Chap 6 - Limits and Continuity PDF

BA AT AG Sa br in e Chapitre 6 – Limites et continuité pl ai re de ———————————————————————– pl ai re de Table des matières Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde Ex 2 1.1.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

BA AT AG Sa br in e Chapitre 6 – Limites et continuité pl ai re de ———————————————————————– pl ai re de Table des matières Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde Ex 2 1.1.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Limite finie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Limite infinie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Limite en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in e TC H AT AG Limites br 1.1 2 em 1 Définitions Limite à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 re de Sa 1.2 7 em pl ai 2 Propriétés Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Opérations sur la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites et relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Limites et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 7 9 TC H AT AG BA Ex 2.1 11 in e 3 Étude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Croissance et décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3.2 Théorèmes liés à la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 pl Ex em 11 ai re de Sa br 3.1 BA AG AT H TC H ———————————————————————– 4 Méthodes 16 5 Blind-test 17 « Les mathématiques consistent à prouver des choses évidentes par des moyens complexes. » 1 George Pólya 1 Définitions Remarque. Les définitions suivantes sont difficiles pour le non-initié, mais sont la base rigoureuse de tout BA le domaine de l’Analyse. Elles sont rarement utiles telles quelles aux concours, mais importantes pour AT AG de nombreuses démonstrations ainsi que pour la clarté de la compréhension des concepts de limite et de H continuité. Sa br in e TC Définition (Fonction réelle d’une variable) Une fonction réelle d’une variable est une application de Df dans R, où Df est un intervalle ou BA 1.1.1 Ex Limites Voisinage TC H Notation. Si un élément x vaut soit un nombre réel, soit +∞, soit −∞, on note x ∈ R ∪ {±∞}. AT AG 1.1 em pl ai re de une union d’intervalles de R. Sa br in e Définition (Voisinage d’un point) de Soit x0 ∈ R. Un voisinage de x0 est un intervalle ouvert contenant x0 . f est définie au Ex em pl ai re voisinage de x0 lorsqu’il existe un intervalle ouvert I contenant x0 tel que I\ {x0 } ⊂ Df . H AT AG BA Exemple 1. R, ]0, 3[, ]0.99, 5[, sont des voisinages de 1 . ]1, 2[ n’est pas un voisinage de 1. 1 f : x 7−→ est définie au voisinage de 0. En effet, ] − 1, 1 [\{0} ⊂ Df = R∗ x in e TC Définition (Voisinage de l’infini) Sa br Un voisinage de +∞ (resp. −∞) est un intervalle de type ]A, +∞[ (resp. ] − ∞, A[), où em pl ai re de A ∈ R. Ex Remarque. Grâce à un peu d’abstraction, il n’est pas nécessaire d’apprendre par coeur les neuf définitions BA ci-dessous car on peut toutes les résumer à une seule. Soient x0 , ℓ ∈ R ∪ {±∞}. On a lim f (x) = ℓ si : x→x0 AG «Quelque soit un voisinage Vε de ℓ, on peut trouver un voisinage Vδ de x0 (inter Df ) dans lequel tous les H AT f (x) sont dans le voisinage Vε .» TC Adaptez ce que «voisinage» signifie pour x0 ∈ R, x0 = +∞, x0 = −∞, ℓ ∈ R, ℓ = +∞, ℓ = −∞ etc. et Sa br in e vous retrouverez chacune des définitions. Limite finie en un point re de 1.1.2 pl ai Intuition. Une fonction tend vers ℓ en x0 si, aussi petite soit la distance ε, on pourra toujours trouver H AT AG BA Ex em un voisinage de x0 (de rayon δ), peut-être très petit, dans lequel tous les f (x) sont proches de ℓ à ε près. 2 Définition (Limite finie en un point) Soit f une fonction et x0 un élément ou une extrémité de Df . Soit ℓ ∈ R. On dit que f admet H ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Df ∩ [x0 − δ, x0 + δ] , |f (x) − ℓ| ⩽ ε x→x0 de Sa br in e x→x0 TC On note alors lim f (x) = ℓ, ou f (x) −→ ℓ pl ai re Remarque. En détail : em • Il est nécessaire de préciser x ∈ Df ∩ ... pour que f (x) soit bien défini. BA Ex • |f (x) − ℓ| est l’écart entre f (x) et ℓ. H TC Exemple 2. f : x 7−→ 2x. f est définie sur R. Montrons formellement que sa limite en 0 est 0. h ε εi h ε εi ε , alors soit x ∈ R ∩ 0 − , 0 + . On a donc x ∈ − , . 2 2 2 2 2 ε = ε. Donc par définition de la limite, lim f (x) = 0. Donc |f (x) − 0| = |2x| ⩽ 2 x→0 2 AT AG • x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] ssi |x − x0 | ⩽ δ ssi l’écart entre x et x0 est plus petit que δ. Sa br in e Soit ε > 0. En prenant δ = re de Remarque. Il existe plusieurs variantes à cette définition, toutes équivalentes. pl ai On peut remplacer [x0 − δ, x0 + δ] par ]x0 − δ, x0 + δ[, remplacer ⩽ ε par < ε, et on peut également écrire Ex em toute la définition avec une implication : AG BA ∀ε > 0, ∃δ > 0, (x ∈ Df ∩ [x0 − δ, x0 + δ] ⇒ |f (x) − ℓ| ⩽ ε) TC H AT De plus, |f (x) − ℓ| ⩽ ε est équivalent à ℓ − ε ⩽ f (x) ⩽ ℓ + ε, souvent plus pratique pour le calcul. br in e Proposition Sa lim f (x) = ℓ ⇐⇒ lim f (x) − ℓ = 0 ⇐⇒ lim |f (x) − ℓ| = 0. x→x0 x→x0 pl ai re de x→x0 BA Ex em Proposition TC H AT AG Pour x0 ∈ Df , si la limite de f en x0 existe, celle-ci ne peut être que f (x0 ). br in e Exercice 1. Ecrire la définition de : f n’admet pas de limite en x0 . Sa ∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ Df ∩ [x0 − δ, x0 + δ], |f (x) − ℓ| > ε ou encore : pl ai re de ∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ Df ∩ [x0 − δ, x0 + δ], f (x) < ℓ − ε ou f (x) > ℓ + ε Ex em Remarque.En revanche, f peut être définie sur x0 sans que sa limite en x0 existe. Un contre-exemple 0 si x ̸= 0 est définie en 0 et vaut 1, mais elle n’a pas de limite en 0. simple : f : 1 si x = 0 1 Montrons-le formellement grâce à la définition de l’exercice ci-dessus. Il suffit en effet de prendre ε = , 2 1 soit alors δ > 0, en prenant x ∈ [−δ, +δ] tel que x ̸= 0, on a f (x) = 0 donc f (x) < 1 − . 2 BA AG AT H AT AG BA pour limite ℓ en x0 si : 3 1.1.3 Limite infinie en un point Intuition. f tend vers +∞ en x0 si aussi grande soit la valeur A considérée, on pourra toujours trouver BA un voisinage de x0 (de rayon δ), peut-être très petit, dans lequel f dépassera toujours A. AT AG Définition (Limite infinie) TC H Soit f une fonction et x0 un élément ou une extrémité de Df . On dit que f admet pour limite Sa br in e +∞ en x0 si ∀A ∈ R, ∃δ > 0, ∀x ∈ Df ∩ [x0 − δ, x0 + δ] , f (x) ⩾ A pl ai re de De même on dit que f admet pour limite −∞ en x0 si em ∀B ∈ R, ∃δ > 0, ∀x ∈ Df ∩ [x0 − δ, x0 + δ] , f (x) ⩽ B x→x0 AT AG BA x→x0 Ex On note alors lim f (x) = +∞ et lim f (x) = −∞ respectivement. TC H Remarque. Il y a également de nombreuses variantes à ces définitions, toutes équivalentes. On peut in e écrire ]x0 − δ, x0 + δ[, écrire f (x) > A (resp. f (x) < B), préciser que A > 0 (resp. B < 0), ou mettre une AT AG BA Ex em pl ai re de Sa br implication comme vu précédemment.    R∗+ −→ R Exercice 2. Soit f : . On sait que lim f (x) = +∞. Montrons-le formellement. x→0  1  x 7−→ x 1 1 1 Soit A > 0. On a ⩾ A ⇐⇒ x ⩽ , donc en prenant δ = , soit x ∈ Df ∩ [0 − δ, 0 + δ], i.e x A A 1 1 ⩾ = A par décroissance de f sur R∗+ . Donc par définition de la x ∈]0, δ]. On a bien f (x) = x δ limite, lim f (x) = +∞. TC H x→0 br in e Notation. On note indifféremment Gf (le graphe de f ) et Cf (la courbe de f ), car c’est la même chose. de Sa Définition (Asymptote verticale) re Si lim f (x) = +∞ (resp. −∞ ), on dit que la droite d’équation x = x0 est une asymptote ai x→x0 Limite en l’infini H AT 1.1.4 AG BA Ex em pl verticale de la courbe Cf en +∞ (resp. −∞). TC Intuition. La définition suivante ressemble à la définition de la limite ℓ d’une suite. Aussi petite soit la br in e distance ε, il existera toujours un «rang» B à partir duquel f s’approchera de ℓ à ε près. de Sa Définition (Limite finie en l’infini) ai re Soit ℓ ∈ R, et f une fonction définie au voisinage de +∞. On dit que f admet ℓ comme ∀ε > 0, ∃B > 0, ∀x ∈ Df ∩ [B, +∞[, |f (x) − ℓ| ⩽ ε De même on dit que f admet pour limite ℓ en −∞ si AT AG BA Ex em pl limite en +∞ si H ∀ε > 0, ∃B < 0, ∀x ∈ Df ∩] − ∞, B] , |f (x) − ℓ| ⩽ ε On note alors lim f (x) = ℓ et lim f (x) = ℓ respectivement. x→+∞ x→−∞ 4 Remarque. Même remarque à chaque fois : on peut remplacer ∃B > 0 (resp. B < 0) par ∃B ∈ R, ⩽ ε par < ε etc. On ne peut en revanche jamais remplacer ∀ε > 0, par ∀ε ⩾ 0,. lim f (x) = ℓ (resp. x→+∞ lim f (x) = ℓ) on dit que la droite d’équation y = ℓ est une AT AG Si BA Définition (Asymptote horizontale) x→−∞ Sa br in e TC H asymptote horizontale de Cf en +∞ (resp. −∞ ). de Définition (Limite infinie en l’infini) pl ai re Soit f une fonction définie au voisinage de +∞. On dit que f admet em • +∞ pour limite en +∞ si ∀A ∈ R, ∃B ∈ R, ∀x ∈ Df ∩ [B, +∞[, f (x) ⩾ A Ex • +∞ pour limite en −∞ si ∀A ∈ R, ∃B ∈ R, ∀x ∈ Df ∩] − ∞, B] , f (x) ⩾ A AT AG BA • −∞ pour limite en +∞ si ∀A ∈ R, ∃B ∈ R, ∀x ∈ Df ∩ [B, +∞[, f (x) ⩽ A • −∞ pour limite en −∞ si ∀A ∈ R, ∃B ∈ R, ∀x ∈ Df ∩] − ∞, B] , f (x) ⩽ A TC x→−∞ re Limite à gauche et à droite ai 1.2 de Sa br in e x→+∞ H On note alors lim f (x) = +∞, lim f (x) = +∞ etc. Ex em pl Définition (Limite à gauche et à droite) BA Soit ℓ ∈ R, et x0 un élément ou une extrémité de Df . On dit que f admet AT AG • ℓ pour limite à gauche en x0 si ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Df ∩ [x0 − δ, x0 [, |f (x) − ℓ| ⩽ ε TC H • ℓ pour limite à droite en x0 si ∀ε > 0, ∃δ > 0/∀x ∈ Df ∩] x0 , x0 + δ] , |f (x) − ℓ| ⩽ ε e lim f (x) = ℓ (resp. lim f (x) = ℓ ou x→x On note lim f (x) = ℓ ou x→x lim f (x) = ℓ). x→x+ 0 0 in 0 x→x− 0 x>x0 br x<x0 pl ai re de Sa On définit de façon similaire les limites à droite et à gauche qui valent +∞ ou −∞. em Remarque. Ce sont les mêmes définitions, mais on a tronqué l’intervalle de l’axe des abscisses pour ne BA Ex prendre que sa partie gauche : [x0 − δ, x0 [ (resp. sa partie droite ]x0 , x0 + δ]). AT AG Théorème (Unicité de la limite) TC H Si f admet une limite (resp. limite à gauche, resp. limite à droite) en x0 ∈ R ∪ {±∞}, alors Sa br in e celle-ci est unique. ai re de Proposition Ex em pl Soit f une fonction définie au voisinage de x0 ∈ R, mais pas en x0 , et ℓ ∈ R ∪ {±∞}. On a lim f (x) = ℓ ⇐⇒ lim f (x) = lim f (x) = ℓ x→x− 0 x→x+ 0 H AT AG BA x→x0 Exemple 3. f : de limite en 0.    R∗   x −→ R 7−→ 1 x admet pour limite +∞ à droite en 0, −∞ à gauche en 0, donc n’a pas 5 Exercice 3. Déterminons si f : x 7−→    x si x > 1 admet une limite ou pas en 1.   2x2 − 1 si x < 1 x→1+ BA Pour x > 1, f (x) = x. Donc lim f (x) = lim x = 1. x→1+ x→1− AT AG Pour x < 1, f (x) = 2x2 − 1. Donc lim f (x) = lim 2x2 − 1 = 2 × 12 − 1 = 1. x→1− Donc lim f (x) = lim f (x), et f n’est pas définie en 1, donc f a une limite en 1. Sa br in e TC H x→1+ x→1− Proposition pl ai re lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) x→x+ 0 AT AG BA Ex x→x− 0 em lim f (x) = ℓ ⇐⇒ x→x0 de Soit f une fonction définie au voisinage de x0 ∈ R et en x0 , et ℓ ∈ R ∪ {±∞}.

− n’est pas dans le cours. Attention. Ne pas écrire lim f (x) = f x− 0 , car f x0 TC in br lim f (x) = lim f (x) = 0 ̸= f (0), donc f n’a pas de x→0+ x→0− Sa Exemple 4. e  0 si x ∈ R∗ • f : x 7−→ 1 si x = 0 H x→x− 0 TC Continuité en un point e 1.3 H AT AG BA Ex em pl ai re de limite en 0.  1 si x ∈ R+ a une limite à gauche (c’est 0), à droite (c’est 1), donc pas de limite en 0. • f : x 7−→ 0 si x ∈ R∗ −  x − 1 si x < 1 lim f (x) = 0 = lim f (x) = 0 = f (1) donc on a bien lim f (x) = 0. • f : x 7−→ x→1 ln(x) si x ⩾ 1 x→1− x→1+ Sa br in Définition (Continuité en un point) de Soit f une fonction et x0 ∈ Df . f est dite continue en x0 si f admet une limite en x0 et que re cette limite est f (x0 ), i.e lim f (x) = f (x0 ). BA Ex em pl ai x→x0 AT AG Exemple 5. Si f (x) = x2 , f a une limite en 2 qui vaut 4, or f (2) = 4. Donc f est continue en 2. TC H Théorème (Continuité des fonctions usuelles – admis) br in e Les fonctions polynomiales, trigonométriques, exponentielle, logarithme, valeur absolue, x 7→ xa ai re de Sa pour a ∈ R et x 7→ bx pour b > 0 sont continues en tout point de leur domaine de définition. Soit f une fonction réelle définie en x0 . On dit que f est continue à gauche (resp. à droite) en x0 si lim f (x) = f (x0 ) (resp. lim = f (x0 )). x→x− 0 x→x+ 0 H AT AG BA Ex em pl Définition (Continuité à gauche, à droite) 6 Définition (Prolongement par continuité) TC H AT AG BA Soit f définie au voisinage de x0 , mais pas en x0 . Si f admet une limite réelle ℓ en x0 , alors la    f (x) si x ∈ Df fonction f˜ : x 7−→ est un prolongement de f continu en x0 .   ℓ si x = x 0 On dit alors que f est prolongeable par continuité en x0 , et f˜ est appelé le prolongement de Sa br in e par continuité de f en x0 . br Sa de re ai em pl Exercice 4. Les fonctions suivantes se prolongent-elles par continuité en 0 ?  R∗ −→ R + • f: x 7−→ x ln(x) in e TC H AT AG em Ex BA ∗ Exemple 6.  f : x 7−→ 1 sur R . f (x) si x ̸= 0 est un prolongement de f (voir cours sur les applications), mais n’est pas f˜1 : x 7−→ 2 si x = 0 continue en le point oùelle a été prolongée. f (x) si x ̸= 0 est le prolongement par continuité de f en 0. Tandis que f˜2 : x 7−→ 1 si x = 0 pl ai re Notation. Pour ne pas alourdir les notations, après avoir défini f˜ on fait l’abus de notation f˜ = f . x ln(x) −→ 0 par croissances comparées, donc f se prolonge par continuité en 0 en posant Ex x−→0+ AG TC H AT −→ R 1 7−→ x x e • f:   R∗ BA f (0) = 0. Ex em pl ai re de Sa br in 1 −→ +∞, donc f n’a pas de limite finie en 0, donc f ne peut pas être prolongée par continuité x x→0+ en 0.   R∗ −→ R • f: x  7−→ x |x| BA x x = = 1, donc lim f (x) = 1. |x| x x→0+ x x = = −1, donc lim f (x) = −1. Pour x < 0, |x| −x x→0− lim f (x) ̸= lim f (x), donc f n’a pas de limite en 0 , donc f ne peut pas être prolongée par TC H AT AG Pour x > 0, e x→0+ x→0− ai re Propriétés Ex em pl 2 de Sa br in continuité en 0. Opérations sur les limites Soient f et g deux fonctions, α ∈ R ∪ {±∞}, (ℓ, ℓ′ ) ∈ R2 . On suppose que lim f (x) et lim g(x) existent. x→α On obtient les mêmes résultats que pour les suites : H AT AG BA 2.1 7 x→α +∞ −∞ lim f (x) = +∞ +∞ +∞ F.I. lim f (x) = −∞ −∞ F.I. −∞ x→α de x→α AT AG ℓ + ℓ′ H lim f (x) = ℓ TC = −∞ Sa br in e = +∞ x→α x→α ℓℓ′ ℓℓ′ 0 +∞ −∞ lim f (x) = ℓ < 0 ℓℓ′ ℓℓ′ 0 −∞ +∞ 0 0 0 F.I. F.I. lim f (x) = +∞ +∞ −∞ F.I. +∞ −∞ lim f (x) = −∞ −∞ +∞ F.I. −∞ x→a lim f (x) = 0 de re +∞ 1 f AG en α – admis) +∞ TC 1 ℓ −∞ +∞ −∞ 0+ 0− ai re de Sa 1 f (x) 0− e 0+ in lim x→α ℓ ̸= 0 br lim f (x) x→α H AT Proposition (Limite de BA Ex em pl x→a ai x→a Sa br x→a BA lim f (x) = ℓ > 0 x→a AT AG = −∞ H = +∞ TC =0 e = ℓ′ < 0 x→a in lim g(x) = ℓ′ > 0 lim (f g)(x) x→α Ex em pl ai re Proposition (Limite de f g en α – admis) pl 1 1 = 0− signifie que lim = 0 et f (x) < 0 au voisinage de α. On n’écrira pas 0+ x→α f (x) f (x) comme résultat final, mais bien 0. Cette écriture n’est utile que si la limite de f1 est un calcul intermédiaire, em Remarque. lim BA Ex x→α AG dont il faut connaître le signe pour calculer une autre limite. g f en α – admis) TC H AT Proposition (Limite de e g(x) f (x) lim g(x) = ℓ′ > 0 = ℓ′ < 0 ℓ′ ℓ ℓ′ ℓ ℓ′ ℓ ℓ′ ℓ lim f (x) = 0+ +∞ lim f (x) = 0− = +∞ = −∞ 0 +∞ −∞ 0 −∞ +∞ −∞ F.I. +∞ −∞ −∞ +∞ F.I. −∞ +∞ lim f (x) = +∞ 0+ 0− 0 F.I. F.I. lim f (x) = −∞ 0− 0+ 0 F.I. F.I. in =0 br lim Sa x→a de lim f (x) = ℓ > 0 AG BA Ex em pl ai re x→a AT H lim g(x) = ℓ′ lim (f + g)(x) x→α BA Proposition (Limite de f + g en α – admis) lim f (x) = ℓ < 0 x→α x→a x→a x→α x→a x→a 8 Remarque. Tous les tableaux précédents s’appliquent également pour les limites à gauche et à droite. Théorème (Limites usuelles) x→0 ln(1 + x) =1 x 3. lim x→1 ln(x) =1 x−1 BA 2. lim TC H x→0 ex − 1 =1 x AT AG 1. lim ln(1 + x) en 0+ . x2 ln(1 + x) ln(1 + x) 1 ln(1 + x) 1 = . , or lim = 1 et lim = +∞ donc par produit, la limite vaut +∞. x→0 x2 x x x x→0+ x pl ai re de Sa br in e Exercice 5. Déterminons la limite de xa 3. ∀a > 0, ∀q > 1, lim x = 0 x→+∞ q x→+∞ lim xa q x = 0 x→+∞ Sa br in e 4. ∀a > 0, ∀|q| < 1, ln(x)b =0 xa AT AG x→0+ lim H 2. ∀a > 0, ∀b > 0, TC 1. ∀a > 0, ∀b > 0, lim xa ln(x)b = 0 BA Ex em Théorème (Croissances comparées – admis) re de Remarque. La fonction exp se retrouve en posant q = e. em pl ai Exercice 6. Déterminons la limite de f : x 7→ x ln(x) − xex en 0+ . Ex lim x ln(x) = 0 par croissances comparées, et lim xex = 0 par produit. Donc lim f (x) = 0. x→0+ x→0+ AT Opérations sur la continuité H 2.2 AG BA x→0+ in e TC Théorème (Opérations sur des fonctions continues en un point) em pl ai re de Sa br Soient f et g deux fonctions de I dans R, λ ∈ R, et x0 ∈ I. Si f et g sont continues en x0 , alors f 1 sont continues en x0 . f + g, λf et f g sont continues en x0 . De plus, si g (x0 ) ̸= 0, alors et g g Ex Exemple 7. Puisque sur R, x 7→ 1, x 7→ x et x 7→ x2 sont continues en tout point x0 , alors toute fonction AG BA polynôme de degré ⩽ 2, i.e de la forme x 7→ ax2 + bx + c, où a, b, c ∈ R, est continue en tout point x0 ∈ R. TC H AT Théorème (Limite et composition) in e Soient I, J des intervalles de R, f : I → R tel que f (I) ⊂ J, g : J → R, et a une extrémité ou un x→a x→a x→b re de Sa br élément de I. Si lim f (x) = b ∈ R ∪ {±∞} et lim g(x) = c ∈ R ∪ {±∞}, alors lim (g ◦ f )(x) = c. Soient I, J des intervalles de R, f : I → R tel que f (I) ⊂ J, g : J → R, et x0 ∈ I. Si f est continue en x0 et g est continue en f (x0 ), alors g ◦ f est continue en x0 . H AT AG BA Ex em pl ai Corollaire (Continuité en composition)
Exercice 7. Calculons, si elle existe, lim ln 8x2 − 5 . x→+∞ 2 8x − 5 −→ +∞ et ln(t) −→ +∞, donc par composition ln 8x2 − 5 x→+∞ t→+∞ 9
−→ +∞. x→+∞ 2.3 Limites et relations d’ordre Proposition AT AG BA Soit α ∈ R ∪ {±∞}. Si f admet une limite finie en α, alors f est bornée au voisinage de α. Sa br in e TC H Proposition (Passage à la limite dans les inégalités) Soit α ∈ R ∪ {±∞}, et f et g définies au voisinage de α. On suppose qu’au voisinage de α, f (x) ⩽ g(x). Si f et g admettent une limite en α, alors lim f (x) ⩽ lim g(x). de x→α em pl ai re x→α BA AT AG Proposition (Comparaison) TC H Soit α ∈ R ∪ {±∞}, et f et g définies au voisinage de α telles que f (x) ⩽ g(x). e 1. Si lim f (x) = +∞ alors lim g(x) = +∞. in x→α br x→α Sa 2. Si lim g(x) = −∞ alors lim f (x) = −∞. x→α pl ai re de x→α Ex em Théorème (Théorème d’encadrement) AG BA Soit α ∈ R ∪ {±∞}, et f, g, h définies au voisinage de α tel que f (x) ⩽ g(x) ⩽ h(x). Si lim f (x) = ℓ ∈ R et lim h(x) = ℓ ∈ R, alors g admet une limite finie en α, qui est ℓ. AT x→α in e TC H x→α pl ai re de Sa br Remarque. Ces deux derniers théorèmes permettent d’obtenir l’existence et la valeur de la limite.   1 Exercice 8. Calculons, si elle existe, la limite de x 7→ en 0+ . x Ex em     1 1 1 1 1 ⩽ , or −→ +∞ par encadrement. −→ +∞ et − 1 −→ +∞, donc x x x x→0+ x x x→+0+ x→0+ AG BA 1 −1< x Limites et suites AT 2.4 e TC H Théorème (Composition d’une suite par une fonction) br in Soit (α, ℓ) ∈ (R ∪ {±∞})2 , f une fonction définie au voisinage de α telle que lim f (x) = ℓ. Sa x→α de Soit (un ) une suite de réels de Df telle que re Alors la suite (f (un )) admet une limite et lim un = α. n→+∞ lim f (un ) = ℓ. n→+∞ lim f (un ) = f (α). n→+∞ AG BA Ex em pl ai Si de plus f est continue en α, alors 1 = 0+ et lim ln(x) = −∞, on a Exemple 8. Puique lim n→+∞ n x→0+ H AT Ex Attention. Comme pour les suites, si f (x) < g(x) au voisinage de α, on n’a pas ℓ1 < ℓ2 , mais ℓ1 ⩽ ℓ2 . 10   1 lim ln = −∞. n→+∞ n 3 Étude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle 3.1 Vocabulaire AT AG BA Définition (Fonction paire, impaire) H Soit f définie sur un ensemble E centré en 0 , i.e si x ∈ E alors −x ∈ E. Sa br in e TC • f est paire si : ∀x ∈ E, f (−x) = f (x). de • f est impaire si : ∀x ∈ E, f (−x) = −f (x). em pl ai re Proposition Ex Soit f définie sur un ensemble E centré en 0. AT AG BA 1. Si f est paire, alors sa courbe Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. in e TC H 2. Si f est impaire, alors sa courbe Cf est symétrique par rapport à l’origine du repère O. Sa br Exemple 9. x 7→ x2 est paire. x 7→ x3 est impaire. re de Définition (Fonction périodique) pl ai f : E → R est dite périodique s’il existe un réel T ̸= 0 tel que x ∈ E ⇒ x + T ∈ E et AG BA Ex em ∀x ∈ E, f (x + T ) = f (x) On dit que f est T -périodique. T est une période de f . H AT Attention. T n’est pas unique. En effet, si f est T -périodique alors f est kT périodique avec k ∈ N∗ . e TC Exemple 10. (appro) x 7→ sin(x) et x 7→ cos(x) sont 2π-périodique. x 7→ tan(x) est π-périodique. Sa br in Définition (Fonctions majorées, minorées, bornées) re de Soit f une fonction définie sur un ensemble E. On dit que : em pl ai • f est majorée lorsque : ∃M ∈ R, ∀x ∈ E, f (x) ⩽ M . Ex • f est minorée lorsque : ∃m ∈ R, ∀x ∈ E, f (x) ⩾ m. H AT AG BA • f est bornée si f est majorée et minorée, ou encore si ∃B > 0, ∀x ∈ E, |f (x)| ⩽ B. in e TC Définition (Maximum, minimum, extremum) Sa br Soit f une fonction définie sur un ensemble E, et x0 ∈ E. On dit que : de • f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 si ∀x ∈ E, f (x) ⩽ f (x0 ) (resp. x∈E x∈E • f admet un maximum (resp. minimum) local en x0 s’il existe un intervalle ouvert I ⊂ E, avec x0 ∈ I, tel que ∀x ∈ I, f (x) ⩽ f (x0 ) (resp. f (x) ⩾ f (x0 )). • Si f admet un minimum ou un maximum global (resp. local) en x0 , on dit que f admet un extremum global (resp. local) en x0 . H AT AG BA Ex em pl ai re f (x) ⩾ f (x0 )). On note f (x0 ) = max f (x) (resp. f (x0 ) = min f (x)) Remarque. Un minimum (resp. maximum) global est un minimum (resp. maximum) local puisque I ⊂ E. Si on ne le précise pas, «maximum» (resp. «minimum») signifie global. 11 3.2 Croissance et décroissance Définition (Fonction croissante et décroissante) BA Soit f une fonction définie sur I un intervalle de R. On dit que : AT AG • f est croissante sur I si ∀(a, b) ∈ I 2 , (a ⩽ b ⇒ f (a) ⩽ f (b)). TC H • f est strictement croissante sur I si ∀(a, b) ∈ I 2 , (a < b ⇒ f (a) < f (b)). Sa br in e • f est décroissante sur I si ∀(a, b) ∈ I 2 , (a ⩽ b ⇒ f (a) ⩾ f (b)). pl ai re de • f est strictement décroissante sur I si ∀(a, b) ∈ I 2 , (a < b ⇒ f (a) > f (b)). Ex em Proposition BA 1. Si f est strictement croissante sur I, et (a, b) ∈ I 2 , alors f (a) < f (b) ⇒ a < b. TC H AT AG 2. Si f est strictement décroissante sur I, et (a, b) ∈ I 2 , alors f (a) < f (b) ⇒ a > b. re de Sa br in e 1 est décroissante sur ] −∞, 0[, décroissante sur ]0, +∞ [ , mais n’est pas décroissante Attention. x 7→ x 1 1 = −1 < 1 = . Ainsi, une fonction peut être décroissante sur chaque intervalle où elle sur R∗ puisque −1 1 est définie et ne pas être décroissante sur l’ensemble de son domaine de définition. D’où l’importance de em pl ai définir ce qui précède sur un intervalle. Ceci vaut également pour la croissance (stricte ou non). BA Ex Définition (Fonction monotone) AT AG Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que : TC H • f est monotone sur I lorsque f est croissante ou décroissante sur I. in e • f est strictement monotone sur I si elle est strictement croissante ou strictement re de Sa br décroissante sur I. em pl ai Proposition (Somme de fonctions monotones) AT AG BA Ex Soient f et g deux fonctions de même monotonie sur I. Alors f + g est monotone sur I. TC H Proposition (Composée de fonctions monotones) br in e Soit f monotone sur I à valeurs dans J, g monotone sur J. Alors g ◦ f est monotone sur I et : de Sa 1. Si f et g ont le même sens de variation, alors g ◦ f est croissante. Ex em pl ai re 2. Si f et g ont des sens de variation opposés, alors g ◦ f est décroissante. H AT AG BA Attention. Si f et g sont monotones, on ne peut rien dire sur la monotonie de f g. 12 Théorème (Théorème de la limite monotone) Soit (a, b) ∈ (R ∪ {±∞})2 , et f une fonction croissante définie sur ]a, b[. BA 1. Si f est majorée sur ]a, b [ , alors f admet une limite finie en b− . Sinon lim f (x) = +∞. AT AG x→b− + 2. Si f est minorée sur ]a, b [ , alors f admet une limite finie en a . Sinon lim f (x) = −∞. H x→a+ Sa br in e TC 3. ∀x0 ∈] a, b [, f possède une limite finie à gauche et à droite en x0 , et lim f (x) ⩽ f (x0 ) ⩽ lim f (x) x→x+ 0 pl ai re de x→x− 0 Fonctions continues sur un intervalle Définitions et propriétés TC H 3.3.1 AT AG 3.3 BA Ex em Remarque. On obtient un résultat analogue si f est décroissante. br in e Définition (Fonction continue sur un ensemble) Sa Soit f une fonction, et A ⊂ Df . f est continue sur A si f est continue en tout point de A. em pl ai re de On note C 0 (A) l’ensemble des fonctions continues sur A. BA Ex Exemple 11. Les fonctions polynomiales, le logarithme, l’exponentielle, le sinus et le cosinus sont con- AT AG tinues sur leur ensemble de définition. H Intuition. Une fonction est continue sur un intervalle I si on ne «lève pas le crayon» pour la tracer. Mais in e TC la définition rigoureuse est bien celle ci-dessus. de Sa br Exercice 9. Montrons que x 7→ |x| est continue sur R. x→x0 x→x0 re • Si x0 > 0, |x0 | = x0 or lim |x| = lim x = x0 = |x0 | donc la fonction est continue sur R∗+ . pl ai • Si x0 < 0, |x0 | = −x0 or lim |x| = lim −x = −x0 = |x0 | donc la fonction est continue sur R∗− . x→x0 em x→x0 lim |x| = lim −x = |0| = lim x = lim |x| donc elle est continue en 0. x→0+ x→0− x→0+ BA x→0− Ex • AT AG La fonction est donc bien continue sur tout R. TC H Proposition (Opérations sur les fonctions continues) pl ai re de Sa br in e Soit A un ensemble, f et g deux fonctions continues sur A, λ ∈ R. Alors f + g, λf et f g sont 1 f continues sur A. De plus, si ∀x ∈ A, g(x) ̸= 0, alors et sont continues sur A. g g Soit f continue sur I à valeurs dans J, g continue sur J. Alors g ◦ f est continue sur I. H AT AG BA Ex em Proposition (Composition de fonctions continues) Exercice 10. • Montrons formellement que x 7→ p − ln (1 − x2 ) est continue sur [0, 1[ x 7→ 1 − x2 est continue sur [0, 1[ comme fonction polynomiale, à valeurs dans ]0, 1]. 13 x 7→ − ln(x) est continue sur ]0, 1], à valeurs dans R+ . AT AG • Pour a > 0, montrons que x 7→ ax est continue sur R. TC H ax = ex ln(a) . Or x 7→ x ln(a) est continue sur R comme fonction polynomiale et exp est continue Théorèmes liés à la continuité de 3.3.2 Sa br in e sur R. Par composition, x 7→ ax est continue sur R. em pl ai re Définition (Segment) AT AG BA Ex On appelle segment de R tout intervalle de la forme [a, b], avec (a, b) ∈ R2 et a < b. TC H Intuition. Si une fonction continue est en dessous, puis au dessus, d’une certaine valeur, alors elle passe e nécessairement au moins une fois par cette valeur. Autrement dit, si f est continue et prend deux valeurs Sa br in distinctes, alors elle prend toutes les valeurs entre les deux. re de Théorème (Théorème des valeurs intermédiaires) BA Ex em pl ai Soit (a, b) ∈ R2 , a < b, et f continue sur [a, b]. Alors ∀y ∈ [f (a), f (b)], ∃c ∈ [a, b], y = f (c). AT AG Attention. Le théorème s’applique sur un segment, car autrement f (a) ou f (b) ne seraient pas définis. e TC H Exercice 11. Montrons que P : x 7→ x2 − x − 1 admet au moins une racine comprise entre 1 et 2. br in P (1) = 1 − 1 − 1 = −1 < 0 et P (2) = 4 − 1 − 1 = 2 > 0, or P est continue sur [1, 2] par somme Sa de fonctions continues, donc par théorème des valeurs intermédiaires, ∃c ∈ [1, 2], P (c) = 0, d’où le pl em Ex Corollaire (Corollaire du TVI) ai re de résultat. TC H AT AG BA Si I est un intervalle de R et f ∈ C 0 (I), alors f (I) est un intervalle. e Attention. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle, mais pas forcément de br in même nature. Par exemple, l’image de ] − 1, 1[ par x 7→ x2 est [0, 1[. L’image de ]0, 1] par la fonction de Sa inverse est [1, +∞[. Ex em pl ai re Théorème (Théorème des bornes – admis) AG BA Soit (a, b) ∈ R2 , a < b, et f ∈ C 0 ([a, b]). Alors f admet un maximum et un minimum sur [a, b]. AT H BA Racine est continue sur R+ . p Par composition, x −→ − ln (1 − x2 ) est continue sur [0, 1[. Remarque. On dit alors que l’image d’un segment par une fonction continue est un segment. En effet, si le maximum M et le minimum m de la fonction f sur [a, b] existent, alors f ([a, b]) = [m, M ]. On peut aussi reformuler le théorème ainsi : une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Attention. Chacune des hypothèses de l’énoncé est importante : 14 • Il faut bien un segment [a, b] (donc un intervalle fermé). Par exemple f : x 7→ x est continue sur [0, 1[, mais n’a pas de maximum. AT AG BA    1 si x ̸= 0 x • La continuité est importante : f : x 7−→ vérifie f ([−1, 1]) =]−∞, −1]∪{0}∪[1, +∞[,   0 si x = 0 TC H qui n’est pas un intervalle (et donc pas un segment). Sa br in e Proposition (Image de f sur I si f est monotone – admis) Soit I un intervalle et f une fonction continue et strictement monotone sur I. Alors f (I) est un [f (a), f (b)] ↘ [f (b), f (a)]  f (a), lim f (x)  x→b−     lim f (x), f (a) x→b−   x→a+   x→b− lim f (x), f (b) x→a+ f (b), lim f (x) x→a+ pl ai re em a, b[ lim f (x), lim f (x) x→b− lim f (x), lim f (x) x→a+   br in e TC H ↗  a, b] Ex  [a, b[ BA [a, b] AT AG f de intervalle donné par le tableau suivant : Sa Astuce. Un simple tableau de variations, même de tête, permet de rapidement retrouver ces résultats re de sans les retenir. em pl ai Théorème (Théorème de la bijection) Ex Soit f définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I. Alors f réalise une bijection AG BA de I dans f (I). Sa réciproque f −1 est continue et strictement monotone sur f (I), de même sens TC H AT de variation que f . Sa br in e Méthode (Montrer l’existence et l’unicité d’une solution f (x) = b) de Si on veut montrer que l’équation f (x) = b admet une unique solution sur I, et que cette ai re solution n’est pas évidente, on utilise ce théorème : on montre que f est continue et strictement pl monotone, et on trouve a et c dans Df tels que f (a) < b et f (c) > b, ou bien que lim f (x) < b x→a em et lim f (x) < b. AT AG BA Ex x→c TC H Exercice 12. Montrons que l’équation x3 − 3x2 + 1 = 0 admet une unique solution sur ]2, +∞[. br in e On pose f : x 7→ x3 − 3x2 + 1 sur ]2, +∞[. ∀x > 2, f ′ (x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) > 0 pl ai re de Sa f est continue et dérivable sur ]2, +∞[ par théorèmes usuels, et de ]2, +∞ [ vers f (]2, +∞[). Or lim f (x) = −3 et lim f = +∞, donc f (]2, +∞[) =]−3, +∞[. Comme +∞ x→2+ 0 ∈] − 3, +∞ [ , il possède un unique antécédent par f , et donc l’équation x3 − 3x2 + 1 = 0 possède une unique solution dans l’intervalle ]2, +∞[. H AT AG BA Ex em Donc f est strictement croissante sur ]2, +∞[. Par le théorème de la bijection, elle réalise une bijection 15 Proposition (Courbe de f −1 ) Si f : I → J est une bijection, alors le graphe de f −1 s’obtient à partir de celui de f par H AT AG BA symétrique par rapport à la droite d’équation y = x. Ainsi, (a, b) ∈ Gf ⇐⇒ (b, a) ∈ Gf −1 . Sa br in e de 1 em a une bijection réciproque, la racine a−ième, i.e f −1 : x 7→ x a TC H AT AG BA Ex • exp : R → R∗+ a une bijection réciproque, ln.   R → R∗ + a une bijection réciproque, logb . • Pour tout b > 1, f : f (x) = bx in e Méthodes Sa br 4 pl ai re   R+ → R+ • Pour tout a > 0, f : f (x) = xa TC Exemple 12. On connaît un certain nombre de bijections réciproques :   R+ → R+ a une bijection réciproque, la racine (carrée). • f: f (x) = x2 Soit ε > 0. Alors en posant δ = ..., soit x ∈ ..., on a ... −→ Prenons ε = ... Soit δ > 0, alors en prenant x = ..., ... de −→ Mq f n’est pas majorée AG BA revenant à la définition Ex Mq f n’admet pas de limite en em pl ai revenant à la définition re Mq f admet une limite en Soit A > 0. Alors en prenant x = ...(A), on a f (x) > A AT −→ −→ TLM : f est croissante et majorée sur ... Mq f tend vers +∞ en ... −→ TLM : f est croissante, et n’est pas majorée car ... Mq Cf a une asymp. ver. en x0 −→ Mq lim f (x) = +∞ Mq Cf a une asymp. hor. −→ Mq lim f (x) = ℓ, ou lim f (x) = ℓ Mq f admet des limites à −→ Si x > x0 , alors f (x) = ... → .... Si x < x0 , ... −→ A gauche : ...→ ℓ, à droite ...→ ℓ′ ̸= ℓ de Sa br in e Mq f admet une limite en ... pl ai re x→x0 em Ex BA TC H AT Mq f n’admet pas de limite AG gauche et à droite en x0 e in br x→+∞ x→−∞ OU soit (un ) définie par ..., (vn ) définie par ... . On a n→+∞ −→ Sur ... et ..., f est continue. Pour x < x0 , f (x) = ... −→ .. = f (x0 ). x→x− 0 Pour x > x0 , f (x) = ... −→ .. = f (x0 ) pl ai x→x+ 0 Ex em Mq f est prolongeable par con- BA tinuité en x0 −→ Si x < x0 , f (x0 ) = ... −→ ℓ et si x > x0 , f (x0 ) = ... −→ ℓ −→ Opérations usuelles si pas de FI H AT Déterminer la limite en ... de ... x→x− 0 x→x+ 0 OU Factoriser par le plus fort, et CC ou limites usuelles OU Comparaison si ±∞, encadrement si ℓ ∈ R Déterminer lim un = n→+∞ lim vn mais f (un ) = ... → ℓ et f (vn ) = ... → ℓ′ ̸= ℓ re de Sa Mq f est continue sur R AG TC H OU supposons f majorée, i.e ∃A > 0, f (x) ⩽ A. Alors ... absurde. lim f (..) n→+∞ −→ lim ... = .. or lim f (x) = .. donc par composition, ... n→+∞ x→.. 16 −→ Soit x ∈ Df . Alors f (x) = ... ⩽ f (x0 ) Mq f a un max. local en x0 −→ Soit x défini sur un voisinage de x0 . Alors f (x) = ... ⩽ f (x0 ) Mq f est croissante (f non −→ Soient a ⩽ b. Alors ... donc f (a) ⩽ f (b) Mq f a des extremums globaux −→ f est continue sur le segment [.., ..] Mq ...(x) = ... admet au moins −→ TVI −→ théorème de la bijection : continue et f ′ > 0 (ou < 0) donc .. −→ Passer au conjugué: on multiplie haut et bas par ... admet une unique solution F.I ... − ... =? AT AG H Sa br in e TC √ ... + ... AT AG Blind-test Dfnt : fonction réelle d’une variable = ... Thm : continuité des fonctions usuelles Dfnt : fonction périodique = ... e TC H 5 √ BA lim de = pl ai re Mq ...(x) em une solution Ex dérivable) BA Mq f a un max. global en x0 Dfnt : continuité à gauche, à droite Dfnt : prolongement par continuité Dfnt : lim f (x) = ℓ signifie ... Ppst : limite de f + g (voir tableau) Dfnt : f (dé)croissante etc = ... (4) lim f (x) = ℓ ⇐⇒ ... (2) Ppst : limite de f g (voir tableau) Ppst : si f strict. (dé)croissante, ... (2) Dfnt : Ppst : limite de lim f (x) = +∞ signifie ... br Dfnt : segment = ... Ppst : passage à la limite Thm : TVI Ppst : comparaison Crl : si I est un intervalle, ... TC Ppst : composition de ft°s continues Ppst : si ... alors f est bornée ... in re lim f (x) = ℓ signifie ... de x→±∞ ai x→x− 0 pl lim f (x) = ℓ signifie ... BA Ex em x→x+ 0 Ppst : si f définie sur I et x0 ∈ I AG Dfnt : opér. sur les ft°s continues (5) Crl : continuité en composition Sa lim f (x) = ±∞ signifie ... (4) Dfnt : f continue sur un ensemble = ... Thm : limite et composition br Dfnt : asymptote horizontale = ... AT Thm : TLM (3) e lim f (x) = ℓ signifie ... x→−∞ Thm : encadrement Thm : théorème des bornes Thm : Ppst : image si f est monotone composition d’une suite par une fonction Thm : théorème de la bijection Dfnt : fonction paire, impaire = ... Mtd : existence et unicité d’une solution Ppst : si paire, ..., si impaire, ... Ppst : courbe de f −1 H AT AG BA Ex em pl ai re de Sa br in e TC H Dfnt : f continue en x0 Thm : croissances comparées (4) H lim f (x) = ℓ signifie ... Ppst : si f définie sur I\{x0 } Ppst : composée de fonctions monotones Thm : opér. sur des ft°s continues (5) x→+∞ Thm : unicité de la limite Ppst : somme de fonctions monotones AT Dfnt : asymptote verticale = ... Dfnt : (voir tableau) Thm : limites usuelles (3) AG lim f (x) = −∞ signifie ... x→x0 Dfnt : Dfnt : f (strict.) monotone = ... (2) BA x→x0 Dfnt : Sa de x→x0 Dfnt : max/min global/local en x0 = ... (voir tableau) pl Ppst : si x0 ∈ Df et lim f (x) existe, ... 1 f g f em Ppst : limite de Ex x→x0 ai re x→x0 Ppst : Dfnt : ft° majorée, minorée, bornée = ... in Dfnt : voisinage de x0 = ... Dfnt : voisinage de +∞ = ... 17