Maths - Théorèmes et Définitions

# Fonctions ## Définition Une fonction de A C R dans R est une relation qui, à tout réel de A, associe au plus un réel. ## Définition Le domaine (de définition) d'une fonction f, noté Dom f, est défini comme * Dom f = ensemble des réels en lesquels f est définie * Dom f = ensemble des réels qui on...

# Fonctions ## Définition Une fonction de A C R dans R est une relation qui, à tout réel de A, associe au plus un réel. ## Définition Le domaine (de définition) d'une fonction f, noté Dom f, est défini comme * Dom f = ensemble des réels en lesquels f est définie * Dom f = ensemble des réels qui ont une image par f * Dom f = {x ∈ R : f(x) ∈ R} ## Définition Le graphe d'une fonction f, noté Gf (ou G(f)), est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont (x, f(x)), avec x ∈ Dom f, c'est-à-dire ## Définition Gf = {(x, f(x)) : x ∈ Dom f} . ## Définition Une racine (ou zéro) d'une fonction f est une valeur de la variable qui annule la fonction, c'est-à-dire ## Définition x ∈ Dom f tel que f(x) = 0. * f est paire ⇔ ∀x∈ Dom f, f(-x) = f(x) * symétrie orthogonale d'axe Oy * f est impaire ⇔ ∀x ∈ Dom f, f(-x) = -f(x) * symétrie centrale de centre (0,0) ## Définition ### Fonction homographique f : x → \(\frac {ax + b}{cx + d}\) où * a, b, c, d ∈ R * c≠ 0 * (a,b) et (c, d) ne sont pas proportionnels ## Définition * Fonction affine f: x → ax + b où a, b ∈ R * Si a ≠ 0 : fonction du premier degré ## Définition ### Fonction du deuxième degré (ou fonction quadratique) : f: x → ax² + bx + c où a, b, c ∈ R et a ≠ 0 ## Définition Une fonction f est périodique et a pour période T > 0 si ∀x ∈ Dom f, x + T∈ Dom f et f(x + T) = f(x) . # Fonctions Usuelles ## Définition ππ La fonction arcsin : [-1,1] → [\(\frac {-π}{2}\),\(\frac {π}{2}\)] est définie par * x ∈ [-1,1] ⇔ y E [\(\frac {-π}{2}\),\(\frac {π}{2}\)] * y = arcsin x ⇔ x = sin y ## Définition La fonction arccos: [-1,1] → [0, π] est définie par * x ∈ [−1,1] ⇔ ψ∈ [0, π] * y = arccos I ⇔ x = Cos y ## Définition ππ La fonction arctan : R → [\(\frac {-π}{2}\),\(\frac {π}{2}\)] est définie par * x∈R ⇔ YE [\(\frac {-π}{2}\),\(\frac {π}{2}\)] * y = arctan x ⇔ x = tan y # Limites ## Définition lim f(x) = b x→a+ f(x) est aussi proche qu'on veut de b dès que x est assez proche de a, avec x > a et x ∈ Dom f Ve > 0 ∃d > 0 t.q. ∀x ∈ Dom f, a<x<a+ δ ⇒ b-e < f(x) < b + € ## Définition lim f(x) = b x→a- f(x) est aussi proche qu'on veut de b dès que x est assez proche de a, avec x < a et x ∈ Dom f Ve > 0 ∃d > 0 t.q. ∀x∈ Dom f, a- δ < x < α ⇒ b-e < f(x) < b + € ## Définition lim f(x) = b x→a f(x) est aussi proche qu'on veut de b dès que x est assez proche de a, avec x ≠ α et x ∈ Dom f Ve> 0 38 > 0 t.q. ∀x ∈ Dom f, 0<x- α <δ ⇒ b-e < f(x) < b + € ## Théorème * Si lim f(x) = b = lim f(x), alors x→a+ x→a- lim f(x) = b x→a * Si lim f(x) ≠ lim f(x), alors x→a+ x→a- lim f(x) ≠ x→a ## Définition lim f(x) = b x→+∞ f(x) est aussi proche qu'on veut de b dès que x est assez grand (négativement), avec x ∈ Dom f Ve> 0 ∃c∈R t.q. ∀x∈ Dom f x<C ⇒ b- €< f(x) < b + є ## Définition lim f(x) = +∞ x→+∞ f(x) est aussi grand (positivement) qu'on veut dès que x est assez grand (positivement), avec x ∈ Dom f VM> 0 ∃c∈R t.q. ∀x ∈ Dom f x>c ⇒ f(x) > M ## Définition lim f(x) = -∞ x→+∞ f(x) est aussi grand (négativement) qu'on veut dès que x est assez grand (positivement), avec x ∈ Dom f ∀m< 0 ∃c∈R t.q. ∀x ∈ Dom f x>c ⇒ f(x) < m ## Définition lim_f(x) = +∞ x→-∞ f(x) est aussi grand (positivement) qu'on veut dès que x est assez proche de a, avec x < a et x ∈ Dom f ∀M>0 ∃δ > 0 t.q. ∀x ∈ Dom f a- δ < x < α ⇒ f(x) > M ## Définition lim f(x) = +∞ x→-∞ f(x) est aussi grand (positivement) qu'on veut dès que x est assez proche de a, avec x ≠ a et x ∈ Dom f ∀M>0 ∃δ > 0 t.q. ∀x ∈ Dom f 0<x- α <δ ⇒ f(x) > M ## Définition lim f(x) = -∞ x→-∞ f(x) est aussi grand (négativement) qu'on veut dès que x est assez proche de a, avec x > a et x ∈ Dom f ¥m<0 ∃d>0 t.q. ∀x ∈ Dom f, a<x<α+ δ ⇒ f(x) < m ## Définition lim f(x) = -∞ x→-∞ f(x) est aussi grand (négativement) qu'on veut dès que x est assez grand (positivement), avec x ∈ Dom f ∀m< 0 ∃c∈R t.q. ∀x ∈ Dom f x<c ⇒ f(x) < m ## Théorème * Si lim f(x) = b ∈R et lim g(x) = c ∈R, alors x→±∞ x→±∞ * lim (k. f)(x) = k · b avec k∈R x→∞ * lim (f+g)(x) = b + c x→±0∞ sauf si ∞ ∞ * lim (f.g)(x) = b · c x→±0∞ sauf si 0 · ∞ * lim x→±0∞ (\(\frac{f}{g}\))(x) = b/c sauf si (\(\frac{∞}{∞}\)) ou (\(\frac{0}{0}\)) ## Théorème La limite en +∞ ou en -∞ d'une fonction périodique non constante n'existe pas. # Dérivées ## Définition Une fonction f est dérivable en a (ou à droite en a) si f est définie sur un voisinage à droite de a et si gauche lim f(x) - f(a) x→a gauche existe et est un nombre réel. x−a On définit alors la dérivée (ou le nombre dérivé) de ƒ à droite en a comme gauche a lim f(x) - f(a) x→a gauche x−a ## Définition Le domaine de dérivabilité d'une fonction f est l'ensemble des réels en lesquels f est dérivable. Domaf = {x ∈ R : f est dérivable en x} ## Définition La (fonction) dérivée d'une fonction f est la fonction f' : Domaf → R x → f'(x) qui, à tout réel x du domaine de dérivabilité de f, associe la dérivée de f en x. ## Théorème Soient f une fonction et a ∈ Dom f. Alors, f est dérivable en a ⇔ f est continue en a. ## Théorème Si f est dérivable sur I et si c∈ R, alors c· f est dérivable sur I et (c • f)' = c • f' . ## Théorème Si fet g sont dérivables sur I, alors f + g est dérivable sur I et (f+g)' = f' + g' ## Théorème Si fet g sont dérivables sur I, alors f · g est dérivable sur I et (f.g)' = f'·g + f.g' ## Théorème Si fet g sont dérivables sur I et si g ne s'annule pas dans I, alors \(\frac{f}{g}\) est dérivable sur I et (\(\frac{f}{g}\))' = \(\frac{f'.g- f.g'}{g^2}\) ## Théorème (Dérivation en chaîne) Si g est dérivable sur I et si f est dérivable sur g(I), alors f og est dérivable sur I et (fog)' = (f' ◦g) · g' ## Théorème (Lagrange (T.A.F.)) Si f est une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur]a,b[, alors ∃c∈]a,b[ tel que f(b) − f(a) = f'(c)(b − a) c'est-à-dire f'(c) = \(\frac{f(b) − f(a)}{b-a}\) ## Théorème (de l'Hospital) Si * il existe un voisinage V de a tel que * f et g sont dérivables sur V \{a}, * get g' ne s'annulent pas dans V \{a}, * lim f(x) = lim g(x) = 0 x→a x→a ou lim g(x) = ±∞ x→a * f'(x) lim = β avec β ∈ R ou β = ±∞ x→a g'(x) alors lim f(x) = lim f'(x) = β x→a g(x) x→a g'(x) ## Théorème (de l'Hospital (écriture simplifiée)) Si * fet g sont dérivables sur un voisinage de a (sauf éventuellement en x), * get g' ne s'annulent pas dans un voisinage de a (sauf éventuellement en a), * lim f(x) = "0" ou "∞" x a g(x) * lim f'(x) x→a g'(x) = β avec β ∈ R ou β = ±∞ alors lim f(x) x→a g(x) = lim f'(x) = β x→a g'(x) # Croissances ## Définition Une fonction f définie sur un intervalle I est croissante sur I si ∀x1,x2∈ I, X1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) . ## Définition Une fonction f définie sur un intervalle I est strictement croissante sur I si ∀x1, x2 ∈ I, X1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) . ## Définition Une fonction ƒ définie sur un intervalle I est décroissante sur I si ∀x1,x2∈ I, X1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2) . ## Définition Une fonction f définie sur un intervalle I est strictement décroissante sur I si ∀x1,x2∈ I, X1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) . ## Définition Une fonction f définie sur un intervalle I est (strictement) monotone sur I si f est (strictement) croissante ou décroissante sur I. ## Théorème Une fonction f dérivable sur un intervalle I est * croissante * décroissante sur I si et seulement si sa dérivée f' est * positive (≥ 0) * négative (< 0) sur I. ## Théorème Une fonction f dérivable sur un intervalle I est * strictement croissante * strictement décroissante sur I si et seulement si sa dérivée f' est * positive (≥0) sur I mais n'est nulle sur aucun sous-intervalle ouvert de I. * négative (< 0) ## Théorème Une fonction f dérivable sur un intervalle I est constante sur I si et seulement si sa dérivée est nulle sur I. ## Théorème Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors ∃c∈R tel que ∀x∈I, f(x) = c ∀x ∈ I, f'(x) = 0 ## Définition Une fonction f dérivable sur un intervalle I est * (strictement) convexe * (strictement) concave sur I si sa dérivée f' est une fonction * (strictement) croissante * (strictement) décroissante sur I. ## Théorème Si f est une fonction deux fois dérivable sur I, alors * f est convexe * f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f" est * positive (≥0) * négative (<0) sur I. * De plus, si f" est strictement positive (>0) sur I, alors f est strictement convexe * strictement négative (<0) sur I, alors f est strictement concave ## Définition Une fonction f définie sur un voisinage ]a,b[ du réel c possède un point d'inflexion en c si f est convexe sur ]a, c[ et concave sur ]c, b[, ou l'inverse. ## Théorème Si une fonction f est deux fois dérivable en c et possède un point d'inflexion en c, alors f"(c) = 0 # Extremums ## Définition Soient f une fonction et c ∈ Dom f. * On dit que f possède un * minimum * maximum local en c s'il en c s'il existe un voisinage V de c tel que * x ∈ dom f ⇒ f(x) ≥ f(c). * x ∈ dom f ⇒ f(x) ≤ f(c). * On dit que f possède un * minimum global ou absolu * maximum global ou absolu en e si * x ∈ Dom f ⇒ f(x) ≥ f(c). * x ∈ Dom f ⇒ f(x) ≤ f(c). ## Théorème Soient f une fonction et c un point intérieur de Dom f. Si f est dérivable en c et possède un extremum local en c, alors f'(c) = 0 ## Théorème Si une fonction f est * décroissante sur ]a, c[ et croissante sur ]c, b[, avec a <c<b, et continue en c, * croissante sur ]a, c[ et décroissante sur ]c, b[, avec a <c<b, et continue en c, alors f possède un * minimum local en c. * maximum local en c. De plus, cet extremum est global sura, bl. ## Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert contenant le réel c et deux fois dérivable en c. Si * f'(c) = 0 * f"(c) ≤ 0 * f"(c) ≥ 0 alors f possède un minimum local en c. * maximum local en c. # Exponentielle ## Théorème Si a ∈ R, on peut définir, de manière unique, at pour x irrationnel de sorte que la fonction x → at soit continue sur R. ## Définition Soit a∈ R+ \ {1}. La fonction x → at définie sur R est appelée exponentielle de base a et est notée expa ## Théorème * Si a > 1, la fonction expa est strictement croissante et * lim a^x = +∞ x→+∞ * lim a^x = 0 x→-∞ * Si 0 < a < 1, la fonction exp, est strictement décroissante et * lim a^x = 0 x→+∞ * lim a^x = +∞ x→-∞ ## Théorème * La limite en l'infini de la fonction strictement croissante x →(1+\(\frac{1}{x}\))^x existe et est un nombre réel appelé e. * lim (1+\(\frac{1}{x}\))^x = e x→±∞ * De façon équivalente * lim (1 + h)^(\(\frac{1}{h}\)) = e h→0 * Généralisation * Vz∈ R, Lim (1+\(\frac{z}{x}\))^x = e^z x→±∞ ## Définition Si a ∈ R+ \ {1}, la fonction expa est continue et strictement monotone sur R. Elle possède donc une fonction réciproque appelée logarithme de base a et notée loga Cette fonction est définie par la relation * y ∈ R+ ⇔ x = loga y * y > 0 ⇔ x = loga y Le nombre loga y est donc la puissance à laquelle il faut élever a pour obtenir y. ## Définition Le logarithme de base e est appelé logarithme népérien et est noté In (ou log). Il est défini par la relation * y ∈ R+ ⇔ x = In y * y > 0 ⇔ x = In y Le nombre Iny est donc la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir y. ## Théorème Sur un intervalle I, les fonctions dérivables telles que f' = kf, où k∈ R est une constante, sont celles qui s'écrivent f(x) = ce^(kx) où c est une constante valant f(0). # Primitives ## Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. * Une fonction F est appelée primitive de f sur I si * Fest dérivable sur I * Vr∈I, F'(x) = f(x) * On dit que f est primitivable sur I si f possède une primitive sur I. ## Théorème Si une fonction f est continue sur un intervalle I, alors * f possède au moins une primitive sur I. * Si Fest une primitive de f sur I, alors * F + c (avec c ∈ R) l'est aussi; * toutes les primitives de f sur I ont cette forme. ## Définition L'ensemble des primitives d'une fonction f est appelé intégrale indéfinie de f. ## Théorème Si fet g sont deux fonctions primitivables sur I et sik∈R est une constante, alors les fonctions f + get k · f sont primitivables sur I et * \(\int (f(x)+g(x)) dx = \int f(x)dx + \int g(x) dx\) * \(\int (k. f(x))dx = k. \int f(x) dz.\) ## Théorème Sig est une fonction dérivable sur un intervalle I et si, sur g(I), \(\int f(x)dx = F(x) + c\), alors \(\int f(g(x)) · g'(x) dx = F(g(x)) + c \) ## Théorème Si f et g sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et si f'· g est primitivable sur I, alors f. g' est primitivable sur I et \(\int f(x) · g'(x) dx = f(x) - g(x) - f'(x) - g(x) dr\) ## Définition Le pas de la subdivision {co, C1,..., Cp} est la longueur du plus grand sous-intervalle [ci−1, ci], i = 1, 2, ..., p. ## Théorème * Si f est une fonction continue sur un intervalle [a,b] et si le pas est suffisamment proche de 0, alors la somme S est aussi proche qu'on veut d'un certain nombre qui ne dépend que de f, de a et de b. * Ce nombre est appelé intégrale définie de a à b de la fonction f. * Notation : \(\int_{a}^{b} f(x)dx\) ## Définition La moyenne d'une fonction f continue sur un intervalle [a, b] est la constante u dont l'intégrale est égale à celle de f sur [a, b], c'est-à-dire \(\mu \int_{a}^{b} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx\) ou encore \(\mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx\) ## Théorème Si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b], alors f atteint sa moyenne en au moins un point de cet intervalle, c'est-à-dire ∃c∈ [a, b] tel que \(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx = f(c)\) ou encore \(\int_{a}^{b} f(x)dx = (b-a) f(c)\) ## Théorème Si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b], alors la fonction F définie par F(x) = \(\int_{a}^{x} f(t) dt\) est une primitive de f sur [a, b]. ## Théorème (fondamental du calcul intégral) Si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b] et si Fest une primitive quelconque de f sur [a, b], alors \(\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) – F(a)\) ## Définition Soit f une fonction continue sur [a, +∞[. Si lim f(x)dx x→+∞ a existe et est finie, f est dite intégrable sur [a, +∞[ et son intégrale généralisée ou impropre est définie par \(\int_{a}^{+∞ } f(x)dx = lim_{x→+∞} \int_{a}^{x} f(x)dx\) = lim F(u) - F(a) u+∞ ou F est une primitive de f sur [a,+∞[. ## Définition Soit f une fonction continue sur [ -∞,b] Si lim x→-∞ u f(x) dx existe et est finie, f est dite intégrable sur ] - ∞, b] et son intégrale généralisée ou impropre est définie par \(\int_{-∞}^{b} f(x)dx = lim_{u→-∞} \int_{u}^{b} f(x)dr\) = F(b) − lim F(u) u-∞ ou F est une primitive de f sur ] – ∞, 6]. ## Définition Soit f une fonction continue sur Ja, b]. Si lim x→a+ rb f(x) dr existe et est finie, f est dite intégrable sur Ja, b] et son intégrale généralisée ou impropre est définie par \(\int_{a+}^{b} f(x)dx = lim_{u→a+} \int_{u}^{b} f(x)dr\) = F(b) − lim F(u) u-a+ où F est une primitive de f sur ]a,b]. ## Définition Soit f une fonction continue sur [a,b[. Si lim x→b- a f(x) dx existe et est finie, f est dite intégrable sur [a,b[ et son intégrale généralisée ou impropre est définie par \(\int_{a}^{b-} f(x)dx = lim_{u→b-} \int_{a}^{u} f(x)dr\) = lim F(u) - F(a) u→b- où F est une primitive de f sur [a,b[.