Enseñanza de las fracciones PDF

INSTITUTO PRESBÍTERO JUAN GUIRULA PROFESORADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA ASIGNATURA: MATEMÁTICA Y SU DIDÁCTICA Tema: Los Números Racionales Objetivos:  Apropiarse de las reglas que caracterizan al conjunto de números racionales, y los obstáculos en su enseñanza. C...

INSTITUTO PRESBÍTERO JUAN GUIRULA PROFESORADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA ASIGNATURA: MATEMÁTICA Y SU DIDÁCTICA Tema: Los Números Racionales Objetivos:  Apropiarse de las reglas que caracterizan al conjunto de números racionales, y los obstáculos en su enseñanza. Contenidos aprendizajes:  Significados, operaciones y propiedades que diferencian los números naturales de las fracciones y de las expresiones decimales.  Equivalencia de distintas representaciones y descomposiciones de un número (fracción, decimal, porcentaje). INTRODUCCIÓN El estudio de los números racionales presenta una complejidad cuya elaboración ocupa un lugar central en la escuela primaria, y continúa en la escuela secundaria. Sin embargo es común escuchar a docentes y alumnos quejarse de la dificultad en su enseñanza y aprendizaje respectivamente, como si aquellos objetos matemáticos carecieran de sentido. FRACCIONES: breves consideraciones desde el punto de vista disciplinar En la matemática las fracciones o números racionales surgen como necesidad de ampliación del campo numérico de los números enteros. Los números enteros no dan solución a la ecuación bx = a, donde b es distinto de cero, cuando a no es múltiplo de b. Por ejemplo, en las ecuaciones 3x = 5 (1) ó 7x = 2(2), no se encontrará ningún valor para x que las satisfaga que sea entero. Se expresa entonces el valor de x como una fracción de la forma a/b (5/3 ó 2/7 para nuestros ejemplos), siendo a y b un par de números enteros (naturales para nuestro estudio) con b distinto de cero. Dos o más fracciones que resultan solución de una misma ecuación se denominan equivalentes y se conviene que definen el mismo número racional. Por ejemplo, para la ecuación (1) las fracciones 10/ 6 ó 15/9 resultan equivalentes a 5/3, qué es el número racional representante de esa clase de fracciones equivalentes, mientras que 2/7 será el número racional que representa la clase de fracciones equivalentes con él, por ejemplo: 4/14; 10/ 35; 1000/ 3500; etc. (Como representantes de las clases de fracciones equivalentes se eligen las fracciones irreducibles, es decir que no pueden simplificarse).  Los números racionales admiten además de la forma fraccionaria la representación decimal y porcentual. Así 1/2 puede expresarse como 0.5 ó 50%; 2/3 como 0.66 ó 66%, etc. A los racionales mayores que 1 es posible expresarlos como números mixtos, es decir, como la suma de un número entero más una fracción. Así 5/ 3 se podrá escribir como 1 + 2/3 ó 1 2/3; 8/3 como 2 + 2/3 o 2 2/3. Por razones tipográficas se utiliza aquí para la escritura de las fracciones la barra inclinada (2/3) en lugar de la raya horizontal, pero es ésta última notación la que es conveniente de utilizar en la escuela. Sin embargo, no es ésta la forma en que las fracciones han surgido en la historia ni con la que los alumnos de se plantearán la necesidad de ellas. Los significados de las fracciones en los distintos contextos de uso El camino para el aprendizaje de las fracciones lo constituirán los problemas dados en los distintos contextos en que aparecen las fracciones: medida, reparto equitativo, trayectos, patrones, probabilidad, ganancias, recetas, áreas, etc. Serán las situaciones en contextos variados los que den oportunidad a los alumnos de reinventar estos números reconociendo su necesidad y significado. (Cualquier decimal o porcentaje, en tanto formas de escrituras de las fracciones, pueden ser interpretados también de cada una de estas maneras). ¿Cuáles son los diferentes significados de las fracciones en sus contextos de uso? a. La fracción como expresión que vincula la parte con el todo (continuo o discontinuo): En este caso se la utiliza para indicar “la fractura” o “división en partes”, respondiendo a la pregunta ¿qué parte es? del entero en cuestión. Se conviene que el denominador de la fracción indica el número de partes en que está dividido dicho entero y el numerador las partes consideradas. b. La fracción como reparto equitativo: Respondiendo a la pregunta ¿cuánto le corresponde a cada uno? Por ejemplo, si tengo 9 panqueques para ser repartidos entre 7 invitados, cada invitado comerá 9/7 lo que equivale a 1 panqueque y 2/7. Análogamente, si he de repartir 3 barras de chocolate entre 4 niños cada uno recibirá 3/4 de barra. Estas situaciones se diferencian de las de parte todo en tanto intervienen unidades múltiples (panqueques- niños - manzanas - comensales, etc.) c. La fracción como razón. Sirve a la pregunta ¿en qué relación están? ya que pone de manifiesto la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de comparar: - dos conjuntos distintos, por ejemplo, la razón o relación entre número de libros en la clase y número de alumnos. Así, 13 libros para 26 alumnos podrá expresarse como 13/26 leyéndose “13 a 26” ó lo que es lo mismo, “1 por cada 2”. - un conjunto y un subconjunto del mismo, por ejemplo, la relación entre los 21 alumnos en total y los alumnos varones (11) de una clase puede expresarse como 11/21 o “11 a 21”. Un caso especial lo constituye la probabilidad definida como el número de casos favorables sobre el número de casos posibles de un evento determinado. Por ejemplo, en la tirada de un dado la probabilidad o razón de probabilidad de que salga un 2 “es uno a 6” lo cual se indica como 1/6. - dos medidas según una unidad de medida común, por ejemplo, podremos afirmar que Juan tiene una altura equivalente a 2/3 de la de Pedro (en cm) o que la escala (razón entre la distancia entre dos puntos determinados en el mapa y su distancia real) es 1 sobre 1 000 000, lo que puede significar que un milímetro en el mapa corresponde a un kilómetro en la realidad. Ejemplos de presentación de escalas: 1cm representa 100km y una pulgada representa 100millas: d. La fracción como división indicada. Para el caso en que la división sea inexacta, por ejemplo 3:7 no da un cociente entero (0.428571…) luego puede ser conveniente dejar expresada esta división como 3/7, lo cual es un resultado exacto. Es en este contexto en que “tres séptimos” se lee “ 3 dividido 7”. e. La fracción como un punto de la recta numérica. Ubicadas en posiciones intermedias entre dos números enteros f. La fracción como operador. En este caso la fracción actúa sobre otro número, en lugar de como una entidad con sentido autónomo. Esto se explicita cuando se piden, por ejemplo, los 4/5 de 20 (o el 80% de 20) ó los 3/4 de 56 (75% de 56). Son los contextos los que caracterizan con qué sentido se usan las fracciones, lo cual puede apreciarse en los problemas que resolvió con anterioridad. Si embargo, vale decir que no siempre está claramente definido para los alumnos el aspecto en cuestión y un mismo problema puede ser resuelto desde distintos usos de la fracción. Actividad1: Indica que significado de las fracciones se evidencia en cada uno de los problemas resueltos en la actividad de “repaso de saberes”. ¿Qué esperamos que aprendan los alumnos de segundo ciclo sobre las fracciones? Actividad2: En forma grupal Lectura de la actualización curricular e identificación de los contenidos referidos al aprendizaje de los números racionales. Propuesta de actividades. (la misma se puede realizar una vez completen la resolución de los problemas propuestos en los siguientes actividades, Actividad 3, Actividad 4, hasta completar documento) Dificultades de los alumnos en la adquisición de las fracciones La multiplicidad de significados que pueden tomar las fracciones resulta un obstáculo para su comprensión. La conceptualización de las fracciones lleva tiempo y los alumnos lo necesitan para comprender, interpretar y usar sus notaciones con sentido en las diferentes aplicaciones de las mismas. Actividad3: Tomado de “La Matemática escolar” Las prácticas de enseñanza en el aula. Horacio Itzcovich. “En todo proceso de enseñanza es frecuente encontrarnos con diferentes tipos de errores que nos presentan los alumnos, cuando resuelven ciertos tipos de problemas; tal vez sea conveniente que estos errores no sean pensados como falta de conocimiento o producto de la incertidumbre o del azar, sino que también es posible pensar esos errores como consecuencia de uno o varios conocimientos que ya tienen los alumnos, que pudieron haber tenido su interés , su éxito anteriormente y que ahora se evidencian falsos, insuficientes o simplemente inadaptados ante las nuevas situaciones que se les proponen en el aula. Por lo tanto será necesario preocuparse por aquellos errores cuya manifestaciones no son fortuitas ni azarosas, sino que aparecen en repetidas ocasiones y son persistentes, y cuyo origen puede escapar al sujeto de aprendizaje.  O sea si los errores son un recorrido común de los niños hacia un cierto conocimiento, es posible anticipar que en este proceso de reconstrucción de los conocimientos matemáticos van a aparecer algunos errores de forma sistemática. Las propuestas que seleccionamos e elaboramos, los modos de abordar ciertas cuestiones pueden llegar a ser algunas de las causas por las cuales aparezcan estos errores….” Horacio Itzcovich. Algunas dificultades en la enseñanza de las fracciones Actividad 4: Ver y escuchar a Irma Zainz en ¿Cómo conviene enseñar fracciones? Como menciona Irma Saíz en su artículo: “Fracciones. Un aprendizaje diferente en el tema fracciones” (1990) los métodos y las reglas en este tema son numerosos: - hay una regla para sumar fracciones de igual denominador y otra para distintos denominadores, - variadas reglas para comparar fracciones, - reglas para pasar de número mixto a fracción y viceversa - reglas para convertir una fracción en número decimal, etc. En general, los alumnos no llegan a la diferenciación y construcción de estas reglas en poco tiempo y cuando se los apura suelen memorizarlas mecanizadamente, por lo cual las confusiones, olvidos o uso parcializado de las mismas son frecuentes, hechos que se ponen claramente en evidencia en el tercer ciclo o aún en el polimodal y la universidad. Lograr la adquisición de los conceptos que el contenido fracciones involucra es un proceso lento y espiralado. De ahí que se debe comenzar a trabajarlos desde el primer ciclo, poniéndose especial énfasis durante el segundo ciclo en la comprensión y representación de los mismos, dejando la formalización rigurosa de las escrituras, los fundamentos matemáticos de las definiciones y la algoritmización para el tercer ciclo. La forma más común de introducción de las fracciones en la escuela básica es a través de la relación parte -todo, ejemplificada especialmente a través de los modelos espaciales (longitudes, áreas o volúmenes). Sin embargo existen variadas dificultades que los alumnos deben sortear para lograr tener una comprensión operatoria real de esta relación. Entre ellas varios investigadores citan: - la comprensión de la necesidad de áreas (longitudes, volúmenes) de igual tamaño. - La transición desde el diagrama a la expresión verbal y a su simbolización. - La comprensión de las fracciones mayores que la unidad. - La identificación de una unidad en un diagrama que muestra varias de ellas.  Piaget, Inheler y Szeminska (Dickson y otros;1991) puntualizan siete criterios que denotarían tal comprensión: - considerar divisible una región entera (los niños pequeños se niegan a cortar el entero) - admitir que el “todo” puede cortarse en cualquier número de partes que se solicite. - comprender que las partes han de agotar el todo en la división. - centrar la equivalencia de las partes en su tamaño. - distinguir entre número de cortes y número de partes (nº de cortes y nº de partes no son necesariamente iguales) - comprender la relación inversa entre el número de partes equivalentes y el valor de cada parte (a mayor nº de partes, menor extensión de las mismas) - admitir la construcción del todo como suma de las partes, es decir que el total se conserva aunque sea dividido en partes. El trabajo con medida brinda una buena oportunidad desde primer ciclo para introducir las fracciones desde este punto de vista y con recursos diferentes tales como el plegado, el recortado, el trasvasamiento, el dibujo, la confección de envases, etc. Por ejemplo: Observa dos tazas graduadas ( marcadas en litros y decilitros; 1l = 10 dl.). Una de ellas indica 1/4 l., 1/2 l., ¾l. y la otra tiene una marca de 1/10.¿Qué diferencias tienen estas dos tazas graduadas? ¿Cuántos decilitros hay en 1/4l.?¿Cuántos decilitros hay en 1/3 de litro? Otra introducción interesante a las fracciones, y que cada día va logrando más adeptos por sus múltiples ventajas, son los problemas de reparto equitativo. Ejemplos de ellos son: - Repartir 14 manzanas entre 4 chicos. Mostrar cuánto le toca a cada uno. - Cuatro alumnos desean compartir 10 panqueques de manera que todos coman igual cantidad. ¿Cuánto podrá comer cada uno? Algunas de las ventajas que se muestran al trabajar con los alumnos en el contexto de reparto equitativo son: - la rápida vinculación de los alumnos con el problema. Repartir panqueques, pizzas, tortas y chocolates son cosas que tiene sentido para los alumnos y sin discusión comprenden que tal repartición ha de ser equitativa (partes iguales en tamaño), lo cual lo torna un contexto utilizable desde los primeros grados. - la fácil comprensión de cuál es la unidad o entero aunque sean múltiples. - el uso natural del lenguaje coloquial para dar cuenta de la situación o lo realizado. - la multiplicidad de representaciones gráficas miradas como recursos para explicar la situación y no como un fin en sí mismas (como suele acontecer en la relación parte todo). - las variadas escrituras que surgen naturalmente en relación con los conceptos previamente comprendidos por los alumnos, permitiendo el establecimiento de relaciones variadas entre ellas y la aparición natural de los números mixtos. - la equivalencia entendida a partir del hecho que la cantidad que se recibe debe ser igual, aunque esté representada de diferentes maneras. - el contexto brinda un medio para comparar fracciones (¿En que caso el niño recibió, comió,…más?) ya sea, en base a lo recibido (fracción del total) o comparando las razones entre chicos y los panqueques u objetos a repartir - los alumnos no se confunden con las propiedades de los números naturales. - se conectan los aspectos de división, razón y fracción. - da herramientas para resolver problemas de operaciones con fracciones.  Algunas sugerencias para el trabajo en clase son: - Comenzar con problemas donde la cantidad que le toca a cada persona no sea un número entero, por ejemplo: “Siete galletitas entre 4 personas” (¡las galletitas pueden partirse en medios!) o “Siete panqueques entre cuatro niños”. - No comenzar repartiendo la unidad (No comenzar repartiendo un panqueque, un chocolate, etc.) - Trabajar varios días durante varias semanas con problemas similares, cambiando las cantidades de manera que además de medios, cuartos y octavos los alumnos incorporen sextos y tercios y otras fracciones (Por ejemplo: “Repartir 8 chocolates entre 6 niños” o “Repartir 8 pizzas entre 5 alumnos”) - Cuestionar a los alumnos si representaciones distintas pueden indicar una misma cantidad, para relacionar expresiones equivalentes. - Registrar en carteles las equivalencias halladas para que queden a disposición de la clase. A medida que surjan otras se van agregando. - Comprendidas las escrituras y la equivalencia proporcionar a los alumnos problemas de comparar y operar con sumas y restas implicando fracciones con números pequeños, donde puedan utilizar lo aprendido en las situaciones de reparto equitativo. Actividad 5: Para pensar las formas en que se enseña este objeto matemático, en sus posibilidades y límites como herramienta en la resolución de problemas, responda a las siguientes preguntas: a) ¿En qué tipos de problemas funciona este objeto matemático? (significados). b) ¿Qué conocimientos de los que funcionan con los números naturales seguirán siendo válidos con las fracciones y cuáles no? Los significados de las operaciones con fracciones Actividad 6 : Ver y escuchar el video, la intervención docente en la clase de matemática. “La escoba del uno”. Explique qué aprendizaje se desarrollo en la clase, cuales son algunas de las intervenciones del docente, conjeturas y validaciones por parte de los alumnos. Desde los primeros problemas, las fracciones aparecen como números con características propias, diferentes de las de los números naturales. Entre ellas, una misma cantidad puede escribirse de formas distintas. La reflexión, la discusión y el análisis de un conjunto de relaciones entre dos o mas fracciones equivalentes da paso a la fundamentación de los algoritmos (que dice que, para encontrar dos fracciones equivalentes, se puede multiplicar o dividir el numerador y denominador por el mismo número natural) Para pensar en esto, se propone la siguiente actividad: Actividad 7: Cuando el entero es un grupo de objetos Actividad 8: Relación de orden. Comparación. La comparación de fracciones es una actividad que atravesará todo el proceso de aprendizaje y de trabajo con este campo numérico. Si bien el cálculo algoritmizado puede ser más económico, el establecimiento de relaciones va enhebrando un tejido que es sostén para construir el sentido y da lugar a variados recursos de resolución que eventualmente, fundamentan dichos algoritmos. Actividad 9: Desarrolle estrategias que crea que pueden emplearse para cada uno de los siguientes problemas: Otro tipo de problemas donde las fracciones funcionan, en este caso comparar fracciones, son los que utilizan la recta numérica como modo de representación. Sin embargo, se deben tener presentes algunas particularidades de este modo de representación: Los números se anotan ordenados y deben conservar cierta escala, que puede variar de una representación a otra. La escala se determina fijando posiciones del 0 y del 1, o más generalmente, de dos números cualesquiera. Un punto representa un número, y ese número, a la vez, representa la distancia al 0 en la escala elegida. Actividad 10: Analice cuáles son los argumentos que un alumno podría elaborar cuando resuelve el siguiente problema. Entender los algoritmos: Para iniciar este apartado, se propone pensar las siguientes cuestiones: Actividad11: a) ¿Qué deberían saber los alumnos acerca de los números racionales en el momento de explicar los algoritmos convencionales para operar? b) ¿Dónde reside la complejidad en este aspecto de la enseñanza de las fracciones? Actividad12: 1) Es importante notar que los números elegidos en estos problemas, tienen , al menos dos características: son reconocidos por los niños por haberlos utilizado desde antes y, además , son fracciones con distinto denominador. Se propone que los alumnos elaboren estrategias para resolver sumas y restas sin utilizar un orden donde, primero, haya fracciones de igual denominador y, luego , fracciones con distinto denominador. P. Sadovsky 2) Si bien la formalización, es decir, el trabajo con las definiciones a nivel simbólico de las operaciones, no corresponde al segundo ciclo, sí corresponde comenzar a trabajar problemas (y no ejercicios aislados) en los que se vaya trabajando el sentido de las definiciones mismas. A continuación se escriben algunos comentarios que pueden resultar de utilidad a los docentes para comprender los variados significados de las operaciones con números racionales y ayudar en la búsqueda de situaciones y problemas a presentar a los alumnos. En la suma y la resta Se han de buscar situaciones que tengan fracciones con igual y distinto denominador, y que combinen fracciones, números naturales y números mixtos. Los significados de las fracciones pensadas como estados son idénticos a los de la suma y la resta con naturales (unir, separar, agregar, quitar, igualar). Las fracciones pensadas como operadores implican la búsqueda de una cantidad intermedia (unidad o común denominador) al que se aplican. Por ej. 2/3 + 3/4 se puede pensar como 2/3 de una cantidad más 3/4 de la misma. Por ejemplo, sea la cantidad 12, con lo cual 2/3 de 12 es 8 y 3/4 de 12 es 9 y el resultado de sumarlas es 17/12. Por ejemplo, el problema Ana se comió 2/4 de las galletitas y Nina 2/5 de las mismas ¿Qué parte de galletitas quedaron en el tarro? puede ser pensado como dos estados que se unen o bien como dos operadores que actúan sobre la cantidad de galletitas. En ambos casos se ha de buscar una unidad conveniente, por ejemplo 20 y el resultado será 18/20. En la multiplicación Se darán situaciones problemáticas de multiplicación de números naturales por fracciones y fracciones entre sí atendiendo a los distintos significados: - n x a/b resulta identificable como “n veces a/b” Por ejemplo 5 x 3/4 = 5 veces 3/4 - a/b x n resulta identificable con la expresión “a/b de n” lo que implica dividir n por b y multiplicar el resultado por a ó viceversa. Por ejemplo: 3/5 x 10 será pensado como 3/5 de 10 lo que resulta igual a 6. - a/b x c/d = se extiende el significado anterior “a/b de c/d”. En general el resultado es menor que los factores salvo que se trabaje con fracciones mayores que la unidad. Por ejemplo: 2/3 de 3/4 resultará 6/12. Una ayuda importante para comprender el algoritmo de la multiplicación de fracciones lo constituye el modelo de área. Por ejemplo: Sea 2/3 x 3/5. Esto puede pensarse como un rectángulo cuyas longitudes de lados coinciden con la de esas fracciones, luego podemos representar ambas de la siguiente manera obteniendo como área 6/15. En la división Se darán situaciones que atiendan a dividir fracciones por naturales, naturales por fracciones y fracciones entre sí 1) n : a/b posee el significado de partir (¿Cuántas veces cabe a/b en n?). Por ejemplo: 6 : 2/3 equivale a cuántas veces cabe 2/3 en 6, lo que da 9 veces. 2) a/b : n = puede pensarse como repartir una fracción en n partes. Por lo que 2/3 dividido 3 resulta 2/9. 3) a/b : c/d corresponde también a partir (¿Cuántas veces cabe c/d en a/b?) Por ejemplo: 3/4 : 1/4 equivale a cuántas veces cabe 1/4 en 3/4 lo que es igual a 3. Y los números decimales? Actividad 13: a) ¿Qué criterios de comparación de números decimales pueden validarse a partir del conocimiento sobre las fracciones? b) ¿Cómo es posible el enriquecimiento mutuo entre el concepto de número decimal y el concepto de medida? c) Explicitar las relaciones en las que es preciso apoyarse para resolver los cálculos de los siguientes problemas:  ¿Cuántas veces hay que sumar 0,1, para obtener 1?  ¿Cuántas veces hay que sumar 0,01 para obtener 1? d) Proponer descomposiciones equivalentes del número 3,08. e) De estos números racionales, ¿cuál es el mayor? ¿3,8 ó 3,79? ¿3/100 ó 0,016? ¿3,1+0,2 ó 3,2+0,1? ¿2,09+0,01 ó 2,1? f) Encontrar un número decimal entre 3,54 y 3,55. g) Calcular la mitad de 2,6 h) Calcular el doble de 0,28 …  Tomado de : La Matemática escolar. Horacio Itzcovich. Criterios de evaluación:  Expresa sus ideas de manera clara y coherente en cada una de las actividades desarrolladas.  Dialoga con las intervenciones de los colegas enriqueciendo los aportes y discusiones en comentarios de las clases virtuales  Da cuenta de una lectura criteriosa del material indicado.