Elettrotecnica: Grandezze Elettriche Fondamentali (PDF)

ELETTROTECNICA Grandezze elettriche fondamentali, bipoli, comportamento energetico Tensione elettrica Rappresenta la quantità di energia de necessaria per spostare una carica elettrica infinitesima dq > 0 (detta ‘carica di prova’) in una regione di spazio sede di fenomeni elettrici. In prima istanza...

ELETTROTECNICA Grandezze elettriche fondamentali, bipoli, comportamento energetico Tensione elettrica Rappresenta la quantità di energia de necessaria per spostare una carica elettrica infinitesima dq > 0 (detta ‘carica di prova’) in una regione di spazio sede di fenomeni elettrici. In prima istanza, si suppone che l’energia richiesta dipenda da dq, dalla forma della curva γ e dagli estremi A e B, così l’energia si indica con deγAB(dq). Quindi l’energia si può scrivere semplicemente deAB (omettendo l’indicazione della curva γ). Il coefficiente di proporzionalità tra de e dq è, per definizione, la tensione elettrica. Definizione: vAB = deAB/dq. La tensione elettrica tra due punti è una misura dell’energia necessaria a spostare una carica tra i due punti, indipendente dal valore della carica. pertanto, la tensione elettrica è una proprietà intrinseca dello spazio. Unità di misura nel sistema internazionale: Volt (V). In generale, i fenomeni elettrici sono non-stazionari, perciò la tensione dipende dal tempo t. Esempio: Esempio di tensione elettrica sinusoidale con espressione Da notare che de può essere sia positiva che negativa che nulla, quindi, una tensione può assumere qualsiasi valore (v > 0, v < 0, v = 0). In una tensione sinusoidale vAB(t) = U cos(ωt + φ) chiamiamo: Ampiezza della sinusoide la grandezza U. Essa rappresenta l’ampiezza del segnale sinusoidale, che oscilla tra gli estremi +U e −U (misurata in Volt). Pulsazione della sinusoide la grandezza ω misurata in rad/sec. Essa rappresenta la velocità con cui la tensione sinusoidale oscilla nel tempo. Fase iniziale della sinusoide la grandezza φ (misurata in rad), che rappresenta la fase della sinusoide all’istante iniziale t = 0. Proprietà delle tensioni elettriche Valgono queste proprietà: Proprietà di indipendenza dal percorso: Una tensione vAB(t) non dipende dal percorso tra A e B ma solo dai punti stessi. Proprietà di nullità della tensione in un punto rispetto a sé stesso: Vale vAA(t) = 0. Infatti, non si compie alcun lavoro per tenere ferma una carica (ma solo per spostarla tra due punti distinti). Dati tre punti A, B e C qualsiasi nello spazio, vale la proprietà di additività: vAB(t) + vBC (t) = vAC (t). Infatti, dall’esperienza, l’energia sui tratti AB-BC si somma, e l’energia è indipendente dal percorso. Proprietà di somma nulla delle tensioni su un percorso chiuso: Dati tre punti A, B e C, vale vAB(t) + vBC (t) + vCA(t) = 0. Questa proprietà deriva dalla additività e dalla nullità della tensione di un punto rispetto a sé stesso. La proprietà di somma nulla impone un vincolo tra le tensioni. Esempio 1: Dati due punti A e B, si possono definire tensioni vAB e vBA. La proprietà di somma nulla implica che vAB = −vBA. Esempio 2: Nel caso della slide precedente, siano vBC = 2V e vAC = −3V. Determinare vAB. Risposta: vAB = −vBC − vCA = −vBC + vAC = −2 − 3 = −5V. Contro-esempio: Occorre fare attenzione all’ordine dei pedici nelle tensioni. Nel caso della slide precedente, mentre è corretto scrivere vAB(t) + vBC (t) + vCA(t) = 0, non sarebbe corretto scrivere vAB(t) + vCB(t) + vCA(t) = 0! Corrente elettrica Rappresenta la quantità di carica dq che attraversa un punto A dello spazio nel tempo dt. Definizione: iA =dqA /dt Unità di misura nel sistema internazionale: Ampére (A) A causa della non-stazionarietà dei fenomeni elettrici, in genere la corrente dipende dal tempo t. Esempio: i(t) = Ie−βt con I, β > 0. Esempio: Corrente elettrica esponenziale Esempio di corrente elettrica esponenziale con espressione i(t) = 2e−6t (A). La corrente elettrica rappresenta la velocità con cui le cariche si muovono in un dato punto dello spazio in un determinato istante di tempo. Assiomi delle correnti elettriche Dato un punto A qualsiasi nello spazio e una superficie chiusa (sufficientemente grande) S: Assioma di “puntualità”: Una corrente elettrica iA(t) dipende solo dal punto A. Assioma di additività: La corrente totale che attraversa una superficie chiusa S è data dalla somma algebrica delle correnti che la attraversano in un punto. Assioma di invariabilità della carica: La quantità di carica contenuta in S rimane sempre costante. Ciò implica che la somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa deve essere nulla. Visualizzazione della seconda e della terza proprietà. Dagli ultimi due assiomi risulta che iA(t) − iB(t) − iC (t) + iD(t) = 0. Le correnti iA e iD si dicono entranti, mentre le correnti iB e iC si dicono uscenti. L’assioma di invariabilità della carica all’interno di una superficie chiusa implica un vincolo tra le correnti. Esempio 1: Se solo due correnti entranti iA e iB interessano una superfice chiusa, allora iA = −iB. Esempio 2: Nel caso visto nella slide precedente, siano iA = 1A, iB = −2A, iC = −6A, determinare iD. Risulta iD = −iA + iB + iC = −(1) + (−2) + (−6) = −9A. I versi delle frecce non hanno nulla a che vedere con i segni delle correnti, che possono essere sia positivi che negativi (quando le correnti non sono nulle). Esempio: Circuito elettrico Un circuito elettrico è un insieme di componenti elementari collegati fra loro: Equazioni fondamentali Le equazioni fondamentali si dividono in due categorie: Relazioni costitutive dei componenti: descrivono il comportamento dei singoli componenti. Equazioni di Kirchhoff: descrivono il collegamento dei componenti tra loro. Bipoli elementari Gli elementi più semplici dei circuiti elettrici sono i bipoli elementari. Un bipolo instaura una relazione tra la tensione ai suoi capi v(t) e la corrente che lo attraversa i(t). è importante notare che v(t) e i(t) sono in versi coordinati, ovvero la corrente va dal + al − della tensione. È importante ricordare che v(t) e i(t) sono grandezze con segno, cioè le variabili v ed i possono assumere valori positivi, negativi e nullo. Ovvero: v, i ∈ R. Inoltre, la variabile temporale t è reale, ovvero: t ∈ R. Funzione generatrice di un bipolo La relazione che il bipolo instaura tra la tensione e la corrente si esprime per mezzo di una funzione generatrice del bipolo: f (v, i, t). Essa è una funzione della tensione associata al bipolo, della corrente associata al bipolo e del tempo. All’istante t, ai capi di un bipolo con funzione generatrice f si possono trovare tutte e sole quelle coppie di valori (v, i) tali che: f (v(t), i(t), t) = 0. Tale relazione si chiama relazione costitutiva del bipolo. Una coppia di funzioni (v, i) si dice ammissibile per il bipolo se soddisfa la sua relazione costitutiva. Esempio: Funzione generatrice Supponiamo che un bipolo abbia la seguente funzione generatrice: f (v, i, t) = v2 + i2 − 4t2. Le coppie (v, i) ammissibili per tale bipolo sono tutte e sole quelle che soddisfano l’equazione f (v, i, t) = 0, ovvero: Proprietà di linearità e tempo-invarianza Un bipolo si dice lineare se per ogni combinazione di costanti α e β e di coppie tensione-corrente (v1(t), i1(t)) e (v2(t), i2(t)) vale: f (αv1(t) + βv2(t), αi1(t) + βi2(t), t) = α f (v1(t), i1(t), t) + β f (v2(t), i2(t), t). Questa si dice anche proprietà di sovrapposizione degli effetti. Un bipolo si dice tempo-invariante se il suo comportamento non dipende esplicitamente dal tempo: f (v(t), i(t), t) = f (v(t), i(t)). Un bipolo sia lineare che tempo-invariante si denota con LTI Bipoli elementari: Il resistore Il resistore elettrico ha simbolo grafico: La funzione generatrice è f (v, i, t) = v − Ri, quindi la sua relazione costitutiva è: v(t) = Ri(t), dove il parametro R si chiama resistenza del resistore e si misura in Ohm (Ω). La relazione costitutiva di un resistore può essere visualizzata come una retta, passante per l’origine, con pendenza R, disponendo tensione e corrente sugli assi di un grafico. Il punto verde rappresenta una coppia ammissibile, il punto rosso non rappresenta una coppia ammissibile. La relazione costitutiva del resistore si può scrivere anche: i(t) = Gv(t), dove il parametro costante G si chiama conduttanza del resistore e si misura in Ω−1. Chiaramente, se R ≠ 0, vale la relazione G = 1/R. Sia R che G sono parametri reali. Nei componenti reali, R e G sono quantità positive o nulle, ma nei modelli elettrico-circuitali nulla vieta che possano assumere anche valori negativi. Il resistore è chiaramente un componente lineare, a patto che R non dipenda esplicitamente da tensione o corrente di bipolo. È inoltre un componente tempo-invariante, a patto che R non dipenda esplicitamente dal tempo. Esempio 1: Si consideri il bipolo descritto dalla relazione costitutiva v(t) = 3i3(t). Questo può essere visto come un resistore, non lineare, con R = 3i2. Esempio 2: Si consideri il bipolo descritto dalla relazione costitutiva v(t) = 4t i(t). Questo può essere visto come un resistore, tempo variante, con R = 4t, lineare. La retta che descrive la rel. costitutiva ha pendenza variabile nel tempo. Esempio 3: Si consideri il bipolo descritto dalla funzione generatrice f (v, i, t) = 5t v2 − 3i. Questo può essere visto come un resistore, non lineare e non-tempo invariante (dimostrarlo determinandone la conduttanza G). Esempio 4: Si consideri il bipolo descritto dalla funzione generatrice f (v, i, t) = 9v − 3i + 2. Questo bipolo non può essere visto come un resistore (dimostrarlo). Inoltre, valutare se sia un bipolo lineare oppure non-lineare. Bipoli elementari: L’induttore elettrico 𝑑𝑖 La funzione generatrice è f (v, i, t) = v - L , quindi la sua relazione costitutiva è: 𝑑𝑡 𝑑𝑖(𝑡) v(t) =L , dove il parametro L si chiama induttanza dell’induttore e si misura in Henry 𝑑𝑡 (H). In un induttore reale, vale L ≥ 0, tuttavia nulla vieta che il valore dell’induttanza L possa essere negativo. Se L è un valore costante, allora l’induttore è un componente lineare, tempo invariante. 𝑑𝑖 Esempio 1: Si consideri il bipolo descritto dalla funzione generatrice f (v, i, t) = 5v − 2𝑑𝑡. Questo può essere visto come un induttore, lineare e tempo invariante (dimostrarlo determinandone l’induttanza L). 𝑑𝑖 Esempio 2: Un bipolo è descritto dalla funzione generatrice f (v, i, t) = 5v − 2t𝑑𝑡 Questo può essere visto come un induttore, lineare e non tempo-invariante (dimostrarlo). Bipoli elementari: Il condensatore 𝑑𝑣 La funzione generatrice è f (v, i, t) = i −C , quindi la sua relazione costitutiva è: 𝑑𝑡 𝑑𝑣(𝑡) 𝑖(𝑡) = 𝐶 , dove il parametro C si chiama capacità del condensatore e si misura 𝑑𝑡 in Farad (F). In un condensatore reale, vale C ≥ 0, tuttavia nulla vieta che il valore della capacità C possa essere negativo. Se C è un valore costante, allora il condensatore è un componente lineare, tempo invariante. 𝑑𝑣 Esempio 1: Si consideri il bipolo descritto dalla funzione generatrice f (v, i, t) = 5i − 2 𝑑𝑡. Questo può essere visto come un condensatore, lineare e tempo invariante (dimostrarlo). 𝑑𝑣 Esempio 2: Un bipolo è descritto dalla funzione generatrice f (v, i, t) = 5vi + 2t2 𝑑𝑡. Questo può essere visto come un condensatore, non-lineare e non tempo-invariante (dimostrarlo determinandone la capacità C). Esempio 3: Si consideri un condensatore elettrico di capacità C =1/2 F. Si consideri la coppia tensione-corrente (v(t), i(t)) = (cos(2t), − sin(2t)). Si tratta di una coppia ammissibile per il condensatore? Risposta: Si. Per rispondere in modo affermativo è necessario verificare che la 1𝑑𝑣 coppia tensione-corrente specificata annulli la funzione generatrice f (v, i, t) = i − 2𝑑𝑡. Sostituendo, si ha che, per ogni t Esempio 4: Si consideri un condensatore elettrico di capacità C = 1/3 F. Si consideri la coppia tensione-corrente v(t), i(t)) = (−e−2t , e−3t). Si tratta di una coppia ammissibile per il condensatore? Risposta: No. Infatti, la coppia tensione-corrente specificata non annulla la funzione generatrice del 1 𝑑𝑣 condensatore f (v, i, t) = i -3 𝑑𝑡. Infatti, sostituendo si ha che, per quasi tutti i valori di t Bipoli elementari: Il circuito aperto (c.a.) La funzione generatrice è f (v, i, t) = i, quindi la sua relazione costitutiva è: i(t) = 0. In un circuito aperto non scorre corrente, ma non c’è alcun vincolo sulla tensione ai suoi capi. Il circuito aperto è equivalente ad un resistore con G = 0. Bipoli elementari: Il corto-circuito (c.c.) La funzione generatrice è f (v, i, t) = v, quindi la sua relazione costitutiva è: v(t) = 0.In un corto- circuito non c’è alcun vincolo sulla corrente. Il c.c. è equivalente ad un resistore con R = 0. Il generatore indipendente di tensione (GIT) La funzione generatrice è f (v(t), i(t), t) = v(t) − vg(t), quindi la sua relazione costitutiva è: v(t) = vg(t), dove la tensione vg(t) è la funzione caratteristica del generatore indipendente di tensione. Il generatore indipendente di corrente (GIC) La funzione generatrice è f (v(t), i(t), t) = i(t) − ig(t), quindi la sua relazione costitutiva è: i(t) = ig(t), dove la corrente ig(t) è la funzione caratteristica del generatore indipendente di corrente. NOTA! Analizzare un circuito significa determinare il valore di una tensione o una corrente (o più) dati i valori dei componenti. Proprietà di memoria I componenti bipolari condensatore e induttore si dicono componenti con memoria perché nelle loro relazioni costitutive compaiono operatori di derivazione (o integrazione). Quando un circuito contiene uno o più elementi con memoria, si parla di circuito con memoria. I bipoli con memoria sono induttore, condensatore, ma anche memristore. Bipoli generici Ogni circuito elettrico accessibile da due terminali si dice bipolo. Un bipolo elementare è un bipolo. Un bipolo può essere però formato dalla connessione di più componenti tra loro. Esempio di bipolo non elementare. La funzione generatrice f(v(t),i(t),t) può essere arbitrariamente complicata. Qui v è la tensione vAB e i è la corrente che entra da A ed esce dal terminale B. Il memristore Ilmemristore (dall’inglese memristor, contrazione dimemory resistor), è un bipolo inizialmente assiomatizzato all’inizio degli anni ’70 dal Prof. L. Chua e realizzato sperimentalmente solo nel 2008 da un teamdella Hewlett-Packard. Il memristore è un bipolo non lineare che può essere rappresentato sia da una relazione costitutiva di tipo ‘controllato in carica’ v = M(q)i, con M detta memristenza (misurata in Ω), che da una di tipo ‘controllato in flusso’ i = W(𝜑)v, con W detta memduttanza (misurata in Ω−1), dove sono carica e flusso, rispettivamente. Integrando la relazione v = M(q)i nel tempo, si ottiene: Ovvero con q (−∞) = 0. Questa è una forma integrale di relazione costitutiva basata sulla funzione ϕ = ϕ(q). Esempio (HP): La relazione ϕ = ϕ(q) di tipo HP risulta quindi lineare a tratti. Dato poi che risulta allora M(q) ≥ 0 per ogni valore di q (fra l’altro, nella versione HP, la funzione M è costante a tratti). Il diodo a giunzione Il diodo a giunzione è un bipolo non lineare descritto dal seguente simbolo grafico e con la seguente relazione tensione-corrente (relazione costitutiva): Esempi di applicazione del diodo: Ponte di Graez Si tratta di un circuito formato da quattro diodi che convertono una tensione alternata in una tensione sempre positiva: L’utilizzo di un condensatore consente poi di ottenere una tensione pressocché costante nel tempo. La relazione costitutiva può essere approssimata come: Per un bipolo non lineare è possibile definire una resistenza/conduttanza differenziale. Ad esempio, per il diodo si può definire la conduttanza differenziale Ad esempio, g (0) = a/b. Resistenza/conduttanza differenziale In generale, dato un bipolo descritto da una relazione costitutiva i = F(v), questa relazione può essere approssimata, eseguendo uno sviluppo in serie di Taylor intorno a un punto v, come 1 i = F(v¯) + F’(v¯) (v − v¯) +2 𝐹′′(v¯)(v − v¯)2 + … Il coefficiente g := F’(v¯) si definisce conduttanza differenziale e il suo reciproco, se g ≠ 0, è la resistenza differenziale. Il diodo di Esaki (1957) Il diodo tunnel (di Esaki) è un bipolo non lineare con la seguente relazione tensione-corrente (relazione costitutiva): Nella zona centrale della caratteristica presenta conduttanza differenziale negativa. Bipoli ‘affini’ Una classe importante è quella dei bipoli che hanno una funzione generatrice affine. In questo caso, la funzione generatrice assume la forma: f (v(t), i(t), t) = av(t) + bi(t) + c(t), dove a e b sono costanti rispetto al tempo e c(t) è una funzione del tempo che dipende dai GIT e GIC interni al bipolo. Equivalenza delle funzioni generatrici Dato un bipolo, la funzione generatrice che ne descrive il comportamento non è unica. Per esempio, se f (v, i, t) è una funzione generatrice di un bipolo, anche k · f (v, i, t) ne è funzione generatrice per qualsiasi costante k ≠ 0. Di fatto, le funzioni generatrici per ogni bipolo sono infinite. Si introduce allora una relazione di equivalenza tra due funzioni generatrici f1(v, i, t) e f2(v, i, t) indicata con: f1(v, i, t) ∼ f2(v, i, t). L’equivalenza tra due funzioni generatrici permette di stabilire se due funzioni generatrici, con espressioni differenti, rappresentano lo stesso bipolo. Ad esempio: f1(v, i, t) = 3v − 9i, f2(v, i, t) = 4v − 12i, rappresentano entrambe un resistore con resistenza R = 3Ω. Definizione: Due funzioni generatrici f1 e f2 sono equivalenti se e solo se, in ogni istante t, l’insieme delle soluzioni (v, i) dell’equazione f1(v, i, t) = 0 coincide con l’insieme delle soluzioni dell’equazione f2(v, i, t) = 0. Equivalenza dei bipoli Il concetto di equivalenza tra funzioni generatrici ha un ulteriore utilizzo, molto importante, che permette di stabilire l’equivalenza esterna tra due bipoli differenti. Definizione: Sia b1 un bipolo con funzione generatrice f1(v, i, t) e sia b2 un diverso bipolo con funzione generatrice f2(v, i, t). I bipoli b1 e b2 si dicono esternamente equivalenti se e solo se f1(v, i, t) ∼ f2(v, i, t). Esistono dei teoremi specifici sull’equivalenza dei bipoli, e delle tecniche specifiche per determinare la funzione generatrice di un bipolo affine, che verranno esaminati molto più avanti nel corso. Potenza istantanea assorbita da un bipolo Su un bipolo in cui v(t) e i(t) sono coordinati, si definisce la potenza istantanea assorbita: p(t) = v(t)i(t), che si misura in Watt (W). Inoltre, si definisce il contenuto energetico o semplicemente energia istantanea: che si misura in Joule (J). La definizione vale sotto l’ipotesi che e (−∞) = 0. Il significato fisico della potenza assorbita e del contenuto energetico di un bipolo e la loro definizione possono essere spiegati come segue. Si consideri una carica infinitesima dq che si sposta dal terminale + al terminale − del bipolo impiegando un tempuscolo dt. L’energia necessaria per compiere tale spostamento è de = v dq. Dalla definizione di corrente, vale dq = i dt, pertanto 𝑑𝑒 de = v i dt → p =𝑑𝑡 = v i. L’energia de viene attribuita al bipolo e ne costituisce una variazione del contenuto energetico interno. Significato del segno della potenza istantanea In ogni istante t la potenza p(t) può assumere valore: positivo: in questo caso il bipolo sta assorbendo energia dal resto del circuito. negativo: in questo caso il bipolo sta erogando energia al resto del circuito. nullo: in questo caso il bipolo non sta scambiando energia con il resto del circuito. Significato dell’energia istantanea Se un bipolo è tale per cui in ogni istante di tempo t risulta e(t) ≥ 0, allora si dice che il bipolo è passivo. Un bipolo passivo può sia assorbire che erogare energia, ma non può mai erogare più energia di quella ricevuta in precedenza. Se l’energia istantanea di un bipolo cambia segno, il bipolo non è passivo. Si dice, pertanto, attivo. Un bipolo attivo è energeticamente indefinito, ovvero, può sia erogare che assorbire energia in quantità arbitrarie. Esempio: potenza ed energia Si consideri un bipolo che scambia energia come in figura: Si noti che, anche se p(t) < 0 in alcuni istanti di tempo, comunque e(t) > 0 in ogni istante di tempo t > 0, quindi il bipolo è energeticamente passivo. Un bipolo statico (senza memoria) è passivo se la sua relazione costitutiva giace nel I e III quadrante del piano v − i. Classificazione energetica dei bipoli Resistore In un resistore, vale v(t) = Ri(t), quindi: Chiaramente, il resistore è energeticamente passivo se e solo se R ≥ 0. Come conseguenza, il circuito aperto e il corto-circuito sono bipoli passivi. Induttore 𝑑𝑣 In un induttore, vale v(t) = L 𝑑𝑡 quindi: Chiaramente, l’induttore è energeticamente passivo se e solo se L≥0. Condensatore 𝑑𝑣(𝑡) In un condensatore, vale i(t) = C 𝑑𝑡 , quindi: Chiaramente, il condensatore è energeticamente passivo se e solo se C ≥ 0. GIT In un generatore indipendente di tensione, vale v(t) = vg(t), quindi: Non si può dire nulla, a priori, sul segno dell’energia istantanea; quindi, si deve concludere che il GIT è un bipolo energeticamente attivo (indipendentemente dal valore del suo parametro caratteristico). GIC In un generatore indipendente di corrente, vale i(t) = ig(t), quindi: Non si può dire nulla, a priori, sul segno dell’energia istantanea; quindi, si deve concludere che il GIC è un bipolo energeticamente attivo (indipendentemente dal valore del suo parametro caratteristico). Memristore In un memristore, vale v(t) = M(q(t))i(t), con M ≥ 0, quindi: Il memristore risulta quindi essere un bipolo energeticamente passivo. Elementi di topologia circuitale Topologia circuitale Si considerino i due seguenti circuiti elettrici: Chiaramente si tratta di due circuiti differenti, che hanno però qualcosa in comune: la loro topologia (numero e connessione di nodi tramite bipoli). Grafo associato ad un circuito elettrico Ad ogni nodo del circuito si associa un nodo del grafo, ad ogni bipolo del circuito si associa un arco del grafo.  Il grafo si designa con l’insieme dei suoi archi: In questo esempio, G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Indichiamo con: N il numero di nodi di un grafo. R il numero di archi di un grafo. In questo esempio abbiamo N = 4, R = 6. Grafo orientato associato ad un circuito elettrico Ogni arco viene orientato secondo il verso della corrente nel ramo di circuito corrispondente. Per i rami in cui il verso della corrente non è noto a priori, si sceglie un verso arbitrario. In blu sono evidenziati gli archi per i quali il verso è ‘obbligato’. Maglia topologica Ogni percorso chiuso composto da archi si chiama maglia topologica. Esempio: M1 = {1, 3, 4} Esempio:M2 = {2, 4, 5} Esempio:M3 = {1, 2, 6} Alcuni dettagli da notare: Il verso delle frecce non ha alcuna rilevanza nella formazione delle maglie. Le maglie sono in grande numero, anche per un grafo relativamente piccolo come quello utilizzato negli esempi. Le maglie possono contenere un diverso numero di archi (3 o 4 in questo esempio). Un arco non può apparire più di una volta in una maglia. Legge di Kirchhoff alle tensioni Associamo ad ogni arco la tensione coordinata al proprio verso. La legge di Kirchhoff alle tensioni (LKT), riferita ad una maglia M, si esprime come LKT: La somma algebrica delle tensioni su una maglia è identicamente pari a zero in ogni istante di tempo. Per scrivere la LKT su una maglia è necessario scegliere un verso di percorrenza (orario o antiorario). Il risultato (cioè, la LKT) è indipendente dal verso di percorrenza scelto. Esempio. LKT-M1 percorsa in verso orario: v1 − v3 + v4 = 0. Somma algebrica, quindi, significa: scelto un verso di percorrenza, se si incontra la tensione vk con il segno +, la tensione appare con il segno + nella somma, viceversa essa appare con il segno −. Esempio. LKT-M2 percorsa in verso orario: v2 − v4 + v5 = 0. (Somma algebrica: scelto un verso di percorrenza, se si incontra la tensione vk con il segno +, la tensione appare con il segno + nella somma, viceversa essa appare con il segno −.) Esempio. LKT-M3 percorsa in verso antiorario: v1 + v2 − v6 = 0. (Ricordiamo il significato di somma algebrica: scelto un verso di percorrenza, se si incontra la tensione vk con il segno +, la tensione appare con il segno + nella somma, viceversa essa appare con il segno −.) In assenza di requisiti particolari, il verso delle maglie può essere scelto in modo arbitrario. Esempio. LKT-M4 percorsa in verso antiorario: v3 − v5 − v6 = 0. Esempio. LKT-M5 percorsa in senso orario: v1 + v2 − v3 + v5 = 0. LKT-M5 in senso antiorario: −v1−v2+ v3 − v5=0. Taglio topologico Per definire un taglio topologico è innanzitutto necessario considerare una superficie che tocca alcuni archi del grafo (un arco del grafo può essere toccato in un solo punto, detto punto di taglio). In questo esempio, S taglia tre archi del grafo. L’insieme degli archi tagliati da una superficie si dice taglio topologico. Nell’esempio, T1 = {1, 3, 6}. In questo esempio T2 = {2, 5, 6}. Qui T3 = {1, 4, 5, 6}. Si noti che l’arco 2 non viene tagliato dalla superficie S3; pertanto, non fa parte del taglio topologico T3. La superficie di taglio, in questo esempio S3, divide il piano in due parti: parte interna e parte esterna. Una corrente si dice entrante (es. i1 e i6) se va da parte esterna a parte interna. Una corrente si dice uscente (es. i4 e i5) se va da parte interna a parte esterna. Legge di Kirchhoff alle correnti Associamo ad ogni arco la corrente che scorre nel relativo ramo di circuito. La legge di Kirchhoff alle correnti (LKC), riferita ad un taglio topologico T, si esprime come LKC: La somma algebrica delle correnti in un taglio è identicamente pari a zero in ogni istante di tempo. Per scrivere la LKC su un taglio è necessario scegliere un verso positivo (es. correnti entranti) e negativo (es. correnti uscenti). Il risultato (cioè, la LKC) è comunque indipendente da tale scelta. Esempio. LKC-T1: Dato che tutte le correnti sono uscenti dalla superficie, si prende positivo il verso uscente, per cui i1 + i3 + i6 = 0. LKC-T2: Dato che due correnti sono entranti nella superficie e una è uscente, si prende positivo il verso entrante, per cui i2 − i5 + i6 = 0. LKC-T3: Si prende, in modo del tutto arbitrario, positivo il verso entrante, per cui i1 − i4 − i5 + i6 = 0. LKC-T3: Si prende, in modo del tutto arbitrario, positivo il verso uscente, per cui −i1 + i4 + i5 − i6 = 0. Quando si scrivono le leggi di Kirchhoff alle correnti: In assenza di requisiti particolari, il segno positivo e negativo delle correnti può essere associato in modo del tutto arbitrario al verso entrante o uscente. Per ogni taglio dello stesso grafo si può scegliere una convenzione differente a seconda della convenienza. Albero topologico e co-albero Definiamo due concetti topologici: Albero topologico: Sottoinsieme di archi di un grafo che unisce tutti i nodi senza formare percorsi chiusi. Lo si denota come insieme A. Co-albero topologico: Complemento dell’albero topologico rispetto al grafo. Lo si denota come insieme C. Si osservi che albero e co-albero formano una partizione di un grafo, nel senso che: Albero e co-albero sono complementari: Vale A ∩ C = ∅, infatti, ogni arco del grafo appartiene all’albero oppure al co-albero. Albero e co-albero coprono l’intero grafo: Infatti vale A ∪ C = G, ovvero ogni arco del grafo appartiene ad uno dei due sottoinsiemi. Albero e co-albero hanno dimensioni ben precise. Dato un grafo con N nodi e R archi, risulta: Dimensione dell’albero: Il numero di archi che fanno parte di un albero si indica con a. Risulta a = N − 1. Dimensione del co-albero: Il numero di archi che fanno parte di un co-albero si indica con c. Risulta c = R − N + 1. Nell’esempio preso in considerazione, dato che N = 4 e R = 6, risulta che a = 4 − 1 = 3 e c= 6−4 + 1= 3. A parte questo esempio, in generale può risultare che a /= c. In alcuni casi, c ≪ a oppure c ≫ a. Esempio (la linea continua indica gli archi dell’albero A1, la linea tratteggiata gli archi del co-albero C1): L’albero A1 = {1, 2, 4} unisce tutti i nodi ma non contiene percorsi chiusi. Esempio (la linea continua indica gli archi Esempio (la linea continua indica gli archi dell’albero A2, la linea tratteggiata gli archi del dell’albero A3, la linea tratteggiata gli archi del co-albero C2): co-albero C3): L’albero A2 = {3, 4, 5} unisce tutti i nodi ma non L’albero A3 = {2, 4, 6} unisce tutti i nodi ma non contiene percorsi chiusi. contiene percorsi chiusi. Contro-esempio: l’insieme di archi indicati dalla linea continua non forma un albero topologico. Consideriamo, a titolo di esempio, un caso in Consideriamo, a titolo di esempio, un caso in cui a ≫ c: cui a ≪ c: In questo caso (6 bipoli collegati in serie) In questo caso (5 bipoli collegati in parallelo) risulta a = 5 e c = 1. risulta c = 4 e a = 1. Maglie topologiche fondamentali Una maglia topologica si dice fondamentale se contiene un solo arco di co-albero. Dato che ogni maglia topologica fondamentale contiene un solo arco di co-albero: Stabiliamo che la maglia fondamentale che contiene l’arco k-esimo di co-albero venga denotata con MFk. Deduciamo che, se una maglia fondamentale contiene un arco di co-albero, il numero di maglie fondamentali in un grafo coincide con il numero di archi di co-albero, ovvero numero di maglie fondamentali = c. Osserviamo quanto segue: Chiaramente, le maglie fondamentali si possono stabilire solo dopo aver effettuato una partizione del grafo in albero/co-albero.  Una maglia topologica fondamentale si costruisce aggiungendo all’albero un solo arco di co- albero. L’albero, di per sé, non contiene percorsi chiusi, ma aggiungendo un arco di co- albero si viene senz’altro a formare un percorso chiuso: la maglia fondamentale associata a quell’arco di co-albero. Esempio (la linea continua indica gli archi Aggiungendo l’arco di co-albero 3 all’albero, si dell’albero A, la linea tratteggiata gli archi del viene a formare un percorso chiuso (maglia co-albero C): fondamentale) MF3 = {1, 3, 4}. Il co-albero è C = {3, 5, 6}. Aggiungendo l’arco di co-albero 5 all’albero, si Aggiungendo l’arco di co-albero 6 all’albero, si viene a formare un percorso chiuso (maglia viene a formare un percorso chiuso (maglia fondamentale) MF5 = {2, 4, 5}. fondamentale) MF6 = {1, 2, 6}. Non esistono ulteriori maglie fondamentali, in quanto c = 3 ed abbiamo individuato già tre maglie fondamentali Esempio (la linea continua indica gli archi Aggiungendo l’arco di co-albero 1 all’albero, si dell’albero A, la linea tratteggiata gli archi del viene a formare un percorso chiuso (maglia co-albero C): fondamentale) MF1 = {1, 2, 6}. Il co-albero, in questo caso, è C = {1, 3, 5}. Aggiungendo l’arco di co-albero 3 all’albero, si Aggiungendo l’arco di co-albero 5 all’albero, si viene a formare un percorso chiuso (maglia viene a formare un percorso chiuso (maglia fondamentale) MF3 = {2, 3, 4, 6}. fondamentale) MF5 = {2, 4, 5}. Tagli topologici fondamentali Un taglio topologico si dice fondamentale se contiene un solo arco di albero. Dato che ogni taglio topologico fondamentale contiene un solo arco di albero: Stabiliamo che il taglio topologico fondamentale che contiene l’arco k-esimo di albero venga denotato con TFk. Deduciamo che, se un taglio fondamentale contiene un arco di albero, il numero di tagli fondamentali in un grafo coincide con il numero di archi di albero, ovvero numero di tagli fondamentali = a. Osserviamo quanto segue: I tagli topologici fondamentali si possono stabilire solo dopo aver effettuato una partizione del grafo in albero/co-albero. Un taglio topologico fondamentale si costruisce scegliendo una superficie che taglia un solo arco di albero. Esempio (la linea continua indica gli archi Aggiungendo l’arco di albero 1 al co-albero, si dell’albero A, la linea tratteggiata gli archi del vede che è possibile determinare una co-albero C): superficie chiusa S che tocca solo questo arco di albero e alcuni archi di co-albero. Tale superficie determina il taglio fondamentale T F1 = {1, 3, 6}. L’albero è A = {1, 2, 4}. Aggiungendo l’arco di albero 2 al co-albero, si trova una superficie chiusa S che tocca solo questo arco di albero e alcuni archi di co-albero. Tale superficie determina il taglio fondamentale T F2 = {2, 5, 6}. Aggiungendo l’arco di albero 4 al co-albero, si trova una superficie chiusa S che tocca solo questo arco di albero e alcuni archi di co-albero. Tale superficie determina il taglio fondamentale T F4 = {3, 4, 5}. Esempio (la linea continua indica gli archi Aggiungendo l’arco di albero 2 al co-albero, si dell’albero A, la linea tratteggiata gli archi del trova una superficie chiusa S che tocca solo co-albero C): questo arco di albero. Tale superficie determina il taglio fondamentale T F2 = {1, 2, 3, 5}. L’albero topologico, in questo caso, è A={2,4,6}. Aggiungendo l’arco di albero 4 al co-albero, si Aggiungendo l’arco di albero 6 al co-albero, si trova una superficie chiusa S che tocca solo trova una superficie chiusa S che tocca solo questo arco di albero. Tale superficie questo arco di albero. Tale superficie determina il taglio fondamentale T F4 = {3, 4, 5}. determina il taglio fondamentale T F6 = {1, 3, 6}. Non esistono ulteriori tagli fondamentali, in quanto a = 3 ed abbiamo individuato già tre tagli fondamentali. Equazione topologica “B” In un grafo con dimensioni (N, R), qualsiasi partizione ha c = R − N + 1 archi di co-albero e quindi c maglie fondamentali. Si possono scrivere quindi esattamente c equazioni LKT alle c maglie fondamentali. Le tensioni di albero sono fra loro linearmente indipendenti, in quanto l’albero topologico, per definizione, non contiene maglie e non è quindi possibile scrivere alcun vincolo tra le sole tensioni di albero. Le tensioni di albero formano quindi una base di tensioni per il circuito/grafo e le LKT sulle maglie fondamentali esprimono la dipendenza delle tensioni di co-albero dalle tensioni di albero.Raggruppando le c LKT sulle maglie fondamentali tramite una scrittura vettoriale, si ottiene la cosiddetta Equazione topologica “B”. Riprendiamo un esempio precedente di grafo e di partizione (la linea continua indica gli archi dell’albero, la linea tratteggiata gli archi del co-albero): La maglia fondamentale MF1 = {1, 2, 6}. La maglia fondamentale MF3 = {2, 3, 4, 6}. Percorriamo questa maglia in modo che, nella Percorriamo questa maglia in modo che, nella LKT, la tensione di arco di co-albero 1 sia LKT, la tensione di arco di co-albero 3 sia positiva, ovvero in verso antiorario. positiva, ovvero in verso antiorario. La LKT-MF1 si scrive v1 + v2 − v6 = 0. La LKT-MF3 si scrive v3 + v2 − v4 − v6 = 0. La maglia fondamentale MF5 = {2, 4, 5}. Riassumendo le LKT trovate nell’esempio, Percorriamo questa maglia in modo che, nella abbiamo LKT, la tensione di arco di co-albero 5 sia LKT-MF1) v1 + v2 − v6 = 0. positiva, ovvero in verso orario. LKT-MF3) v3 + v2 − v4 − v6 = 0. LKT-MF5) v5 + v2 − v4 = 0. Due osservazioni importanti: La tensione di co-albero v1 compare solo nella LKT-MF1, la tensione di co-albero v3 compare solo nella LKT-MF3, la tensione di co-albero v5 compare solo nella LKT-MF5 (sempre con il segno positivo, per costruzione). Le altre tensioni che compaiono nelle LKT La LKT-MF5 si scrive v5 + v2 − v4 = 0. sono le tensioni sugli archi di albero (v2, v4, v6) pesate con i coefficienti 0, +1, −1. Introducendo una notazione vettoriale, è possibile riscrivere le LKT trovate nell’esempio in modo più compatto. Inoltre, è possibile scrivere una espressione generale che lega le tensioni di albero alle tensioni di co-albero. Definiamo: In generale, Va è un vettore colonna che contiene le tensioni sugli archi di albero ed ha dimensione a × 1, Vc è un vettore colonna che contiene le tensioni sugli archi di co-albero ed ha dimensione c × 1. Le LKT sulle maglie fondamentali si possono scrivere, in modo compatto, come Vc + BVa = 0, che viene detta Equazione topologica “B”. In questa equazione, B è una matrice di dimensione c ×a i cui elementi possono valere solo 0, +1 o −1. Il vettore ‘0’ è un vettore nullo di dimensione c × 1. Riprendendo l’esempio, LKT-MF1) v1 + v2 − v6 = 0. LKT-MF3) v3 + v2 − v4 − v6 = 0. LKT-MF5) v5 + v2 − v4 = 0. l’Equazione topologica “B” ha la forma: Vanno determinati gli elementi della matrice B. La prima riga della matrice è legata alla LKT- L’Equazione topologica “B” ha la forma MF1: LKT-MF1) v1 + v2 − v6 = 0. LKT-MF3) v3 + v2 − v4 − v6 = 0. LKT-MF5) v5 + v2 − v4 = 0. La seconda riga della matrice è legata alla LKT- La terza riga della matrice è legata alla LKT- MF3: MF5: Con questo procedimento si è determinata la matrice topologica relativa all’esempio. Equazione topologica “A” In un grafo con dimensioni (N, R), qualsiasi partizione ha a = N − 1 archi di albero e quindi a tagli fondamentali. Si possono scrivere quindi esattamente a equazioni LKC agli a tagli fondamentali. Le correnti di co-albero sono fra loro linearmente indipendenti. Le correnti di co-albero formano quindi una base di correnti per il circuito/grafo e le LKC sui tagli fondamentali esprimono la dipendenza delle correnti di co-albero dalle correnti di albero. Raggruppando le a LKC sui tagli fondamentali tramite una scrittura vettoriale, si ottiene la cosiddetta Equazione topologica “A”. Riprendiamo nuovamente l’esempio Consideriamo il taglio fondamentale T F2 = {1, precedente di grafo e di partizione (la linea 2, 3, 5}. Consideriamo, come verso a cui continua indica gli archi dell’albero, la linea attribuire il segno + alle correnti, quello tratteggiata gli archi del co-albero): dell’arco di albero (in questo caso, il verso uscente è positivo). La LKC-T F2 si scrive i2 − i1 − i3 − i5 = 0. Consideriamo il taglio fondamentale T F4 = {3, Consideriamo il taglio fondamentale T F6 = {1, 4, 5}. 3, 6}. La LKC-T F4 si scrive i4 + i3 + i5 = 0. La LKC-T F6 si scrive i6 + i1 + i3 = 0. Riassumendo le LKC trovate nell’esempio, abbiamo LKT-T F2) i2 − i1 − i3 − i5 = 0. LKT-T F4) i4 + i3 + i5 = 0. LKT-T F6) i6 + i1 + i3 = 0. Due osservazioni importanti: La corrente di albero i2 compare solo nella LKC-MF2, la corrente di albero i4 compare solo nella LKC-MF4, la corrente di albero i6 compare solo nella LKC-MF6 (sempre con il segno positivo, per costruzione). Le altre correnti che compaiono nelle LKC sono le correnti sugli archi di co-albero (i3, i5, i7) pesate con i coefficienti 0, +1, −1. Introducendo una notazione vettoriale, è possibile riscrivere le LKC trovate nell’esempio in modo più compatto. Inoltre, è possibile scrivere una espressione generale che lega le correnti di albero alle correnti di co-albero. Definiamo: In generale, Ia è un vettore colonna che contiene le correnti sugli archi di albero ed ha dimensione a × 1, Ic è un vettore colonna che contiene le correnti sugli archi di co-albero ed ha dimensione c × 1. Le LKC sui tagli fondamentali si possono scrivere, in modo compatto, come Ia + AIc = 0, che viene detta Equazione topologica “A”. In questa equazione, A è una matrice di dimensione a × c i cui elementi possono valere solo 0, +1 o −1. Il vettore ‘0’ è un vettore nullo di dimensione a × 1. Riprendendo l’esempio, LKC-T F2) i2 − i1 − i3 − i5 = 0. LKC-T F4) i4 + i3 + i5 = 0. LKC-T F6) i6 + i1 + i3 = 0. L’Equazione topologica “A” ha la forma Vanno ora determinati gli elementi della matrice A. La prima riga della matrice è legata alla LKC-T La seconda riga della matrice è legata alla F2: LKC-T F4 La terza riga della matrice è legata alla LKC-T Con questo procedimento si è determinata la F6: matrice topologica relativa all’esempio. Terza equazione topologica Esiste una terza relazione che lega fra loro le matrici topologiche A e B. Desumiamo questa relazione dall’ultimo esempio: Si osserva facilmente come ogni riga di A coincida con la corrispondente colonna di B cambiata di segno, dunque risulta: A = −B⊤, B = −A⊤. Esercizio sul calcolo delle matrici topologiche Dato il seguente grafo orientato con la partizione indicata (linee continue = albero, linee tratteggiate = co-albero): determinare le matrici topologiche A e B. Procedimento: Il numero di archi nell’albero è a = 4 e il numero di archi nel co-albero è c = 3. Determinare le 3 maglie fondamentali e scrivere le rispettive LKT. Definire i vettori Va e Vc e determinare la matrice topologica rettangolare B estraendo i coefficienti dalle LKT. Determinare i 4 tagli fondamentali e scrivere le rispettive LKC. Definire i vettori Ia e Ic e determinare la matrice topologica rettangolare A estraendo i coefficienti dalle LKC. Risposta: Ricordando che A=−BT, è sufficiente determinare una delle matrici per ottenere anche l’altra. In pratica, quindi, è sufficiente determinare solo le maglie fondamentali (i tagli fondamentali) e scrivere solo le LKT (LKC). Metodo di analisi su base maglie e metodo delle correnti fittizie di maglia Equazioni topologiche Indichiamo con Va e Vc il vettore delle tensioni di albero e co-albero, rispettivamente. Le tensioni di albero sono indipendenti tra loro. Indichiamo con Ia e Ic il vettore delle correnti di albero e co-albero, rispettivamente. Le correnti di co-albero sono indipendenti tra loro. Equazione topologica “A”: Ia + AIc = 0, Equazione topologica “B”: Vc + BVa = 0, Terza equazione topologica: B = −A⊤. In un grafo con R rami (o archi) e N nodi, risulta: Numero di rami dell’albero: a = N − 1, Numero di rami del co-albero: c = R − N + 1. Le dimensioni dei vettori sono: Vettori Ia e Va: Sono vettori a × 1 (appartengono a Ra), Vettori Ic e Vc: Sono vettori c × 1 (appartengono a Rc). Le caratteristiche delle matrici sono: La matrice A ha dimensione a × c e gli elementi appartengono a {0, ±1}. La matrice B ha dimensione c × a e gli elementi appartengono a {0, ±1}. Valgono le seguenti proprietà: Le equazioni topologiche “A” costituiscono un sottoinsieme delle leggi di Kirchhoff alle correnti (LKC) e sono equazioni indipendenti tra loro. Le equazioni topologiche “B” costituiscono un sottoinsieme delle leggi di Kirchhoff alle tensioni (LKT) e sono equazioni indipendenti tra loro. Obiettivo dei metodi di analisi di circuiti Dati i valori dei componenti, determinare una o più tensioni e correnti nel circuito. Esempio: Dati R1, R2, R3, L1, L2, L3, C1, C2, C3 e vg (t), trovare iR3 (t). Ipotesi per l’applicazione del MABM Perché si possa applicare il metodo di analisi su base maglie (MABM), è necessario che il circuito da analizzare contenga solamente: Resistori e generatori indipendenti di tensione (GIT). Una volta sviluppato il metodo di analisi su base maglie valido in questa ipotesi restrittiva, è possibile estenderlo in modo diretto al caso realistico in cui il circuito contenga anche tutti gli altri componenti. Metodo di analisi su base maglie Consideriamo un generico bipolo k-mo all’interno di un circuito che contiene solo resistori e GIT. Se il bipolo è un resistore di valore Rk, allora vale vk = Rkik. Se il bipolo è un generatore indipendente di tensione di valore vgk, allora vale vk = vgk. Per l’ipotesi fatta, non esistono altre possibilità. I due casi precedenti si possono riassumere nella relazione costitutiva di un bipolo generico: vk = Rkik + vgk, con la convenzione che: se il bipolo è un resistore, si intende che vgk = 0; se il bipolo è un generatore indipendente di tensione, si intende che Rk = 0. Per un grafo con R archi, si ha k = 1,... , R. Per ogni arco dell’albero e per ogni arco del coalbero si può scrivere una relazione del tipo vk = Rkik + vgk. Le relazioni costitutive per gli archi dell’albero si possono riassumere nell’equazione:  Va = RaIa + Vg,a, dove: Ra è una matrice a × a diagonale che contiene i valori dei resistori sugli archi dell’albero; Vg,a è un vettore a × 1 che contiene i valori dei generatori indipendenti di tensione sugli archi dell’albero. Analogamente, le relazioni costitutive per gli archi di coalbero si possono riassumere nell’equazione: Vc = RcIc + Vg,c, dove: Rc è una matrice c × c diagonale che contiene i valori dei resistori sugli archi del coalbero; Vg,c è un vettore c × 1 che contiene i valori dei generatori indipendenti di tensione sugli archi del coalbero. Riassumendo, sono disponibili le equazioni: dove: sono note le quantità: Ra, Rc, Vg,a, Vg,c, A, B; sono incognite le quantità: Va, Vc, Ia, Ic. Le equazioni, in totale, sono: a + c + c + a = 2(a + c) = 2(N − 1 + R − N + 1) = 2R. Le equazioni sono linearmente indipendenti l’una dall’altra. Le incognite in totale sono 2R (una coppia (vk, ik) per ogni ramo del circuito/arco del grafo). Il sistema risolvente è consistente. Conviene scrivere il sistema risolvente in funzione di un solo gruppo di incognite dette fondamentali. Nel MABM le incognite fondamentali sono le correnti Ic. Il sistema risolvente ridotto per il metodo di analisi su base maglie si scrive: RmIc = Vg,m. Complessità sistema risolvente = Dimensione co-albero (c). Sostituendo le relazioni costitutive: Va = RaIa + Vg,a, Vc = RcIc + Vg,c, nell’equazione topologica “B”: Vc + BVa = 0, si ottiene: RcIc + Vg,c + B(RaIa + Vg,a) = 0, ovvero: RcIc + BRaIa = −Vg,c − BVg,a. Dalla relazione: RcIc + BRaIa = −Vg,c − BVg,a. e dalla equazione topologica “A”: Ia = −AIc, si ottiene: RcIc + BRa(−AIc) = −Vg,c − BVg,a, ovvero: (Rc − BRaA)Ic = −Vg,c − BVg,a. Dalla relazione: (Rc − BRaA)Ic = −Vg,c − BVg,a. ponendo: Rm := Rc − BRaA, Vg,m := −Vg,c − BVg,a, il sistema risolvente ridotto si scrive RmIc = Vg,m. Valgono le seguenti proprietà: la matrice Rm è dimensionalmente omogenea (tutti gli elementi hanno unità di misura Ohm); il vettore Vg,m è dimensionalmente omogeneo (tutti gli elementi hanno unità di misura Volt); la matrice Rm è simmetrica (cioé vale R⊤ = Rm). È utile ricordare due proprietà delle matrici:  Ogni matrice diagonale è anche simmetrica. Per ogni coppia di matrici E ed F tali che si possa calcolare il prodotto EF, vale: (EF)⊤ = F⊤E⊤ (notare l’ordine inverso dei prodotti). Per dimostrare la proprietà di simmetria si può procedere come segue: dove si è usata la terza equazione topologica (B = −A⊤). Esempio di applicazione del MABM Consideriamo il seguente circuito elettrico: DATI: R2, R3, R4, R6, vg1(t), vg5(t). OBIETTIVO: Scrivere un sistema risolvente per il circuito. Il grafo (con un orientamento) relativo al circuito è: Il grafo relativo al circuito ha: R = 6 archi, N = 4 nodi, quindi: l’albero è costutito da a = N − 1 = 3 archi, il coalbero è costituito da c = R − N + 1 = 3 archi. Qualsiasi scelta per l’albero e il coalbero deve rispettare queste dimensioni. Si sceglie questa partizione (albero = linea continua, coalbero = linea tratteggiata): Per la scelta fatta, si pongono: Maglia fondamentale associata all’arco di Maglia fondamentale associata all’arco di coalbero 1: coalbero 3: LKT alla maglia fondamentale: v1 + v2 − v6 = 0. LKT alla maglia fondamentale: v3 − v4 + v2 − v6 = 0. Maglia fondamentale associata all’arco di LKT alla maglia fondamentale: v5 − v2 + v4 = 0. coalbero 5: Le tre equazioni LKT trovate in precedenza: possono essere sintetizzate nell’equazione topologica “B”: Da cui si trova che: e, quindi, dalla terza equazione topologica (A = −B⊤): Per verifica, si può determinare direttamente la matrice A. Taglio fondamentale associato all’arco di Taglio fondamentale associato all’arco di albero 6: albero 4: Equazione LKC al taglio fondamentale: Equazione LKC al taglio fondamentale: i6+i1+i3= 0. i4+i3−i5= 0. Taglio fondamentale associato all’arco di Equazione LKC al taglio fondamentale: i2 − i1 − albero 2: i3 + i5 = 0. Le tre equazioni LKC trovate in precedenza: possono essere sintetizzate nell’equazione topologica “A”: Equazioni costitutive per gli archi dell’albero: Relazioni costitutive: v6 = R6i6, v4 = R4i4, v2 = R2i2. Le tre relazioni costitutive trovate in precedenza: possono essere sintetizzate nell’equazione: Equazioni costitutive per gli archi del coalbero: Relazioni costitutive: v1 = vg1, v3 = R3i3, v5 = vg5. Le tre relazioni costitutive trovate in precedenza: possono essere sintetizzate nell’equazione: Per cui si è trovato che: Con le istanze trovate di Ra, Rc, Vg,a, Vg,c, A e B è possibile determinare il sistema risolvente secondo il MABM. Occorre ora calcolare: Quindi il sistema risolvente è: Metodo delle correnti fittizie di maglia Il metodo delle c.f.m. si basa sulle seguenti idee: Si immagina che in ogni maglia fondamentale scorra una corrente fittizia indipendente. Poiché ogni arco del coalbero appartiene ad una sola maglia fondamentale, la corrente fittizia di maglia associata ad una maglia fondamentale coincide con la corrente dell’arco di coalbero a cui tale maglia fondamentale è associata. La corrente di ogni arco di albero può essere espressa come somma algebrica delle correnti fittizie di maglia associate alle maglie fondamentali di cui tale arco fa parte (segue dall’equazione topologica “A”). Esempio: Metodo delle correnti fittizie di maglia Consideriamo il circuito e l’albero/coalbero Corrente fittizia di maglia associata all’arco sovrapposti: del coalbero 1: I rami colorati corrispondono agli archi di coalbero. NB: La MF1 è formata da vg1, R2, R6. Corrente fittizia di maglia associata all’arco Corrente fittizia di maglia associata all’arco del coalbero 3: del coalbero 5: NB: La MF3 è formata da R3, R4, R2, R6. NB: La MF5 è formata da vg5, R2, R4. LKT-MF1) R6(im1 + im3) + vg1 + R2(im1 + im3 − im5) = 0 LKT-MF3) R3im3 + R4(im3 − im5) + R2(im3 + im1 − im5) + R6(im3 + im1) = 0 LKT-MF5) vg5 + R2(im5 − im3 − im1) + R4(im5 − im3) = 0 Le tre equazioni alle maglie trovate: danno luogo al sistema risolvente ridotto: Per concludere, si osservi che: Le correnti fittizie di maglia coincidono con le correnti degli archi di coalbero (im1 ≡ i1, im3 ≡ i3, im5 ≡ i5). La matrice dei coefficienti del sistema risolvente Rm è simmetrica e omogenea dimensionalmente.  Il vettore dei termini noti Vg,m è omogeneo dimensionalmente. Esercizio: MABM e metodo CFM Sia dato il seguente circuito, in cui sono da Considerando il seguente grafo orientato e la considerarsi noti R1, R2, R3, R4, R5, vg1(t) e vg2(t). partizione indicata (si veda anche parte finale delle slides sulla topologia circuitale), scrivere il sistema risolvente per il circuito, sia utilizzando il MABM che il metodo delle CFM. Risposta: Il sistema risolvente ridotto è: Il sistema risolvente ridotto RmIc = Vg,m cresce rapidamente di dimensione al crescere della dimensione del grafo. Metodo di analisi su base tagli e metodo delle tensioni nodali Ipotesi per l’applicazione del MABT Perché si possa applicare il metodo di analisi su base tagli (MABT), è necessario che il circuito da analizzare contenga solamente: Resistori e generatori indipendenti di corrente (GIC). Una volta sviluppato il metodo di analisi su base tagli valido in questa ipotesi restrittiva, è possibile estenderlo in modo diretto al caso realistico in cui il circuito contenga anche tutti gli altri componenti. Metodo di analisi su base tagli Consideriamo un generico bipolo k-mo all’interno di un circuito che contiene solo resistori e GIC. Se il bipolo è un resistore di conduttanza Gk, allora vale ik = Gkvk. Se il bipolo è un generatore indipendente di corrente di valore ig,k, allora vale ik = ig,k. Per l’ipotesi fatta, non esistono altre possibilità. I due casi precedenti si possono riassumere nella relazione costitutiva: ik = Gkvk + ig,k, con la convenzione che: se il bipolo è un resistore, si intende che ig,k = 0; se il bipolo è un generatore indipendente di corrente, si intende che Gk = 0. Per un grafo con R archi, si ha k = 1,... , R. Per ogni arco dell’albero e per ogni arco del coalbero si può scrivere una relazione del tipo ik = Gkvk + ig,k. Le relazioni costitutive per gli archi dell’albero si possono riassumere nell’equazione: Ia = GaVa + Ig,a, dove: Ga è una matrice a × a diagonale che contiene i valori delle conduttanze sugli archi dell’albero; Ig,a è un vettore a × 1 che contiene i valori dei generatori indipendenti di corrente sugli archi dell’albero. Analogamente, le relazioni costitutive per gli archi di coalbero si possono riassumere nell’equazione:  Ic = GcVc + Ig,c, dove: Gc è una matrice c × c diagonale che contiene i valori delle conduttanze sugli archi del coalbero; Ig,c è un vettore c × 1 che contiene i valori dei generatori indipendenti di corrente sugli archi del coalbero. Riassumendo, sono disponibili le equazioni, dove sono note le quantità: Ga, Gc, Ig,a, Ig,c, A, B; sono incognite le quantità: Va, Vc, Ia, Ic. Le equazioni, in totale, sono: a + c + c + a = 2(a + c) = 2(N − 1 + R − N + 1) = 2R. Le equazioni sono linearmente indipendenti l’una dall’altra. Le incognite in totale sono 2R (una coppia (vk, ik) per ogni ramo del circuito/arco del grafo). Il sistema risolvente è consistente. Conviene scrivere il sistema risolvente in funzione di un solo gruppo di incognite dette fondamentali. Nel MABT le incognite fondamentali sono le tensioni Va. Il sistema risolvente per il metodo di analisi su base tagli si scrive: GTVa = Ig,T. Complessità sistema risolvente = Dimensione albero (a). Scelta del metodo risolvente Per quanto visto relativamente ai metodi MABM e MABT, possiamo affermare che: Il MABM è conveniente quando c ≪ a. Il MABT è conveniente quando a ≪ c. Questa osservazione può guidare nella scelta del metodo risolvente più opportuno per un dato circuito elettrico. Sostituendo le relazioni costitutive: Ia = GaVa + Ig,a, Ic = GcVc + Ig,c nell’equazione topologica “A”: Ia + AIc = 0, si ottiene: GaVa + Ig,a + A(GcVc + Ig,c) = 0, ovvero: GaVa + AGcVc = −Ig,a − AIg,c. Dalla relazione: GaVa + AGcVc = −Ig,a − AIg,c e dalla equazione topologica “B”: Vc = −BVa, si ottiene: GaVa + AGc(−BVa) = −Ig,a − AIg,c, ovvero: (Ga − AGcB)Va = −Ig,a − AIg,c. Dalla relazione: (Ga − AGcB)Va = −Ig,a − AIg,c Ponendo: il sistema risolvente si scrive GTVa = Ig,T. Valgono le seguenti proprietà: la matrice GT è dimensionalmente omogenea (tutti gli elementi hanno unità di misura Ω−1); il vettore Ig,T è dimensionalmente omogeneo (tutti gli elementi hanno unità di misura Ampere); la matrice GT è simmetrica (cioè vale G⊤ = GT). Per dimostrare la proprietà di simmetria si può procedere come segue: dove si è usata la terza equazione topologica. Esercizio su metodo di analisi su base tagli Sia dato il seguente circuito, in cui sono da Consideriamo il seguente grafo orientato con considerarsi noti R1, R2, R3, R4, R5, ig1(t) e ig2(t). l’indicata partizione. Si vuole scrivere scrivere il sistema risolvente per il circuito utilizzando il MABT. Abbiamo già determinato le matrici topologiche relative a questo grafo e a questa partizione, ovvero: Occorre quindi determinare le matrici delle conduttanze e i vettori dei GIC secondo la topologia del circuito e i valori dei componenti. Per quanto riguarda gli archi di coalbero, abbiamo: Da cui si trova che Per quanto riguarda gli archi di albero, abbiamo: da cui si trova che Eseguendo i calcoli matriciali si trova che Per cui, il sistema risolvente ridotto, si scrive: Metodo di analisi su base nodi Il metodo di analisi su base nodi (MABN) o delle tensioni nodali è un algoritmo implementativo del MABT che permette di scrivere il sistema risolvente senza eseguire calcoli matriciali. È basato sul concetto di grafo aumentato. Grafo aumentato associato ad un circuito Osservando il grafo relativo al circuito dell’esempio, osserviamo che non tutte le coppie di nodi sono connesse. Per esempio, non esiste alcun arco tra la coppia di nodi (A,F) né tra la coppia di nodi (D,G). Il grafo aumentato si ottiene aggiungendo un arco tra ciascuna coppia di nodi che non è già connessa: Si osservi che da ogni nodo del grafo aumentato partono esattamente quattro (ovvero N − 1) archi. Il grafo aumentato ha ancora N = 5 nodi (come il grafo originario) ma R = 10 archi. Pertanto, l’albero ha ancora a = 4 archi, mentre il coalbero ha c = 6 archi. Per consistenza logica, osserviamo che un arco nel grafo deve corrispondere ad un bipolo del circuito. Tale corrispondenza si ottiene aggiungendo al circuito diversi circuiti aperti o, equivalentemente, resistori a conduttanza nulla (G = 0), che non modificano nè le tensioni nè le correnti del circuito originario. Ora osserviamo che, in un grafo completamente connesso, è sempre possibile scegliere un albero prendendo tutti gli archi che connettono un dato nodo agli altri nodi. Il nodo da cui partono gli archi si chiama nodo di riferimento. Esempio di albero corrispondente al nodo di Esempio di albero corrispondente al nodo di riferimento A: riferimento F: In questo caso, l’albero è AA = {1, 2, 8, 9}. In questo caso, l’albero è AF = {4, 5, 6, 8}. Un grafo completamente connesso ha una importante proprietà: I tagli fondamentali relativi all’albero costruito come mostrato si determinano tramite delle superfici che circondano i nodi (ad eccezione del nodo di riferimento). Vantaggio: In questo modo, non è necessario individuare una partizione e i relativi tagli fondamentali in quanto, scelto il nodo di riferimento, l’albero è automaticamente determinato. Esempio: Tagli fondamentali corrispondenti Esempio: Tagli fondamentali corrispondenti all’albero AA: all’albero AF: Si consideri il circuito seguente e si scelga come riferimento il nodo indicato dal simbolo in rosso. Definiamo tensioni nodali le tensioni tra ciascun nodo e il nodo di riferimento eA, eB, eD, eG. La tensione nodale eA ha il segno + nel nodo A e il segno − nel nodo di riferimento, e così via. Il metodo di analisi su base nodi consiste nel seguente algoritmo: Scegliere un nodo di riferimento. Definire, come tensioni nodali (coincidenti con tensioni di albero), le tensioni tra ciascun nodo e il nodo di riferimento, preso il segno − su quest’ultimo per tutte le tensioni nodali. Il metodo di analisi su base nodi consiste nel seguente algoritmo (continua): Scrivere il bilancio delle correnti (LKC) su ciascun nodo, utilizzando i valori dei GIC, delle tensioni nodali e delle conduttanze. In ciascun nodo, si prendano positive le correnti uscenti dal nodo stesso. Le correnti sui resistori si considerano sempre uscenti dal nodo sul quale si sta scrivendo la LKC. Gli archi aggiunti possono essere trascurati in quanto, corrispondendo a dei circuiti aperti, non contribuiscono al bilancio delle correnti nei nodi. Nel MABN, si scrivono le LKC ai tagli fondamentali, ovvero i bilanci delle correnti nei nodi. Nodo A) G1(eA − eD) + G2(eA − eB) = 0. Nodo B) G2(eB − eA) − ig1 + G3eB − ig2 = 0. Nodo D) G1(eD − eA) + ig1 + G5eD = 0. Nodo G) G4eG + ig2 = 0. Quindi il sistema risolvente per questo circuito, scritto con il MABN, è: Il sistema risolvente GTVa = Ig,T cresce rapidamente di dimensione al crescere della dimensione dell’albero. Metodo di analisi su base tagli misto Il metodo di analisi su base tagli misto estende il metodo di analisi su base tagli (o delle tensioni nodali o MABN) al caso in cui il circuito da analizzare contenga altri bipoli, oltre a resistori e generatori indipendenti di corrente e contenga reti 2-porte (esclusi i componenti con memoria). Esso consiste nel riguardare ciascuna porta elettrica diversa da un resistore o da un generatore indipendente di corrente come un generatore indipendente di corrente fittizio (ovvero con corrente impressa incognita). Ciò dà luogo ad una incognita in più ma anche ad una equazione in più nel sistema risolvente. Il sistema risolvente nel caso di utilizzo del metodo di analisi su base tagli (o nodi) misto è lineare (algebrico) del tipo: Ax = b, dove A è la matrice (quadrata) dei coefficienti del sistema lineare risolvente, b è il vettore dei termini noti e x è il vettore delle incognite. Da notare che: Il vettore delle incognite può contenere sia incognite in tensione che incognite in corrente. La matrice A non è, in generale, né simmetrica né omogenea dimensionalmente. Il vettore b non è, in generale, omogeneo dimensionalmente Per determinare una tensione o una corrente in uno specifico ramo del circuito occorre:  Scrivere il sistema risolvente e determinare le incognite fondamentali. Per determinare la tensione ai capi di un ramo del circuito che non faccia parte delle incognite fondamentali, occorre scrivere la LKT su una maglia qualsiasi (cioè, non necessariamente una maglia fondamentale) che contenga tale ramo. Per determinare la corrente su di un ramo del circuito che non faccia parte delle incognite fondamentali, occorre scrivere la LKC su un taglio qualsiasi (cioè, non necessariamente un taglio fondamentale) che contenga tale ramo. Criteri per scegliere il nodo di riferimento: In genere, è conveniente scegliere come nodo di riferimento un nodo in cui sono collegati molti componenti (questo consente di scrivere le tensioni ai capi di quei componenti come tensioni nodali, piuttosto che come differenze tra tensioni nodali). È conveniente lasciare i GIT sugli archi di albero, cioè, scegliere come nodo di riferimento un nodo dove sono collegati uno o più generatori indipendenti di tensione. Complementi su bipoli, reti 2-porte e complementi di topologia circuitale Porta elettrica e rete “2-porte” Diamo le seguenti definizioni: Porta elettrica: Coppia di terminali sui quali scorre una unica corrente. Tale corrente è detta corrente di porta mentre la tensione tra i due terminali è detta tensione di porta. Rete 2-porte: Un circuito accessibile da 4 terminali che si comportano come 2 porte elettriche. Una rete 2-porte è descritta da 4 variabili (2 tensioni di porta e 2 correnti di porta). Generalizzazione: E’ possibile generalizzare questo concetto introducendo reti N -porte descritte da 2N variabili elettriche. Generalità sulle reti 2-porte Una generica rete 2-porte si indica con il simbolo grafico: Il comportamento di una rete 2-porte è descritto da una coppia di funzioni generatrici (f1, f2) e dalle due equazioni di vincolo: Reti 2-porte “in configurazione sbilanciata” In diversi casi di interesse pratico, i due terminali “−” delle due porte sono collegati insieme e fungono da unico terminale “−”. In questo caso, si usa il simbolo grafico: Il comportamento della rete 2-porte è identico, e la rete si dice in configurazione sbilanciata. Potenza istantanea ed energia per reti 2-porte La potenza istantanea associata ad una rete 2-porte è definita come: p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t). L’energia associata ad una rete 2-porte è definita come: con la convenzione e(−∞) = 0. Una rete 2- porte si dice energeticamente passiva se: e(t) ≥ 0, ∀t. Reti 2-porte Le reti 2-porte elementari sono: Giratore Trasformatore ideale Induttori mutuamente accoppiati (IMA)  Nullore Rete 2-porte in configurazione “Z” e “Y ” Tutti questi componenti sono lineari tempo-invarianti. Il 2-porte elementare “giratore” Il simbolo grafico del giratore (dall’inglese gyrator) è: Il giratore ha un parametro caratteristico, indicato con r, detto rapporto di girazione, che si misura in Ohm. Il comportamento del giratore è descritto dalle relazioni costitutive: Applicazione: Il giratore come convertitore L ↔ C Consideriamo il seguente bipolo: con r e C noti. Combinando le relazioni: 𝑑𝜈 v1 = −r i2, v2 = r i1, i2 = −C 𝑑𝑡2 si ottiene: Questa tecnica viene utilizzata per costruire induttori microscopici (tecnologia integrata), che altrimenti sarebbero di dimensioni non compatibili con la miniaturizzazione. Comportamento energetico del giratore La potenza istantanea scambiata da un giratore vale: p = v1i1 + v2i2 = (−ri2)i1 + (ri1)i2 = 0. Dunque, il giratore, nel complesso, non accresce né decrementa il proprio contenuto energetico nel tempo. L’energia istantanea scambiata da un giratore vale: Dunque, il giratore è un 2-porte passivo. Il 2-porte elementare “nullore” Il simbolo grafico del nullore è: Il comportamento del nullore è descritto dalle relazioni costitutive: Il nullore non ha parametri e non vincola le variabili elettriche della porta “∞”. La potenza istantanea scambiata da un nullore vale: p = v0i0 + v∞i∞ = v∞i∞. Poiché non è possibile dire alcunché, a priori, sulla potenza istantanea, il nullore può sia assorbire che erogare energia in quantità arbitraria. L’energia istantanea scambiata da un nullore vale: Poiché non è possibile dire alcunché, a priori, sul segno dell’energia istantanea, il nullore è un 2-porte attivo. Il 2-porte elementare “nullore” Al fine di semplificare l’analisi circuitale, il nullore si può scomporre in due bipoli (non fisicamente realizzabili separatamente) chiamati “nullatore” e “noratore”. Qui il nullatore rappresenta la prima porta e il noratore rappresenta la seconda porta. Il 2-porte elementare “trasformatore ideale” Il simbolo grafico del trasformatore è: Il comportamento del trasformatore ideale è descritto dalle relazioni costitutive: Il parametro n è detto rapporto di trasformazione. È un componente ideale che rappresenta il comportamento di trasformatori reali. Il trasformatore come riduttore di resistenza Consideriamo il seguente bipolo: con n e R noti. Combinando le relazioni: si ottiene: Comportamento energetico del trasformatore La potenza istantanea scambiata da un trasformatore vale: Dunque, il bilancio istantaneo dell’energia scambiata dal trasformatore è nullo. L’energia istantanea scambiata da un trasformatore vale: Dunque, il trasformatore è un 2-porte passivo. Il 2-porte “induttori mutuamente accoppiati (IMA)” Il simbolo grafico è: Il comportamento degli induttori mutuamente accoppiati è descritto dalle relazioni costitutive: I parametri L1, L2 e M si misurano in Henry (H) Comportamento energetico degli IMA La potenza istantanea scambiata dagli IMA vale: Poiché non è possibile dire alcunché, a priori, sulla potenza istantanea, gli IMA possono sia assorbire che erogare energia in quantità arbitraria. L’energia istantanea scambiata dagli IMA vale: Gli IMA costituiscono un 2-porte passivo se e solo se sono verificate le seguenti condizioni: Affinché la rete 2-porte risulti energeticamente passiva, è necessario che e(t) ≥ 0 per ogni t ∈ R. Dato che l’energia istantanea non dipende esplicitamente dal tempo, conviene definire la funzione: e determinare per quali valori dei coefficienti L1, L2 ed M risulta e(i1, i2) ≥ 0 per ogni (i1, i2) ∈ R 2. Per i1 = 0, la condizione di passività si scrive: Per i2 = 0, la condizione di passività si scrive: Per i1 ≠ 0 e i2 ≠0, se L1 ≠ 0 conviene definire l’energia normalizzata: L’energia normalizzata ha espressione: Dunque, l’energia normalizzata dipende 𝑖2 solo dal rapporto x =𝑖1e si può scrivere: Esempi di energia normalizzata: La funzione e˜(x) rappresenta una parabola nella variabile x. La condizione e˜(x) ≥ 0 per ogni x ∈ R si può visualizzare come: Il valore minimo della funzione parabolica deve essere maggiore di zero. Per determinare il punto di minimo xm si impone la condizione: 𝑀 la cui soluzione è xm= −𝐿. 2 Il valore minimo della funzione parabolica e˜(x) è: La condizione di passività e˜(xm) ≥ 0 fornisce, quindi: M 2 ≤ L1 L2. La rete 2-porte “in configurazione Z” Il simbolo grafico è: Il comportamento della rete 2-porte “Z” è descritto dalle relazioni costitutive: I 4 parametri Zkh si misurano in Ohm (Ω). La rete 2-porte “in configurazione Y” Il simbolo grafico è: Il comportamento della rete 2-porte “Y” è descritto dalle relazioni costitutive: I 4 parametri Ykh si misurano in Ω−1. I generatori di corrente controllati (GCCT, GCCC) Il simbolo grafico è: Generatore di corrente controllato in tensione (GCCT): Relazione costitutiva: i(t) = g · vx(t). Il parametro g si dice trans- conduttanza e si misura in Ω−1. La tensione vx(t) si trova tra due punti diversi del circuito. Generatore di corrente controllato in corrente (GCCC): Relazione costitutiva: i(t) = h · ix(t). Il parametro h è adimensionale. La corrente ix(t) scorre in un ramo diverso del circuito. I generatori di tensione controllati (GTCT, GTCC) Il simbolo grafico è: Generatore di tensione controllato in tensione (GTCT): Relazione costitutiva: v(t) = k · vx(t). Il parametro k è adimensionale. La tensione vx(t) si trova tra due punti diversi del circuito. Generatore di tensione controllato in corrente (GTCC): Relazione costitutiva: v(t) = r · ix(t). Il parametro r si dice trans-resistenza e si misura in Ohm. La corrente ix(t) scorre in un ramo diverso del circuito. Esempio: Circuito con generatori controllati Dati: R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, R3 = 5Ω, vg = 14V , g = 1/2 Ω- 1 , r = 2/5 Ω. Proprietà dei generatori controllati I generatori controllati sono componenti 2-porte attivi, poiché non è possibile stabilire a priori il segno dell’energia istantanea associata. I generatori controllati sono componenti lineari tempo-invarianti. Teorema di conservazione della potenza istantanea In ogni circuito formato da porte elettriche: la potenza istantanea totale si conserva, ovvero: Stabilendo una struttura albero/coalbero arbitraria per il grafo associato al circuito, la potenza istantanea totale si scrive: Conservazione della potenza istantanea: Esempio Si esamini il circuito in figura, dove: R1 = 2Ω, R2 = 1Ω, vg = 4V , ig = 3A. I valori trovati sono: iR1 = 3A, iR2 = 4A, ix = −1A, vx = −10V. Appendice: Teorema di Tellegen Il teorema di conservazione della potenza istantanea si può anche riformulare in modo puramente geometrico, introducendo i vettori e osservando che V⊤I = 0, ovvero il vettore delle correnti è ortogonale al vettore delle tensioni. Bernard Tellegen ha osservato quanto segue: dati due circuiti differenti ma aventi stesso grafo, detti (V1, I1) tensioni e correnti del primo circuito e (V2, I2) tensioni e correnti del secondo circuito, risulta sempre V1⊤I2 = 0 e V2⊤I1 = 0. Metodi di analisi circuitale “misti” Il metodo di analisi su base maglie misto Il MABM si applica a circuiti che contengono solo resistori e generatori indipendenti di tensione. Per risolvere gli altri circuiti occorre estendere tale metodo che prende il nome di Metodo di analisi su base maglie misto. Il metodo di analisi su base maglie misto estende il metodo di analisi su base maglie (o delle correnti fittizie di maglia) al caso in cui il circuito da analizzare contenga bipoli diversi da resistori e generatori indipendenti di tensione e contenga reti 2-porte (esclusi i componenti con memoria). Esso consiste nel riguardare ciascuna porta elettrica diversa da un resistore o da un generatore indipendente di tensione come un generatore indipendente di tensione fittizio (ovvero con tensione impressa incognita). Ciò dà luogo ad una incognita in più ma anche ad una equazione in più per ogni porta elettrica così sostituita. Il sistema risolvente nel caso di analisi tramite metodo di analisi su base maglie misto è lineare del tipo: Ax = b, dove A è la matrice (quadrata) dei coefficienti del sistema lineare risolvente, b è il vettore dei termini noti e x è il vettore delle incognite. Da notare che: Il vettore delle incognite può contenere contemporaneamente sia incognite in tensione che incognite in corrente. La matrice A non è, in generale, né simmetrica né omogenea dimensionalmente. Il vettore b non è, in generale, omogeneo dimensionalmente. Per determinare una tensione o una corrente in uno specifico ramo del circuito occorre: Scrivere il sistema risolvente e determinare le incognite fondamentali. Per determinare la tensione ai capi di un ramo del circuito che non faccia parte delle incognite fondamentali, occorre scrivere la LKT su una maglia qualsiasi (cioè, non necessariamente una maglia fondamentale) che contenga tale ramo. Per determinare la corrente su di un ramo del circuito che non faccia parte delle incognite fondamentali, occorre scrivere la LKC su un taglio qualsiasi (cioè, non necessariamente un taglio fondamentale) che contenga tale ramo. Due criteri utili per la scelta della partizione del grafo: È utile posizionare gli archi interni del grafo nell’albero topologico. Questo consente di ottenere maglie fondamentali ‘corte’ e poco sovrapposte.  È utile posizionare i GIC sul co-albero. Questo consente di determinare immediatamente alcune correnti fittizie di maglia e, quindi, di diminuire il numero di incognite nel sistema risolvente. Il metodo di analisi su base nodi misto Il MABN si applica a circuiti che contengono solo resistori e generatori indipendenti di corrente. Per risolvere gli altri circuiti occorre estendere tale metodo che prende il nome di Metodo di analisi su base nodi misto. Il metodo di analisi su base tagli misto estende il metodo di analisi su base nodi (o delle tensioni nodali o MABN) al caso in cui il circuito da analizzare contenga altri bipoli, oltre a resistori e generatori indipendenti di corrente e contenga reti 2-porte (esclusi i componenti con memoria). Esso consiste nel riguardare ciascuna porta elettrica diversa da un resistore o da un generatore indipendente di corrente come un generatore indipendente di corrente fittizio (ovvero con corrente impressa incognita). Ciò dà luogo ad una incognita in più ma anche ad una equazione in più nel sistema risolvente per ogni porta elettrica così sostituita. Il sistema risolvente nel caso di utilizzo del metodo di analisi su base nodi (o nodi) misto è lineare (algebrico) del tipo: Ax = b, dove A