PDF - Cours d'Électromagnétisme

Electromagnétisme en régime quasi-stationnaire Electrocinétique Fabien CASSE Licence de Physique et CUPGE Notes de cours 2023-2024, Université Paris Cité ©Fabien Casse  Table des Matières I Electrostatique...

Electromagnétisme en régime quasi-stationnaire Electrocinétique Fabien CASSE Licence de Physique et CUPGE Notes de cours 2023-2024, Université Paris Cité ©Fabien Casse  Table des Matières I Electrostatique 7 1 Les outils mathématiques....................................... 9 1.1 Notion de champs en physique et repères de coordonnées spatiales 10 1.1.1 Champs scalaires et vectoriels en physique............................... 10 1.1.2 Les systèmes de coordonnées........................................ 10 1.2 Intégrales curvilignes, de surface et de volume 15 1.2.1 Intégrales curvilignes............................................... 15 1.2.2 Intégrales de surface............................................... 17 1.2.3 Intégrales de volume............................................... 18 1.2.4 Illustration avec les coordonnées cartésiennes............................ 18 1.2.5 Intégrales de surface et de volume dans des coordonnées non-cartésiennes....... 21 1.3 Les opérateurs scalaires et vectoriels 23 1.3.1 Gradient d’un champ scalaire......................................... 23 1.3.2 Lignes de champ d’un champ vectoriel.................................. 24 1.3.3 Divergence d’un champ vectoriel....................................... 26 1.3.4 Rotationnel d’un champ vectoriel...................................... 27 1.3.5 Propriétés et théorèmes............................................. 27 2 Les bases de l’électrostatique.................................. 30 2.1 Electricité 30 2.1.1 La charge électrique................................................ 30 2.1.2 Densités de charges et de courant..................................... 32 2.2 La loi de Coulomb 35 2.2.1 Enoncé......................................................... 35 2.2.2 Propriétés....................................................... 36 2.2.3 La notion de champ électrique........................................ 37 2.2.4 Principe de superposition............................................ 38 2.2.5 Energie et potentiel électrostatiques.................................... 41 2.3 Loi de Coulomb et distribution de charges électriques 49 2.3.1 Enoncé de la loi de Coulomb......................................... 49 2.3.2 Limite d’application de la loi de Coulomb................................. 54 2.3.3 Potentiel électrostatique d’une distribution de charges volumique............... 55 2.4 Champ et potentiel électrostatiques 57 2.4.1 Circulation du champ électrostatique et potentiel........................... 57 2.4.2 Lignes de champ et potentiel......................................... 58 3 Le théorème de Gauss en électrostatique....................... 59 3.1 Symétrie et invariance du champ électrique 59 3.1.1 Principe de Curie.................................................. 59 3.1.2 Invariance....................................................... 61 3.2 Théorème de Gauss et distributions de charge à "haute" symétrie 61 3.2.1 Flux du champ électrique et théorème de Gauss........................... 62 3.2.2 Application du théorème de Gauss..................................... 64 3.2.3 Equation de Poisson............................................... 66 3.2.4 Champ électrique et énergie électrostatique.............................. 67 4 Milieux conducteurs........................................... 68 4.1 Conducteurs en équilibre électrostatique 69 4.1.1 Champ à l’intérieur d’un conducteur.................................... 69 4.1.2 Conséquences.................................................... 70 4.1.3 Théorème de Coulomb.............................................. 70 4.1.4 Pouvoir des pointes................................................ 72 4.1.5 Les cavités au sein d’un conducteur.................................... 73 4.2 Les condensateurs 74 4.2.1 Définition et propriétés.............................................. 74 4.2.2 Ordre de grandeur et remarque........................................ 76 4.2.3 Énergie d’un condensateur........................................... 77 II Magnétostatique 78 5 Magnétostatique............................................... 80 5.1 Forces magnétiques 81 5.1.1 Un peu d’histoire.... pour rejoindre le 19ème siécle.......................... 81 5.1.2 Force électromagnétique sur une charge électrique......................... 82  5 5.1.3 Effet Hall........................................................ 84 5.1.4 Forces de Laplace................................................. 85 5.1.5 Force magnétique sur une boucle de courant.............................. 86 5.1.6 Moments des forces sur une boucle rectangulaire.......................... 89 5.1.7 Généralisation à des boucles de courant planaires de forme quelconque.......... 92 5.1.8 Théorème de Maxwell.............................................. 93 5.2 Champs magnétiques et courants 93 5.2.1 Loi de Biot-Savart................................................. 93 5.2.2 Distribution surfacique de courant...................................... 96 5.2.3 Remarques et applications de la loi de Biot et Savart........................ 97 5.2.4 Equation de conservation de la charge.................................. 99 5.2.5 Propriétés de symétrie et d’invariance du champ magnétique................. 100 5.3 Théorème d’Ampère 102 5.3.1 Enoncé du théorème d’Ampère pour un fil rectiligne infini.................... 102 5.3.2 Généralisation du théorème d’Ampère à tous les circuits.................... 104 5.3.3 Application au champ créé par un fil................................... 105 5.4 Monopôle magnétique et Potentiel vecteur 107 5.4.1 Potentiel vecteur................................................. 108 5.4.2 Energie magnétique............................................... 109 6 Induction magnétique......................................... 111 6.1 Le phénomène d’induction 111 6.1.1 La loi de Faraday................................................. 111 6.1.2 Loi de Lenz ou loi de modération..................................... 116 6.2 Autoinduction 119 6.3 Induction mutuelle 121 6.4 Energie d’un système d’inductances 125 III Electrocinétique 127 7 Electrocinétique.............................................. 129 7.1 Electrocinétique dans l’ARQS 129 7.2 Equation de conservation de la charge 129  Avant-Propos C e cours traite des fondements de l’électromagnétisme. De la cohésion de la matière aux télécommunications sans fil, les lois de la physique qui régissent ces phénomènes sont décrites par l’électromagnétisme. Le cours présentera les lois fondamentales de l’électromagnétisme et s’attardera sur l’étude des phénomènes électriques et magnétiques dans le cas statique ou très peu dépendant du temps. Au second semestre un autre cours complètera la présentation de l’électromagnétisme par l’introduction des phénomènes qui sont à la base de la production des ondes électromagnétiques, support de tous les signaux de télécommunications actuels. La fin de ce cours sera dédiée à une application directe de l’électromagnétisme aux circuits électriques simples. Nous étudierons en particulier comment le courant électrique circule dans ces circuits en fonction de son intensité et de sa fréquence. La découverte des lois de l’électromagnétisme s’est faite pour l’essentiel entre la fin du 18e siècle et le début du 20e siècle. Ces lois sont toujours très largement utilisées pour concevoir de nouvelles technologies. Ces lois ont même survécu à la relativité restreinte et à la mécanique quantique. L’histoire de leur découverte est fascinante et ont permis de développer les mathématiques nécessaires au formalisme des équations de l’électromagnétisme. Afin de pouvoir mieux appréhender les phénomènes Vous êtes encouragés à aller, par exemple, au Palais de la découverte pour découvrir et voir à l’oeuvre les expériences qui ont été menées au 19e siècle pour aboutir à l’établissement de ces lois. Ce cours vous permettra de comprendre l’essentiel des expériences qui s’y déroulent.  Première partie Electrostatique  1. Les outils mathématiques Sommaire 1.1 Notion de champs en physique et repères de coordonnées spatiales 10 1.1.1 Champs scalaires et vectoriels en physique....................... 10 1.1.2 Les systèmes de coordonnées................................ 10 1.2 Intégrales curvilignes, de surface et de volume 15 1.2.1 Intégrales curvilignes....................................... 15 1.2.2 Intégrales de surface....................................... 17 1.2.3 Intégrales de volume....................................... 18 1.2.4 Illustration avec les coordonnées cartésiennes.................... 18 1.2.5 Intégrales de surface et de volume dans des coordonnées non-cartésiennes 21 1.3 Les opérateurs scalaires et vectoriels 23 1.3.1 Gradient d’un champ scalaire................................. 23 1.3.2 Lignes de champ d’un champ vectoriel.......................... 24 1.3.3 Divergence d’un champ vectoriel............................... 26 1.3.4 Rotationnel d’un champ vectoriel.............................. 27 1.3.5 Propriétés et théorèmes..................................... 27 L a physique en général et l’électromagnétisme en particulier, font appel à des outils mathématiques nous permettant de formaliser et de décrire les phénomènes étudiés. Il est donc de première importance que vous soyez capable de les maitriser, sans quoi vous ne serez pas en mesure de pouvoir suivre cet enseignement. Les notes de cours présentées ici ne représentent qu’une description très succincte de ces outils mais vous y trouverez des exercices (dont certains corrigés) vous permettant de tester votre maitrise de ces derniers. Vous êtes très fortement invité.e.s à les préparer avant le début du semestre afin de pouvoir vous concentrer sur les aspects physiques de l’électromagnétisme sans êtes  10 Chapitre 1. Les outils mathématiques bloqué.e.s par le formalisme mathématique. Vous pouvez retrouver d’autres exercices dans les feuilles de TD issues de l’enseignement OMP dispensé en L1. Ces feuilles sont disponibles sur le Moodle du cours. Vous pouvez également consulter l’ouvrage de référence de ce cours "Mathématiques pour la physique¨de Noirot, Parisot & Brouillet chez Dunod éditeur. 1.1 Notion de champs en physique et repères de coordonnées spatiales 1.1.1 Champs scalaires et vectoriels en physique On appelle "champ" en physique une grandeur caractérisant un phénomène physique présent dans un espace (à une, deux ou trois dimensions). Cette grandeur peut varier selon le point de l’espace où on la mesure et selon le temps où elle est mesurée. Dans le cours d’électromagnétisme, nous rencontrerons deux types de champs : — Les champs "scalaires" : ce sont des grandeurs qui caractérisent un phénomène physique avec une nombre comme par exemple la température de l’air dans une pièce : la température est alors un nombre dont la valeur dépend du point et du temps où est fait la mesure. La densité de masse d’un matériau en est un autre exemple. Ainsi le champ scalaire température peut être noté T(M, t) où M est un point de l’espace et où t est le temps. La position du point M sera caractérisée par des coordonnées qui dépendront évidemment du choix de repère spatial choisi. — Les champs "vectoriels" sont des vecteurs caractérisant des actions physiques en un point de l’espace donné et à un temps donné. Ces actions dont donc plus "riches" que les champs scalaires au sens où un simple nombre ne permet pas de les caractériser complètement et où l’information de la direction d’application de cette action est nécessaire. On peut trouver de nombreux exemples de ce type de champ vectoriel comme la vitesse de l’eau dans une rivière où l’information comporte à la fois la valeur de la vitesse mais également le sens du déplacement. Les forces, en physique, sont des champs vectoriels ainsi que les champs électriques et magnétiques. Un champ ~ vectoriel pourra ainsi être noté F(M, t) où sa norme et sa direction pourront dépendre de la position du point M et du temps t auxquels on étudie ce vecteur. 1.1.2 Les systèmes de coordonnées La description d’un phénomène physique ne peut se faire que quand on est capable de localiser avec précision n’importe quel point de l’espace. Pour ce faire on choisit un point de référence baptisé origine du repère ainsi qu’une façon de repérer les trois dimensions spatiales. Le choix du système de repère est, en principe, totalement équivalent et ne change rien à la physique mais dans la pratique, le choix d’un système de repère adapté permet souvent de simplifier les calculs mathématiques que nous devrons mener. Nous n’allons rappeler ici que les trois principaux systèmes de coordonnées que nous utiliserons dans le cours. Il en existe bien évidemment beaucoup d’autres. Les coordonnées cartésiennes C’est le système de coordonnées que vous utilisez depuis longtemps et celui adapté aux milieux à "basse" symétrie : ce sont des milieux qui n’ont aucune propriété de symétrie ou uniquement quelques plans de symétrie. Ce repère est constitué d’un point d’origine que nous appellerons O et de trois axes perpendiculaires entre eux et dont l’orientation est  1.1 Notion de champs en physique et repères de coordonnées spatiales 11 fixe. Ainsi le repère cartésien est entièrement défini par (O, u ~x , u ~z ) où les trois vecteurs ~ y, u verifient ||~ ux || = ||~ uz || = 1 et ux · u y = u y · uz = ux · uz = 0. u y || = ||~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Dans un repère cartésien, on peut calculer les composantes d’un vecteur AB ~ comme ~ = (xB xA , yB AB yA , zB zA ) = (xAB , yAB , zAB ). (1.1) p ~ = (xB xA )2 + (yB yA )2 + (zB zA )2. La norme de ce vecteur est alors définie comme ||AB|| Produit ~ · AC ~ = scalaire On rappelle également la définition du produit scalaire de deux vecteurs est AB ~ ⇥ ||AC|| ||AB|| ~ cos ↵ où ↵ est l’angle entre les deux vecteurs. Dans le cas d’un repère cartésien, le produit scalaire peut se calculer comme la somme du produit des composantes de chaque vecteur deux à deux ~ · AC AB ~ = xAB xAC + yAB yAC + zAB zAC. (1.2) ~ et AC Le produit vectoriel entre deux vecteurs AB ~ est défini dans un repère cartésien comme Règle des ~ ^ AC AB ~ = (yAB zAC yAC zBC )~ ux + (zAB xAC zAC xBC )~ u y + (xAB yAC xAC yBC )~ uz (1.3) ~ ^ AC|| On pourra démontrer que ||AB ~ = ||AB|| ~ ⇥ ||AC|| ~ sin ↵. Exercice 1.1 On définit les coordonnées de trois points A(3, 2, 1), B(1, 3, 2) et C(2, 1, 3) dans un repère cartésien. 1. Calculer les composantes des vecteurs AB ~ et AC~ dans ce repère. En déduire ~ l’expression du vecteur BC ~ · AC 2. Calculer la valeur du produit scalaire AB ~ et en déduire l’angle ↵ entre ces deux vecteurs. ~ ^ AC. 3. Calculer le produit vectoriel AB ~ Réponses : 3 ⇡ !↵= 4 3 ~ ^ AC 3.AB ~ = (3, 3, 3) et donc sin ↵ = ~ = 6 = ||AC||. ~ = 3 et ||AB|| ~ · AC 3 q 2 2.AB ~ On en déduit que cos ↵ = 1 et donc ↵ = ⇡ p 1.AB ~ = ( 1, 1, 2). BC ~ = ( 2, 1, 1) et AC ~ + AC ~ = BA ~ AB ~ = AC ~ = (1, 2, 1) ⌅ Les coordonnées cylindriques Polaire Ce système de coordonnées s’adapte naturellement aux environnements présentant une symétrie de révolution autour d’un axe fixe dans l’espace. Il généralise le sytème de coordonnées polaires bidimensionnel que vous avez vu au cours de votre cursus en y ajoutant une troisième direction fixe coïncidant avec l’axe de révolution de symétrie. Un exemple de ce type est, par exemple, un cylindre de rayon R, de hauteur h et d’axe (Oz). Si on appelle P un point de l’espace quelconque repéré en coordonnées cartésiennes par ses trois coordonnées (x, y, z) alors on peut définir ses coordonnées dans le repère cylindrique autour de l’axe de révolution (Oz) comme suit, après avoir défini H comme le point projeté de P sur l’axe (Oz) (voir figure 1.1) : - On note r la distance HP : r = HP  12 Chapitre 1. Les outils mathématiques Figure 1.1 – Coordonnées cylindriques ! - On note ✓ l’angle (! ux , HP). - on note z la coordonnée cartésienne de P suivant l’axe (Oz). On aura donc z = OH qui est la valeur algébrique de OH. L’ensemble des trois variables (r, ✓, z) permet de localiser n’importe quel point de l’espace. Ce sont les coordonnées cylindriques de P. A ces coordonnées cyindriques, on associe une base de vecteurs orthonormés (l’équivalent de la base ! u x ,! u y ,! u z pour les coordonnées ! ! ! cartésiennes) notée u r , u ✓ , u z. On les définit ainsi : ! Dans le -! u r est parallèle à HP et dirigé de H vers P : sens de R ! ! HP ur = ! (1.4) kHPk Dans le -! u ✓ est dans le plan parallèle à (Oxy) et passant par P et est perpendiculaire à ! u r. Il est sens de orienté "par le sens de rotation qui va de l’axe des x positif vers celui des y positif". l'angle Voir le schéma. -! u z est le vecteur du repère cartésien classique. Ce système de vecteurs di↵ère fondamentalement du système cartésien en ce sens que l’orientation des deux premiers vecteurs de la base cylindrique dépendent du point P considéré, c’est à dire de l’angle ✓. Le vecteur position du point P peut s’exprimer comme ~ = OH ~r = OP ~ + HP ~ = z~ ur. Dans cette expression le vecteur de base u uz + r~ ~✓ n’apparait jamais étant donné la façon dont ce système de coordonnées est défini. Cela ne veut pas dire que la position du point P ne dépend pas de ✓ car le vecteur de base u ~r dépend implicitement de la coordonnée ✓. A partir de cette expression, on peut exprimer le déplacement élémentaire 1.1 Notion de champs en physique et repères de coordonnées spatiales 13 ~ = dr~ dr ur + rd~ uz. Le vecteur u ur + dz~ ~r dépend de la variable ✓ car ~r = cos ✓~ u ux + sin ✓~ u✓ ur = d✓( sin ✓~ d~ ux + cos ✓~ u✓ ) = d✓~ u✓ Le déplacement élémentaire sera alors dr~ ur + rd✓~ u✓ + dz~ uz. Les vecteurs de base du repère cylindrique forment une base orthonormée qui suivent les règles habituelles de ce genre de base, c’est à dire u ~r · u ~✓ = u ~✓ · u ~z = u ~z = 0. ~r · u Il est important de se souvenir que dans ce sytème de coordonnées, les produits scalaire et vectoriel ne peuvent être calculer directement en utilisant les coordonnées cylindriques que si les deux vecteurs impliqués dans ces opérations sont définis au même point de l’espace. Dans le cas où on cherche à calculer des opérations entre deux vecteurs qui ne sont pas définis au même point de l’espace, alors il est obligatoire de repasser en coordonnées cartésiennes pour les calculer (sauf dans le cas de configurations simples comme deux points de l’espace symétriques par rapport à l’axe de révolution). ~ défini dans tout l’espace et ayant comme Exercice 1.2 On considère un champ vectoriel E expression E~ = Eo u~r dans un repère cylindrique et où Eo est une constante positive. On définit trois points de l’espace P1 , P2 et P3 dont les coordonnées cylindriques sont respectivement (Ro , 0, 0), (2Ro , 0, 0) et (Ro , ⇡2 , Ro ). 1. Quelle est l’expression du champ vectoriel E ~ en P1 , P2 et P3 dans le repère cylindrique et dans le repère cartésien ? 2. Calculer les produits scalaires E(P ~ 1 ) · E(P~ 2 ) et E(P ~ 1 ) · E(P ~ 3 ) ainsi que les produit ~ 1 ) ^ E(P vectoriels E(P ~ 2 ) et E(P ~ 1 ) ^ E(P ~ 3 ). Réponses : ~ 1 ) · E(P 2. E(P ~ 1 ) · E(P ~ 2 ) = Eo2 ; E(P ~ 1 ) ^ E(P ~ 3 ) = 0 ; E(P ~ 1 ) ^ E(P ~ 2 ) = ~0 ; E(P ~ 3 ) = Eo2 u ~z ~ 1 ) = Eo u E(P ~x = E(P ~ 3 ) = Eo u ~ 2 ) et E(P ~y ~r (✓ = 0) = E(P ~ 1 ) = Eo u 1. E(P ~ 3 ) = Eo u ~ 2 ) et E(P ~r (✓ = ⇡2 ) ⌅ Coordonnées sphériques Ce système de coordonnées s’inspire directement de la géographie où un point P de la surface terrestre est repéré par deux angles : la latitude et la longitude. Dans le repère des coordonnées sphériques, on fait de même : un point P est repéré par deux angles et une distance (voir figure 1.2) : ~ De - On note r la distance entre le centre du repère ( ici la Terre) et le point P : r = ||OP||. même que pour les coordonnées cylindriques, r est toujours positif puisque c’est une distance. ! - On note ✓ l’angle (! u z , OP). Cet angle est relié à la latitude en géographie par ⇡/2 latitude ! - Soit H le projeté de P sur le plan (xOy). On note ' l’angle (! u x , OH). Avec ces trois coordonnées, on peut situer n’importe quel point P de l’espace. A noter qu’il suffit de faire varier r entre 0 et 1, ✓ entre 0 et ⇡ et ' entre 0 et 2⇡ pour couvrir tout l’espace. On associe de même le repère des coordonnées sphériques : 14 Chapitre 1. Les outils mathématiques Figure 1.2 – Les coordonnées sphériques ! —! u r est parallèle à OP et dirigé de O vers P : ! ! OP ur = ! (1.5) kOPk ! —! u ✓ est dans le plan défini par (! uz , OP) : c’est un plan méridien. ! u ✓ est perpendiculaire ! à OP et il est orienté "par le sens de rotation qui va de l’axe des z positifs vers le point P". Il pointe donc vers le sud dans l’exemple de la figure. ! ! — u ' est dans le plan (Oxy) : il est perpendiculaire à OH et il pointe vers l’est. La position de n’importe quel point P de l"espace sera repéré par OP ~ = r~ur. Comme pour les coordonnées cylindriques, cela ne veut pas dire que la position d’un point P ne dépend que de r car le vecteur de base u~r dépend implicitement des deux angles ✓ et '. Les mêmes précautions que dans le cas d’un repère cylindrique sont à prendre pour le repère sphérique en ce qui concerne les opérations sur les vecteurs. Exercice 1.3 On considère deux champ vectoriels définis dans un repère de coordonnées sphériques comme E ~ = Eo u ~ = Bo u ~r et B ~' où Eo et Bo sont des constantes. On définit également deux points de l’espace P1 et P2 de coordonnées respectives (R, ⇡2 , 0) et (R, ⇡2 , ⇡2 ). ~ 1 ) · E(P 1. Calculer les produits scalaires suivant : E(P ~ 2 ), E(P ~ 1 ) · B(P ~ 1 ) et E(P ~ 1 ) · B(P ~ 2 ). ~ 1 ) ^ E(P 2. Calculer les produits vectoriels suivant : E(P ~ 2 ), E(P ~ 1 ) ^ B(P ~ 1 ) et E(P ~ 1 ) ^ B(P ~ 2 ). Réponses : ~ 1 ) ^ E(P 2.E(P ~ 2 ) = Eo2 u ~ 1 ) ^ B(P ~✓ (P1 ), E(P ~ 1 ) ^ B(P ~✓ (P1 ) et E(P ~ 1 ) = Eo Bo u ~ 2 ) = ~0 ~ ) · E(P 1.E(P1 2 ~ ) · B(P ~ ) = 0, E(P 1 1 ~ ) = 0 et E(P~ ) · B(P 1 2 ~ )= E B o o  1.2 Intégrales curvilignes, de surface et de volume 15 ⌅ 1.2 Intégrales curvilignes, de surface et de volume 1.2.1 Intégrales curvilignes Le calcul des intégrales tel qu’il est appris au lycée consiste à calculer la surface de l’aire définie entre une fonction f (x) et un axe rectiligne défini par une droite f (x). La notion d’intégrale curviligne vise à généraliser ce concept à l’intégration d’un champ scalaire ou vectoriel le long d’un chemin non linéaire caractérisé par une équation de lieu. Integrale curviligne d’un champ scalaire le long d’un chemin C : Soit f (P) un champ sca- laire défini en tout point d’un espace dans lequel on définit une courbe C entre deux points A et B. L’intégrale de cette fonction le long de C entre A et B est donnée par : Z B n X f (P)dl = limn7!1 f (Pi ) li (1.6) A i=1 dl est donc une distance élémentaire infinitésimale du contour. Ainsi au fur et à mesure que l’on se déplace le long du contour C, le déplacement élémentaire est caractérisé par un vecteur déplacement élémentaire dl ~ dont l’expression peut être obtenue à l’aide de ~ Si f (P) = 1 pour tout point le long du l’équation de lieu, ce qui permet d’obtenir dl = ||dl||. contour alors l’intégrale curviligne est égale à la longueur du contour. Exemple : Prenons comme contour le segment situé sur l’axe (Ox) et compris entre les points O et A(a, 0, 0). La distance élémentaire dl peut donc s’écrire dl = dx. Pour f (P) = x2 + zy Z Z x=a f (P)dl = (x2 + zy)dx (1.7) AB x=0 Il ne reste qu’à intégrer en notant qu’ici, y et z ne sont pas des variables d’intégration puisque le contour est inclus dans l’axe (Ox) donc seule la variable x varie quand P parcourt le contour. Nous verrons en exercice et dans la suite du cours d’autres exemples de calcul d’intégrales de contour. Nous allons voir d’autres exemples d’intégrales de contour, de surface ou de volume qui utilisent des géométries qui ne sont pas adaptées aux coordonnées cartésiennes : les sphères et les cylindres. Pour le cas d’une sphère, comment en e↵et exprimer à l’aide de coordonnées cartésiennes une surface élémentaire de la sphère ? On s’en sort facilement en introduisant un système de coordonnées adapté à la géométrie du problème. On utilisera trois systèmes de coordonnées possibles dans ce cours : le système des coordonnées cartésiennes, le système des coordonnées cylindriques et le système des coordonnées sphériques. On utilisera l’un ou l’autre selon le problème rencontré. Le choix de tel ou tel système sera gouverné par les symétries du problème rencontré. Si nous avons a↵aire à une sphère, on choisira naturellement les coordonnées sphériques etc. Nous allons maintenant voir quelques exemples de calculs d’intégrales curvilignes avec ces géométries là. 16 Chapitre 1. Les outils mathématiques Exercice 1.4 Représenter le chemin C dont les équations de lieu sont, en coordonnées cylindriques (r, ✓, z), r = A exp ( ✓/⇡) et z = A avec ✓ 2 [0, 2⇡[ et A une constante. Exprimer le vecteur déplacement dl ~ puis sa norme le long de C. Calculer la longueur du chemin le long de C entre ✓ = 0 et ✓ = 2⇡. Réponses : Longueur= 1 + ⇡2 A e e2 1 dl = rd✓ 1 +p1/⇡2 ⇣2 ⌘ p ⌅ ~ Circulation d’un champ vectoriel le long d’un chemin C : Soit E(P) un champ vectoriel dé- fini en tout point d’un espace dans lequel on définit une courbe C entre deux points A et B. La circulation de ce champ est définie par l’intégrale de ce champ le long de C entre A et B est donnée par : Z B n X E(P) ~ = limn7!1 ~ · dl ~ i ) · ~li E(P (1.8) A i=1 Ici la di↵érence avec le cas précédent réside dans le produit scalaire entre le champ vectoriel et le vecteur déplacement élementaire dl.~ En e↵et dans la circulation d’un champ vectoriel, l’orientation du champ par rapport au contour suivi influence la valeur de la circulation. ~ Un exemple simple de circulation est le calcul du travail d’une force F(P) : Z B WC,A!B = F ~ = Ec,B Ec,A ~ · dl (1.9) A ~ alors Si cette force est parallèle et orientée dans la même direction que le déplacement dl le travail de cette force sera positif amenant une augmentation de l’énergie cinétique du corps subissant cette force. La même force, orientée cette fois dans la direction opposée au déplacement, donnera une circulation négative amenant une diminution de l’énergie cinétique. ~= u ~r Exercice 1.5 Soit un champ vectoriel définit en coordonnées cylindriques E + 1 + Ar B✓~u✓. On considère un chemin C décrit par une spirale d’Archimède définie comme ~ le long de C parcouru dans r(✓) = a✓ avec ✓ 2 [0, 2⇡[ et z = 0. Calculer la circulation de E le sens trigonométrique avec a et A des constantes positives et B une constante positive ou négative. Réponses : Circulation = A 3 ⇡ + 8aB ln(1+Aa2⇡) 3 Spirale d’Archimède : dl~ = ad✓(~ u✓ ) ur + ✓~ ⌅ Il est important de noter que l’équation de lieu qui décrit le contour C peut se présenter sous deux formes :  1.2 Intégrales curvilignes, de surface et de volume 17 une équation de lieu telle que le chemin peut se résumer à une équation ne portant que sur une des coordonnées du système. C’est le cas quand cette équation de lieu exprime les autres coordonnées en fonction d’une seule. L’intégrale se résume alors à calculer une intégrale "classique". une équation de lieu paramétrique où toutes les coordonnées décrivant le chemin sont exprimées en fonction d’une autre variable comme très souvent le temps par exemple. L’intégrale se résume alors à une intégrale sur la variable paramétrique. Exercice 1.6 On définit un chemin dans un plan cartésien (xOy) tel que x(t) = a cos3 (2⇡t) et y(t) = a sin3 (2⇡t) où a est une constante positive et t un paramètre 2 [0, 1]. Exprimer la norme du vecteur déplacement dl = ||dl|| ~ puis calculer la longueur L du chemin. Réponses : =1/2 [sin(t + s) + sin(t-s)] sin(2PI T) cos(2PI S) L=6a cos2 (2⇡t) sin(2⇡t)~ u y dt ! dl = 3a⇡| sin(4⇡t)|dt ux + sin2 (2⇡t) cos(2⇡t)~ dl ~ = 6⇡a ⇣ ⌘ ⌅ 1.2.2 Intégrales de surface Soit f (M) un champ scalaire défini en tout point M d’un espace dans lequel on choisit une surface (S) délimité par un contour. L’intégrale de f sur cette surface est donnée par : " n X f (M)dS = limn!1 f (Mi ) Si (1.10) S i=1 Dans cette expression, Si représente une toute petite surface centrée en Mi , d’autant plus petite que n est grand. Si f (M) = 1 8M 2 S, alors la valeur de l’intégrale est l’aire de la surface S. Afin de mener à bien le calcul de cette intégrale de surface, il faut, si c’est possible, choisir un système de coordonnées tel que la fonction f se factorise en un produit de termes dépen- dant uniquement d’une des deux variables. Le calcul de l’intégrale double se transformera alors en un produit de deux intégrales indépendantes. Dans le cas où il n’est pas possible de trouver un tel cas, il faudra alors procéder par étape en résolvant une des deux intégrales, ce qui donnera un résultat dépendant de l’autre variable. Il faut alors procéder au calcul de la deuxième intégrale en prenant en compte le résultat de la première dans la fonction à intégrer. Dans le cas où on cherche à calculer le flux d’un champ vectoriel E ~ à travers cette surface, il est important d’orienter la surface, c’est à dire d’exprimer tout élément de la surface comme un vecteur dont la norme est dS et l’orientation est perpendiculaire à l’élément de surface considéré. Pour une surface quelconque, on a deux possibilités d’orientation de la surface (un de chaque "côté" de la surface). Ce choix est arbitraire (vous pouvez choisir le sens que vous voulez) mais conditionne la définition du sens positif selon lequel on parcours le contour délimitant la surface. Dans le cas d’une surface fermée sur elle-même, c’est à dire sans bord comme pour une sphère, alors il n’y a pas de choix et l’orientation du vecteur dS ~ sera toujours vers l’extérieur à la surface. On appelle alors le flux du champ E ~ à travers une surface S l’intégrale de surface définie comme " ~ Flux de E à travers S = E ~ ~ · dS (1.11) S  18 Chapitre 1. Les outils mathématiques 1.2.3 Intégrales de volume Soit f (M) un champ scalaire défini en tout point M d’un espace dans lequel on choisit un volume (V) délimité par une surface. L’intégrale de f dans ce volume est donnée par : $ n X f (M)dV = limn!1 f (Mi ) Vi (1.12) V i=1 Dans cette expression, Vi représente un tout petit volume centré en Mi , d’autant plus petit que n est grand. L’expression de l’élément de volume dV s’obtient comme le produit des trois composantes du vecteur dépalcement élémentaire dl ~ si on opère dans un système de coordonnées orthonormées. Si f (M) = 1 8M 2 V, alors la valeur de l’intégrale est le volume V. 1.2.4 Illustration avec les coordonnées cartésiennes Nous allons voir sur des exemples simples en utilisant les coordonnées cartésiennes ce que sont les intégrales de volume et de surface. Considérons le parallélépipède rectangle de la figure (1.3) et choisissons un système d’axes Figure 1.3 – Calcul du volume d’un parallélépipède comme sur la figure. Pour calculer l’aire de ce parallélépipède, nous voyons qu’il suffit de calculer l’aire de chaque face. Prenons donc celle située dans le plan z = 0 et découpons la en un très grand nombre de petits rectangles de dimensions infinitésimales, c’est à dire qu’elles sont infiniment petites ; on les note traditionnellement dx et dy. A chaque point P de coordonneés (x,y) de la face correspond un de ces rectangles. L’aire de chaque rectangle est dxdy et l’aire de la face est donc la somme de toutes ces aires infiniment petites. Une telle somme est une intégrale à deux dimensions. C’est la généralisation à deux dimensions du 1.2 Intégrales curvilignes, de surface et de volume 19 calcul d’une longueur : un segment situé entre les points d’abscisses x = 0 et x = L a une longueur L car Z x=L dx = L (1.13) x=0 En calculant l’intégrale, on e↵ectue en fait la somme pour tous les points P du segment des distances infinitésimales dx centrées en chaque point P. Le calcul de la surface s’écrit de la même façon : Z x=L Z y=l Aire = dxdy (1.14) x=0 y=0 Comme les variables x et y varient de façon indépendante, c’est à dire que quelque soit la valeur de x, y varie toujours entre 0 et l, on calcule l’intégrale de l’une puis de l’autre des variables c’est à dire en considérant tout d’abord par exemple que x est une constante et en intégrant sur y puis en intégrant sur x. Le calcul d’une intégrale double revient alors au calcul successif de deux intégrales simples. Z x=L Z y=l Z x=L 0Z y=l 1 Z x=L Z x=L BB CC l dxdy = BB@ dyCCA dx = [y]0 dx = (l 0)dx = [lx]L0 = L ⇥ l (1.15) x=0 y=0 x=0 y=0 x=0 x=0 Que fait on pour un volume ? La même chose avec une dimension de plus. On découpe le volume en un ensemble de parallélépipèdes rectangles élémentaires de volume dxdydz et on intègre : Z x=L Z y=l Z z=h Z z=h Volume = dxdydz = L ⇥ ldz = L ⇥ l ⇥ h (1.16) x=0 y=0 z=0 z=0 Ces calculs permettent de comprendre le principe même d’un calcul de surface ou de volume : on découpe en surfaces ou volumes élémentaires et on intègre. Une application directe de ces intégrales est le calcul de la charge électrique totale d’un système. Un volume élémentaire de matière noté dV = dxdydz centré en un point M de coordonnées (x, y, z) possède la charge dq = ⇢(x, y, z, t)dV. La charge volumique traduit la répartition de la charge au sein du volume. C’est une fonction considérée comme continue du moment que la séparation e↵ective entre charges élémentaires du système ( électrons, protons...) est faible devant les dimensions caractéristiques que l’on considère. Quelle est la charge totaleP Q de ce système ? Ce sera la somme de toutes les charges élémentaires soit donc Q = tous les points M dq. Cette somme équivaut à une intégrale du moment que la répartition de charges est considérée comme continue : X $ Q= dq = ⇢(x, y, z, t)dxdydz tous les points M volume total Exemple : Une membrane cellulaire est assimilée à un parallélépipède : elle occupe tout l’espace situé en x  0 et compris dans les intervalles L  y  +L et H  z  +H. La membrane 20 Chapitre 1. Les outils mathématiques est chargée et la charge se concentre essentiellement à la frontière x = 0. On modélise la répartition spatiale de la charge par la donnée de la charge volumique : x  0, L  y  +L, H  z  +H, ⇢(x, y, z) = ⇢0 ex/a ⇢(x, y, z) = 0 ailleurs La charge totale portée par la membrane s’écrit donc : $ Z LZ HZ 0 Q= ⇢(x, y, z, t)dxdydz = ⇢0 ex/a dxdydz = 4HL⇢0 a volume membrane L H x= 1 Remarque (facultatif) Le calcul d’intégrales multiples di↵ère si les variables ne sont pas indépendantes. Par exemple pour un triangle (Figure 1.4), y ne varie pas de 0 à l pour Figure 1.4 – Calcul de l’aire d’un triangle toutes les valeurs de x. Il faut tenir compte dans le cas du triangle dessiné du fait que y  lx/L. Nous n’aurons pas dans ce cours à rencontrer ce type d’intégrales. Dans chaque intégrale rencontrée, les variables seront indépendantes donc nous ne nous étendrons pas sur des calculs plus compliqués. A titre d’information, la façon de procéder dans ce cas est la suivante : " Z x=L Z y= l x L Aire = dxdy = dxdy x=0 y=0 Z x=L " #L l lx2 L⇥l = xdx = = x=0 L 2L 0 2 On a tenu compte du fait que y dépendait de x en intégrant d’abord par rapport à y puis R x=L ensuite par rapport à x. Le terme x=0 Ll xdx illustre bien que l’aire est la somme des aires  1.2 Intégrales curvilignes, de surface et de volume 21 élémentaire y(x)dx = Ll xdx dont l’une est représentée sur la figure. 1.2.5 Intégrales de surface et de volume dans des coordonnées non-cartésiennes Aire et volume d’un cylindre Figure 1.5 – Calcul de l’aire et du volume du cylindre Nous allons nous servir de ce système pour calculer l’aire et le volume du cylindre. Vous pourrez vous convaincre qu’une surface élémentaire du "tronc" de ce cylindre est un arc de cercle élémentaire que multiplie la hauteur élémentaire dz. Soit P un point de la surface. Il a donc pour coordonnées (r = R, ✓, z). L’arc de cercle infinitésimal passant par P a pour longueur Rd✓ : en e↵et, il faut savoir que quand un arc de cercle de rayon R a comme angle le définissant ( voir figure) ✓0 , la longueur de cet arc est R✓0 avec ✓0 exprimé en radians. Pour un angle infinitésimal d✓ on obtient donc Rd✓. L’aire du tronc sera obtenue en sommant chaque aire infinitésimale avec z variant de 0 à h et ✓ variant de 0 à 2⇡ : Z z=h Z ✓=2⇡ Z z=h Rd✓dz = R ⇥ 2⇡dz = 2⇡Rh (1.17) z=0 ✓=0 z=0 Quant à l’aire d’une base, il faut introduire l’aire infinitésimale de valeur rd✓dr ; en e↵et, le point P est cette fois à une distance r quelconque de l’axe. Les deux aires des deux bases seront : Z r=R Z ✓=2⇡ Z r=R rd✓dr = 2⇡rdr = ⇡R2 (1.18) r=0 ✓=0 r=0 Quant au volume, on pourra se convaincre qu’un volume élémentaire est dr ⇥ rd✓ ⇥ dz. On 22 Chapitre 1. Les outils mathématiques obtient : Z r=R Z z=h Z ✓=2⇡ Z r=R Rd✓dz = r ⇥ 2⇡h = [2⇡hr2 /2]R0 = ⇡R2 h (1.19) r=0 z=0 ✓=0 r=0 Aire et volume d’une sphère Calculons maintenant l’aire d’une sphère de rayon R. Sur une sphère, le point P varie avec pour coordonnées r = R fixe et ✓ et ' qui varient. Un élément de surface est le produit de deux arcs de cercle élémentaires. Il y a un petit piège : quand ✓ varie avec r et ' constants, le point P suit une méridienne qui est un cercle de rayon R ; l’arc de cercle infinitésimal a comme longueur Rd✓. Quand ' varie avec r et ✓ constants, le point P évolue sur un arc de cercle situé dans un plan parallèle au plan de l’équateur : il suit une parallèle. C’est un cercle dont le rayon dépend de la latitude du point P et donc de l’angle ✓. Il sera de rayon nul aux pôles nord et sud et de rayon R à l’équateur. On peut voir que le rayon n’est rien d’autre que la distance OH = r sin ✓. L’arc de cercle infinitésimal a comme longueur rsin✓d'. L’élement de surface sera donc : Rsin✓d'Rd✓ et l’aire : Z ✓=⇡ Z '=2⇡ Rsin✓d'Rd✓ = 4⇡R2 (1.20) ✓=0 '=0 En ce qui concerne le volume, le volume infinitésimal sera : dr ⇥ rd✓ ⇥ rsin✓d' et le volume est : Z r=R Z ✓=⇡ Z '=2⇡ 4 r2 sin✓d'd✓ = ⇡R3 (1.21) r=0 ✓=0 '=0 3 Exercice 1.7 En utilisant une intégrale double, calculez la surface intérieure (grisée sur la figure ci-contre) de la spirale d’Archimède, c’est-à-dire la courbe d’équation polaire r(✓) = a✓, avec a une constante positive. Réponse : 3 0 0 4⇡3 a2 d✓ = r̃dr̃ La surface grisée = R r(✓) ◆ ✓ R 2⇡ ⌅ Exercice 1.8 1. On considère une demi-sphère supérieure ~ = dS ~ où ! d’axe (Oz) et de rayon R. Calculer le vecteur S uz ~ est orienté selon u dS ~r dans les coordonnées sphériques (on utilisera le vecteur u ~z de la!base cartésienne). dS 2. Calculer le vecteur surface S~ = dS ~ pour un disque de rayon R où dS~ est orienté selon u~z. O R Réponses : ~z 2. ⇡R2 u ~z 0 sin ✓ cos ✓d✓ 0 d' = ⇡R2 u ~ = R2 u dS ~z ! R ⇡/2 R 2⇡ ~ = R2 sin ✓d✓d' cos ✓~ 1. dS uz + sin ✓(cos '~ u y ) d’où ux + sin '~ ⇣ ⌘ ⌅  1.3 Les opérateurs scalaires et vectoriels 23 1.3 Les opérateurs scalaires et vectoriels Avant d’aborder les équations de Maxwell, nous avons besoin d’introduire trois outils mathématiques qui permettent d’e↵ectuer des opérations de dérivation sur les champs scalaires et vectoriels. Une présentation beaucoup plus détaillée de ces outils pourra être trouvée dans le TD 6 du cours "Outils Mathématiques pour la Physique" dispensé en L1 et qui se trouve sur le site Moodle du cours d’électromagnétisme. On pourra également se reporter au livre de Feynman, "électromagnétisme 1", chapitre 2 pour percevoir le sens de ces outils. 1.3.1 Gradient d’un champ scalaire Un champ scalaire est caractérisé en chacun de ses points par un nombre. La question qui se pose est comment relier la valeur de ce champ en un point à celle en un point très proche ? Si nous travaillons avec une fonction mathématique d’une seule variable, la réponse est simple : nous utiliserons la dérivée. Ainsi une fonction f en la variable x est reliée à f en x + dx par : f (x + dx) ' f (x) + f 0 (x)dx, à condition que dx ! 0. La variation élémentaire, df notée d f , de la fonction f entre les deux positions est donc donné par d f ' f 0 (x)dx = dx dx. Mais que pouvons nous dire quand la fonction dépend de trois variables ? Intéressons nous par exemple au champ de température. Si la température est de 10C en un endroit, l’écart en température ne sera certainement pas le même si l’on va à droite, à gauche , au dessus ou en dessous de cet endroit : la variation en température dépend de la direction choisie. ! C’est pour cela qu’on introduit la notion de gradient de température. On le note rT et il vaut : ! ! @T @T @T grad T = rT = u ~x + u ~y + u ~z (1.22) @x @y @z Avec : u ~x ,~ uz les vecteurs unitaires du repère cartésien et @T u y ,~ @x la dérivée dite partielle par rapport à x : c’est tout simplement la dérivée de la fonction T(x, y, z) en supposant que y et z sont des constantes (et non des variables). On la distingue de la dérivée classique dite dérivée droite par cette forme @, appelée "d rond ". L’expression du gradient fait intervenir un opérateur vectoriel r baptisé "nabla". L’expression de cet opérateur est ! ! @ @ @ r= , , (1.23) @x @y @z où les composantes selon chaque direction est l’opérateur dérivée partielle. Il est à noter que l’expression de cet opérateur di↵ère selon le système de coordonnées choisi. Ainsi si nous cherchons à connaitre la variation élémentaire de température dT à la distance dx d’une position donnée et dans la direction (Ox), comme pour une fonction à une seule variable, on va calculer dT = @T @x dx. On voit donc qu’il suffira de projeter le gradient, qui est un vecteur, selon cette direction, ce qui revient à faire le produit scalaire du gradient avec ux : dx~ @T ! dx = rT · dx~ ux (1.24) @x De la même manière, lorsqu’on cherche à connaître la variation élémentaire de température ! dans une direction quelconque, on notera dT cette variation et dM le vecteur de norme  24 Chapitre 1. Les outils mathématiques infinitésimale selon cette direction (l’équivalent de dx~ ux dans une direction quelconque) ; ! ! alors dT = rT · dM. On se familiarisera avec ce gradient dans les exercices. L’expression du gradient dans le système de coordonnées cylindriques (r, ', z) est ! @T! 1 @T ! @T rT = ur+ u'+ ! uz (1.25) @r r @' @z alors que dans le système de coordonnées sphériques (r, ✓, ') on obtient ! @T! 1 @ f ! 1 @f ! rT = ur+ u✓+ u' (1.26) @r r @✓ r sin ✓ @' 1.3.2 Lignes de champ d’un champ vectoriel ! Si pour chaque point M de l’espace la grandeur physique U(M) est représentée par une quan- tité vectorielle que l’on exprimera en coordonnées cartésiennes Ux (x, y, z), U y (x, y, z), Uz (x, y, z) ! ! U(M) = U(~r) = Ux (x, y, z) u ~x + U y (x, y, z) u ~ y + Uz (x, y, z) u ~z. On appelle ligne de champ toute courbe (dans l’espace : courbe dite gauche) telle qu’en ! chaque point de celle-ci le champ U(M) y est tangent. En chaque point de l’espace il ne peut passer qu’une ligne de champ (et une seule sauf en quelques points singuliers) car sinon en un point donné de l’espace le champ pourrait prendre deux valeurs distinctes. Le ! déplacement infinitésimal dl le long d’une ligne de champ à partir d’un point donné (et qui va définir celle-ci) est donc simplement parallèle au champ lui-même en ce point, c’est à dire ! ! dl = U(~r) où est une constante. Cela se traduit, par exemple en coordonnées cartésiennes, par les relations dx dy dz = =. Ux (x, y, z) U y (x, y, z) Uz (x, y, z) Les lignes de champ ne se croisent jamais sauf en des points singuliers, c’est à dire des points où le champ est nul ou ceux où il n’est pas défini (tels, par exemple, aux points où se situent des charges électriques). On peut établir qu’une ligne de champ sans point singulier ne peut être une courbe fermée. Exemples i) Lignes de champ associées à une charge ponctuelle placée en un point qui définit l’origine des systèmes de coordonnées. Les propriétés de symétrie et d’invariance inhérentes à la charge isolée, impliquent que le champ est radial (ce que nous dit aussi la loi de Coulomb que nous verront dans le prochain chapitre) et suggèrent de travailler en coordonnées sphériques. On a ! E (~r) = Er (r) u ~r 1.3 Les opérateurs scalaires et vectoriels 25 ! et le déplacement infinitésimal dl le long de la ligne s’écrit ! dl = u ~r dr + u ~' r sin ✓d' ~✓ rd✓ + u et doit s’exprimer par le vecteur ( , une constante) ! ! dl = E (~r). Comme le champ est radial dr = Er (r), d✓ = 0 et d =0 ce qui montre bien que les lignes de champ sont les rayons issus de la charge elle-même. Figure 1.6 – lignes de champ pour une charge ponctuelle a) négative, b) positive. ii) Un exemple plus complexe : lignes de champ associées au dipôle électrique dont le champ dans un plan contenant l’axe de révolution du système (i.e., l’axe qui joint les deux charges, q, d et ✏o sont des constantes). ! qd E (~r) = (2 cos ✓ u ~r + sin ✓ u ~✓ ) 4⇡ ✏0 r3 dans des coordonnées cylindriques avec comme vecteur de déplacement ! dl = u ~r dr + u ~✓ r d✓ ! De la relation E (~r) = Er (r, ✓) u ~r + E✓ (r, ✓)~ u✓ on tire donc dr = Er (r), r d✓ = E✓ (r) et donc dr r d✓ =. Er (r) E✓ (r) On en déduit alors, compte tenue de l’expression des composantes Er (r, ✓) et E✓ (r, ✓) du champ électrostatique, dr r d✓ dr cos ✓ d✓ d(sin ✓) = soit =2 =2. 2 cos ✓ sin ✓ r sin ✓ sin ✓  26 Chapitre 1. Les outils mathématiques Figure 1.7 – Champ d’un dipôle électrostatique ~ p. Ainsi finalement ln r = ln sin2 ✓ + constante soit encore r = K sin2 ✓, où K est une constante arbitraire, ce qui donne les lignes de champs qui sont tracées sur la figure 1.7. On peut noter, sur ces deux exemples, que les régions de champ intense sont celles où les lignes de champ se resserrent, ce qui est une propriété générale. 1.3.3 Divergence d’un champ vectoriel Un champ vectoriel est caractérisé par la donnée de TROIS nombres en chaque point de l’espace : ce sont les trois coordonnées du vecteur en ce point. Le champ des vitesses est un vecteur que l’on peut noter : 8 > > > vx (x, y, z) < v(x, y, z) = > ~ > v y (x, y, z) > : vz (x, y, z) Les trois composantes dépendent elles-même des trois coordonnées d’espace. La divergence du champ vectoriel ~ v est un scalaire, (ce n’est pas un vecteur) défini par : ! @vx @v y @vz div ! v = r ·~ v= + + (1.27) @x @y @z L’expression de cet opérateur en coordonnées cylindriques (r, ', z) devient ! 1 @rvr 1 @v' @vz v= r ·~ + + (1.28) r @r r @' @z  1.3 Les opérateurs scalaires et vectoriels 27 De même dans le système de coordonnées sphérique (r, ✓, '), on obtient ! 1 @r2 vr 1 @v✓ sin ✓ 1 @v' v= 2 r ·~ + + (1.29) r @r r sin ✓ @✓ r sin ✓ @' La divergence d’un champ vectoriel est un outil permettant de caractériser le flux porté par ce champ vectoriel au travers d’une surface. 1.3.4 Rotationnel d’un champ vectoriel Ce troisième et dernier opérateur s’applique également aux champs vectoriels. Le rotationnel d’un vecteur est lui même un vecteur : ! ! ! ! ! @vz @v y ! @vx @vz ! @v y @vx ! rot v = r ^ v = ~ ux + uy + uz (1.30) @y @z @z @x @x @y Remarquez de vous même que si vous prenez le produit vectoriel de r avec ~ v vous obtiendrez la définition du rotationnel, et de même si vous prenez le produit scalaire de r avec ~ v, vous obtiendrez la divergence de ~ v. Il est important de mentionner que ceci ne fonctionne que si vous travaillez en coordonnées cartésiennes mais pas dans les autres systèmes de coordonnées. Le rotationnel d’un champ vectoriel est un champ vectoriel permettant de caractériser l’enroulement du champ vectoriel sur lequel il est appliqué. Ainsi on peut observer en météorologie que le rotationnel du champ de vitesse de l’air possède une norme très grande à proximité des cyclones et autres vortex astmosphériques (tornades, etc...). L’expression du rotationnel en coordonnées cylindriques (r, ✓, z) est plus complexe ! ! ! ! 1 @vz @v✓ ! @vr @vz ! 1 @rv✓ @vr ! r ^~v= ur+ u✓+ uz (1.31) r @✓ @z @z @r r @r @✓ De même, en coordonnées sphériques (r, ✓, '), le rotationnel s’exprime ! ! ! ! 1 @v' sin ✓ @v✓ ! 1 @vr 1 @rv' ! 1 @rv✓ @vr ! v= r ^~ ur+ u✓+ u ' (1.32) r sin ✓ @✓ @' r sin ✓ @' r @r r @r @✓ 1.3.5 Propriétés et théorèmes Nous pouvons d’emblée mentionner quelques propriétés remarquables qui nous serons utiles ultérieurement dans ce cours. Ainsi que se passe t’il quand on compose les di↵érents opérateurs cités plus haut ? ! ! ! ! div gradT = r · ( r T) = r 2 T = T (1.33) On obtient alors un nouvel opérateur appelé Laplacien. L’expression de cet opérateur dans les di↵érents systèmes de coordonnées est @2 T @2 T @2 T T = + + (cartesien) @x2 @y2 @z2 ! 1 @ @T 1 @2 T @2 T = r + 2 2 + 2 (cylindrique) (1.34) r @r @r r @ @z ! ! 1 @ 2 @T 1 @ @T 1 @2 T = r + sin ✓ + (spherique) r2 @r @r r2 sin ✓ @✓ @✓ r2 sin ✓ @ 2 28 Chapitre 1. Les outils mathématiques Cet opérateur est polyvalent car il peut s’appliquer aussi bien à un champ scalaire qu’ à un champ vectoriel. En e↵et si on inverse l’ordre des opérateurs, on obtient alors un laplacien appliquable à un champ vectoriel ! !! ! grad div ·! v = r ( r ·! v ) = r 2! v = ! v (1.35) L’expression de cet opérateur di↵ère de celle donnée pour un champ scalaire. Nous ne donnerons pas son expression dans ce cours car l’utilisation du laplacien vectoriel est en dehors du programme de ce cours. Quand on conjugue divergence et rotationnel, le calcul vectoriel est facile car on montre que ! ! ! ! ! rot gradT = r ^ ( r T) = 0 (1.36) ! ! ! div rot! v = r · ( r ^! v)=0 (1.37) Vous pouvez vous entraîner au calcul vectoriel en prenant une fonction T arbitraire et en vérifiant les expressions ci-dessus dans les trois systèmes de coordonnées. Théorème de Green-Ostrogradsky Ce théorème nous sera très utile dans la suite car il va nous permettre de résoudre de nombreux problèmes relatifs au calcul des champs électrostatiques. Considérons un champ ! vectoriel A présent dans un volume fini V, ce volume étant délimité par une surface fermée S. Alors le théorème de Green-Ostrogradsky nous dit que ! ! ! ! $ ( r · A)dV = A · dS (1.38) V S Ainsi la somme sur tout un volume fini de la divergence d’un champ vectoriel est égale à l’intégrale de ce champ sur la surface délimitant le volume. Le rond apparaissant dans le symbole de la double intégrale sert à rappeler que l’intégrale de surface porte sur une surface fermée sur elle-même et délimitant le volume. Théorème de Stokes Le théorème de Stokes donne une propriété fondamentale du rotationnel d’un champ vectoriel. En e↵et, considérons une surface finie S délimitée par un contour C. Le théorème ! de Stokes nous dit que s’il existe un champ vectoriel A présent sur cette surface, alors l’intégrale de surface du rotationnel de ce champ vectoriel est égale à l’intégrale curviligne de ce champ le long du contour fermé C, soit I ! ! ! ! ! " ( r ^ A) · dS = A · dl (1.39) S C Il est important de noter que les signes intégraux apparaissant avec un rond au milieu signifient que le contour ou les zones d’intégration sont fermées sur elles-même (la surface d’une sphère, le périmètre d’un cercle, etc...). 1.3 Les opérateurs scalaires et vectoriels 29 Exercice 1.9 1. En utilisant la définition de la divergence d’un champ vectoriel, ! ! calculer r · u r dans la base sphérique (! u r est le vecteur unitaire orienté selon le rayon). Retrouver ce résultat en utilisant l’expression de la divergence dans la base cartésienne (calcul long et fastidieux !). ! 2. Soit le champ vectoriel A(r, ✓) = ar ⇥ sin ✓! u r (a constante) défini dans une base sphérique. Vérifier la relation de Green-Ostrogradsky en utilisant la sphère de centrée sur l’origine du repère et de rayon R. Réponses : A · dS = ⇡2 aR3 S ( r · A)dV = V ! ! # ! ! 2. 1. r ·! u r = 2r ! ⌅ Exercice 1.10 1. En utilisant la définition du rotationnel en base cylindrique, calculer ! ! r ^ u ✓. ! 2. Soit le champ vectoriel A = ar3! u ✓ dans la base cylindrique (a constante). Calculer : ! — la circulation de A le long d’un cercle de rayon R et de centre O situé dans le plan (xOy). ! ! — Le flux de r ^ A à travers le surface du disque délimitée par ce cercle. ! ! — le flux de r ^ A à travers la demi-sphère supérieure s’appuyant sur le cercle. Le théorême de Stokes est-il vérifié ? Réponses : A · dl = S A · dS = 2⇡aR4C ! 2. H ! ! ~ 1. r ^! r u ✓ = uz ! ~ ⌅  2. Les bases de l’électrostatique Sommaire 2.1 Electricité 30 2.1.1 La charge électrique........................................ 30 2.1.2 Densités de charges et de courant............................. 32 2.2 La loi de Coulomb 35 2.2.1 Enoncé................................................. 35 2.2.2 Propriétés............................................... 36 2.2.3 La notion de champ électrique................................ 37 2.2.4 Principe de superposition.................................... 38 2.2.5 Energie et potentiel électrostatiques............................ 41 2.3 Loi de Coulomb et distribution de charges électriques 49 2.3.1 Enoncé de la loi de Coulomb................................. 49 2.3.2 Limite d’application de la loi de Coulomb......................... 54 2.3.3 Potentiel électrostatique d’une distribution de charges volumique....... 55 2.4 Champ et potentiel électrostatiques 57 2.4.1 Circulation du champ électrostatique et potentiel................... 57 2.4.2 Lignes de champ et potentiel................................. 58 2.1 Electricité 2.1.1 La charge électrique Historique O n prête les premières observations sur l’électricité statique à Thalès de Milet vers 600 av. J.C. Il constata qu’une fois frotté, l’ambre jaune (êlektron en grec) avait 2.1 Electricité 31 la curieuse propriété d’attirer à lui des fragments de tissus, des brins de paille. En 1600, William Gilbert, médecin de la reine d’Angleterre, démontre que l’ambre n’est pas la seule substance capable d’attirer les corps légers : le diamant, le verre, la résine avaient la même propriété. Il compara ce phénomène d’attraction à celui observé avec les aimants et put ainsi établir une distinction totale entre les corps électrisés et les phénomènes magnétiques. Il baptisa "electrisa" les corps qui attirent à la façon de l’ambre. Expérience Faites la vous même. Prenez une règle et un vêtement en laine. Frottez la règle énergiquement sur la laine et approchez la de vos cheveux. Vous constaterez que ces derniers sont attirés par la règle. Autre expérience : prenez une cuillère en plastique et frottez la sur la laine. Approchez la cuillère d’une assiette dans laquelle a été déposé du poivre moulu. Que se passe t-il ? Le poivre est attiré par la cuillère et vient s’y coller. La force électrique est supérieure à la force de gravitation. Au milieu du 17e siècle, le bourgmestre de Magdeburg, Otto von Guericke, conçut une boule de soufre qu’il fit tourner sur un axe en appuyant à sa surface un chi↵on. Quand on avançait un objet en métal vers la sphère, une étincelle fugitive se produisait. Il constata également que les petits objets étaient attirés par la sphère mais qu’une fois en contact avec elle, ils étaient au contraire repoussés. Ils perdaient de plus cette propriété après avoir touché le sol. Il venait de découvrir que la force électrique peut être attractive ou répulsive. En 1735, Fay de Cisternay distingue deux sortes d’électricité. L’électricité vitreuse (celle du tube de verre frotté) et l’électricité résineuse (celle de l’ambre frotté). L’une attire l’autre mais deux objets étant électrisés de la même manière se repoussent. On parle alors de l’existence de deux "fluides" électriques distincts. C’est Benjamin Franklin (18e) qui considère qu’il n’existe qu’une seule électricité et qu’elle peut être soit positive, soit négative. Il attribue ainsi arbitrairement le signe + à l’électricité vitreuse ( verre) et le signe - à l’électricité résineuse (plastique). Les 18e et 19e siècles voient naître bon nombre de machines électrostatiques de plus en plus perfectionnées qui permettent de comparer une multitude de corps chargés les uns aux autres et surtout de quantifier combien un corps possède de "fluide électrique". C’est en cherchant à quantifier l’électrisation d’un corps qu’en 1871, Cavendish introduit la notion de charge électrique et il faudra attendre 1897 pour que Thomson démontre l’existence de l’électron. Par son expérience, Otto von Guericke mettait en évidence les deux méthodes d’électrisation des objets : le frottement qui permet en fait d’arracher des électrons à la matière (ici la boule de soufre et le chi↵on) et ainsi créer un excès ou une lacune en électrons dans un corps. Ce dernier n’est dès lors plus neutre et possède une charge résiduelle négative ou positive. Le chargement par contact qui apparaît sur les objets métalliques : un métal neutre en contact avec un corps chargé par exemple positivement devient lui même chargé positivement. Les deux corps se repoussent alors. Nous en reparlerons dans les prochains chapitres. Quantification de la charge L’expérience de Millikan en 1909 (voir sur internet, sur Wikipédia) a montré que la charge électrique d’une goutte d’huile est quantifiée, c’est à dire qu’elle s’écrit toujours sous la forme Z ⇥ e avec Z un entier relatif, et e la charge élémentaire qui vaut environ 1, 602 ⇥ 10 19 C(le coulomb noté C étant l’unité de charge dans le système MKSA). Dans la  32 Chapitre 2. Les bases de l’électrostatique suite du cours, la charge d’un corps sera toujours un multiple de la charge élémentaire. Cette dernière correspond en fait (en valeur absolue) à la charge de l’électron et du proton. Des particules ayant une charge plus petite que e existent : ce sont les quarks que l’on considère comme les constituants ultimes de la matière et dont la charge est une fraction de la charge élémentaire. Ces particules sont les constituants des protons et des neutrons et portent une charge électrique égale à un tiers de celle du proton. Ces particules, sont soumises à l’interaction nucléaire forte, une des quatre interactions fondamentales avec l’interaction faible, la force électromagnétique et la force gravitationnelle. Les deux interactions nucléaire faible et forte sont à très courte portée, c’est à dire que leur intensité s’annule très rapidement en dehors du noyau nucléaire. L’interaction forte rend quasiment impossible de séparer les quarks qui constituent les nucléons sauf sur des temps extrêmement courts pendant certaines collisions entre particules. Cela fait que l’immense majorité des cas physiques rencontrés, il sera impossible d’avoir des particules qui puissent avoir une charge électrique autre que celle d’un multiple entier de la charge électrique fondamentale e. Conservation de la charge La charge électrique possède une autre propriété fondamentale : dans un système fermé (c’est à dire tel qu’aucune charge extérieure au système ne le traverse) la charge électrique totale du système reste constante. Par charge électrique totale, on entend la somme algébrique des charges positives et négatives. Cette propriété a déjà rencontrée en mécanique classique où la masse total d’un système fermé reste constant. Ces deux propriétés sont similaires et reposent sur le fait que les transformations de la matière, quelle qu’elles soient, conservent les particules élémentaires qui composent les corps macroscopiques se trouvant à l’intérieur du système fermé. On pourra noter que des désintégrations de particules peuvent se produire au sein de la matière composant un système fermé. Lors de ces désintégrations, la masse n’est pas toujours conservée car cette dernière peut être convertie en énergie en vertu de la loi dérivée par A. Einstein en 1905. Dans ce cadre là on ne se trouve plus en mécanique classique et la conservation de la masse cesse d’être absolue. La conservation de la charge électrique est toujours valide, même dans un cadre relativiste, de l’échelle subatomique à l’échelle macroscopique. Cette propriété a été vérifiée au travers d’un très grand nombre d’expériences et de mesures physiques au cours des décennies passées. Nous pourrons donc garder cette propriété à l’esprit quand nous formaliserons l’évolution de la charge électrique de tout corps physique. 2.1.2 Densités de charges et de courant Densité de charges ou charge volumique Nous avons introduit la notion de charge électrique en raisonnant sur des charges ponc- tuelles que l’on pouvait séparer dans l’espace. Cette description sera très pratique dans la suite du cours pour introduire des notions élémentaires ou décrire des structures dont l’échelle spatiale est proche de celle des particules électriquement chargées (tels les atomes et molécules). Elle a en revanche moins de sens que si on s’intéresse à ce qui se passe à plus grande échelle. Le corps humain, par exemple, possède quelques 1029 charges positives et négatives. Connaître la position de tous les protons et électrons d’une structure macro- scopique serait quelque peu fastidieux voir même impossible. Ce qui va nous intéresser en pratique est de connaître la charge moyenne en n’importe quelle position d’un objet et son évolution au cours du temps. On introduit de ce fait une grandeur nivelée : la charge 2.1 Electricité 33 volumique notée ⇢(x, y, z, t) qui s’exprime en C.m 3. Un volume élémentaire de matière notée dV centré autour de la position repérée par les coordonnées x, y, z possède une charge dq = ⇢(x, y, z, t)dV au temps t. Qu’appelle t-on ici volume élémentaire ? Tout va dépendre de ce que l’on cherche à étudier. En pratique dans la suite du cours, le volume sera très petit devant la taille du système que l’on étudiera mais sera encore très grand (au moins la centaine d’Angströms) pour qu’on puisse faire abstraction de la structure atomique de la matière. ainsi pour pouvoir considérer non pas chaque particule séparément mais leur distribution, on considèrera des éléments de volume dont la taille caractéristique sera intermédiaire entre l’échelle atomique ou moléculaire et l’échelle macroscopique de l’objet. Si ces deux échelles sont similaires alors il faudra considérer chaque particule chargée électriquement comme ponctuelle. Intensité électrique Le courant ou intensité électrique est le nombre de charges qui traverse une surface S donnée par unité de temps. L’intensité électrique se définit toujours pour une surface S donnée. Quand on parle par exemple de l’intensité parcourant un fil électrique, la surface S est, par exemple, la section du cylindre constituant le fil. Une intensité est un nombre algébrique ; il faut donc définir le sens positif, c’est à dire dans dS dS Figure 2.1 – Convention d’orientation d’une suface pour la définition de l’intensité algébrique quel sens des charges doivent traverser la surface pour donner une intensité électrique comptée positive. Ce choix est arbitraire et n’est qu’une convention mais il conditionnera l’étude du circuit. En e↵et, si l’on choisit une orientation d’une surface alors ce choix conditionne le sens de parcours du contour qui délimite la surface considérée. Ainsi, pour respecter l’orientation d’un repère orthonormé, il est indispensable que le lien entre l’orientation de S ~ et le sens de parcours du contour C suive la définition rigoureuse est donnée ci dessous. Par la suite, il faudra la respecter systématiquement (voir figure 2.1). On note C le contour de la surface S ~ et on choisit un sens pour ce contour. On dit alors que la surface S~ va elle même être orientée par la règle dite du tire bouchon (ou encore en se servant de sa main droite) : un tire bouchon dont le manche tourne dans le sens de C progresse dans un certain sens. On introduit alors les faces - et + de la surface respectivement à ce sens. Si on note alors dQ la charge qui traverse S en passant de la face à la face +, entre les 34 Chapitre 2. Les bases de l’électrostatique instants t et t + dt, l’intensité s’écrit : dQ iS (t) = (2.1) dt Elle s’exprime en Ampère (A) qui est une des unités de base du système SI. Le signe positif de l’intensité iS est donc donné par l’orientation de C : l’intensité est positive si elle va de la face vers la face +. Densité de courant On peut voir l’intensité électrique comme un débit de charges. Une intensité de 1 ampère signifie qu’une charge de 1 coulomb passe par seconde à travers la surface choisie. Si nous cherchons maintenant à voir quelle charge passe précisément en chaque partie de la surface, nous faisons appel à la notion de densité de courant. Considérons un petit élément noté S de cette surface et qui est centré en un point M. On va orienter cet élément de surface en introduisant un vecteur représentatif de cet élément de surface, noté dS. ~ Ce vecteur est défini comme ayant comme norme l’aire de la surface dS, comme direction la normale à cette surface au point M et comme sens celui introduit précédemment selon le choix du sens de parcours du contour délimitant la surface. On suppose que les charges ont une vitesse moyenne ~ v et portent toutes la même charge q1 ; Figure 2.2 – Volume d’un cylindre dont la base fait l’angle ⇡/2 ✓ avec son axe l’ensemble des charges qui traversent entre t et t + dt cet élément de surface se trouvaient dans un cylindre, de base dS et de longueur vdt, entre t dt et t. Ce cylindre a pour volume ~ vdt (voir la figure 2.2). On pourra se convaincre de la présence du produit scalaire dV = dS.~ dans l’expression du volume en observant que le volume correspond au volume d’un cylindre incliné d’un angle ✓ de base S et de hauteur vdt cos ✓.  2.2 La loi de Coulomb 35 Si on note n le nombre de charges par unité de volume, la charge totale qui passe pendant dt ~ vdt. On appelle alors le vecteur ~J = nq1 ~ à travers dS sera donc notée dQtot = nq1 dV = nq1 dS.~ v densité de courant. Il a en e↵et les dimensions d’une charge par unité de surface et par unité de temps et définit la répartition des charges électriques lors