝑇𝑐 = 𝑇𝑝 ‖ 𝑇𝑝 𝑘𝑅 = 𝑘𝑝 𝜏𝑓 𝑘𝑝 (𝑇1 𝑠+1)(𝑇2 𝑠+1) 2) 𝐻𝑝 (𝑠) = (𝑇 → 𝑄(𝑠) = 1 𝑠+1)(𝑇2 𝑠+1) 𝑘𝑝 (𝑇1 𝑠+1)(𝑇2 𝑠+1) 1 𝑄𝑓 (𝑠) = 𝑄(𝑠) 𝐹(𝑠) = ∙ 𝑘𝑝 𝛼1 𝑠 2 +𝛼2 𝑠+1 𝑄𝑓 (𝑠) (𝑇1 𝑠+1)(𝑇2 𝑠+1) (𝑇1 𝑠+1)(𝑇2 𝑠+1) 𝐻𝑅 (𝑠) = = = 1−𝑄𝑓 (𝑠) ∙ 𝐻𝑃 (𝑠) 𝑘𝑝 [𝛼1 𝑠 2 + 𝛼2 𝑠] 𝑘𝑝 𝛼2 𝑠 [𝜏𝑓 𝑠+1] 𝛼1 ( 𝜏𝑓 = ) 𝛼2 Algoritm PID cu filtrare 𝐵𝑝 (𝑠) 𝐴𝑝 (𝑠) 1 3) 𝐻𝑝 (𝑠) = → 𝑄𝑓 (𝑠) = ∙ 𝐴𝑝 (𝑠) 𝐵𝑝 (𝑠) 𝐹(𝑠)  𝐴𝑝 (𝑠) 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑢𝑛𝑒𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑢𝑙𝑢𝑖 𝐹(𝑠) 𝐻𝑅 (𝑠) = ‖ 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑢𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖 − 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑢𝑟𝑖 𝐵𝑝 (𝑠) [𝐹(𝑠)−1] 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑠