Stx Matematik A 2022 PDF

BØRNE- OG UN DE RVISN INGSMIN ISTERI ET STYRELSEN FOR UNDERVISNING OG KVALITET Matematik A Studentereksamen Fredag den 20. maj 2022 kl. 9.00 -14.00  Opgavesættet er delt i to dele:...

BØRNE- OG UN DE RVISN INGSMIN ISTERI ET STYRELSEN FOR UNDERVISNING OG KVALITET Matematik A Studentereksamen Fredag den 20. maj 2022 kl. 9.00 -14.00  Opgavesættet er delt i to dele: Deiprøve i : 2 timer kun med den centralt udmeldte formelsamling, herunder vedlagte indstiksark til formelsamlingen. Deiprøve 2: 3 timer med alle tilladte hjælpemidler. Delprøve i består af opgave 1-8. Til deiprøve 1 hører et bilag. Delprøve 2 består af opgave 9-14. Til deiprøve 2 hører et digitalt bilag. Pointtallet er angivet ud for hvert spørgsmål. Der gives i alt 250 point. En del af spørgsmålene er knyttet til mindstekravene. Disse spørgsmål er markeret med grøn farve. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. I bedømmelsen af helhedsindtrykket af besvarelsen af de enkelte opgaver lægges særlig vægt på følgende fire punkter:. Redegørelse og dokumentationfor metode Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte løsningsstrategi med dokumentation i form af et passende antal mellemregninger eller matematiske forklaringer på metoden, når et matematisk værktøjsprogram anvendes.. Figurer, grafer og andre illustrationer Besvarelsen skal indeholde hensigtsmæssig brug af figurer, grafer og andre illustrationer, og der skal være tydelige henvisninger til brug af disse i den forklarende tekst.. Notation og layout Besvarelsen skal i overensstemmelse med god matematisk skik opstilles med hensigtsmæssig brug af symbolsprog. Hvis der anvendes matematisk notation, der ikke hører til standardviden, skal der redegøres for betydningen.. Formidling ogforklaring Besvarelsen af rene matematikopgaver skal indeholde en angivelse af givne oplysninger og korte forklaringer knyttet til den anvendte løsningsstrategi beskrevet med brug af almindelig matematisk notation. Besvarelsen af opgaver, der omhandler matematiske modeller, skal indeholde en kort præsentation af modellens kontekst, herunder betydning af modellens parametre. De enkelte delspørgsmål skal afsluttes med en præcis konklusion præsenteret i et klart sprog i relation til konteksten.  stx matematik A 20. maj 2022 side i af 4 Delprove i kl. 9.00-11.00 Opgave 1 a) Bestem integralet (10 point) j’(x2 + 8x)dx. Opgave 2 a) Løs ligningen (lOpoint) (x—3)(2x—5)=O. Opgave 3 Funktionernefog g er givet ved f(x)=x2 +5 g(x)=4.. (10 point) a) Bestem f(2) og g(f(2)). Opgave 4 En parabel er givet ved ligningen y2 =6 x. (10 point) a) Vis, at punktetP(6, —6) ligger på parablen. (10 point) b) Bestem en ligning for tangenten til parablen i punktet P. Opgave 5 En funktionfer givet ved f(x) = x4 sin(x). (10 point) a) Bestem f’(x).  stx matematik A 20. maj 2022 side 2 af 4 Opgave 6 På figuren ses hældningsfeltet (2) hørende til differentialligningen %% %% %% %% %__ %.% %% ‘%% ‘% Bilag vedlagt (1) Grafen for en løsningftil - — — — — — — - — — — — — — — — — — — - / -p/ 7 / / / - / / / - differentialligningen går / / / / / / / / / / - / / / / / / gennem punktet P(1,—2). / /////// //////////// /1/I//I//I/I (10 point) a) Skitsér grafen forfpå ‘I//I//I I/I II /1/1/I, bilaget. ‘I//I//I /11/ / / /1/ / / / I//I//I, (10 point) b) Bestem en forskrift forf I / / / / / / / / / / / / / / / / / / I / / / / / / / / / / / / / / / / / / I Opgave 7 En funktionfaf to variable er givet ved f(x, y) = + + 2x. Det oplyses, atf har ét stationært punkt. (10 point) a) Bestem koordinatsættet til det stationære punkt. (10 point) b) Bestem arten af det stationære punkt. Opgave 8 En funktionfer givet ved f(x) = x3 — 3 x +4. (10 point) a) Bestem f’(x) og løs ligningen f’(x) , = 0. En funktion g er givet ved g(x) = x3 + k x + 4, hvor k er et tal.. (10 point) b) For hvilke værdier aftallet k har grafen for g ingen vandrette tangenter? Besvarelsen af deiprove i afleveres kl. 11.00  stx matematik A 20. maj 2022 side 3 af 4 [ Deiprøve 2 kl. 9.00-14.00 Opgave 9 En parameterkurve er givet ved stedfunktionen — (x(t) CoS sQ)=I 1=1 y(t)) (sin(1)) J ,.: (10 point)I a) Tegn parameterkurven for (t) (10 point) b)Bestem hastighedsfunktionen ‘(t). Opgave 10 På et gartneri udvælger man på tilfældig måde 200 fuldt udvoksede tulipaner af en bestemt art. Man måler længden af deres stilke, og tabellen herunder viser nogle af målingerne. Længde (mm) 300 271... 280 261 Hele tabellen med alle 200 målingerfindes i bilaget “Tulipanstilke.xlsx” (10 point) a) Gør rede for, at længden aftulipanernes stilke med god tilnærmelse kan beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel X. (10 point) b) Bestem middelværdi og spredning forX. På gartneriet udvælger man en tilfældig tulipan af denne art. (10 point) c) Bestem sandsynligheden for, at længden af stilken er mellem 270 mm og 330 mm. Opgave 11 En funktionfer givet ved f(x)=3—x+2. (10 point) a) Bestem funktionens nulpunkter. Sammen med førsteaksen afgrænser grafen forfet område M i første kvadrant. (10 point) b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 3600 om førsteaksen.  stx matematik A 20. maj 2022 side 4 af4 Opgave 12 (2) (1) Figur I Figur 2 Billedkilde: Living in.harmony Figur i viser et spisebordmed en ellipseformet bordplade. Figur 2 viser en model afbordpladen indlagt i et koordinatsystem med begyndelsespunkt i ellipsens centrum. Bordpladen måler 180 cm på den lange led og 105 cm på den korte led. (10 point) , a) Bestem ellipsens ligning på normalform. (10 point) ‘ b) Bestem koordinatsættet til hvert af ellipsens brændpunkter. Opgave 13 Befolkningsudviklingen i Taiwan i perioden 1996-2019 kan i en model beskrives ved differentialligningen —=O,003641P (23,95—P), dt hvor P(t) er antallet af indbyggere i Taiwan (målt i millioner), og t er antal år efter 1996. I 1 996 var der 2 1 ,53 millioner indbyggere i Taiwan. (10 point) a) Bestem en forskrift for P. (10 point) b) Bestem P’(23) og forklar betydningen af dette tal. , Opgave 14 Den hastighed, som vandstanden i verdenshavene stiger med, kan beskrives ved modellen fQ) = 0, 084 t +2,. hvor f(t) er hastigheden (målt i mm/år), og t er antal år efter i 991. (10 point a) Hvilken hastighed stiger vandstanden med i 2022 ifølge modellen?.,. : (10 point) b) Bestem f31f(t)dt, og forklar betydningen af dette tal. ‘. Kilde: dtu.dk  BILAG stx matematik A 20. maj 2022 Bilaget indgår i opgavebesvarelsen Skole Hold ID Navn Ark nr. Antal ark i alt Tilsynsførende Opgave 6 (2) %% %% \ \ \ \ \ %% \ % \ % \ \ \ \ \ ‘% %%% %%% %%% %%% %%% %%% %% %% %% %% %% %%% %% %%% ‘%% %% %%% ‘%% ‘%% %% (1) — — — — - — - — — — — — — — — — — — - — — — 7 7 7 7 - 7 7 7 7 7 7 7 — 7 7 7 — / // / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / / ‘I//I / / / / / / / / / I/I//I,, ‘I//I,,, //////////,/ I/I//I,, ///// /////// / / / / / / / / //// / /1/I // / / / / / / / / / Ihh / Ih//i / / / / / / / / / / / / I / / / / I I / / / / / / / / / / / / / I I / / / / / i I I I I I I I I I I I I I I I I I i i Besvarelsen af deiprøve i afleveres kl. 11.00  i( f. ¶LL tLt &i I Indstiksark til formelsamlingen stx matematik A maj 2022 Den generelle andengradsligning i to variable F(1) Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (2) (1) Cirkel 2 Ligning på normalform for cirkel med centrum C(O, 0) x2 F(2) —+ og radius r r2 r2 Areal A af ellipse med halvakser a og b F(3) A=ria b Ligning på normalform for ellipse med centrum F(4) C(0, 0), den halve storakse a og den halve lilleakse b Koordinatsæt til brændpunkter for ellipse med centrum J(_Ja2_b2,O) og1Ja2_b2,o) F(5) C(0, 0), den halve storakse a og den halve lilleakse b Ligning for tangenten i punktet P(x0 , y0) til ellipsen med centrum C(0, 0), den halve storakse a og den halve F(6) a b2 — lilleakse b  (% f ( i i i., - 1 ‘ L ‘ ! L i( 5% :; Indstiksark til formelsamlingen stx matematik A maj 2022 Ligning på normalform for parabel med ledelinje i.. =_L F(7) y=ax2 4a Koordinatsæt til brændpunkt F for parabel med ledelinje i F(8) F O,—-- l:y=—--- 4a (2),,,,/7 i (1) F(a,O) Parabel Ligning på normalform for parabel med ledelinje F(9) y2=ax l:x=—a Koordinatsæt til brændpunkt F for parabel med ledelinje F(1O) F(a,O) 1 x—’a —4 Ligning for tangenten til parablen med ligningen i F(l1) yy0=a(x+x0) y2=ax ipunktet P(x0,y0)