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Questions and Answers
Quelle est la définition de la fonction f en x lorsque x = -1 ?
Quelle est la définition de la fonction f en x lorsque x = -1 ?
- f(-1) = 3 (correct)
- f(-1) = 1
- f(-1) = 0
- f(-1) = -1
Quand une fonction est continue en un point a ?
Quand une fonction est continue en un point a ?
- Si f est définie pour tout x ≠ a.
- Si f(a) = a pour tout a.
- Si f(x) est toujours positif.
- Si lim(f(x)) existe lorsque x tend vers a. (correct)
Quel est le prolongement de la fonction f en 𝑥₀ = 0 ?
Quel est le prolongement de la fonction f en 𝑥₀ = 0 ?
- lim (f(x)) = 1
- lim (f(x)) = 0
- lim (f(x)) = -1
- lim (f(x)) = 2 (correct)
Quel est le domaine de définition D_f de la fonction ?
Quel est le domaine de définition D_f de la fonction ?
Quelles fonctions sont continues en a si f et g sont continue en a avec g(a) non nul ?
Quelles fonctions sont continues en a si f et g sont continue en a avec g(a) non nul ?
Quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers 0 ?
Quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers 0 ?
Quelle relation définit une portion de fonction continue ?
Quelle relation définit une portion de fonction continue ?
Quand est-ce que la fonction f est définie par ailleurs à part en x = 0 ?
Quand est-ce que la fonction f est définie par ailleurs à part en x = 0 ?
Quelle est la condition pour que la fonction f admette une fonction réciproque ?
Quelle est la condition pour que la fonction f admette une fonction réciproque ?
Quelle est la nature de la solution unique de l'équation f(x) = 0 ?
Quelle est la nature de la solution unique de l'équation f(x) = 0 ?
Quel est le domaine de la fonction f considérée dans l'exercice 12 ?
Quel est le domaine de la fonction f considérée dans l'exercice 12 ?
Quel est le type de monotonie de la fonction f ?
Quel est le type de monotonie de la fonction f ?
Quel est l'intervalle d'image de f ?
Quel est l'intervalle d'image de f ?
Quelle méthode peut-on utiliser pour trouver la solution unique de l'équation f(y) = x ?
Quelle méthode peut-on utiliser pour trouver la solution unique de l'équation f(y) = x ?
Comment est caractérisée la continuité de la fonction f dans l'exercice 12 ?
Comment est caractérisée la continuité de la fonction f dans l'exercice 12 ?
Quel est l'objet du théorème du T.V.I dans le contexte donné ?
Quel est l'objet du théorème du T.V.I dans le contexte donné ?
Quel est l'intervalle dans lequel l'équation $4x^3 - 3x - \frac{1}{2} = 0$ admet une racine unique?
Quel est l'intervalle dans lequel l'équation $4x^3 - 3x - \frac{1}{2} = 0$ admet une racine unique?
Pourquoi la fonction $f(x) = ext{cos}(x) - x$ est-elle continue sur l'intervalle $I = [0, \pi]$?
Pourquoi la fonction $f(x) = ext{cos}(x) - x$ est-elle continue sur l'intervalle $I = [0, \pi]$?
Quel est le signe de $f(0)$ pour la fonction $f(x) = ext{cos}(x) - x$?
Quel est le signe de $f(0)$ pour la fonction $f(x) = ext{cos}(x) - x$?
Quel résultat est implicite à l'application du théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I) dans ce contexte?
Quel résultat est implicite à l'application du théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I) dans ce contexte?
Quelle propriété caractérise une fonction $f$ qui est strictement croissante sur un intervalle?
Quelle propriété caractérise une fonction $f$ qui est strictement croissante sur un intervalle?
L'équation $1 + ext{sin}(x) = x$ admet au moins une racine dans quel intervalle?
L'équation $1 + ext{sin}(x) = x$ admet au moins une racine dans quel intervalle?
Quelle conclusion peut-on tirer de $g(-1) < 0$ et $g(0) > 0$ pour la fonction $g(x) = 4x^3 - 3x - \frac{1}{2}$?
Quelle conclusion peut-on tirer de $g(-1) < 0$ et $g(0) > 0$ pour la fonction $g(x) = 4x^3 - 3x - \frac{1}{2}$?
Quel est l'effet de la dérivée $f'(x) = 3x^2 + 1$ sur la fonction $f(x)$ sur l'intervalle $[-1, 0]$?
Quel est l'effet de la dérivée $f'(x) = 3x^2 + 1$ sur la fonction $f(x)$ sur l'intervalle $[-1, 0]$?
Quelle est la condition nécessaire pour que l'équation $f(c) = 0$ ait une solution unique sur un intervalle?
Quelle est la condition nécessaire pour que l'équation $f(c) = 0$ ait une solution unique sur un intervalle?
Quelle affirmation est vraie concernant la fonction réciproque ?
Quelle affirmation est vraie concernant la fonction réciproque ?
Que représente le symbole $f^{-1}(x)$ ?
Que représente le symbole $f^{-1}(x)$ ?
Quelle est la condition nécessaire pour que la fonction $f$ ait une fonction réciproque sur l'intervalle $I$ ?
Quelle est la condition nécessaire pour que la fonction $f$ ait une fonction réciproque sur l'intervalle $I$ ?
Si $f$ est croissante sur $I$, quel type de fonction est $f^{-1}$ sur $J$ ?
Si $f$ est croissante sur $I$, quel type de fonction est $f^{-1}$ sur $J$ ?
Quel est le taux $T f^{-1}$ si $x_1 > x_2$ ?
Quel est le taux $T f^{-1}$ si $x_1 > x_2$ ?
Que peut-on dire sur la limite de $f^{-1}$ lorsque $x$ tend vers l'infini ?
Que peut-on dire sur la limite de $f^{-1}$ lorsque $x$ tend vers l'infini ?
Quelle est la condition sur $a$ pour que $x
ightarrow a$ implique $x
ightarrow an$ dans le contexte donné ?
Quelle est la condition sur $a$ pour que $x ightarrow a$ implique $x ightarrow an$ dans le contexte donné ?
En représentant les courbes de $C_f$ et $C_{f^{-1}}$, que peut-on conclure sur leur symétrie ?
En représentant les courbes de $C_f$ et $C_{f^{-1}}$, que peut-on conclure sur leur symétrie ?
Quelle condition doit être remplie pour qu'une fonction soit continue à droite d'un point a ?
Quelle condition doit être remplie pour qu'une fonction soit continue à droite d'un point a ?
Qu'est-ce qui caractérise une fonction discontinue en un point x0 ?
Qu'est-ce qui caractérise une fonction discontinue en un point x0 ?
Quelle est la définition de la continuité à gauche d'un point a ?
Quelle est la définition de la continuité à gauche d'un point a ?
Quel énoncé est vrai pour la continuité d'une fonction à un point ?
Quel énoncé est vrai pour la continuité d'une fonction à un point ?
Quel est le résultat quand la limite à droite d'une fonction en x0 n'est pas égale à la limite à gauche ?
Quel est le résultat quand la limite à droite d'une fonction en x0 n'est pas égale à la limite à gauche ?
Pour une fonction f définie par morceaux, à quoi correspond le terme 'valeur de la fonction en a' ?
Pour une fonction f définie par morceaux, à quoi correspond le terme 'valeur de la fonction en a' ?
Quel est le comportement d'une fonction discontinue à un point ?
Quel est le comportement d'une fonction discontinue à un point ?
Si f(x) = 3 - x² pour x <= 0, quelle est la valeur de f(0) ?
Si f(x) = 3 - x² pour x <= 0, quelle est la valeur de f(0) ?
Quelle caractéristique d'une fonction indique qu'elle peut être discontinue ?
Quelle caractéristique d'une fonction indique qu'elle peut être discontinue ?
Si f(x) = x² pour x <= 0 et f(x) = 2x - 1 pour x > 0, quelle est la continuité en x0 = 0 ?
Si f(x) = x² pour x <= 0 et f(x) = 2x - 1 pour x > 0, quelle est la continuité en x0 = 0 ?
Dans quel cas pour une fonction f peut-on affirmer qu'elle est continue en un point a ?
Dans quel cas pour une fonction f peut-on affirmer qu'elle est continue en un point a ?
Quel énoncé caractérise une fonction dont la limite à un point n'existe pas ?
Quel énoncé caractérise une fonction dont la limite à un point n'existe pas ?
La fonction f définie par f(x) = x² pour x <= 0 et f(x) = 3 - x² pour x > 0, est-elle continue en x=0 ?
La fonction f définie par f(x) = x² pour x <= 0 et f(x) = 3 - x² pour x > 0, est-elle continue en x=0 ?
Study Notes
Continuité
- Pour une fonction f définie sur un intervalle [a, a+r[ où r>0, f est continue à droite de a si elle admet une limite finie à droite en a et lim+ f(x) = f(a)
- Pour une fonction f définie sur un intervalle ]a-r ; a] où r>0, f est continue à gauche de a si elle admet une limite finie à gauche en a et lim- f(x) = f(a)
- Une fonction est continue en un point a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de a
- lim f(x) = lim+ f(x) = lim- f(x) = f(a)
Prolongement par continuité
- Une fonction f admet un prolongement par continuité en un point a si lim f(x) existe et est finie
- On peut alors prolonger f en a en posant f(a) = lim f(x)
Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I)
- Si f est une fonction continue strictement monotone sur [a, b] et si f(a) x f(b) < 0, alors il existe un unique c dans [a, b] tel que f(c) = 0
Fonction réciproque
- Si f est une fonction définie continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f admet une fonction réciproque f-1 définie de J = f(I) vers I
- Si f admet une fonction réciproque f-1 de J = f(I) vers I, alors f-1 à la même monotonie sur J que celle de f sur I
- Le taux de f-1 sur J à le même signe que le taux de f sur I
Propriétés des fonctions composées
- Si f et g sont deux fonctions continues en a alors :
- f + g est une fonction continue en a
- f x g est une fonction continue en a
- |f| est une fonction continue en a
- Si f et g sont deux fonctions continues en a et g(a) ≠ 0 alors :
- 1/f est une fonction continue en a
- f/g est une fonction continue en a
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Description
Ce quiz explore les concepts de continuité des fonctions et de leurs prolongements par continuité. Vous testerez votre compréhension des limites, des fonctions continues, et du théorème des valeurs intermédiaires. Préparez-vous à plonger dans le monde fascinant de l'analyse mathématique.
