Calcul intégral: Volume et surface

Voici vos notes d'étude :

• Le cours porte sur les fondements de l'électromagnétisme, reliant la cohésion de la matière aux télécommunications sans fil.
• La découverte des lois de l'électromagnétisme a eu lieu en grande partie entre la fin du XVIIIe et le début du XXe siècle.

Outils mathématiques en électromagnétisme

• Le formalisme mathématique est essentiel pour décrire les phénomènes physiques en électromagnétisme.
• Une base vectorielle est un ensemble de vecteurs orthonormés.

Champs scalaires et vectoriels

• Un "champ" est une grandeur qui caractérise un phénomène physique dans l'espace, variant selon le point et le temps.
• Les champs scalaires sont caractérisés par un nombre, comme la température T(M,t) en un point M et au temps t.
• Les champs vectoriels sont des vecteurs caractérisant des actions physiques en un point donné et à un temps donné, notés F(M,t).

Systèmes de coordonnées

• La localisation précise des points dans l'espace nécessite un système de coordonnées avec une origine et une méthode de repérage spatial.
• Le repère cartésien utilise un point d'origine O et trois axes perpendiculaires (O,ux,uy,uz), adapté aux milieux à basse symétrie.

Coordonnées cartésiennes

• Un vecteur AB a des composantes (xB - xA, yB - yA, zB - zA) dans un repère cartésien.
• Le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC, AB · AC = ||AB|| × ||AC|| cos α, se calcule par la somme des produits des composantes en cartésien.
• Le produit vectoriel de deux vecteurs AB et AC dans un repère cartésien est AB ∧ AC = (yABzAC - yACzBC)ux + (zABxAC - zACxBC)uy + (xAByAC - xACyBC)uz.

Coordonnées cylindriques

• Le système de coordonnées cylindriques utilise une symétrie de révolution autour d'un axe fixe (Oz).
• Les coordonnées cylindriques (r, θ, z) incluent la distance r, l'angle θ et la coordonnée cartésienne z.
• Les vecteurs de base orthonormés pour les coordonnées cylindriques sont ur, uθ et uz.

Coordonnées sphériques

• Le système de coordonnées sphériques s'inspire de la géographie, utilisant deux angles (latitude et longitude) et une distance.
• Les coordonnées sphériques sont r, θ et φ, où r est la distance, θ est l'angle avec l'axe des z, et φ est l'angle avec le plan xOy.
• Les vecteurs de base du système de coordonnées sphériques sont ủr, ủθ et ủy.

Intégrales curvilignes

• L'intégrale curviligne généralise l'intégration d'un champ scalaire ou vectoriel le long d'un chemin non linéaire.
• Pour un champ scalaire f(P), l'intégrale curviligne le long du chemin C entre A et B est ∫Af(P)dl = limn→∞ ∑i=1f(Pi)∆li.

Intégrales de surface

• L'intégrale de surface de f(M) sur une surface S est donnée par ∬Sf(M)dS = limn→∞ ∑i=1f(Mi)∆Si.
• Le flux d'un champ vectoriel E à travers une surface S est ∬S E · dS.

Intégrales de volume

• L'intégrale de volume de f(M) sur un volume V est ∭V f(M)dV = limn→∞ ∑i=1f(Mi)Vi.
• Pour une charge volumique p(x,y,z,t), la charge totale Q est ∭V p(x,y,z,t)dxdydz.

Gradient d'un champ scalaire

• Le gradient de température (VT) quantifie la variation de la température dans l'espace.
• Dans un repère cartésien, VT = (∂T/∂x)ux + (∂T/∂y)uy + (∂T/∂z)uz.
• L'opérateur vectoriel nabla est défini comme V = (∂/∂x)ux + (∂/∂y)uy + (∂/∂z)uz.

Lignes de champ d'un champ vectoriel

• En chaque point d'une ligne de champ, le champ vectoriel est tangent à cette ligne.
• Le déplacement infinitésimal dl le long d'une ligne de champ est parallèle au champ : dl = y Ě(7).

Divergence d'un champ vectoriel

• La divergence d'un champ vectoriel v caractérise un scalaire : div⃗v = (∂Vx/∂x) + (∂Vy/∂y) + (∂Vz/∂z).

Rotationnel d'un champ vectoriel

• Le rotationnel est utile pour caractériser l'enroulement d'un champ vectoriel sur lequel il est appliqué.
• Le rotationnel d'un vecteur v est lui même un vecteur : rot v = (∂Vz/∂y-∂Vy/∂z) ux+ (∂Vx/∂z-∂Vz/∂x) uy+ (∂Vy/∂x-∂Vz/∂y) uz

Propriétés et théorèmes des opérateurs

• Div grad⁡t ou ▽²T est le Laplacien, exprimé différemment selon le système de coordonnées.
• Le théorème de Green-Ostrogradsky relie l'intégrale de surface et le volume : ∭A·dv= ∮A ·dv.
• Le théorème de Stokes relie l'intégrale de surface d'un champ vectoriel au contour fermé C.

Electricité

• Millikan a montré que la charge électrique est quantifiée, étant un multiple de la charge élémentaire e ≈ 1,602 × 10−19 C.
• La charge électrique dans un système fermé est conservée, comme la masse en mécanique classique.

Densités de charges et de courant

• L'intensité électrique est une charge par unité de temps qui traverse une surface S.
• La densité volumique de charge s'exprime en C/m³.

Loi de Coulomb

• Enoncé : La force entre deux charges ponctuelles q1 et q2 est F1→2 = (1/4πε0) (q1q2/||P1P2||²) u12.
• Le milieu modifie l'interaction, affectant la constante diélectrique relative.

Propriétés de la force de Coulomb

• Divergence en tendant vers zéro entre deux charges.
• Parallèle à la direction joignant les charges.
• Analogue à la force gravitationnelle mais attractive/répulsive.

Notion de champ électrique

• Le champ électrique est une fonction de la position, utilisé pour exprimer la force exercée sur une charge : F = QE.
• Le champ électrique d'une charge ponctuelle est E1(M) = (1/4πε0) (q1/||P1M||²)uPıM.
• Principe de superposition : Le champ total est la somme des champs individuels.

Principe de superposition

• Le principe de superposition dit que l'énergie potentielle du système est additionnée.
• Certaines molécules doivent se trouver neutres dans l'équlibre si elles s'opposent et s'attirent.

L'énergie statique et potentielle

• Le travail de cette force sera positif amenant une augmentation de l'énergie cinétique du corps subissant cette force.

Distribution et loi de Coulomb

• Des problèmes peuvent survenir et dans ce cas, doivent être résolus étape par étape.
• Si l'environnement est symétrique, le système doit être cartésien.

Les champs et potentiels électrostatiques

• Si c'est le cas, alors calculer l'intégrale double avec les résultats.
• A la fin, c'est l'idée qu'il faut avoir pour déduire simplement.

Maintien du potentiel à jours

• On va vérifier la même chose et utiliser les même équations.

Gauss et l'invariance du champ électrique

• La loi de Curie est un principe physique générale des symmétries
• En utilisant l'axe(xOz), on repère les parties perpendiculaires à la surface.

Invariance de la charge

• Elle a aussi des effets sur le résultant.

Théorème de Gauss et la symétrie

• Si, comme dit au paravent la formule et les conditions sont respectées, alors oui.

Haute Symétrie

• En utilisant un volume fini et l'appliquant à un surface, la theroème s'applique encore.

Distributions de la charge

• Avec le volume, il est donc de les regarder.
• Avec la surface, ils sont dans surface.

Théorie de la circulation

• On les note et il faut être sûr d'avoir la même réponse, et avec le même rapport.

Les conducteurs électrostatiques

• Étant donné un endroit dans le matériel au sein du conducteur.
• C'est en regardant ce qu'il faut faire pour une décharge.

Les milieux dans un électrolyte

• les éléctrons moins liés voyagent, ce qui est intiment lié à la structure electronique
• Dans ce milieux on peut voir les réactions des isotopes et regarder comment ils sont affecter par les charges exterieurs.

Champs et circuits dans les conducteurs

• Il est aussi important que les lignes de champs soient à la perpendiculaire pour simplifier le modèle.

Théorème de Coulomb

• L'équation de Coulomb est une formule a bien retenir car la première expression peut revenir très souvent par la suite.

Les charge sur les cavités etc.

• On utilise le théorème et aussi tous autre facteurs pour s'y réferer.

Les Condesateurs et leurs propriétés.

• les forces d'action sont très importantes à considerer ici, cela à des fins d'évaporation etc.

Potentiel du dit milieu

• C'est très claire à quelle point les liaisons affectent le matériel et son potentiel.

Magnétostatique

• L'histoire tourne autour des champs magnetiques, depuis des écrits du quatrème siècle AC.

forces et effets

• Les premières explorations consistaient à regarder différentes relations, et déduire les résultats en fonctions de.

Lorentz

• Ils a été important de considérer la vitesse dans deux différentes trames de réferences.

Puissance d’une charge.

• Ils a été très important de regarder ce qu’il se passe quand un objet prend un charge.

Effet Hall

• C'est en regardant l'accumulation des charges sur une surface, et de regarder comment ça se balancent.

Force de Lorentz

• c'est un phénomène d'inversion qui requiert de regarder ce qu'il y a de "surplus" dans l'équation.

Maxwell

• C'est important de voire des phénomènes de la sorte car c'est la fondations des autres théorèmes.

Maxwell(suite)

• Plus spécifiquement, pour les composantes et comment ils influencent les données.

Champs magnétiques et actuels

• Les déductions consistent en un résultat à ce qui concerne le matériel.
• Les symétries des équations sont aussi considérées, ou pas.

Ampère et les courants

• C'est le plus souvent la partie intégrale, et avec la déduction des dits résultats.
• Ça permet de connecter, déduire le potentiels et plus
• l'application utilise ces dite outils pour la déduction et la formule.

Vecteur de potentiel dans l'environnement du champ

• Les travaux de plusieurs chercheurs à l'interne de la force des matériaux magnétique sont considérés ici.
• On re-transmet les dites équations, afin de mieux cerner l'ensemble.

Energie magnétique

• On regarde tous les champs et les opérateurs afin de déduis d'autres aspects et facteurs inhérents et intrinsèquement des données existantes.

Induction

• Des évènements de cette ordres sont aussi considérées
• L'équation doit être bien représenté afin de pouvoir en déduire de façon exacte.
• l'opération utilise une vue d'inversion, en terme mathématique.

Modération et autre effets de la sorte.

• les équations sont de toutes sorte, il important dans connaître l'effets pour tel ou tel situations.

AutoInduction

• L'environnement doit être déformable, pour créer les résultats escompté.

Influence Mutuelle

• C'est par les opérations et l'état, que les interactions sont mises en évidence, ici.
• pour faire ça il faire l'état de conservation.

Ce quiz explore le calcul intégral pour déterminer des volumes et des surfaces. Il aborde l'interprétation physique des intégrales, le calcul des charges volumiques, et l'application aux sphères. Testez vos connaissances sur les intégrales doubles et triples!