Fiche Méthodes Limite et Continuité PDF

Limite et continuité Fiche Méthodes Niveau Bac Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax 23390248 - 29862815 www.takiacademy.com [email protected] Limite et continuité Fiche Méthodes Niveau Bac www.TakiAcademy.com ...

Limite et continuité Fiche Méthodes Niveau Bac Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax 23390248 - 29862815 www.takiacademy.com [email protected] Limite et continuité Fiche Méthodes Niveau Bac www.TakiAcademy.com  Limite et continuité Limite d’une fonction Définition Soit f une fonction numérique à variable réelle. a et ℓ sont deux réels. lim f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃α > 0 tel que si x ∈ D f et |x − a| < α alors | f (x) − ℓ| < ε x→a lim f (x) = +∞ ⇔ ∀A > 0, ∃α > 0 tel que si x ∈ D f et |x − a| < α alors f (x) > A x→a lim f (x) = −∞ ⇔ ∀A > 0, ∃α > 0 tel que si x ∈ D f et |x − a| < α alors f (x) < −A x→a lim f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃B > 0 tel que si x ∈ D f et x > B alors | f (x) − ℓ| < ε x→+∞ lim f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃B > 0 tel que si x ∈ D f et x < −B alors | f (x) − ℓ| < ε x→−∞ lim f (x) = +∞ ⇔ ∀A > 0, ∃B > 0 tel que si x ∈ D f et x > B alors f (x) > A x→+∞ lim f (x) = −∞ ⇔ ∀A > 0, ∃B > 0 tel que si x ∈ D f et x > B alors f (x) < −A x→+∞ Théorème Limites de fonctions trigonométriques Si une fonction f admet une limite alors cette limite est unique. sin x tan x lim =1 lim =1 x→0 x x→0 x Soit f une fonction définie et positive sur un intervalle I : 1 − cos ax a 2 p p lim = * Si lim f = ℓ alors lim f (x) = ℓ (x 0 fini ou infini) x→0 x2 2 x0 x→x 0 1 − cos ax p lim = a, (a ∈ R) * Si lim f = +∞ alors lim f (x) = +∞ (x 0 fini ou infini) x→0 x x0 n→x 0 sin ax lim = a, x→0 x tan(ax) lim =a x→0 x Opérations sur les limites x 0 désigne un nombre réel ou +∞ ou −∞ ; ℓ et ℓ0 désignent des réels. lim f (x) ℓ ℓ 6= 0 0 ∞ 0 +∞ −∞ +∞ ℓ 6= 0 ℓ 6= 0 x→x 0 lim g (x) ℓ0 0 0 0 ∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ x→x 0 0 lim ( f (x) + g (x)) ℓ+ℓ ℓ 0 ∞ ∞ +∞ −∞ F.I +∞ −∞ x→x 0 0 lim f (x).g (x) ℓ.ℓ 0 0 F.I F.I +∞ +∞ −∞ ±∞ (signe ℓ) ±∞ (signe ℓ) x→x 0 f (x) ℓ 0 lim (ℓ 6= 0) ∞ F.I ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 0 0 x→x 0 g (x) ℓ0 p lim f (x) lim | f (x)| lim f (x) x→x 0 x→x 0 x→xp 0 ℓ |ℓ| |ℓ| +∞ +∞ +∞ −∞ +∞ +∞ Limite et ordre f est une fonction, x 0 désigne un nombre réel ou +∞ ou −∞ ; ℓ et ℓ0 désignent des réels et I désigne un intervalle ouvert de centre x 0 si x 0 ∈ R si non intervalle de type ]a, +∞[ ou ] − ∞, b[. Théorème 1 Théorème 2 ® ß f est positive sur I g (x) ≤ f (x) sur un voisinage de x 0 Si lim f (x) = ℓ alors ℓ ≥ 0 Si lim f (x) = ℓ, ℓ ∈ R et lim g (x) = ℓ0 ∈ R alors ℓ0 ≤ ℓ x→x 0 x→∞ x→∞ 1 Théorème 3 Théorème 4 ® ® g (x) ≤ f (x) ≤ h(x), sur un voisinage de x 0 | f (x) − ℓ| ≤ g (x) sur un voisinage de x 0 Si alors Si lim g (x) = 0 alors lim g (x) = lim h(x) = ℓ x→x 0 x→x 0 x→x 0 lim f (x) = ℓ lim f (x) = ℓ. x→x 0 x→x o Théorème 5 ® ® f (x) ≤ g (x) sur I g (x) ≤ f (x) sur I S’il existe une fonction g vérifiant : lim g (x) = −∞ S’il existe une fonction g vérifiant : lim g (x) = +∞ x→x 0 x→x 0 alors lim f (x) = −∞ alors lim f (x) = +∞ x→x 0 x→x 0 Limite d’une fonction monotone Branches infinies Théorème Asymptotes Soit f une fonction définie sur un in- tervalle de type [a, b[ (fini ou infini). Limite Interprétation lim f = ±∞ ou lim ± f = ±∞ La droite D : x = a est asymptote à C Si f est croissante et majorée a a alors elle admet une limite finie lim f = b ou lim f = b, b ∈ R La droite D : y = b est asymptote à C +∞ −∞ en b. lim( f (x) − (ax + b)) = 0 La droite D : y = ax + b est asymptote à C ±∞ Si f est croissante et non ma- jorée alors f tend vers +∞ en b. Etude d’une branche infinie Si f est décroissante et minorée Dans le cas où lim f (x) = ±∞. x→+∞ alors elle admet une limite finie Soit f une fonction telle que lim f (x) = ±∞ et C f sa courbe représentative en b. Ä → − →−ä x→+∞ dans un repère O, i , j. Si f est décroissante et non mi- Dans ce qui suit le procédé quil faut suivre pour déterminer la branche infinie au norée alors f tend vers −∞ en b voisinage de +∞.. f (x) Limite d’une fonction composée ∗ Si lim = ±∞ , alors la courbe C f admet une branche infinie de direction x→+∞ x Ä → −ä Théorème 1 asymptotique celle de O, j au voisinage de +∞. x 0 , b et λ désigne des réels ou +∞ f (x) ∗ Si lim = 0 , alors la courbe C f admet une branche infinie de direction −∞. Ä → −ä ou ( x→+∞ x lim f (x) = b asymptotique celle de O, i au voisinage de +∞. x→x 0 Si lim g (x) = λ x→b f (x) alors lim g ◦ f(x) = λ ∗ Si lim = a avec (a 6= 0), alors deux cas peuvent se présenter : x→x 0 x→+∞ x X Si lim f (x) − ax = b avec (b ∈ R) alors la droite déquation y = ax + b x→+∞ Corollaire est une asymptote à la courbe C f au voisinage de +∞. ® X Si lim f (x) − ax = ±∞ alors la courbe C f admet une direction asymp- lim f (x) = b, (b ∈ I R) x→+∞ Si x→x 0 alors totique celle de la droite déquation y = ax au voisinage de +∞. g est continue en b lim g ◦ f(x) = g (b) x→x 0 Théorème 2  1  de type ]a, +∞[. Soit f une fonction définie sur un intervalle 1 lim f (x) existe, signifie que lim f existe et dans ce cas, on a : lim f (x) = lim f x→+∞ + x→0 x + x→+∞ x→0 x  1  de type ] − ∞, a[. Soit f une fonction définie sur un intervalle 1 lim f (x) existe, signifie que lim− f existe et dans ce cas, on a: lim f (x) = lim− f x→−∞ x→0 x x→−∞ x→0 x 2 Continuité Continuité d’une fonction composée Théorème 2 : (Théorème des valeurs intermédiaires) Si f est continue en x o et g est continue en f (x 0 ) alors Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux g ◦ f est continue en x 0. réels de I.  f est continue sur un intervalle I Pour tout réel λ compris entre f (a) et f (b) il existe au moins Si g est continue sur un intervalle J un réel x 0 ∈ [a, b] tel que f (x 0 ) = λ.  pour tout x de I on a : f (x) ∈ J Si de plus f est strictement monotone alors x 0 est unique. alors g ◦ f est continue sur I. corollaire Théorème 1 Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b] L’image d’un intervalle par une fonction continue est un telle que f (a). f (b) < 0. Il existe au moins un réel x 0 ∈]a, b[ tel intervalle. que f (x 0 ) = 0. Théorème 3 Théorème 4 Toute fonction continue et ne s’annule pas sur un intervalle I L’image d’un intervalle fermé borné [a, b] par une fonc- alors elle garde un signe contant sur I. tion continue est un intervalle fermé borné [m, M ] Image d’un intervalle par une fonction monotone Théorème L’image d’un intervalle I par une fonction continue et monotone sur I est un intervalle de même nature. Intervalle I Si f est croissante sur I Si f est décroissante sur I I = [a, b] f (I ) = [ f (a), f (b)] f (I ) = [ f (b), f (a)] I = [a, b[ f (I ) = [ f (a), lim− f (x)[ f (I ) =] lim− f (x), f (a)] x→b x→b I = [a, +∞[ f (I ) = [ f (a), lim f (x)[ f (I ) =] lim f (x), f (a)] x→+∞ x→+∞ I =]a, b[ f (I ) =] lim f (x), lim− f (x)[ f (I ) =] lim− f (x), lim f (x)[ x→a + x→b x→b x→a + 3